Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей. Практикум
.pdf
3. а) Вероятность того, что нормально распределенная случайная
величина Х примет значение, принадлежащее заданному интервалу,
находим по формуле (1.57):
14 8 4 8
(4 14) (3) ( 2) (3) (2)
PX
22
0,4986 + 0,4772 = 0,9758,
где Ф(х) – интеграл вероятностей (см. приложение).
б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения меньше
положительного числа , находим по формуле (1.58):
5
(85)2 2(2,5)PX
Ответ: а) 0,9758; б) 0,9876.
4. В данной задаче случайная величина Х – число стандартных из-
2 0,4938 = 0,9876.
делий – подчиняется биномиальному закону распределения. Здесь
n = 600; p = 0,85; q = 1 – p = 0,15. Так как n велико, а p и q не очень
малы, npq = 76,5 > 20, то искомые вероятности можно вычислить по
теореме Лапласа.
а) Вероятность того, что число стандартных изделий Х принадле-
жит заданному
интервалу, вычисляется по формуле (1.66):
525 500
np np
(500 525)
Px
= Ф(1,71) – Ф(–1,14) = Ф(1,71) +Ф(1,14) 0,4564 + 0,3729 = 0,8293.
б) Вероятность отклонения числа стандартных изделий Х от ма-
тематического ожидания np = 510 не более чем на = 12 находим по
формуле (1.67):
PX
Ответ: а) 0,8293; б) 0,8294.
525 510 500 510
76,5 76,5
510 2 2
2 (1,37) 2 0,4147 0,8294.
npq npq
npq
12
76,5
111
5. Рассмотрим случайную величину Х – число бракованных дета-
лей среди прибывших. В задаче требуется найти вероятность события X 3, т.е. Х примет значение 0, 1, 2 или 3. Х имеет биномиальное
распределение при n = 1000 и p = 0,002. Так как n велико и p мало,
удобно воспользоваться формулой Пуассона (1.25). Здесь = np =
= 1000 0,002 = 2.
Тогда
Р(Х = 0) =
Р(Х = 1) =
Р(Х = 2) =
Р(Х = 3) =
02
21
e
0!
12
22
e
1!
22
22
e
2!
32
24
3!
e
e
e
3ee
2
2
2
2
0,1354;
0,2707;
0,2707;
0,1804.
Р(X 3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) + Р(Х = 3) 0,8571.
Ответ: 0,8571.
2.5. Варианты контрольных работ
для самостоятельной работы
Контрольная работа 1
Вариант 1
Оптовая база обслуживает шесть магазинов. Вероятность по-
1.
ступления заявки на данный день от каждого из магазинов равна 0,6.
Найти вероятность того, что на данный день на базу поступит:
1) четыре заявки; 2) не менее пяти; 3) хотя бы одна заявка.
2. На полигоне расставлены 4 мишени первого типа, 1 второго,
5 третьего и 10 четвертого. Вероятности поражения мишени различных типов равны соответственно 0,4; 0,2; 0,08 и 0,03. Найти вероятность поражения мишени, если сделан один выстрел, а мишень выбирается наудачу. Какова вероятность, что стреляли во вторую мишень, если попадания не было?
3. В коробке находятся семена циннии, астры и бархатцы в соот-
ношении 1:2:5. Вероятности всхожести этих семян равны соответст-
112
венно 0,65; 0,75 и 0,8. Найти вероятность того, что наугад взятое се-
мечко не взойдет.
4. Контролер берет из партии изделие и проверяет его качество.
Если изделие нестандартно, то испытания прекращаются и партия
задерживается. Если изделие стандартно, контролер берет следующее изделие. Вероятность того, что изделие нестандартно, равно 0,1.
Контролер проверяет не более четырех изделий. Найти распределение вероятностей случайной величины Х – числа проверенных изделий, M(
X), D(X). Построить график функции распределения.
5. Случайная точка (X, Y, Z) характеризуется центром рассеивания
0,2 0,1 0
(3,2; 4; 1,5) и ковариационной матрицей
величины X и Z независимы.
0,1 0,3 0
000,5
453VXY
.
. Случайные
34WXZXZ .
22
Найти M(V), D(V), M(W).
6. В отделе работают 7 мужчин и 5 женщин. Наудачу отобраны
7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 или 4 женщины.
7. Найти вероятность безотказной работы прибора, схема которо-
го изображена на рисунке, если надежности узлов прибора равны
= 0,7, р2 = 0,8, р3 = 0,85. Ответ представить с точностью 10–4.
р
1
p
1
p
3
p
1
p
3
p
2
p
2
8. Автобусы маршрутов № 1 и № 2 следуют строго с интервалами
6 мин и 8 мин соответственно. Найти вероятность того, что пассажир, не знающий расписания, будет ожидать на остановке автобус
менее двух минут (его устраивает любой из этих маршрутов).
Вариант 2
В цель стреляют четыре человека, независимо друг от друга,
1.
вероятности попадания каждого из них равны соответственно 0,7;
0,8; 0,6; 0,5. Какова вероятность того, что при одном выстреле в цель
попадут: а) два стрелка; б) хотя бы один стрелок?
113
2. Из урны, в которой 3 белых и 5 черных шаров, вынули одно-
временно 3 шара. Пусть дискретная случайная величина Х – число
вынутых белых шаров. Найти распределение случайной величины Х,
М(Х), D(X), P(X < M(X)).
3. Вероятность изготовления детали отличного качества равна 0,9.
Найти вероятность того, что среди десяти случайно отобранных изделий не менее девяти отличного качества.
4. Вероятность того, что клиент банка не вернет кредит в период
экономического роста, равна 0,05, а в период экономического кризиса – 0,15. По мнению экспертов, вероятность того, что предстоящий
год будет годом экономического роста, равна 0,8. 1) Какова вероятность, что случайно выбранный клиент банка, получивший кредит в
этом году, не вернет его в предстоящем году
. 2) Клиент не вернул
кредит. Найти вероятность того, что это произошло в период экономического кризиса.
5. Задан закон распределения вероятностей случайной величины Х:
Х
Р
–4 –1 0 1 2
0,15 0,2 0,3 0,2 ?
Восстановить пропущенное в таблице значение вероятности. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое
отклонение случайной величины Х. Построить график функции распределения для этой величины.
6. Найти вероятность безотказной работы прибора, схема которо-
го изображена на рисунке, если надежности узлов прибора равны
р
= 0,7, р2 = 0,8, р3 = 0,9, р4 = 0,6. Ответ представить с точностью 10–4.
1
p
1
p
p
1
p
1
2
p
3
p
2
p
4
7. В автобусе находятся 5 пассажиров, причем каждый из них с
одинаковой вероятностью выходит на любой из оставшихся 7 остановок автобуса. Найти вероятности того, что: а) все пассажиры выйдут на одной остановке; б) все пассажиры выйдут на конечной остановке; в) все выйдут на разных остановках; г) на одной остановке
выйдут три, а на другой два пассажира.
114
8. Найти вероятность того, что наудачу поставленная в данном
равностороннем треугольнике точка окажется внутри вписанного в
треугольник круга. Найти вероятность того, что из 7 наудачу поставленных таким образом точек внутри круга окажется 5 точек.
Вариант 3
1
. В среднем 20 % открывающихся малых предприятий становятся банкротами в течение первого года своей деятельности. Найти вероятность того, что из 7 малых предприятий, открывшихся в начале
года, к концу года обанкротятся: 1) три предприятия; 2) менее трех.
2. По оценке кредитной компании 20 % ее потенциальных клиен-
тов относится к группе лиц с повышенным риском невозврата кредита. Лицам, входящим в эту группу, удается получить кредит в 25 %
случаев; остальные клиенты кредитной компании получают кредит в
70 % случаев. Найти: а) вероятность того, что клиент, обратившийся
в компанию, получит кредит; б) вероятность того
, что клиент, не получивший кредит, относится к группе лиц с повышенным риском
невозврата кредита.
3. В трех урнах имеются белые и черные шары. В первой урне
2 белых и 3 черных шара, во второй – 3 белых и 1 черный шар, в
третьей – 4 белых и 2 черных шара. Из первой урны один шар перекладывается во вторую, из второй после этого в третью, затем из
третьей в первую. Найти вероятность того,
урнах не изменится.
Торговый агент обращается к пяти потенциальным покупате-
4.
что состав шаров во всех
лям по списку с предложением купить товар фирмы. Вероятность
согласия потенциальных покупателей оценивается соответственно
как 0,5; 0,4; 0,4; 0,3; 0,2. Покупатели принимают решение о покупке
независимо друг от друга. Агент обращается к ним в указанном порядке пока кто-нибудь из них не согласится приобрести товар. Найти
распределение вероятностей
случайной величины Х – числа покупа-
телей, к которым обратится агент. Найти М(Х). Построить график
функции распределения.
5. Случайные величины X и Y имеют математические ожидания
() 1MX и () 2MY
математическое ожидание величины
. Ковариация этих величин равна 4. Найти
5342ZXYXY
.
6. Достаточным условием сдачи зачета является ответ хотя бы на
один из двух вопросов, предлагаемых студенту преподавателем. Студент не знает ответов на восемь вопросов из тех сорока, которые могут
быть предложены. Какова вероятность, что студент сдаст зачет?
115
7. Найти надежность системы приборов, если р
= 0,9; р4 = 0,7.
р
3
= 0,6; р2 = 0,8;
1
p
1
p
3
p
1
p
4
p
2
p
2
8. Двое договорились о встрече между 9
00
и 940 часами. Время
прихода каждого заранее неизвестно и является равномерно распределенной случайной величиной. Какова вероятность того, что встреча состоится, если пришедший первым ждет второго 15 мин, после
чего уходит?
Контрольная работа 2
Вариант 1
Функция плотности непрерывной случайной величины задана
1.
sin , [0, / 3]
cxx
формулой
()
px
0, [0, / 3]
функцию распределения. Вычислить М(Х), D(X),
x
. Найти коэффициент с, записать
(/4,/4)PX
.
2. Случайная величина Х – время безотказной работы компьюте-
ра – задана функцией распределения вероятностей:
0, 0
x
()
Fx
abe x
/
xT
,0,
при T > 0. Найти параметры а и b, функ-
цию плотности распределения f(x). Вычислить вероятность P безотказной работы компьютера за время
XT
.
3. Длина втулки, изготовленной некоторым автоматом, являет-
ся случайной величиной, распределенной по нормальному закону
с М(Х) = 20 см и D(X) = 0,04 см
2
. Какую длину втулки, наудачу
выбранной из большой паpтии, можно гарантировать с вероятностью, равной 0,95?
4. При введении вакцины против некоторого заболевания иммуни-
тет создается в 99,99 % случаев. Какова вероятность того, что из
1000 вакцинированных детей заболеет: а) 2 ребенка; б) более 2 детей?
5. Вероятность того, что кредит, выданный банком N, оказывается
возвращенным клиентом вовремя, равна 0,9. Какова вероятность, что
число возвращенных с нарушением срока договора кредитов в случайной выборке из 1200 кредитных обязательств будет:
а) не более ста; б) от 110 до 115?
116
Вариант 2
f
f
F
Функция плотности непрерывной случайной величины задана в
1.
виде ()
xc при 0 ≤ х ≤ 1; ( ) 2
xc при 1 < х ≤ 3; ( ) 0fx вне от-
резка [0; 3]. Найти значение параметра с, записать уравнения функции плотности и функции распределения. Найти М(Х), D(X),
P(X > M(X)), медиану.
2. Функция распределения непрерывной случайной величины за-
,1
ax
2
cx
,1
. Найти параметры а, b и c,
дана в виде
xbx x
() 1 , 1 1
функцию плотности распределения f(x). Вычислить М(Х), D(X), ме-
диану распределения.
3. Случайная величина X задана плотностью распределения вероят-
2
(3)
x
ностей
fx e
() .
1
22
8
Найти интервал, симметричный относи-
тельно математического ожидания, в который попадут значения случайной величины с вероятностью р = 0,9973.
4. Случайная величина Х распределена равномерно на промежут-
ке (–3; 9). Найти М(Х
3
), Р(Х 2 ≤ 4). Построить график функции рас-
пределения этой случайной величины.
5. Фирма рассылает рекламные проспекты тремстам потенциаль-
ным клиентам. В результате такой рассылки в среднем у каждого
шестого клиента возникает интерес к фирме. Найти вероятность того, что в фирму обратится не менее 40 клиентов.
Вариант 3
Задана функция плотности непрерывной случайной величины.
1.
Записать уравнения функции плотности и функции распределения.
Найти значение параметра с, М(Х), P(X < M(X)).
1/2
1
с x
117
2. Случайная величина Х распределена равномерно на отрезке [–1; 9].
P
() ()
Найти
ления.
3. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в 1 мин, равно
двум. Найти вероятности того, что за 4 мин поступит: а) 3 вызова;
б) менее 3 вызовов; в) не менее 3 вызовов. (Воспользоваться формулой Пуассона.)
4. На конвейер за смену поступает 400 изделий. Вероятность
того, что поступившая на конвейер деталь стандартна, равна 0,8.
Найти вероятность того, что стандартных деталей за смену поступило ровно 330.
5. Номинальный вес плитки шоколада равен 100 г. Вследствие не-
точности изготовления, фактический вес – случайная величина, распределенная по нормальному закону со средним значением 100 г и средним квадратическим отклонением σ = 4 г. Магазин не принимает плитки, вес которых меньше 95 г. Какой процент плиток будет отбракован?
XMX X
. Построить график функции распреде-
118
ОТВЕТЫ
Задачи для самостоятельного решения
3.1.
0,0306. 3.2.
1
0,1667
. 3.3. 0,72. 3.4. 0,064. 3.5.
6
4.1. 0,9025. 4.2. 0,09 ln9 – 0,4 0,202. 4.3. 0,125.
5.1. 0,93952. 5.2. а)
232
323
5.4. а)
17
24
0,708
; б)
21
40
5.7. 0,7873. 5.8. 0,0061. 5.9.
0,7183
. 5.5. 0,5716. 5.6.
0,525
5
0,02315
; б)
363
0,3756
969
. 5.10. 4.
216
6.1. 0,995. 6.2. а)
18
г)
0,3673
. 6.3. 0,773. 6.4. 0,594. 6.5. 0,789. 6.6. 0,9176.
30
49
0,6122
; б)
1
49
0,0204
49
6.7. 0,9314. 6.8. 0,7709.
7.1. 0,64; 0,375. 7.2. 0,0985. 7.3. 0,08. 7.4. 0,72. 7.5. 0,362;
0,406; 0,232.
7.6. 0,429. 7.7. 0,325; 0,385. 7.8. 0,5696.
7.9. 1) 0,93; 2) 0,3429. 7.10. а) 0,097; б) 0,4639.
9.1. 0,114. 9.2. P(A) = 0,763; P(B) = 0,264. 9.3. 0,9185.
9.4. 0,1697. 9.5. а) 0,3263; б) 0,5735. 9.6. 0,902. 9.7. 0,4562.
8
15
. 5.3. 0,9976.
1
720
1
; в)
343
0,5333
0,00139
0,0029
.
.
;
9.8. 0,174. 9.9. 0,6457. 9.10. 0,1429. 9.11.
66 3
291 1
(1 ) 0,1952.pCp p 9.12. а)
6
0,5236;
б) 0,8843.
10.1. Р(Х 1) = 7/8.
Х 0 1 2 3
Р
10.2. М(Х) = 1,8; D(X) = 0,36;
Х 1 2 3
Р 0,3 0,6 0,1
1
8
3
8
= 0,6.
x
3
8
1
8
10.3. М(Х) = 7,2; D(X) = 1,44; (Х) = 1,2.
p
1
4
0,7854
119
;
10.4. М(Х) = 1,8; D(X) = 0,72; (Х) = 0,8485.
X
Х 0 1 2 3
Р 0,064 0,288 0,432 0,216
10.5. М(Х) = 1,4; D(X) = 0,4; (Х) = 0,632.
Х 0 1 2
Р 0,08 0,44 0,48
10.6. М(Х) = 0,85; Р(Х =2) = 0,169. 10.7. М(Х) = 1,3; D(X) = 0,45.
Х 0 1 2
Р 0,12 0,46 0,42
10.8. М(Х) = –1,2; D(X) = 2,76;
= 6,47.
z
= 1,66; М(Z) = –4,2; D(Z) = 41,84;
x
10.9. М(Х) = 1,8; D(X) = 5,16; М(Z) = –28,4; D(Z) = 144.
10.10. М(Х) = 3,719; D(X) = 1,746; (Х) = 1,32.
Х 2 3 4 5
Р 0,310 0,123 0,105 0,462
10.11. а) 0,1954; б) 0,5665. 10.12. 0,7350.
11.1. М = 2; cov( , )
D(Z) = 24,2; М(W) = 78,64.
Y = 1; ( , )rXY = 0,5. 11.2. М(Z) = 9;
11.3. М(Y) = 11; D(Y) = 76.
11.4. М(V) = –0,4; D(V) = 2,5; М(W) = 47,2.
11
12.1. а = 1/6;
12.2. а = 0,2;
()4 4 0,462
MX PX
= 1,70; Р(Х > x) = 0,176.
x
12.3. С = 25; М(Х) = 0,4;
12.4. М(Х) = 5/3; D(X) = 0,722; Р(Х < М(Х)) = 0,546; m
0; [0; 4]
x
() /2; [0;1]
xxx
(4 ) / 6; (1; 4]
xx
;.
44
= 0,283; Р(Х > 2x) = 0,226.
x
Fx
()
2
(84)/12;[1;4]
xx x
=
46
x
0; ( ; 0)
x
2
/4; [0;1)
xx
1; ( 4; )
x
12.5. М(Х) = 1/30; D(X) = 0,799; Р(Х < М(Х)) = 0,607;
0,25(1 5) 0,309
=
m
x
.
1,55.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]