Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей. Практикум
.pdf
Задача 1.30. Найти функцию распределения случайной
величины X, рассмотренной в задаче 1.27 в случае бесповторной выборки.
Решение
Ясно, что если х 0, то F(х) = 0, так как Х не принимает значений,
меньших нуля. Если 0 < х 1 то F(x) = P(Х < x) = P(Х = 0) = 0,2917;
если 1 < х 2, то F(x) = P(Х < x) = P(Х < 2). Но событие Х < 2 в данном случае
является суммой двух несовместных событий: Х = 0 и
Х = 1. Следовательно,
P(Х < 2) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) = 0,2917 + 0,5250 = 0,8167.
Итак, для 1 < х 2 имеем F(x) = 0,8167. Аналогично вычисляется
значение функции в промежутке 2 < х 3:
P(Х < 3) = P(Х < 2) + Р(Х = 2) = 0,8167 + 0,1750 = 0,9917.
Наконец, если х >
3, то F(х) = 1, так как в этом случае любое воз-
можное значение Х (0, 1, 2, 3) меньше, чем х. График функции F(х)
изображен на рис. 1.9. Как указывалось выше, значение функции
распределения F(х
) равно скачку функции в точке хi. Это свойство
i
наглядно иллюстрируется на рис. 1.9.
F(x)
1
0,9917
0,8117
0,2917
0
Рис. 1.9. График функции распределения
1
2
3
x
1.9. Биномиальное распределение
дискретной случайной величины
Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из кото-
рых событие А наступает с вероятностью р(0 < p < 1), и не наступает
41
с вероятностью q, q = 1 – p. Обозначим Pn(m) – вероятность того, что
A
A
A
A
B
A
A
p
в n испытаниях событие А наступит ровно m раз. При этом заметим,
что наступления или ненаступления события А могут чередоваться
различным образом. Условимся записывать возможные результаты
испытаний в виде комбинаций букв А и
. Например, запись А
А означает, что в четырех испытаниях событие осуществилось в 1-м
и 4-м случаях и не осуществилось во 2-м и 3-м случаях.
Всякую комбинацию, в которую А входит m раз и
входит
n – m раз, назовем благоприятной. Количество благоприятных комбинаций равно количеству k способов, которыми можно выбрать
m чисел из данных п; таким образом, оно равно числу сочетаний из
п элементов по m, т.е. k =
m
C .
n
Подсчитаем вероятности благоприятных комбинаций. Рассмотрим
сначала случай, когда событие А происходит в первых m испытаниях
и, следовательно, не происходит в остальных n – m испытаниях. Такая благоприятная комбинация имеет следующий вид:
... ...
AA A AA A
1
,
где событие А повторяется m раз, а затем событие
повторяется
n – m раз. Вероятность этой комбинации в силу независимости испытаний (на основании теоремы умножения вероятностей) составляет
mnm
mnm
mnm
q
событие А
i
. Итак,
( ) ()()...() ()()...()
PB PAPA PAPAPA PA pq
.
1
Так как в любой другой благоприятной комбинации В
встречается также m раз, а событие
происходит n – m раз, то веро-
ятность каждой из таких комбинаций также равна
() ()... ()
PB PB PB p q
.
12
k
Все благоприятные комбинации являются, очевидно, несовмест-
ными. Поэтому (на основании правила сложения вероятностей)
mnm
n
12
(...)
PB B B
(m) =
P
Следовательно, вероятности P
42
Pm Cpq
nn
( ) ( ) ... ( )
PB PB PB kp q
k
()
12
mmnm
Cpq
.
n
(m) вычисляются по формуле
n
mmnm
, (1.21)
k
где коэффициенты
m
C называются числом сочетаний из n элементов
n
по m и вычисляют по формуле
! ( 1)( 2) ...( 1)
m
C
n
nnnnnm
mn m m
!( )! 1 2 3 ...
, (1.22)
тогда случайная величина Х такая, что Р(Х = m) = P
(m) определяет
n
биномиальное распределение, или распределение Бернулли.
mnm
Из формулы (1.22) видно, что
ределению полагают также
CC .
CC m n
nn
0
n
nn
Рассмотрим еще раз смысл коэффициентов
( 1, 2, ..., 1)
. По оп-
1
m
C . Пусть заданы
n
n разных элементов. Всевозможные группировки из данных n эле-
ментов по m элементов в каждой, отличающиеся друг от друга хотя
бы одним элементом, при этом порядок расположения элементов в
группировке безразличен, называются сочетаниями из n элементов
по m. Например, n = 4, имеем 4 элемента: а, b, c, d. Выпишем сочетания
из четырех элементов по два: ab, ac, ad, bc, bd, cd. Из определе-
ния следует, что сочетания ab и ba не различимы. Число таких соче-
43
таний и находится по формуле (1.18),
987
Примеры вычисления:
3
C
9
123
2
C
4
12
16 2
84;
CC
18 18
.
6
18 17
153.
12
Вероятность того, что в n испытаниях событие А наступит менее
m раз, равна сумме вероятностей P
m раз – сумме вероятностей P
рощаются, если применять свойство вероятностей Р
(0) (1) ... ( ) 1
PP Pn
nn n
(0) + Pn(1) + ... + Pn(m – 1); более
n
(m + 1) + ... + Pn(n). Часто расчеты уп-
n
(m)
n
.
Задача 1.31. Баскетболист выполняет пять бросков. Найдите рас-
пределения вероятностей дискретной случайной величины Х – числа
попаданий мяча в корзину, если вероятность попадания при каждом
броске равна 0,4.
Решение
Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, где n = 5, р = 0,4, q = 0, 6, тогда
( 0) (0) (0,6) 0,07776PX P C pq .
55
005 5
43
(1)(1) 50,4(0,6)0,2592PX P Cpq .
( 2) (2) 10 0, 4 (0,6) 0,3456PX P Cpq .
( 3) (3) 10 0,4 (0,6) 0,234PX P Cpq .
( 4) (4) 5 0,4 (0,6) 0,0768PX P Cpq .
55
55
55
55
( 5) (5) 0, 4 0,01024PX P C pq .
114 4
223 2 3
332 3 2
441 4
55
550 5
Проверка:
6
0,07776 0,2592 0,3456 0,2304 0,0768 0,01024 1
i
p
i
1
Распределение вероятностей случайной величины Х приведено в
табл. 1.3.
Таблица 1.3
Распределение вероятностей случайной величины Х
Х P
0 (0,6)5 = 0,07776
1
2
3
4
5 (0,4)5 = 0,01024
10 (0,6)
10 (0,6)
4
5 (0,6)
5 0,6 (0,4)
0,4 = 0, 2592
3
(0,4)2 = 0,3456
2
(0,4)3 = 0,2304
1,000
4
= 0,0768
.
Задача 1.32. В условии задачи 1.31 найти вероятность того, что
будет хотя бы одно попадание.
Решение
Требуется найти вероятность события X 1.
P(X 1) = 1 – P(X = 0) = 1 – 0,07776 = 0,92224.
Задача 1.33. Отрезок KВ разделен точкой С в отношении 2:1.
Найти вероятность того, что среди девяти точек, размещенных случайным образом на KВ, шесть окажутся левее точки С.
44
Решение
В задаче 1.6 найдена вероятность события А = {одна точка, разме-
щенная на отрезке KВ, окажется левее С, т.е. принадлежит отрезку KС},
() 2/3pPA, тогда 11/3qp
.
Искомая вероятность равна
63 8
21 29872 2
(6) 7 0,273
PC C
99 9
63
33 3
66
99
31233
.
Задача 1.34. В единичный куб случайным образом помещают
17 точек независимо друг от друга. Найти вероятность того, что 14 из
них попадут в пирамиду, вершина которой совпадает с центром
верхнего основания куба, а основание пирамиды совпадает с основанием куба (событие D).
Решение
В задаче 1.7 найдена вероятность события А = {одна точка, случайным образом размещенная в кубе, окажется внутри пирамиды},
1
() ;
pPA
тогда
3
qp
1
2
.
3
Согласно формуле (1.21)
17 16 15
() ,где 680
PD P C p q C C
(14)
17 17 17 17
14 14 3 14 3
123
.
Искомая вероятность равна
14 3
12
PD
33
( ) 680 4,21 10
5
.
Задача 1.35. Что вероятнее выиграть у равносильного противника
(ничьи не считаются): а) три партии из четырех или пять партий из
восьми? б) не менее трех партий из четырех или не менее пяти партий из восьми?
Решение
а) Так как противник равносильный, то вероятность выигрыша
одной партии равна вероятности проигрыша, т.е. 1/ 2pq
.
45
Вероятность выиграть три партии из четырех равна
33
3
() 4
PCpq
44
ми равна
Так как
()
PCpqC
88 8
17
11
, вероятность выиграть пять партий из вось-
16 4
8
1
553 3
5
, то вероятнее выиграть три партии из четырех.
7
.
32
2
432
б) Вероятность выиграть не менее трех партий из четырех равна
сумме вероятностей
PP
(3) (4)
44
11 5
41616
, вероятность выиграть
не менее пяти партий из восьми равна сумме вероятностей
21
CC
717193
(5)(6)(7)(8) .
PPPP
8888
88
888 8
32 32 256
222 2
(28 8 1)
Так как
93 5
, то вывод однозначный: вероятнее выиграть не
256 16
менее пяти партий из восьми.
Часто необходимо знать, при каком значении т вероятность
Р(Х = m) для случайной величина Х, имеющей распределение Бер-
нулли, принимает наибольшее значение. То есть требуется найти
наивероятнейшее число т
опытов. Можно доказать, что число m
наступления события А в данной серии
0
должно удовлетворять двой-
0
ному неравенству
np – q m
Заметим, что сегмент [пр – q, пр + р], в котором лежит т
np + p. (1.23)
0
, имеет
0
длину
(пр + р) – (пр – q) = p + q = 1.
Поэтому, если какой-либо из его концов не является целым числом, то между этими концами лежит единственное целое число, и т
определено однозначно. В том случае, если оба конца – целые числа,
имеются два наивероятнейших значения: np – q и np + p.
Задача 1.36. Определить наивероятнейшее число попаданий в
цель, если вероятность попадания в цель при одном выстреле равна
0,6 и стрелок делает десять выстрелов.
0
46
Решение
x
Здесь п = 10, р = 0,6, q = 0,4, np – q = 10 0,6 – 0,4 = 5,6, пр + р =
= 10 0,6 + 0,6 = 6,6. Согласно формуле (1.19) наивероятнейшее зна-
чение т
лежит на сегменте [5,6; 6,6] и, следовательно, равно 6.
0
При больших значениях п подсчет вероятностей P
(m) по форму-
n
ле (1.17) связан с громоздкими вычислениями. В этом случае удобнее пользоваться следующей формулой:
P
(m)
n
11
npq npq
mnp
где
x
(р не равно нулю и единице), а
npq
2
/2
x
ex
2
, (1.24)
()
1
xe
()
2
2
/2
x
.
Формула (1.20) выражает локальную теорему Лапласа. Точность
этой формулы повышается с возрастанием п. Функция ()
, как мы
увидим в дальнейшем, играет очень большую роль в теории вероятностей.
Задача 1.37. Игральный кубик бросают 72 раза. Определить веро-
ятность того, что ровно 30 раз появится число, большее 4.
Решение
На игральном кубике число, большее 4, это 5 или 6. Вероятность
того, что при одном бросании кубика появится число 5 или 6 равна
р = 2/6 = 1/3 (число благоприятных исходов равно 2, общее число
исходов 6)
Тогда т = 30, п = 72, р = 1/3, q = 1 – 1/3 = 2/3; далее находим
30 72(1 / 3)
12
npq
72 4
,
33
x
mnp
npq
=
.
1, 5
4
Используя формулу (1.20), получаем
Pe
72
11
(30) 0,0324
4
2
(1,5) / 2
2
.
На практике часто встречается случай биномиального распреде-
ления, при котором n велико, а р мало. Например, Х – число бракованных изделий объемом n (n – велико) при вероятности появления
бракованного изделия p << 1.
47
Этот случай можно рассматривать как асимптотику биномиаль-
ного распределения при n , р 0, np = = const.
Представим выражение для вероятности в биномиальном распре-
делении в виде
()()()...((1))(1)
PX m np np p np m p p
1
!
m
nm
.
Перейдем к пределу
nm
1
PX m e m
( ) lim 1 ; ( 0, 1, 2, ...)
m
n
mnm
!!
m
. (1.25)
Полученное распределение называется распределением Пуассона.
Распределение Пуассона с достаточной точностью может быть использовано как приближенное для биномиального распределения
при n 100, p 0,01.
Задача 1.38. Завод отправил на базу 500 доброкачественных изде-
лий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна
р = 0,002. Найти вероятность того, что на базу прибудут три негодных изделия.
Решение
Дискретная случайная величина Х (число негодных изделий в
партии) имеет биномиальное распределение, где n = 500, р = 0,002 и
q = 0,998, причем np = 500 0,002 = 1. Найдем искомую вероятность
по формуле Пуассона (1.25) с параметром а = np = 1.
31
a
(3) 0,06
PX P
500
ae e
3! 6
.
Рассмотрим еще одну важную задачу, в которой используется
число сочетаний.
В партии из N деталей имеется n стандартных и N – n нестандартных. Наудачу отобраны m деталей. Найти вероятность того, что среди отобранных деталей k стандартных и m – k нестандартных (событие А). Рассмотрим решение этой задачи на примере.
Задача 1.39. В партии из 30 деталей имеется 8 нестандартных, ос-
тальные стандартные. Наудачу отобраны 6 деталей. Найти распределение вероятностей дискретной случайной величины Х – числа стандартных деталей среди отобранных.
48
Решение
P(X = 0) = Р (все 6 деталей нестандартные) =
= (8/30)(7/29)(6/28)(5/27)(4/26)(3/25) 0,00005.
P(X = 1) = Р (одна деталь стандартная, остальные нестандартные) =
= 6 (22/30)(8/29)(7/28)(6/27)(5/26)(4/25) 0,00207.
Найдена вероятность события: первая вынутая деталь стандартная, остальные нестандартные. Но стандартная деталь может быть
вынута первой, второй, третьей, …, шестой, т.е. возможно шесть несовместных событий (вариантов), а искомое событие X = 1 является
их суммой. Вероятность каждого варианта одинакова, поэтому найденная вероятность умножена на 6.
P(X = 2) = Р (две детали стандартные, остальные нестандартные) =
2
=
C (22/30)(21/29)(8/28)(7/27)(6/26)(5/25)
6
0,02723.
Найдена вероятность события: две первые вынутые детали стандартные, остальные нестандартные. Эта вероятность умножена на
число вариантов, которыми можно вынуть две детали из шести, т.е.
на
C
6
12
15
.
65
2
P(X = 3) = Р (три детали стандартные, остальные нестандартные) =
3
=
C (22/30)(21/29)(20/28)(8/27)(7/26)(6/25)
6
0,1452.
Найдена вероятность события: три первые вынутые детали стандартные, остальные нестандартные. Эта вероятность умножена на
число вариантов, которыми можно вынуть три детали из шести, т.е.
654
3
на
C
6
123
20
.
P(X = 4) = Р (четыре детали стандартные, остальные нестандартные) =
4
=
C (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(8/26)(7/25)
6
0,3449.
P(X = 5) = Р (пять деталей стандартные, остальные нестандартные) =
5
C (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(18/26)(8/25)
=
6
0,3548.
P(X = 6) = Р (все шесть деталей стандартные) =
= (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(18/26)(17/25) 0,1257.
49
Распределение вероятностей случайной величины Х приведено
табл. 1.4.
Таблица 1.4
Распределение вероятностей случайной величины Х
Х P
0
1
2
3
4
5
6
(8/30)(7/29)(6/28)(5/27)(4/26)(3/25) 0,00005
6 (22/30)(8/29)(7/28)(6/27)(5/26)(4/25) 0,00207
15 (22/30)(21/29)(8/28)(7/27)(6/26)(5/25) 0,02723
20 (22/30)(21/29)(20/28)(8/27)(7/26)(6/25) 0,14524
15 (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(8/26)(7/25) 0,34495
6 (22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(18/26)(8/25) 0,35480
(22/30)(21/29)(20/28)(19/27)(18/26)(17/25) 0,12566
1,000
Задача 1.40. При условии задачи 1.39 найти вероятность того, что
среди отобранных деталей находится не более двух нестандартных.
Решение
Требуется найти вероятность события X 4.
P(X 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) =
= 0,34495 + 0,35480 + 0,12566 = 0,82541.
Задачи для самостоятельного решения
9.1. Вероятность того, что телевизор потребует ремонта в течение
гарантийного срока, равна 0,1. Найти вероятность того, что в течение
гарантийного срока из шести телевизоров не менее двух потребуют
ремонта.
9.2. Для спортсмена вероятность попасть в мишень при одном вы-
стреле не зависит от результатов предшествующих выстрелов и равна 1/4. Спортсмен сделал 5 выстрелов. Найти вероятность событий:
А = {хотя бы одно попадание}, В = {ровно два попадания}.
9.3. В цехе 5 станков. Для нормальной работы цеха необходимо,
чтобы работали не менее четырех станков. Вероятность выхода одного станка из строя равна 0,1. Определить вероятность нормальной
работы цеха.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]