Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей. Практикум
.pdf
Применяя правило сложения вероятностей, имеем
j
P(А) = P(Н
Но P(Н
А + Н2А + ... + HNА) = P(Н1А) + P(Н2А) + ... + P(HNА).
1
А) = P(Нi) P(A/Нi) (i = 1, 2, …, N), поэтому
i
N
() ( ) (/ )
PA PH PAH
i
ii
1
. (1.15)
Формула (1.15) называется формулой полной вероятности.
Предположим, что производится некоторый опыт, причем об ус-
ловиях его проведения можно высказать N гипотез H
торые образуют полную группу, имеющих вероятности Р(Н
, H2, ..., HN, ко-
1
). Пусть в
j
результате опыта может произойти или не произойти событие А.
Причем, если опыт происходит при выполнении гипотезы Н
роятности Р(А/Н
) известны (j = 1, 2,..., N).
j
, то ве-
j
Спрашивается, как изменятся вероятности гипотез, если стало из-
вестным, что событие А произошло? Иными словами, нас интересуют значения вероятностей P(Hj/A).
На основании соотношений (1.7) и (1.8) имеем
Р(HjA) = Р(Hj) Р(А/Н
) = Р(А) Р (Hj/A) (j = 1, 2, ..., N),
j
откуда
()(/)
PH PAH
PH A
. (1.16)
j
()
PA
(/)
j
Формула (1.16) называется формулой Байеса.
Задача 1.21. Случайно оказались смешанными две партии изде-
лий, причем известно, что число изделий в первой партии втрое
больше, чем во второй, а дефектные изделия составляют 3 % в первой партии и 2 % – во второй партии. Какова вероятность того, что
взятое наудачу из смеси изделие будет дефектным (событие А)?
Решение
Выдвинем гипотезу Н: Н ={изделие относится к первой партии}, то-
гда
H = {изделие относится ко второй партии}, Р(Н) = 3/4,
условные вероятности события А равны Р(А/Н) = 0,03;
()PH
(/ )PA H
= 1/4;
= 0,02;
это следует из условия задачи. Тогда по формуле (1.15) получаем
Р(А) = (3/4) (3/100) + (1/4) (2/100) = 0,0275.
31
Задача 1.22. В условиях предыдущей задачи взятое изделие под-
вергли проверке, и оно оказалось дефектным. Какова вероятность
того, что изделие было взято из первой партии.
Решение
Воспользуемся результатом предыдущей задачи, где найдена
Р(А) = 0,0275 и формулой Байеса (1.16):
() (/ ) 0,750,03
(/) 0,82
PH A
PH PA H
( ) 0,0275
PA
.
Задача 1.23. При переливании крови необходимо учитывать
группу крови больного и донора. Среди населения 32,7 % людей
имеет I группу крови; 35,5 % – II группу крови; 23,9 % – III группу
крови; 7,9 % – IV группу крови. Известно, что больному с I группой
крови можно переливать только кровь I группы; больному со
II группой крови – кровь I и II группы; больному с III группой крови – кровь I и III группы, больному с
IV группой крови – кровь любой группы. Найти вероятность того, что случайному больному
можно перелить кровь случайно взятого донора.
Решение
Сформулируем гипотезы Hi, i = 1, 2, 3, 4. Hi = {больной имеет i-ю
группу крови}, тогда Р(Н
Р(Н
) = 0,079; Р(А/Н1) = 0,327; Р(А/Н2) = 0,327 + 0,355 = 0,682;
4
Р(А/Н
) = 0,327 + 0,239 = 0,566; Р(А/Н4) = 1.
3
) = 0,327; Р(Н2) = 0,355; Р(Н3) = 0,239;
1
По формуле полной вероятности (1.15):
Р(А) = (0,327)
2
+ 0,682 0,355 + 0,566 0,239 + 0,079 1 = 0,56.
Задача 1.24. 13 человек рассаживаются за прямым столом слу-
чайным образом. Найти вероятность того, что Иванов и Петров окажутся рядом (сравните эту задачу с задачей
1.1, где стол круглый).
Решение
Выдвинем гипотезу Н = {Иванов садится на одно из крайних
мест}, Р(Н) = 2/13, тогда
мест},
()PH
= 11/13. При выполнении гипотезы Н для Петрова име-
H = {Иванов садится на одно из средних
ется только одно соседнее место рядом из 12 возможных, поэтому
Р(А/Н) = 1/12, при выполнении гипотезы
места рядом с Ивановым (слева и справа), поэтому
H для Петрова имеется два
(/ )PA H
= 2/12, и
по формуле (1.15) искомая вероятность равна
32
()
PA
21 211 2
.
13 12 12 13 13
Задача 1.25. Из урны, содержащей 10 белых и 5 черных шаров,
утеряны два шара неизвестного цвета. После этого случайным образом из урны вынимают один шар. Найти вероятность того, что он
белый.
Решение
Сформулируем гипотезы: Н1 = {утеряны 2 белых шара}, H2 = {утеряны
2 черных шара}, H
= {утеряны 1 белый и 1 черный шар}, тогда
3
10 9 9 5 4 2
() ;()
PH PH
12
15 14 21 15 14 21
Контроль правильности расчетов:
9210
1
21 21 21
них 8 белых),
лых),
(/ )
PA H
, тогда
(/ )
PA H
9
3
13
(/ )
PA H
2
1
10
(в урне среди оставшихся шаров 10 бе-
13
(среди оставшихся шаров 9 белых) и по форму-
;
()2
PH
3
() () ()PH PH PH
123
8
(в урне осталось 13 шаров, из
13
10 5 10
15 14 21
.
ле (1.15):
()
PA
8 9 10 2 10 9 182 2
.
13 21 13 21 21 13 273 3
Задача 1.26. В группе 25 студентов, из них 5 «отличников» (отве-
чают на «5»), 10 «хорошистов» (отвечают на «4» или «5» с равной
вероятностью) и 10 «троечников» (отвечают на «3», «4» или «2» с
равной вероятностью). Найти вероятность того, что в результате опроса два случайным образом выбранных студента получат в сумме
ровно 8 баллов.
Решение
Сформулируем гипотезы относительно вызванных студентов:
= {два «отличника»}, H2 = {два «хорошиста»}, H3 = {два «троеч-
Н
1
ника»}, H
личник», один «троечник»}, H
= {один «отличник», один «хорошист»}, H5 = {один «от-
4
= {один «хорошист», один «троеч-
6
ник»}. Вероятности этих гипотез равны
33
() ; () () ;
PH PH PH
54 1 109 3
123
25 24 30 25 24 20
() ()2 ; ()2
PH PH PH
Контроль:
45 6
() () () () () ()PH PH PH PH PH PH
123456
25 24 6 25 24 3
510 1 1010 1
.
= 1.
Условные вероятности события А при этих гипотезах равны соответственно:
(/ )0;PA H
(/ ) 0; (/ ) 1 ; (/ ) 2
PAH PAH PAH
45 6
(/ ) ; (/ )
1
PAH PAH
11 1 11 1
23
22 4 33 9
11 111
;
.
33 233
По формуле (1.15) находим искомую вероятность:
31 31 1111
() 0,221
PA
.
204 209 63 33
Задачи для самостоятельного решения
7.1. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из
трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу равны соответственно 0,3; 0,5 и 0,2. Вероятность того, что к моменту прихода пассажира в кассе имеется необходимый ему билет, равна для первой кассы 0,8, для второй – 0,6, для третьей – 0,5. Найти вероятность, что
пассажир приобретет билет. Пассажир
направился в одну из касс и
приобрел билет. Найти вероятность того, что это была первая касса.
7.2. Имеются две партии одинаковых изделий по 12 и 10 штук,
причем в каждой партии одно изделие бракованное. Изделие, взятое
наудачу из первой партии, переложено во вторую, после чего выбирается наудачу изделие из второй партии. Найти вероятность извлечения бракованного изделия из второй партии.
7.3. В тире пять ружей. Вероятности попадания из них в цель рав-
ны соответственно 0,6; 0,65; 0,8; 0,8 и 0,9. Найти вероятность попадания в цель из взятого наудачу ружья. Какова вероятность, что
стреляли из пятого ружья, если попадания не было?
7.4. Среди 6 одинаковых приборов 4 были уже в употреблении.
Для эксперимента случайно выбирают один прибор, затем возвращают. Новый прибор перед работой требует наладки. Какова вероят-
34
ность того, что для второго эксперимента взят прибор, бывший уже
ранее в употреблении?
7.5. На фабрике, изготовляющей болты, машины А, В и С произ-
водят соответственно 25, 35 и 40 % всех изделий. Брак составляет
соответственно 5, 4 и 2 %. Случайно выбранный из продукции болт
оказался бракованным. Какова вероятность того, что он был произведен машиной А, машиной В, машиной С?
7.6. В урне 8 шаров белого цвета и 6 шаров черного цвета. Из нее
наугад вынимается шар неизвестного цвета и затем в урну добавляется 4 шара того же цвета, что и вынутый шар. После этого из урны
вынимают один шар. Найти вероятность того, что он черный.
7.7. Группа студентов состоит из трех отличников, пяти хорошо
успевающих и двенадцати занимающихся слабо. Отличники на предстоящем экзамене могут получить только «отлично». Хорошо успевающие студенты могут получить с равной вероятностью «хорошо»
и «отлично». Слабо занимающиеся студенты могут получить с равной вероятностью «хорошо», «удовлетворительно» и «неудовлетворительно». Найти вероятность
того, что вызванный наугад студент
получит «хорошо». Какова вероятность, что отвечал хорошо успевающий студент, если он получил «хорошо» ?
7.8. Счетчик Гейгера регистрирует частицы трех видов: А, В и С.
Вероятности появления этих частиц равны соответственно 0,2; 0,5 и
0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями 0,8; 0,9 и 0,6. Счетчик зарегистрировал частицу. Какова вероятность, что это была частица В?
7.9. Из телевизоров, продающихся в магазине, 45 % изготовлено в
России, 15 % – в Китае, остальные – в Корее. Вероятность того, что
эти телевизоры не потребуют ремонта в течение гарантийного срока,
соответственно равны 0,9; 0,86 и 0,99. 1) Найти вероятность того, что
купленный наудачу телевизор будет безотказно работать в течение
гарантийного срока. 2) Купленный телевизор в течение гарантийного
срока вышел из
строя. Найти вероятность того, что он изготовлен в
Китае.
7.10. Среди пациентов клиники 25 % детей, 45 % – взрослых
трудоспособного возраста, остальные – пенсионеры. Вероятность
возникновения заболевания у детей составляет 0,1, у взрослых –
0,06, у пенсионеров – 0,15. Найти: а) вероятность возникновения
заболевания у наугад выбранного пациента клиники; б) вероятность
принадлежности к пенсионерам пациента, у которого обнаружено
заболевание.
35
1.8. Дискретные случайные величины
x2x
x
x
x
p
x
x
x
Если результатом эксперимента является число, значение которо-
го нельзя предсказать точно до проведения самого эксперимента, то
это число называют случайной величиной. Случайную величину называют дискретной, если она принимает отдельные, изолированные
возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений дискретной случайной величины может быть конечным или счетным.
Закон распределения вероятностей случайной величины,
его свойства
Рассмотрим случайную величину Х, возможные значения которой
образуют конечную или бесконечную последовательность чисел
, ...,
дой точке
примет значение
, … . Пусть задана функция ()px , значение которой в каж-
N
x
(i = 1, 2, …) равно вероятности того, что величина Х
i
:
i
1
,
p(х
Функция ()
x называется законом распределения вероятностей
) = pi = P (X = xi).
i
случайной величины, или кратко, законом распределения. Эта функция определена в точках последовательности
,
, ...,
1
2
N
, …
и обычно задается таблицей вида
Х х1 х2 ... хN
P p1 p
... pN
2
где хi упорядочены по возрастанию х1 < х2 < x3 < ... < хN < … . Так как
события X = x
N
i
p
i
1
p
i
1
что часто служит контролем вычисления значений p
образуют полную группу, то
i
, в случае конечной последовательности чисел xi,
1
i
, в случае бесконечной последовательности чисел xi,
1
.
i
Задача 1.27. В урне 10 шаров, из них 3 белых. Вынимают наугад
3 шара. Найти распределения вероятностей случайной величины Х –
36
числа вынутых белых шаров при повторной и бесповторной выборках. При повторной выборке после каждого извлечения шара отмечают его цвет и возвращают шар в урну, снова перемешивая шары,
при бесповторной выборке вынутые шары в урну не возвращают.
Решение
Для повторной выборки:
P(X = 0) = Р (три раза вынимали черный шар) = 0,7 0,7 0,7, где
0,7 – вероятность вынуть черный шар из урны. Так как после каждого извлечения шар возвращают в урну и шары перемешивают, то
система шаров возвращается в исходное состояние и вероятность
вынуть черный шар одинакова при любом извлечении.
Р
(X = 1) = Р (вынимали один белый шар и два черных) = Р (выну-
ли белый шар первым или вынули белый шар вторым, или вынули
белый шар третьим) = 0,3 0,7 0,7 + 0,7 0,3 0,7 + 0,7 0,7 0,3 =
= 3 0,3 0,7
2
= 0,441.
P(X = 2) = Р (вынимали один черный шар и два белых) = Р (выну-
ли черный шар первым или вынули черный шар вторым, или вынули
черный шар третьим) = 0,7 0,3 0,3 + 0,3 0,7 0,3 + 0,3 0,3 0,7 =
2
= 3 0,3
0,7 = 0,189.
P(X = 3) = Р (три раза вынимали белый шар) = 0,3 0,3 0,3.
Для бесповторной выборки:
P(X = 0) = Р (три раза вынимали черный шар) = (7/10)(6/9)(5/8),
где 7/10 – вероятность, что первый вынутый шар черный; 6/9 – вероятность, что второй вынутый шар черный, если первый вынутый шар
был черный; 5/8 – вероятность, что третий вынутый шар черный, если первые два вынутых шара были черные.
P(X = 1) = Р (вынимали один белый шар и два черных) = Р (вынули
белый шар первым или вынули белый шар вторым, или вынули белый
шар третьим) = (3/10)(7/9)(6/8) + (7/10)(3/9)(6/8) + (7/10)(6/9)(3/8) =
= 3(3/10)(7/9)(6/8) = 0,5250.
P(X = 2) = Р (вынимали один черный шар и два белых) = Р (вынули
черный шар первым или
вынули черный шар вторым, или вынули чер-
ный шар третьим) = (7/10)(3/9)(2/8) + (3/10)(7/9)(2/8) + (7/10)(3/9)(2/8) =
= 3(3/10)(2/9)(7/8) = 0,1750.
P(X = 3) = Р (три раза вынимали белый шар) = (3/10)(2/9)(1/8) = 0,0083.
Распределение вероятностей числа вынутых белых шаров при по-
вторной и бесповторной выборках приведено в табл. 1.1.
37
Таблица 1.1
Распределение вероятностей числа вынутых белых шаров
Х P (повторная выборка) P (бесповторная выборка)
0 0,73 = 0,343 (7/10)(6/9)(5/8) = 0,2917
1
2
3 0,33 = 0,027 (3/10)(2/9)(1/8) = 0,0083
3 0,3 0,7
3 0,3
2
= 0,441
2
0,7 = 0,189
1,000 1,000
3(3/10)(7/9)(6/8) = 0,5250
3(3/10)(2/9)(7/8) = 0,1750
Задача 1.28. Три стрелка стреляют по мишени независимо друг от
друга по одному разу. Вероятности попадания равны: для первого
стрелка Р(А
стрелка Р(А
) = 0,7, для второго стрелка Р(А2) = 0,8, для третьего
1
) = 0,9. Найти распределения вероятностей случайной
3
величины Х – числа попаданий в мишень.
Решение
P(X = 0) = Р (не попали все три стрелка) = 0,3 0,2 0,1 = 0,006.
P(X = 1) = Р (попал только один стрелок) = Р (попал только пер-
вый стрелок или попал только второй стрелок, или попал только третий стрелок) = 0,7 0,2 0,1 + 0,3 0,8 0,1 + 0,3 0,2 0,9 = 0,092.
P(X = 2) = Р (не попал только один стрелок) = Р
(не попал только
первый стрелок или не попал только второй стрелок, или не попал
только третий стрелок) = 0,3 0,8 0,9 + 0,7 0,2 0,9 + 0,7 0,8 0,1 =
= 0,398.
P(X = 3) = Р (попали все три стрелка) = 0,7 0,8 0,9 = 0,504.
Распределение вероятностей случайной величины Х приведено в
табл. 1.2.
Таблица 1.2
Распределение вероятностей случайной величины Х –
числа попаданий в мишень
38
Х P
0
1
0,7 0,2 0,1 + 0,3 0,8 0,1 + 0,3 0,2 0,9 = 0,092
2
0,3 0,8 0,9 + 0,7 0,2 0,9 + 0,7 0,8 0,1 = 0,398
3
0,3 0,2 0,1 = 0,006
0,7 0,8 0,9 = 0,504
1,000
Задача 1.29. При условии задачи 1.28 найти вероятность того, что
в мишень попали хотя бы два стрелка.
Решение
Требуется найти вероятность события X 2.
P(X 2) = P(X = 2) + P(X = 3) = 0,398 + 0,504 = 0,902.
Функция распределения вероятностей случайной величины
и ее свойства
Рассмотрим функцию F(x), определенную на всей числовой оси
следующим образом: для каждого х значение F(x) равно вероятности того, что дискретная случайная величина примет значение,
меньшее х, т.е.
F(x) = P(X < x). (1.17)
Эта функция называется функцией распределения вероятностей,
или кратко, функцией распределения.
Зная функцию распределения F(х
что случайная величина Х удовлетворяет неравенствам х
), легко найти вероятность того,
Х < х2.
1
Рассмотрим событие, заключающееся в том, что случайная вели-
чина примет значение, меньшее х
. Это событие распадается на сум-
2
му двух несовместных событий: 1) случайная величина Х принимает
значения, меньшие х
значения, удовлетворяющие неравенствам х
, т.е. Х < х1; 2) случайная величина Х принимает
1
Х < х2. Используя
1
правило сложения вероятностей, получаем
Р(Х < х
) = Р(Х < х1) + Р(х1 Х < х2).
2
Отсюда
Р(х
Х < х2) = Р(Х < х2) – Р(Х < х1).
1
Но по определению функции распределения F(x) [см. формулу
(1.17)], имеем
Р(Х < х
) = F(x2), Р(Х < х1) = F(x1);
2
следовательно,
Р(х
Х < х2) = F(x2) – F(x1). (1.18)
1
Таким образом, вероятность попадания дискретной случайной
величины в промежуток х
Х < х2 равна приращению функции рас-
1
пределения на этом интервале.
39
Рассмотрим основные свойства функции распределения.
F
x
1°. Функция распределения является неубывающей.
В самом деле, пусть х
неотрицательна, то Р(х
следует, что F(x
) – F(x1) 0, т.е. F(x2) F(x1).
2
< х2. Так как вероятность любого события
1
Х < х2) 0. Поэтому из формулы (1.18)
1
2°. Значения функции распределения удовлетворяют неравенст-
вам 0 F(x) 1.
Это свойство вытекает из того, что F(x) определяется как вероят-
ность [см. формулу (1.17)]. Ясно, что F(–) = 0 и F(+) = l.
3°. Вероятность того, что дискретная случайная величина примет
одно из возможных значений х
ния в точке х
.
i
Действительно, пусть х
, равна скачку функции распределе-
i
– значение, принимаемое дискретной
i
случайной величиной, и х > 0. Полагая в формуле (1.18) х
х
= хi + х, получаем
2
= хi,
1
Р(х
Х < хi + х) = F(хi + х) – F(xi). (1.19)
i
В пределе при х 0 вместо вероятности попадания случайной
величины на интервал х
величина X примет данное значение х
lim
0
x
С другой стороны, получаем
Х < хi + х получим вероятность того, что
i
:
i
Р(хi Х < хi + х) = Р(Х = хi) = p(хi).
F(хi + х) = F(хi + 0), т.е. предел
lim
0
x
функции F(х) справа, так как х > 0. Следовательно, в пределе формула (1.19) примет вид
) = F(хi + 0) – F(хi) = F(хi + 0) – F(хi – 0),
p(х
i
т.е. значение p(х
) равно скачку функции в точке хi.
i
Зная закон распределения дискретной случайной величины Х,
можно вычислить функцию распределения, представляющую собой
в силу определения (1.13) функцию накопленных вероятностей:
() ( )
xPXx
xx
i
, (1.20)
i
где суммирование распространяется на все значения индекса i, для
которых
x
.
i
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]