Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей. Практикум
.pdf
9.4. В группе 18 студентов, среди которых 12 хорошо успеваю-
щих. По списку наудачу отобраны 8 студентов. Найти вероятность
того, что среди отобранных студентов 4 хорошо успевающих.
9.5. На складе имеется 15 однотипных приборов, причем 10 из них
изготовлены московским заводом. Найти вероятность того, что среди
семи взятых наудачу приборов: а) 4 прибора московского завода;
б) более 4 приборов московского завода.
9.6. Аппаратура состоит из 200 элементов, каждый из которых не-
зависимо от остальных выходит из строя за гарантийный срок с вероятностью 0,01. Найти вероятность того, что за гарантийный срок
откажут более двух элементов.
9.7. Станок-автомат штампует детали. Вероятность того, что изго-
товленная деталь окажется бракованной, равна 0,005. Найти вероятность того, что из 500 деталей окажутся более двух бракованных.
9.8. Учебник издан тиражом в 3500 экземпляров. Пусть вероят-
ность неправильной брошюровки равна 0,0005. Найти вероятность
того, что тираж содержит более двух бракованных книг.
9.9. Вероятность нарушения герметичности баллона с пропаном
(за определенное время t) равна 0,0005. Найти вероятность того, что
из 1500 баллонов, хранящихся на складе, два или более окажутся с
нарушением герметичности.
9.10. Вероятность заболеть гриппом в течение месяца после вак-
цинации равна 0,002. Вакцинацию прошли 1000 студентов и сотрудников института. Найти вероятность того, в течение месяца заболеет
более трех человек.
9.11. Найти вероятность р
того, что наудачу поставленная в дан-
1
ном квадрате точка окажется внутри вписанного в квадрат круга.
Найти вероятность р
того, что из 9 наудачу поставленных в данном
2
квадрате точек внутри вписанного круга окажется 6 точек.
9.12. Найти вероятность того, что: а) наудачу поставленная в дан-
ном кубе точка окажется внутри вписанного в куб шара; б) из 8 наудачу поставленных в данном кубе точек внутри вписанного шара
окажется не менее 3 точек.
1.10. Числовые характеристики дискретных
случайных величин
Случайные величины могут описываться числовыми характеристиками, среди которых различают характеристики положения (математическое ожидание, мода, медиана) и характеристики рассеяния
(дисперсия, среднеквадратическое отклонение).
51
Пусть Х – дискретная случайная величина с заданным законом
M
M
M
M
M
M
M
M
M
D
X
D
X
D
N
распределения Р(Х = х
ское ожидание ()
) = pi (i = 1, 2, ..., N;
i
i
1
). Математиче-
1
p
i
X представляет собой среднее ожидаемое значе-
ние случайной величины. Эта величина вычисляется по формуле
N
() .
Xxp
i
(1.26)
ii
1
Свойства математического ожидания:
1) ( )
CC , где С = const;
CX CM X ; (1.27)
2) ( ) ( )
3) ( ) ( ) ( )
XY MX MY для любых случайных величин Х и Y;
XY M X M Y если Х и Y независимы.
4) ( ) ( ) ( )
Таким образом, если случайная величина Х представлена в виде
линейной комбинации величин Х
, Х2, ..., ХL, то ее математическое
1
ожидание вычисляют, пользуясь свойством линейности:
LL
где c
– произвольные числа.
i
() ( )
XM cX cMX
ii i i
ii
11
, (1.28)
Если известен закон распределения дискретной случайной величины, то математическое ожидание любой ее функции может быть
вычислено по формуле
N
(( )) ()
fX fx p
i
1
. (1.29)
ii
Для характеристики степени отклонения значений случайной величины от ее математического ожидания ()
тия дисперсии ()
X и среднего квадратического отклонения ()
X = а вводятся поня-
по формулам
() ( )
XMXa; () ()
2
DX . (1.30)
Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения:
1) ( ) 0DC ; ( ) 0C
XC DX ; (1.31)
2) ( ) ( )
52
, где С = const;
3)
D
D
M
() ()
CX C D X ;
4) если Х и Y независимы, то ()()()
2
() ()CX C X
XY DX DY
;
.
Можно доказать, что дисперсия для дискретной случайной вели-
чины Х может быть найдена по формуле
N
() ( ) () ()
DX MX MX xp MX
22
22
ii
i
1
. (1.32)
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной ве-
личины Х, имеющей биномиальное распределение, могут быть найдены по формулам
() ; () ,
XnpDXnpq
(1.33)
где р – вероятность того, что событие А произойдет;
q – вероятность того, что событие А не произойдет в каждом
из независимых испытаний.
Для распределения Пуассона M(X) = D(X) =
.
Задача 1.41. Пользуясь условием задачи 1.27, вычислить матема-
тическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
случайной величины – числа вынутых белых шаров при повторной и
бесповторной выборках.
Решение
Расчет приведен в табл. 1.5 и 1.6. В столбцах XP и Х2P записаны
значения произведений Х
ipi
2
и X
pi. В последних строках – суммы
i
элементов в соответствующих столбцах.
Таблица 1.5
Результаты расчетов повторной выборки
X P ХP Х
0 0,343 0 0
1 0,441 0,441 0,441
2 0,189 0,378 0,756
3 0,027 0,081 0,243
M(X) = 0,9; M(X
D(X) = M(X
2
) – M(X)2 = 1,44 – 0,92 = 0,63; () () 0,794XDX .
1,000 0,900 1,440
2
) = 1,44;
2
P
53
Таблица 1.6
Результаты расчетов бесповторной выборки
Х P ХP Х
0 0,2917 0 0
1 0,5250 0,5250 0,5250
2 0,1750 0,3500 0,7000
3 0,0083 0,0249 0,0747
1,000 0,8999 1,2997
2
P
M(X) = 0,9; M(X2) = 1,3; D(X) = 1,3 – 0,92 = 0,49; = 0,7.
Задача 1.42. В первой урне лежит 10 белых шаров и 6 черных, во
второй – 5 белых и 2 черных. Из первой урны во вторую перекладывают 2 шара неизвестного цвета, затем, после перемешивания, из
второй урны вынимают 2 шара. Пусть дискретная случайная величина Х – число вынутых белых шаров. Найти распределение Х, вычислить М(Х), D(X
), (Х).
Решение
Сформулируем три гипотезы о перекладывании шаров из первой ур-
ны во вторую: Н
1 белый и 1 черный шар}, H
= {переложены 2 белых шара}, H2 = {переложены
1
= {переложены 2 черных шара}. Вероят-
3
ности этих гипотез равны:
() ;()2 ;()
PH PH PH
10 9 3 10 6 1 6 5 1
12 3
16 15 8 16 15 2 15 18 8
Вероятности события {X = k} (k = 0, 1, 2) рассчитываем по форму-
ле полной вероятности (1.15):
()
PXk PXkH PXkH PXkH
31 1
828
123
Результаты расчета приведены в виде таблицы распределения
(табл. 1.7).
Таблица 1.7
Распределение случайной величины Х – числа вынутых шаров
Х P ХP Х
0 (3/8)(2/9)(1/8) + (1/2)(3/9)(2/8) + (1/8)(4/9)(3/8) = 0,0729 0 0
1 2[(3/8)(7/9)(2/8) + (1/2)(6/9)(3/8) + (1/8)(5/9)(4/8)] = 0,4653 0,4653 0,4653
2 (3/8)(7/9)(6/8) + (1/2)(6/9)(5/8) + (1/8)(5/9)(4/8) = 0,4618 0,9236 1,8472
54
1,000 1,3889 2,3125
.
.
2
P
M(X) 1,39; M(X2) 2,31; D(X) 2,31 – 1,392 0,378; (Х) 0,615.
X
X
Рассмотрим теперь обратную задачу нахождения таблицы распределения по известным числовым характеристикам случайной величины.
Задача 1.43. Дискретная случайная величина Х принимает два
значения Х
если известно, что
и Х2, причем Х1 < Х2. Найти распределение величины Х,
1
()PX X
0,6; М(Х) = 3,4; D(X) = 0,24.
1
Решение
Р1 + Р2 = 1, поэтому Р2 = 1 – Р1 = 1 – 0,6 = 0,4. По определению
М(Х) = Х
D(X) = M(X
+ Х2Р2 = 0,6Х1 + 0,4Х2 = 3,4 или 3Х1 + 2Х2 = 17. Дисперсия
1Р1
2
) – [M(X)]2, поэтому M(X2) = D(X) + [M(X)]2 = 0,24 + (3,4)2 =
= 11,8.
По таблице распределения M(
= 11,8, или
двумя неизвестными Х
22
32
X = 59. Получили систему двух уравнений с
12
и Х2:
1
2
22
) =
XP XP
11 22
3217
XX
12
22
3259
XX
12
.
22
0,6 0,4XX
12
Система имеет два решения: (3; 4) и (3,8; 2,8). Второе решение не
удовлетворяет условию Х
Ответ: Х
= 3, Х2 = 4, Р2 = 0,4.
1
< Х2.
1
Задача 1.44. Пользуясь условием задачи 1.31, найти математиче-
ское ожидание и дисперсию случайной величины Х.
Решение
Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное распределение, где n = 5, р = 0,6, q = 0, 4, тогда по формулам (1.33):
() 50,63; () () 30,41,2MX np DX npq npq .
Задачи для самостоятельного решения
10.1. Подбрасывают 3 монеты, Х – число выпадающих гербов. Со-
ставить таблицу распределения величины Х и вычислить вероятность
Р(Х 1).
10.2. В урне лежат 5 шаров, из них 3 белых. Из урны вынимают
3 шара без возвращения, Х – число вынутых белых шаров. Составить
55
таблицу распределения вероятностей величины Х и вычислить М(Х),
D(X) и
.
x
10.3. Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в кор-
зину равна 0,8. Он делает 9 бросков. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайной величины Х – количества попаданий.
10.4. Стрелок делает 3 независимых выстрела по цели. Вероят-
ность попадания при каждом выстреле равна 0,6; Х – число попаданий. Составить таблицу распределения величины Х и вычислить
М(Х), D(X) и
.
x
10.5. Два стрелка независимо друг от друга делают по одному вы-
стрелу, вероятности попадания в цели равны соответственно 0,8 и
0,6; Х – число попаданий в цель. Вычислить М(Х), D(X) и
.
x
10.6. В первой урне находятся 20 шаров, из них 5 белых, во вто-
рой – 18 шаров, из них 8 белых. Из первой урны во вторую перекладывают 2 шара и, после перемешивания, вынимают из второй урны
тоже 2 шара. Найти математическое ожидание Х вынутых белых шаров и вероятность того, что оба вынутых шара – белые.
10.7. Два стрелка произвели по одному выстрелу независимо друг
от друга. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,7; а вторым – 0,6. Пусть дискретная случайная величина Х –
число пробоин в мишени. Найти распределение Х, М(Х), D(X).
10.8. Задан закон распределения вероятностей случайной вели-
чины Х:
x
i
p
i
–4 –3 –1 0 2
0,1 0,2 ? 0,2 0,1
Х и Y – независимые случайные величины. Восстановить пропущенное в таблице значение вероятности. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение случайных величин Х и Z, если известно, что
3 2 4; () 2,3; () 4,25.ZXY MY DY
10.9. Задан закон распределения вероятностей случайной вели-
чины Х:
56
x
i
p
i
–1 0 2 3 5
0,3 0,1 0,1 ? 0,2
Х и Y – независимые случайные величины. Восстановить пропущен-
X
M
M
M
ное в таблице значение вероятности. Найти математическое ожидание и дисперсию случайных величин Х и Z, если известно, что
2 5 7; ( ) 6, 2; ( ) 3,75ZYX MY DY .
10.10. Студент не знает ответа на 5 вопросов из 30, вынесенных на
экзамен. Экзаменационный билет содержит 2 вопроса, которые не
повторяются. Если студент не отвечает на один из них, он получает
оценку «2». Если отвечает на оба вопроса в билете – преподаватель
задает дополнительный вопрос. Если студент не отвечает на этот вопрос, то получает «3», если
отвечает – опрос продолжается. Второй
дополнительный вопрос в случае положительного ответа позволяет
поставить оценку «5», в случае неудачи – «4». Найти распределение
случайной величины Х – оценки, полученной студентом на экзамене.
Найти М(Х), D(Х), σ(Х). Какова среднеожидаемая оценка?
10.11. Среднее число самолетов, прибывающих в аэропорт за 1 ч,
равно 4. Найти вероятность того, что за 2 ч в аэропорт прибудут:
а) 5 самолетов; б) более 5 самолетов?
10.12. На станцию скорой помощи в течение 1 ч в среднем посту-
пает 20 вызовов. Найти вероятность того, что в течение 15 мин будет
принято не менее 4 вызовов.
1.11. Системы случайных величин,
их числовые характеристики
Две или несколько случайных величин Х1, Х2, ..., ХL образуют
систему случайных величин. Система случайных величин может рас-
сматриваться также как случайный вектор
Основными характеристиками системы случайных величин
служат:
центр распределения
()
Xa
11
Xa
()
22
M
... ...
Xa
()
LL
(Х1, Х2, ..., ХL)Т.
57
и матрица ковариаций
x
f
M
M
D
KK K
11 12 1
KK K
21 22 2
() ,
= M(Xi) – математическое ожидание величины Xi (i = 1, 2, ..., L);
где а
i
= Kji – ковариация между величинами Xi и Xj, (i, j = 1, 2, ..., L, i j),
K
ij
K
= D(Xi) – дисперсия величины Xi.
ii
K
cov( ) [( )( )]
KXXMXaXa
ij i j i i j j
Ковариация между X
K
ij
... ... ... ...
KK K
12
LL LL
и Xj для дискретных случайных величин
i
...
...
...
L
L
(1.34)
; (1.35)
может быть найдена по формуле
N
KMXX aa
()
ij i j i j
xp aa
ik jk k i j
1
k
. (1.36)
Две случайные величины Х и Y являются (статистически) незави-
симыми, если для любых функций ()
x и (),gx для которых сущест-
вуют математические ожидания, имеет место соотношение
[ ( ) ( )] [ ( )] [ ( )]
fx gx Mfx Mgx
. (1.37)
Смысл этого определения состоит в том, что никакая информация
о значениях одной величины не влияет на любую информацию о
значениях другой величины. В частности, из (1.37) следует
()()()
XY MX MY
, (1.38)
а также тот факт, что из независимости двух случайных величин следует их некоррелированность, т.е. если Х и Y независимы, то
cov( , ) 0XY .
Дисперсия линейной комбинации случайных величин выражается
через ковариации:
LLL
58
111
iij
cX ccK
ii ijij
. (1.39)
В частности, для попарно независимых величин Xi и Xj ковариации
D
X
= 0 (i, j = 1, 2, ..., L, i j) и матрица ковариаций диагональна, а
K
ij
дисперсия линейной комбинации величин выражается только через
их дисперсии:
LL
cX c D X
ii i i
11
ii
2
. (1.40)
()
Ковариация (,)KXY характеризует степень зависимости случай-
ных величин X и Y. Величина (,)KXY зависит от единиц измерения
случайных величин X и Y. Во избежание этого неудобства часто вы-
числяют коэффициент корреляции
(,)
rXY
KXY
() ()
.
Y
(,)
Коэффициент корреляции – безразмерная величина. Можно доказать, что
(,) 1rXY
для любых X и Y, причем
(,) 1rXY
тогда и
только тогда, когда X и Y связаны линейной зависимостью
YaXb
, где ,, 0ab R a . ( , ) 1rXY если а > 0 и (,) 1rXY ,
если а < 0. Чем ближе (,)rXY к единице, тем вероятнее линейная
зависимость между случайными величинами X и Y.
Задача 1.45. Случайный вектор (X, Y) может принимать пять раз-
личных значений, их вероятности даны во втором столбце табл. 1.8, в
третьем и четвертом столбцах указаны значения величин Х и Y. Вычислить математические ожидания M(X), M(Y), M(X + Y), M(XY) и
вероятности событий А = (Х > 2),
Расчеты числовых характеристик случайных величин X и Y
i р Х Y pX pY pXY
1 0,1 3 1 0,3 0,1 0,3 4
2 0,2 –1 3 –0,2 0,6 –0,6 2
3 0,4 2 5 0,8 2,0 4,0 0
4 0,1 5 7 0,5 0,7 3,5 2
5 0,2 0 9 0 1,8 0 4
1 – – 1,4 5,2 7,2
53BY
.
Таблица 1.8
5Y
59
Решение
M
X
X
Все результаты расчета приведены в табл. 1.8. Математические
ожидания М(Х) и M(Y) находят по формуле (1.26). В столбце рХ указаны значения слагаемых p
, в столбце pY – слагаемых piyi. В по-
ixi
следней строке табл. 1.8 указаны суммы элементов столбца, которые
дают искомые значения М(Х) = 1,4; M(Y) = 5,2. Математическое ожи-
N
дание M(XY) находят по формуле
()
XY X Y p
1
i
, которая следует
ii i
из формулы (1.29). Расчеты представлены в столбце pXY. М(XY) = 7,2.
Вероятность события А может быть найдена суммированием ве-
роятностей исходов, в которых Х > 2, т.е. Р(Х > 2) = р
= 0,2. Аналогично,
() 5 3PB P Y
р2 + р3 + р4 = 0,7.
+ р4 = 0,1 + 0,1 =
1
Для наглядности, значения величины
приведены в послед-
5Y
нем столбце табл. 1.8.
Математическое ожидание суммы X + Y проще найти по свойству
линейности:
M(X + Y) = M(X) + M(Y) = 6,6.
Задача 1.46. Эксперимент имеет 5 исходов, вероятности которых
указаны в табл. 1.9. Там же приведены значения случайных величин
X, Y, Z. Рассчитать для них матрицу ковариаций.
Таблица 1.9
Расчет матрицы ковариаций
Р Х Y Z Xp X2p Yp Y2p Zp Z2p XYp XZp YZp
1
0,1 3 1 5 0,3 0,9 0,1 0,1 0,5 2,5 0,3 1,5 0,5
2
0,2 –1 3 4 –0,2 0,2 0,6 1,8 0,8 3,2 –0,6 –0,8 2,4
3
0,4 2 5 3 0,8 1,6 2,0 10,0 1,2 3,6 4,0 2,4 6,0
4
0,1 5 7 2 0,5 2,5 0,7 4,9 0,2 0,4 3,5 1,0 1,4
5
0,2 0 9 1 0 0 1,8 16,2 0,2 0,2 0 0 1,8
5
1 – – – 1,4 5,2 5,2 33,0 2,9 9,9 7,2 4,1 12,1
Решение
В табл. 1.9 приведены результаты расчета. Для наглядности в за-
головках столбцов записаны формулы для слагаемых, вычисляемых
в этих столбцах, без индексов суммирования. Так, в столбцах Xp,
2
p , XYp стоят соответственно слагаемые
ii i i iii
2
,,
pXpXYp.
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]