Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Теория вероятностей и математическая статистика теория вероятностей. Практикум
.pdf
В последней строке записана сумма элементов соответствующего
M
Z
D
столбца.
По этим суммам рассчитываем математические ожидания: M(X) =
= а
= 1,4; M(Y) = аY = 5,2; M(Z) = аZ = 2,9 (формула (1.23)); дисперсию
X
D(X) = 5,2 – 1,4
= 1,49 (формула (1.30)); ковариации K
= 4,1 – 1,4 2,9 = 0,04, KYZ = 12,1 – 5,2 2,9 = –2,98 (формула (1.35))
K
XZ
2
= 3,24; D(Y) = 33,0 – 5,22 = 5,96; D(Z) = 9,9 – 2,92 =
= 7,2 – 1,4 5,2 = –0,08;
XY
и составляем матрицу ковариаций:
3,24 0,08 0,04
K
0,04 2,98 1,49
0,08 5,96 2,98
.
Задача 1.47. Для трех величин X, Y, Z известна матрица ковариаций K.
123
Вычислить дисперсию суммы X + 2Y + 3Z, если
K
25 4
3415
Решение
По формуле (1.39) находим D(X + 2Y + 3Z) = D(X) + 4D(Y) + 9D(Z) +
+ 4K
+ 6KXZ + 12KYZ = 1 + 20 + 135 + 8 – 18 – 48 = 98.
XY
Задача 1.48. Известны центр распределения случайных величин
X, Y : (10; 2) и матрица ковариаций
где
21
XY
.
0,72 0,80
. Найти ()
Z и ()DZ ,
1,80 0,72
Решение
По формулам (1.27) находим
() 2 ( ) ()1 210 2119MZ MX MY
.
.
По формулам (1.32) и (1.39) находим
( ) (2 1) (2 ) 4 ( ) 4 ( )
ZDXY DXY DX K DY
4 1,8 4 0,72 0,8 5.12.
XY
61
Задачи для самостоятельного решения
M
M
11.1. Известно, что ()MX
(3)19.DX Y Найти (8 5 ),
–1; ( )DX4; ( ) 2;MY
() 1;DY
XY cov( , )XY и коэффициент кор-
реляции (,)rXY .
11.2. X и Y – независимые случайные величины. ( )MX
()DX 0,8; M(Y) = 2,3; ( ) 4, 25;DY
324ZXY
;
(2)WXY .
Найти M(Z), D(Z), M(W).
11.3. Случайная величина Y является линейной функцией незави-
симых случайных величин
вестно, что
()DX
6;
3
1,2
()MX
1
1;r
()DX
3,
0,5;r
1,3
,,: 2 3 5.XXX Y X X X
123 1 2 3
()MX
9,
1
2,3
2
Найти М(Y) и D(Y).
0,5.r
()DX
2,
2
5,
()MX
11.4. Случайная точка (X, Y, Z) характеризуется центром рассеивания
0,4 0,3 0
(4,8; 3; 2,5) и ковариационной матрицей
величины X и Z независимы.
231VXY
0,3 0,5 0
000,6
.
()5 2WX XZ XZ.
. Случайные
22
Найти M(V), D(V), M(W).
1.12. Непрерывные случайные величины,
их числовые характеристики
Из-
3
3,2;
2
1,
Случайная величина Х имеет непрерывное распределение, если
она может принимать любые значения из некоторого конечного или
бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной
случайной величины бесконечно. Строгое определение непрерывной
случайной величины следующее: случайная величина называется непрерывной, если математическое ожидание любой функции g(X)
можно записать в виде
(( )) () ()
gX gx xdx
. (1.41)
Под «любой» функций g(х) имеется в виду такая, для которой ин-
теграл (1.41) существует и сходится абсолютно.
Функция (x) называется плотностью распределения вероятно-
стей непрерывной случайной величины Х и обладает следующими
свойствами:
62
1. Вероятность попадания величины X в произвольный интервал А
на оси 0x равна
()()
PX A xdx
A
, (1.42)
т.е. интегралу по А от функции плотности.
Таким образом, функция плотности (x) полностью характеризует
распределение случайной величины Х.
2. В частности, для интервала (х
((,)) ()
PX x x xdx
12
, х2), получаем
1
x
2
x
1
. (1.43)
3. Так как вероятность неотрицательна, то из (1.42) следует, что
(x) 0 для любого х.
4. Вероятность достоверного события равна 1, поэтому
() ( ( , )) 1xdx PX
. (1.44)
Последнее равенство называется условием нормировки функции
плотности.
График функции плотности распределения (x) называется кривой
распределения (рис. 1.10).
Рис. 1.10. График плотности распределения (x)
(кривая распределения)
Вероятность попадания случайной величины Х в интервал (х1, х2)
численно равна площади соответствующей криволинейной трапеции.
Из условия нормировки следует, что площадь области, ограниченной
сверху кривой распределения, а снизу – осью 0х, равна 1.
Заметим, что вероятность попадания непрерывной случайной величины в любую отдельную точку равна нулю.
63
Функцией распределения случайной величины Х является функ-
F
F
ция F(x), равная вероятности события (Х < x), т.е. вероятности того,
что случайная величина Х примет значение, меньшее значения аргумента х (см. п. 1.8, формула (1.17)).
Для непрерывной случайной величины функция распределения
равна
x
() ( ) ()
xPXx tdt
(1.45)
и обладает следующими свойствами:
1. 0 ( ) 1Fx для всех х.
2. ()0,()1FF .
3. F(x) – неубывающая функция на всей оси.
4. F(х) – непрерывная функция, в точках непрерывности (х) она
имеет производную:
() ()
xx
. (1.46)
Вероятность попадания непрерывной случайной величины Х в
произвольный интервал (х
, х2) можно вычислить с помощью функ-
1
ции распределения следующим образом:
((,))( )( )()()PX x x PX x PX x Fx Fx
12 2 1 2 1
. (1.47)
Поэтому функция распределения F(х) так же, как и функция плот-
ности распределения (х), полностью характеризует распределение
вероятностей случайной величины Х и даже более удобна для расчетов вероятностей, так как не требует интегрирования. Для многих
распределений, встречающихся в статистике, функции распределения табулированы.
В задачах статистики часто бывает
нужно найти такое значение х
по заданной вероятности P, что
()()PPX x Fx
. (1.48)
Данное уравнение может иметь, вообще говоря, множество решений.
Но для большинства распределений, встречающихся в статистике,
функция плотности распределения (х) строго положительна для всех Х
из некоторого интервала и равна нулю вне этого интервала. Поэтому
внутри этого интервала функция F(x) строго монотонно возрастает.
64
В этих случаях решение уравнения (1.43) существует и единст-
M
F
венно для всех P
и обозначается х
(0; 1). Оно называется квантилью распределения
(рис. 1.11). Обычно для квантилей распределения
P
также составляют таблицу, которая представляет собой таблицу значений функции, обратной функции распределения.
(x)
1
P
0,5
x
0,5
Медиана Квантиль
Рис. 1.11. График функции распределения, квантиль
и медиана случайной величины X
P
xx
Некоторые квантили имеют специальное название. Так, медианой
непрерывной случайной величины Х называется действительное чис-
, удовлетворяющее условию
ло m
x
()()0,5
PX m PX m
т.е. решение уравнения () 0,5Fx
xx
, (1.49)
.
Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной
величины Х находят по формулам, которые следуют из выражения (1.41):
() ()
Xxxdx
( ) ( ( )) ( ( )) ( ) .DX MX MX x MX xdx
22
. (1.50)
Дисперсию проще рассчитывать по следующей формуле:
65
() ( )( ()) () ( ())DX MX MX x xdx MX
A
222 2
. (1.51)
Задача 1.49. Функция плотности распределения (x) непрерывной
случайной величины Х задана в виде графика на рис. 1.12. Написать
формулу плотности, найти М(Х), D(X), вычислить
ϕ(x)
c
D
III
S
1
AB
0 0,5
–
0,5
–
1
Рис. 1.12. Функция плотности распределения
S
2
12
0,5 0,5PX
x
.
Решение
Число с найдем из условия нормировки функции плотности:
() 1
xdx S
– площадь треугольника ADB на рис. 1.7.
= 3c/2 = 1, отсюда
S
ADB
DB
.
2/3с
Запишем уравнения прямых I и II и получим формулу плотности
()
x
0, 1,
2/3( 1), 1 0,
xx
0,
x
02,(1 / 3) (2 ) ,
xx
2.
x
Найдем
() () () ( ) ( ) ;M x x x dx x x dx x x dx x x dx
22 32 23
() () ( ) ( )M X x x dx x x dx x x dx
66
20 2
11 0
02
21 11
33 6
10
211
12
333
2
;
() ( )[ ()]DX M X M X
x
22
11 1 31
6918
.
Вычислим
рис. 1.12 фигуры.
111 1 131 3 1 3 13
SSS
12
223 12 222 8 12 8 24
0,5 0,5PX S
1SSS
12
; ; 1 0,4517.
– площадь заштрихованной на
, где S1 и S2 – площади треугольников:
Задача 1.50. Функция плотности распределения непрерывной
случайной величины Х имеет вид
Найти: а,
x
/3 /2PX
ax x
0, в остальных случаях
, M(X), D(X), (X), медиану.
.
sin , 0
Решение
Кривая распределения представлена на рис. 1.13. Число а находим
из условия нормировки
1() sin 2
dx a xdx a
0
, откуда а = 1/2.
Далее вычисляем
/2 /2
PX xdx xdx
MX x xdx x xdx x x x
() () sin ( cos sin) ;
MX x xdx x xdx
1
32 2
22 2
() () sin
2
(cos2sin2cos) 2;
xxxx x
() sin ;
/3 /3
11
22
0
22
1
1
4
0
2
1
2
0
2
0
222
() ( ) [ ()] 2 2;
DX MX MX
22
() 2 0,684
x
244
2
.
4
67
Рис. 1.13. График функции плотности распределения
x
Для нахождения медианы решим уравнение
t
PX t xdx t t
()() (cos1)при 0
0
11
22
.
Отсюда cos
t = 0;
tXm
и
22
1/2
X
, что совпадает с М(Х) в си-
лу симметрии распределения относительно М(Х).
Задача 1. 51. Функция распределения непрерывной случайной ве-
,3
ax
3
bx x
. Найти параметры а, b
личины задана в виде
()
Fx
1,3
и функцию плотности распределения p(x). Вычислить М(Х), D(X),
P(2 < X < 6), Р(Х > 6).
Решение
По свойствам функции распределения непрерывной случайной
величины (см. п. 1.12, свойства 1–4, формулы (1.45) – (1.47)) находим
ной функцией, то выражение
. Так как функция распределения ()Fx является непрерыв-
0a
3
1 bx
при
должно быть равно
3x
нулю:
3
Так как
13 0; 327bb
() ()
Fx
()
x
1,3
, то
3
.
0, 3
x
27 81
34
xx
.
x
68
x
x
MX x xdx x dx dx dx
MX x xdx x dx dx dx
() () lim lim
81 81
lim 4,5;
b
22 2
() () lim lim
lim 27;
b
2
29
2
b
81 81
x
3
D(X) = M(X
(2 6) (6) (2) 1 0 1 0,875;
PX F F
81 81 81 81
43 3 2
xx x x
33 3
81 81 81 81
42 2
xx x
33 3
2
) – M(X)
2 =
27 – (4,5)2 =27 – 20,25 = 6,75;
27 1 7
6
b
bb
b
bb
3
88
b
2
3
b
x
3
( 6)1 (6)1 0,125.
PX F
71
88
1.12.1. Равномерное распределение непрерывной
случайной величины
К часто встречающимся непрерывным распределениям вероятно-
стей относится равномерное распределение. Говорят, что случайная
величина Х распределена равномерно в интервале (a, b), если все ее
возможные значения сосредоточены в этом интервале и плотность
вероятности в нем постоянна:
,(,),
cxab
()
x
Из условия нормировки находим, что
ность попадания случайной величины Х в интервал (х
0, ( , ).
ab
(1.52)
1/cba
. Тогда вероят-
, х2), лежащий
1
внутри интервала (а, b), равна, согласно формуле (1.39),
x
21
((,))( )
PX x x cx x
12 2 1
.
ba
Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое
отклонение случайной величины, имеющей равномерное распределение, равны, соответственно:
69
ab
–
() ;
MX
2
()
DX
ba
12
;
ba
()
X .
23
2
()
Задача 1.52. Случайная величина Х имеет равномерное распреде-
ление на отрезке [–4; 2]. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины
32YX
.
Решение
Найдем сначала математическое ожидание и дисперсию случай-
ной величины Х:
22
()(24)
ba
ab
() 1;
MX
42
22
() 3.
DX
12 12
Далее по свойствам математического ожидания и дисперсии на-
ходим
() 3 2 (X) 5;MY M
() 4 (X).DY D
1.12.2. Нормальное распределение
К числу наиболее важных для приложений относится нормальное
распределение.
Случайная величина U имеет стандартное нормальное распреде-
ление, если ее плотность задается формулой
2
() ,( )
1
ue u
2
/2
u
. (1.53)
Кривая стандартного нормального распределения представлена на
рис. 1.14. Это распределение симметрично. Его параметры
() ( )1.DU M U
2
() 0;MU
3–2
Рис. 1.14. Кривая стандартного нормального распределения
70
ϕ(x)
x
–1
1230
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]