Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей. Практикум
.pdf
Расчеты вероятностей для стандартного нормального распределе-
F
F
P
ния выполняются с помощью интеграла вероятностей
tt
() ( ) ( 0), ( ) ()
tudu edut t t
00
1
2
2
u
/2
. (1.54)
Интеграл вероятностей ()t
t
tudu
формулой () 0,5 ()
() ( )
связан с функцией распределения
tt
. Поэтому вероятность по-
падания случайной величины, имеющей стандартное нормальное
распределение, в интервал (t
( ) () () ()Pt U t Ft F t t t
122121
, t2) рассчитывают по формуле
1
, (1.55)
а для симметричного интервала (–t, t), пользуются формулой
Ut P Ut t
2(0 ) 2 ()
.
Значения интеграла вероятностей представлены в приложении.
Случайная величина Х имеет нормальное распределение с параметрами а, (будем обозначать Х N(a; )), если она может быть
представлена в виде Х = а + U, где U имеет стандартное нормальное
распределение, > 0. Для такого распределения М(Х) = а, D(X) =
2
(X) = , так что параметры распределения представляют собой ма-
тематическое ожидание и среднее квадратическое отклонение величины Х.
Функция плотности нормально распределенной случайной величины имеет вид
() ( )
xe x
1
2
22
()/(2)
xa
. (1.56)
,
Влияние параметров а и на график функции плотности видно из
рис. 1.15. На этом рисунке приведены кривые нормального распределения при значениях = 1, < 1 и > 1. График симметричен относительно прямой х = а, так что значение а является центром распределения. При = 1 это та же кривая, что и
на рис. 1.14, но сме-
щенная вдоль оси абсцисс на а единиц. С уменьшением параметра
кривая функции плотности сжимается вдоль оси абсцисс и вытягивается вдоль вертикальной прямой х = а, что приводит к увеличению
вероятности попадания случайной величины Х в любую фиксиро-
71
ванную окрестность точки х = а. С увеличением параметра , наобо-
x
P
X
рот, кривая функции плотности растягивается вдоль оси абсцисс и
сжимается вдоль прямой х = а. Вероятности попадания случайной
величины Х в любую фиксированную окрестность точки х = а
уменьшается.
ϕ(x)
σ < 1
σ = 1
σ > 1
x
Рис. 1.15. Кривые нормального распределения
Расчет вероятности попадания в произвольный интервал (х1, х2)
для нормально распределенной величины Х проводится с помощью
интеграла вероятностей (1.54):
axa
Px X x
()
12
21
. (1.57)
В частности, для симметричного интеграла
Xat t
2()
. (1.58)
Случайная величина с нормальным распределением обладает следующими важными свойствами:
1. Сумма двух величин Х
и Х2, каждая из которых имеет нор-
1
мальное распределение с произвольными параметрами, также имеет
нормальное распределение.
2. При умножении случайной величины, имеющей нормальное
распределение, на произвольное число (константу) получившаяся
величина также имеет нормальное распределение.
, , ...,
случайных величин
72
XX
12
, каждая из которых имеет нор-
n
мальное распределение с произвольными параметрами, то их линей-
ная комбинация
cX c X c X
11 22
...
nn
также имеет нормальное распределение при любых коэффициентах
, , ...,
cc c
12
.
n
Задача 1.53. Производится взвешивание вещества без системати-
ческих ошибок. Случайные ошибки взвешивания подчинены нормальному закону N(0; 20). Найти вероятность того, что ошибка взвешивания не превзойдет по абсолютной величине 10.
Решение
( 10) ( 0 0,5 ) 2 (0, 5) 0, 383PP
(см. формулу (1.58)).
Задача 1.54. Диаметр втулок D, изготавливаемых цехом, имеет
нормальное распределение: D N (2,5; 10
–2
). В каких границах мож-
но практически гарантировать диаметр втулки, если за границу практической достоверности принимается P = 0,997?
Решение
Обозначим через l величину, на которую может отклониться раз-
мер диаметра втулки от своего среднего значения а = 2,5, тогда
l
()()22(100).
Pa l D a l P D a l l
По условию 2 ( 100) 0,997l
или (100) 0,4985l . Из табли-
цы интеграла вероятностей находим, что 100l = 2,96. Следовательно,
l = 0,0296
0,03. Тогда
a + l = 2,5 + 0,03 = 2,53; a – l = 2,5 – 0,03 = 2,47.
Ответ: (2,47; 2,53).
Задача 1.55. В нормально распределенной совокупности 15 %
значений случайной величины меньше 12 и 40 % значений больше 16,2. Найти математическое ожидание и среднее квадратическое
отклонение данного распределения.
73
Решение
По условию Р( < 12) = 0,15, отсюда
()0,15 – по формуле (1.53) (см. рис. 1.16).
12
a
или
0,35
Рис. 1.16. Кривая плотности распределения
12
a
0,35
и
a
12
(12)
12
1, 03 6
;
12 1, 036 .a
aP
С другой стороны,
16,2
a
0,1
и
16,2
( 16,2) 0, 4 0, 5
aa
0,253; 16, 2 0, 253
16,2
aP
, откуда
. Получили
систему уравнений относительно неизвестных а и :
16,2 0,253
a
a
12 1,036
.
Ее решением являются = 3,26; а = 15,37.
Ответ: N(15, 37; 3,26).
Задачи для самостоятельного решения
12.1. Плотность распределения величины Х имеет вид кривой, пока-
занной на рис. 1.17. Найти значение а, вычислить М(Х) и Р(X > M(X)).
ϕ(x)
0,5
a
6310
Рис. 1.17. Кривая плотности распределения
случайной величины X
x
74
12.2. Плотность распределения величины Х имеет вид кривой, изо-
–
x
x
браженной на рис. 1.18. Найти значение а, вычислить
и Р(Х > х).
х
Рис. 1.18. Кривая плотности распределения
случайной величины X
12.3. Плотность распределения (x) величины Х равна 0 при Х < 0 и
(x) = Cxe
–5x
при X > 0. Найти значение С, вычислить М(Х), х, Р(Х 2х).
12.4. Задана функция плотности непрерывной случайной величи-
ны (рис. 1.19). Записать уравнения функции плотности и функции
распределения. Найти М(Х), D(X), P(X < М(Х)), медиану m
φ(x)
0
Рис. 1.19. Кривая плотности распределения
14
случайной величины X
.
х
12.5. Задана функция плотности непрерывной случайной величи-
ны (рис. 1.20). Записать уравнения функции плотности и функции
распределения. Найти М(Х), D(X), P(X < М(Х)), медиану m
φ(x)
1
.
х
12
0
Рис. 1.20. Кривая плотности распределения
случайной величины X
75
12.6. Функция распределения непрерывной случайной величины
x
x
0, 0
x
1, 2
x
. Найти параметры а и b. Вы-
задана в виде
() , 0 2
Fx ax b x
2
числить М(Х), D(X), P(X > 1).
12.7. Функция распределения непрерывной случайной величины
0, 4
x
3
1, 5
x
. Найти параметры а и b.
задана в виде
() ( 4) , 4 5
Fx ax b x
Вычислить М(Х), P(X > 4,5).
12.8. Задан график функции плотности непрерывной случайной
величины (рис. 1.21). Записать уравнения функции плотности и
функции распределения. Найти М(Х), D(X), P(X > М(Х)), медиану m
φ(x)
с
.
х
0
3 5
Рис. 1.21. Кривая плотности распределения
случайной величины X
12.9. Задан график функции плотности непрерывной случайной
величины (рис. 1.22). Записать уравнения функции плотности и
функции распределения. Найти М(Х), D(X), P(X < М(Х)), медиану m
φ(x)
3c
2c
c
2
0
1 3
.
х
Рис. 1.22. Кривая плотности распределения
случайной величины X
76
12.10. Задан график функции распределения непрерывной слу-
x
x
чайной величины (рис. 1.23). Записать уравнения функции распределения и функции плотности. Вычислить М(Х), D(X), P(X < 2).
F(x)
1
1/2
0
Рис. 1.23. Кривая распределения
случайной величины X
13
12.11. Задан график функции распределения непрерывной слу-
чайной величины (рис. 1.24). Записать уравнения функции распределения и функции плотности. Вычислить М(Х), D(X), P(X < 1,5).
F(x)
1
1/3
0
Рис. 1.24. Кривая распределения
случайной величины X
12
1.13. Непрерывные двумерные случайные
величины
Часто приходится решать задачи, в которых рассматриваются события, описываемые не одной, а несколькими – в частности, двумя
случайными величинами. Так, если станок-автомат штампует цилиндрические валики, то диаметр валика D и его высота H образуют систему двух случайных величин
Двумерной случайной величиной называют систему из двух слу-
чайных величин
Р [(Х < х), (Y < у)] совместного выполнения неравенств Х < х, Y < у,
где х и у – любые действительные числа.
(X, Y), для которой определена вероятность
77
Функция двух переменных
xy
xy
x
F(x, у) = Р [(Х < х), (Y < у)], (1.59)
определенная для любых х и у, называется функцией распределения
системы двух случайных величин (X, Y).
Будем рассматривать X и Y как декартовы координаты точки на
плоскости. Точка М(X, Y) может занимать то или иное положение на
плоскости ОXY. Тогда функция распределения даст вероятность того,
что случайная точка М(X, Y) попадает в область
, изображенную на
рис. 1.25.
Рис. 1.25. Декартовы координаты точки на плоскости
Двумерная величина (X, Y) называется непрерывной, если существует непрерывная неотрицательная функция (, )
двух перемен-
ных, обладающая свойством: вероятность того, что точка М(X, Y) содержится в некоторой области
интегралу от функции (, )
плоскости ОXY равна двойному
по области :
Функция (, )
((,) ) (,)P M X Y x y dxdy
y называется плотностью совместного распреде-
. (1.60)
ления вероятностей системы двух величин X и Y. Отсюда, в частно-
сти, следует, что если область
имеет вид, изображенный на
рис. 1.25, то функцию распределения системы случайных величин
можно записать следующим образом:
y
x
(, )
dx x y dy
F(x, у) = Р [(Х < х), (Y < у)]
78
(, )xydxdy
=
. (1.61)
Равенство
xy
x
x
x
F
(, )dx x y dy
= 1 (1.62)
является условием нормировки функции плотности совместного распределения вероятностей.
Непрерывные случайные величины X и Y называются независи-
мыми, если
(, )
()
где
1
и
()y
– соответственно плотности распределения вероят-
2
1
=
()y
,
2
()
ностей случайных величин X и Y.
В этом случае
y
x
F(x, у) = Р [(Х < х), (Y < у)] =
x
=
12
y
() ()
dx y dy
dx x y dy
=
() ()
12
() ()
xFy
12
,
=
где
()Fx
1
и
()Fy
– соответственно функции распределения величин
2
X и Y [см. формулу (1.45)].
Зная функцию распределения F(x, у) двумерной случайной величины (X, Y), легко найти как функцию распределения, так и плот-
ность распределения каждой из случайных величин X и Y в отдельности.
Действительно, пусть
величины X. Тогда
1
()Fx
– функция распределения случайной
1
()Fx
= Р (Х < х). Так как в этом случае Y может
принимать любое значение, то ясно, что
Р (Х < х) = Р [(Х < х), (– < Y < + )].
Следовательно, по формуле (1.61) имеем
x
(, )
dx x y dy
()Fx
= Р (Х < х) = Р [(Х < х), (– < Y < + )] =
1
.
79
Дифференцируя последнее равенство по х, согласно правилу
x
x
f
M
xy
x
дифференцирования интеграла по переменной верхней границе получаем
()
1
'
=
()Fx =
1
(, )xydy
. (1.63)
Аналогичным образом получаем
y
(, )
dy x y dx
()Fy
= Р (Y < y) =
2
,
и, следовательно,
(, )xydx
()y
2
=
. (1.64)
Таким образом, чтобы получить плотность распределения одной из
составляющих двумерной случайной величины, надо проинтегрировать в границах от –
(, )
y по переменной, соответствующей другой случайной величине.
до + плотность распределения системы
Для системы случайных величин (X, Y) математическое ожидание
любой функции (,)
XY вычисляется по формуле (аналог формулы
(1.41)):
[(,)] (,)(,)
f XY f xy xydxdy
. (1.65)
Задача 1.56. Двумерная случайная величина (X, Y) имеет плот-
ность совместного распределения (, )
=
C
22
(1 )(1 )
y
. Найти:
1) величину константы С; 2) вероятность р попадания случайной
точки М(X, Y) в квадрат {0 < x < 1, 0 < y < 1}; 3) функцию распреде-
ления F(х, у); 4) плотности распределения каждой величины X и Y
в отдельности.
Решение
1) Величину константы С найдем из условия нормировки функ-
ции плотности совместного распределения вероятностей (1.62):
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]