Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей. Практикум
.pdf
F(x)
1
0,936
0,84
0,6
1 0 3 4
2
x
Рис. 2.1. Функция распределения случайной величины X
Ответ: M(X) = 1,624; D(X) 0,81; 0,9; Р = 0,16.
Задача 2. Стрелок делает пять независимых выстрелов в мишень.
вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Случайная величина Х – число попаданий в цель. Найти распределение вероятностей величины Х, вычислить М(Х), D(X), (Х). Определить вероятность Р того, что цель будет поражена, т.е. будет хотя бы
одно попа-
дание. Найти функцию распределения F(x) и построить ее график.
Решение. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальное
распределение, где n = 5, р = 0,6, q = 0, 4, тогда вероятности P(X = m)
можно вычислить по формуле (1.21):
005 5
114 4
223 2 3
332 3 2
441 4
550 5
( 2) (2) 10 0,6 (0,4) 0,2304PX P Cpq .
( 3) (3) 10 0,6 (0,4) 0,3456PX P Cpq .
Проверка:
( 0) (0) (0,4) 0,0102PX P C pq .
(1)(1) 50,6(0,4)0,0768PX P Cpq .
( 4) (4) 5 0,6 (0,4) 0,2592PX P C pq .
( 5) (5) 0,6 0,0778PX P Cpq .
6
p
i
1
i
55
55
55
55
55
55
0,0102 0,0768 0,2304 0,3456 0, 2592 0,0778 1
.
91
Распределение вероятностей случайной величины Х приведено в
F
x
x
табл. 2.2.
Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной ве-
личины Х, имеющей биномиальное распределение, могут быть найдены по формулам (1.33):
() 50,63; () ( ) 30,41,2MX np DX npq npq .
() 1,2X1,095.
Таблица 2.2
Распределение вероятностей и функция распределения случайной величины X
Х Р F(x)
0 (0,4)5 = 0,0102 0
1
2
3
4
5 (0,6)5 = 0,0778 0,9222
5 0,6 (0,4)4 = 0,0768
5
2
(0,6)
(0,4)3 = 0,2304
3
(0,4)2 = 0,3456
4
(0,6)
0,4 = 0,2592
1,000
10
10 (0,6)
0,0102
0,087
0,3174
0,663
Вероятность того, что цель будет поражена, т.е. будет хотя бы од-
но попадание, соответствует вероятности события X 1:
P(X 1) = 1 – P (X = 0) = 1 – 0,0102 = 0,9898.
Функцию распределения F(х) находим по формуле (1.20) как
функцию накопленных вероятностей
() ( )
xPXx
xx
i
i
, где сум-
мирование распространяется на все значения индекса i, для которых
x
. Полученные значения функции распределения записаны в
i
последнем столбце табл. 2.2.
Искомая функция распределения имеет вид
92
()
Fx
0, 0
0,0102, 0 1
0,087, 1 2
0,3174, 2 3
0,663, 3 4
0,9222, 4 5
1, 5
x
x
x
x
x
x
.
График функции распределения представлен на рис. 2.2.
F(x)
1
0,9222
0,663
0,3174
0,087
0,0102
0
1
2
3 4
5
x
Рис. 2.2. Функция распределения случайной величины X
Ответ: M(X) = 3; D(X) = 1,2; 1,095; Р = 0,9898.
Задача 3. В партии из 30 деталей имеется 8 нестандартных, остальные
стандартные. Наудачу отобраны 6 деталей. Х – число стандартных деталей среди отобранных. Найти распределение вероятностей дискретной
случайной величины Х, вычислить М(Х), D(X), (Х). Определить вероят-
ность Р того, что среди отобранных деталей не более двух нестандартных. Найти функцию распределения F(
x) и построить ее график.
Решение. Распределение вероятностей дискретной случайной ве-
личины Х получено в задаче 1.39 (п. 1.9) и приведено табл. 2.3. Вероятность события X = 0 получилась равной нулю, так как расчет вероятностей проводился с точностью четырех знаков после запятой. При
более точном расчете P(X = 0) = 0,000047.
Таблица 2.3
Распределение вероятностей и функция распределения случайной величины X
Х Р ХР Х
0 0,0000 0,0000 0,0000 0
1 0,0021 0,0021 0,0021 0
2 0,0272 0,0544 0,1088 0,0021
3 0,1452 0,4356 1,3068 0,0293
4 0,3450 1,3800 5,5200 0,1745
5 0,3548 1,7740 8, 8700 0,5195
6 0,1257 0,7542 4,5252 0,8743
1,0000 4,4003 20,3329
2
Р F(x)
93
Расчет математического ожидания случайных величин X и Х
F
,
также приведен в табл. 2.3 по формулам (1.26), (1.32). В столбцах XP
2
и Х
P записаны значения произведений хi pi и х
2
pi. В последней стро-
i
ке – суммы элементов соответствующих столбцов.
2
M(X) 4,4; M(X
) = 20,3329; D(X) = 20,3329 – 4,40032 0,970; 0,985.
Вероятность того, что среди отобранных деталей не более двух
нестандартных, соответствует вероятности события X 4:
P(X 4) = P(X = 4) + P(X = 5) + P(X = 6) = 0,3450 + 0,3548 + 0,1257 = 0,8255.
Функцию распределения F(х) находим по формуле (1.20) как
функцию накопленных вероятностей
() ( )
xPXx
xx
i
i
, где сум-
мирование распространяется на все значения индекса i, для которых
x
< x. Полученные значения функции распределения записаны в по-
i
следнем столбце табл. 2.3.
Искомая функция распределения имеет вид
2
()
Fx
0, 1
0,0021, 1 2
0,0293, 2 3
0,1745, 3 4
0,5195, 4 5
0,8743, 5 6
1, 6
x
x
x
x
x
x
x
.
График функции распределения представлен на рис. 2.3.
F(x)
1
0,8743
0,5295
0
1745
0,0293
0
Рис. 2.3. Функция распределения случайной величины X
1
34
2 5 6
x
Ответ: M(X) = 4,4; D(X) = 0,970; 0,985; Р = 0,8255.
94
Оформление отчета
P
В отчете по типовому расчету должны быть представлены расчеты
таблицы распределения заданной случайной величины Х, ее числовых
характеристик (математического ожидания, дисперсии, среднего квадратичного отклонения) и вероятности события, заданного в задаче,
записаны расчетные формулы и даны необходимые пояснения.
Все числовые значения должны быть вычислены в десятичных
дробях, вероятности с четырьмя знаками
после запятой, числовые ха-
рактеристики случайной величины Х – с тремя знаками после запятой.
2.2. Типовой расчет «Непрерывные случайные
величины»
Содержание типового расчета
Непрерывная случайная величина Х распределена с постоянной
плотностью С в интервале (q
вал (z
, z2) и имеет там плотность распределения вида
1
вне указанных интервалов функция плотности равна нулю. Значения
некоторых параметров указаны в условии типового расчета.
Требуется:
1. Найти недостающие значения параметров.
2. Найти плотность распределения и функцию распределения слу-
чайной величины Х: записать их аналитически и построить их графики.
3. Вычислить математическое ожидание М(Х), дисперсию D(X) и
среднее квадратическое отклонение
4. Вычислить вероятность события
способами: с помощью функции плотности распределения и функции распределения.
5. Найти медиану случайной величины Х.
, q2), попадает с вероятностью R в интер-
1
()xAx z
(Х) случайной величины Х.
() ()
XMX X
двумя
3
,
Пример выполнения типового расчета
Условие
q1 q2 z1 z2 z3 R C A
–3 0 2 2 0,30 0,35
Выполнение типового расчета
Найдем сначала недостающие значения параметров. Известно,
1.
что наша случайная величина распределена с постоянной плотно-
95
стью 0,35 в интервале (–3; q2), попадает с вероятностью 0,30 в интер-
A
вал (0, 2) и имеет там плотность распределения
() 2xAx
.
Находим вероятность попадания случайной величины Х в интер-
вал (–3; q
):
2
(3 ) 1 0,3 0,7PXq
2
.
Вероятность этого события можно также найти как площадь кри-
волинейной трапеции (в нашем случае прямоугольника), расположенной над интервалом (–3; q
) и ограниченной сверху кривой рас-
2
пределения:
(3 ) 0,35( (3)) 0,7PXq q
Отсюда получаем q
= –1.
2
22
.
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (0; 2)
можно вычислить с помощью интеграла
22
(0 2) 0,3 ( ) 2PX xdxAxdx
00
.
Так как для х (0; 2) модуль |x – 2| = 2 – х, то
2
0,3 (2 ) 2
0
xdx A
.
2. Запишем плотность распределения вероятностей нашей слу-
чайной величины Х:
0, 3
0,350, 3 1
X
() .
0, 1 0
0,15(2 ), 0 2
xx
0, 2
x
x
x
x
На рис. 2.4 представлен график функции плотности у = (х).
96
Рис. 2.4. График функции плотности
случайной величины X
Далее отметим, что в каждой точке х значение функции F(x) равно
площади криволинейной трапеции, ограниченной сверху кривой
распределения, снизу осью 0х и лежащей левее перпендикуляра, восстановленного из точки х, поэтому уже сейчас можем приближенно
построить график функции F(x).
В интервалах, где (х) = 0, функция F(x), очевидно, постоянна
,
причем для х –3 функция F(x) 0, при x 2 функция F(x) 1, а в
интервале (–1; 0) функция F(x) = 0,7 = Р(–3 < X < –1).
Далее, при движении х вправо внутри интервала (–3; –1) функция
F(x) равномерно возрастает от 0 до 0,7, поэтому здесь ее график
представляет собой отрезок прямой, соединяющий точки (–3; 0) и
(–1; 0,7). А внутри
интервала (0; 2) функция F(x) растет не равномер-
но: к концу интервала рост F(x) уменьшается м совсем прекращается
в точке х = 2. Ясно, что в этом интервале график функции F(x) представляет собой отрезок параболы, ветви которой направлены вниз, с
вершиной в точке (2; 1). Так как F(x) должна быть непрерывной,
то
парабола должна проходить через точку (0; 0,7). Построенный таким
образом график функции распределения y = F(x) изображен на
рис. 2.5.
Рис. 2.5. График функции распределения
случайной величины X
97
3. Найдем теперь функцию распределения случайной величины Х
F
аналитически. Для
х (–; –3]
xx
() () 0 0
x t dt dt
;
для х (–3; –1]
xx
( ) ( ) 0 0,35 0,35( 3)
Fx tdt dt dt x
3
;
3
для х (–1; 0]
xx
() () 0 0,35 0 0,7
Fx tdt dt dt dt
31
31
;
для х (0; 2]
xx
( ) ( ) 0,7 0,15(2 ) 0, 7 0,15 2
Fx tdt tdt
1 0,0075( 2) .
x
0
2
(2 )
x
2
2
И далее () 1( 2)Fx x.
Итак, запишем функцию распределения
() .
Fx
10,075( 2), 0 2
0, 3
0,35( 3), 3 1
xx
0,7, 1 0
2
xx
1, 2
x
x
x
и сопоставим ее с графиком функции F(x), полученным выше: они
полностью соответствуют друг другу.
4. Найдем числовые характеристики случайной величины Х:
а) математическое ожидание
( ) ( ) 0,35 0,15(2 ) 1,2MX x xdx x dx x xdx
98
12
;
30
б) дисперсия
22 2 2
( ) ( ) 0, 35 0,15(2 ) 3,233;
MX x xdx x dx x xdx
DX M X MX
( ) ( ) ( ( )) 3, 233 ( 1,2) 1,793;
22 2
12
30
в) среднее квадратичное отклонение
() () 1,339XDX .
5. Вычислим вероятность события
PX MX X P X
PX dx xdx
( ) ( ) ( 1, 2 1,339 1, 2 1,339)
1
( 2,539 0,139) 0,35 0,15(2 ) 0,579.
2,539 0
0,139
Другой способ вычисления: P(–2,539 < X < 0,139) = F(0,139) –
– F(–2,539) = 0,579.
6. Найдем медиану m
случайной величины Х. По определению
Х
()()0,5
PX m PX m
XX
,
т.е. площади двух криволинейных трапеций, ограниченных кривой
распределения и расположенных слева и справа от m
равны. Поэтому очевидно, что в нашем случае точка m
, должны быть
x
должна при-
Х
надлежать интервалу (–3; –1). Имеем:
.
31;()0,35(3)xFx x
Решив уравнение F(x) = 1/2, находим медиану
11 / 7 1, 571
m
x
.
Оформление отчета
В отчете по типовому расчету должны быть представлены расчеты: недостающих параметров случайной величины Х, ее числовых
характеристик (математического ожидания, дисперсии, среднего
()PX MX
квадратичного отклонения), вероятности
, медиа-
ны, а также должны быть записаны аналитически функции распределения и плотности распределения и построены их графики. Все чи-
99
словые значения должны быть вычислены в десятичных дробях с
тремя знаками после запятой.
2.3. Типовые варианты контрольных работ
По разделу «Теория вероятностей» программой предусмотрены
две контрольные работы. Первая – «Дискретные случайные величины», вторая – «Непрерывные случайные величины».
Контрольная работа 1
1.
В среднем каждый десятый договор страховой компании завершается выплатой по страховому случаю. Компания заключила
5 договоров. Найти вероятность того, что страховой случай наступит
ровно один раз.
2.
Среди 16 лотерейных билетов находятся 4 выигрышных билета.
Найти вероятность того, что среди четырех купленных билетов, случайным образом выбранных: а) ровно один выигрышный; б) хотя бы
один выигрышный.
3. Найти вероятность того, что наудачу поставленная в данном
круге точка окажется внутри вписанного в круг правильного шестиугольника. Найти вероятность того, что из 5 точек, случайным образом помещенных в круг, 3 точки окажутся внутри вписанного в круг
правильного шестиугольник.
4. Среди населения 5 % мужчин и 0,25 % женщин являются даль-
тониками. Случайным образом выбранное лицо страдает дальтонизмом. Найти вероятность того, что это мужчина (считать, что мужчин
и женщин одинаковое количество).
5. Заданы числовые характеристики независимых случайных ве-
личин Х и Y: М(Х) = 2,4; D(X) = 0,5; М(Y) = 3,8; D(Y) = 0,9.
Случайная величина Z является функцией случайных величин Х и Y:
Z = 6X – 8Y – 9. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Z.
6. В цехе 10 независимо работающих станков. Вероятность отказа
каждого из станков одинакова и равна 0,1. Найти вероятность выполнения цехом задания, если для этого достаточно, чтобы работало
не менее 7 станков из 10.
7. Найти надежность системы приборов, изображенной на
рис. 2.6, если р
= 0,6; р2 = 0,8; р3 = 0,75.
1
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]