Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Башкирский Государственный Аграрный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Структурные свойства математического языка. Учебное пособие

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

07.09.2026

Размер:

1 Мб

Скачать

☆

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Министерство образования и науки Российской Федерации

НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

__________________________________________________________________________

В.А. СЕЛЕЗНЕВ, Л.В. ПЕХТЕРЕВА

СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА

МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЯЗЫКА

Утверждено Редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

НОВОСИБИРСК

2016

УДК 510.2(075.8)

С 29

Рецензенты:

д-р физ.-мат. наук, профессор С.В. Судоплатов,

д-р физ.-мат. наук, профессор Е.В. Семенко

Работа выполнена на кафедрах высшей и инженерной математики

Селезнев В.А.

С 29 Структурные свойства математического языка: учебное пособие /

В.А. Селезнев, Л.В. Пехтерева. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2016. –

116 с.

ISBN 978-5-7782-3059-0

Настоящее пособие предназначается для студентов 1 курса факультета гуманитарного образования и содержит разделы: формирование числовых и геометрических аксиоматических систем в математике, структурные свойства аксиоматических систем, математическое моделирование случайных событий.

Объем пособия соответствует семестровому курсу «Математика» для студентов бакалавров направления специальностей 43.03.02 – «Журналистика»,

45.03.02 – «Лингвистика», 45.03.01 и магистрантов 45.04.01 – «Филология», бакалавров 37.03.02 и магистрантов 37.04.02 – «Конфликтология».

Цель

пособия – познакомить студентов, получающих гуманитарное образование, с идеями и методами формирования математики как языкового инструмента. Демонстрация этих идей и методов основана на традиционных классических аксиоматических теориях числовых и геометрических моделей.

УДК 510.2(075.8)

Селезнев Вадим Александрович

Пехтерева Лина Вадимовна

СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА МАТЕМАТИЧЕСКОГО ЯЗЫКА

Учебное пособие

В авторской редакции

Выпускающий редактор И.П. Брованова

Дизайн обложки А.В. Ладыжская

Компьютерная верстка С.И. Ткачева

Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции

Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)

Подписано в печать 03.11.2016. Формат 60  84 1/16. Бумага офсетная. Тираж 600 экз.

Уч.-изд. л. 6,74. Печ. л. 7,25. Изд. № 273. Заказ № 1562. Цена договорная

Новосибирского государственного технического университета

Отпечатано в типографии

630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20

ISBN 978-5-7782-3059-0 © Селезнев В.А., Пехтерева Л.В., 2016

технический университет, 2016

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВОДНАЯ ГЛАВА. Назначение знаковых языковых систем ............................ 6

1. Язык как инструмент интеллекта ................................................................... 6

2. Функциональные свойства языковых систем ............................................... 6

3. Определение и примеры языковых систем ................................................... 8

4. Основные языковые понятия .......................................................................... 9

5. Предметное назначение языковых систем .................................................. 10

6. Цели краткого курса математики для гуманитариев ................................. 11

7. Вопросы и задания к теме «Назначение знаковых языковых

систем» ........................................................................................................... 12

ГЛАВА I. Формирование аксиоматических систем в математике .................. 13

§1. Формирование числовых систем ................................................................ 13

1.1. Система натуральных чисел ............................................................... 13

1.2. Построение множества рациональных чисел .................................... 16

1.3. Аксиоматика рациональных чисел ..................................................... 20

1.4. Необходимость расширения множества рациональных чисел ....... 22

1.5. Аксиоматическое построение множества действительных

чисел. ..................................................................................................... 24

1.6. О представлении действительных чисел ........................................... 26

1.7. Языковые свойствах числовых систем .............................................. 30

1.8. Вопросы и задания к теме «числовые системы» ............................... 31

§2. Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии .......................... 32

2.1. О “Началах” Евклида ........................................................................... 32

2.1.1. Структура «Начал» Евклида ................................................... 32

2.1.2. Историческое значение «Начал» Евклида .............................. 34

2.1.3. Историческое развитие дедуктивной схемы «Начал»

Евклида ...................................................................................... 34

2.2. Аксиоматика Д. Гильберта(1862–1943) ............................................. 36

2.2.1. Группа 1. Аксиомы соединения ............................................... 36

2.2.2. Группа 2. Аксиомы порядка. .................................................... 37

2.2.3. Группа 3. Аксиомы конгруэнтности ....................................... 38

2.2.4. Группа 4. Аксиомы непрерывности ........................................ 40

2.2.5. Группа 5. Аксиома параллельности (евклидовой

геометрии) ................................................................................. 42

2.3. Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта ....................................... 43

2.4. Структурный характер аксиоматики Д. Гильберта .......................... 44

2.5. Вопросы и задания к теме «Аксиоматическое обоснование

евклидовой геометрии» ....................................................................... 44

§3. Структура векторного пространства .......................................................... 45

3.1. Модель направленных отрезков ......................................................... 45

3.2. Построение арифметической модели векторного простран-

ства направленных отрезков ............................................................... 49

3.3. Определение и примеры абстрактного векторного простран-

ства ........................................................................................................ 52

3.4. Аксиомы скалярного произведения векторов ................................... 56

3.5. Вопросы и задания к теме «Структура векторного простран-

ства» ...................................................................................................... 59

§4. Модель Вейля евклидовой

геометрии ....................................................... 60

4.1. Арифметическая модель трехмерного евклидова простран-

ства ........................................................................................................ 60

4.2. Арифметическая модель многомерного евклидова простран-

ства ........................................................................................................ 63

4.3. Вопросы и задания к теме «Модель Вейля евклидовой гео-

метрии» ................................................................................................. 65

§ 5. Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского ........................................ 66

5.1. Основные понятие модели А. Пуанкаре плоскости Лобачев-

ского ...................................................................................................... 66

5.2. Основные неевклидовы факты в планиметрии Лобачевского ........ 70

5.3. Научная значимость открытия геометрии Лобачевского................. 72

5.4. Вопросы и задания к теме «Модель Пуанкаре плоскости Ло-

бачевского» ........................................................................................... 73

ГЛАВА II. Структурные свойства аксиоматических теорий ........................... 75

§6. Математические структуры и аксиоматические теории ......................... 75

6.1. Понятие отношений между объектами. ............................................. 75

6.2. Понятие математической структуры .................................................. 77

6.3. Модель или реализация системы аксиом .......................................... 79

6.4. Формальная и содержательная аксиоматики, аксиоматиче-

ские теории и математические структуры ......................................... 80

6.5. Изоморфизм ......................................................................................... 81

6.6. Вопросы и задания к

теме «Математические структуры и ак-

сиоматические теории» ....................................................................... 83

§7. Требования, предъявляемые к системам аксиом ...................................... 84

7.1. Непротиворечивость системы аксиом. .............................................. 84

7.2. Независимость аксиоматической системы ........................................ 86

7.3. Независимость аксиомы параллельности. ......................................... 87

7.4. Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом ................ 88

7.5. Историческая роль V постулата Евклида в развитии основа-

ний математики .................................................................................... 90

7.6. Вопросы и задания к теме «Требования, предъявляемые к

системе аксиом» ................................................................................... 91

§8. Смысловой анализ текстовых продуктов .................................................. 91

8.1. Понятие смыслового анализа текстового продукта .......................... 91

8.2. Языковые свойства имен объектов .................................................... 92

8.3. Проблема выражения смысла ............................................................. 93

8.4. Понятие искусственного

8.5. Понятие и анализ парадоксов ............................................................. 94

8.6. “Ахиллес и черепаха” .......................................................................... 95

8.7. Парадокс пустого множества .............................................................. 96

8.8. Парадокс конечной достижимости в очереди ................................... 97

8.9. Противоречивость в дедуктивных схемах ......................................... 98

8.10. Вопросы и задания к теме «Смысловой анализ текстовых

продуктов» ....................................................................................... 100

ГЛАВА III. Математическое моделирование случайных событий ................ 101

§ 9. Понятие вероятности случайного события ............................................ 101

9.1. Необходимость изучения случайных событий ............................... 101

9.2. Относительная частота и вероятность

9.3. Классическое определение вероятности .......................................... 103

9.4. Вопросы и задания к теме «Понятие вероятности случайного

события» ............................................................................................. 104

§10. Моделирование случайных событий случайными величинами ......... 105

10.1. Понятие случайной величины ........................................................ 105

10.2. Геометрические вероятности. ......................................................... 106

10.3. Парадокс Бертрана ........................................................................... 108

10.4. Условия корректного моделирования случайного события ....... 110

10.5. Вопросы и задания к теме «Моделирование случайных со-

бытий случайными величинами» ................................................... 110

Заключение .......................................................................................................... 112

Обозначения ........................................................................................................ 115

Литература ........................................................................................................... 116

языка .......................................................... 94

случайного события ......... 102

ВВОДНАЯ ГЛАВА

НАЗНАЧЕНИЕ ЗНАКОВЫХ

ЯЗЫКОВЫХ СИСТЕМ

1. Язык как инструмент интеллекта

Развитие информационных систем и компьютерных технологий расширили горизонты интеллектуальных возможностей человека. Целью расширения таких возможностей является моделирование функций человеческого интеллекта и, в конечном счёте, автоматизации ряда процессов интеллектуальной деятельности. Что же это такое – человеческий интеллект? Согласно энциклопедической информации принято считать, что интеллект – это способность человека реализовать процесс и деятельности происходит отражение отношения объектов различной природы в виде мыслительных образов. Эти образы составляют субъективный информационный мир личности, а обмен информацией между людьми осуществляется посредством различных языковых систем. Знаковые, или символьные, языковые системы позволяют каждому индивидууму реализовать мысленную систему образов в виде вых единиц – слов и их структурных образований – текстов.

Таким образом, мы приходим к пониманию того, что инструментом человеческого интеллекта являются языковые системы.

продукт мыслительной деятельности. В процессе такой

языко-

2. Функциональные свойства языковых систем

Какую знаковую систему мы можем считать языком?

Впервые определение языка через его функции дал великий математик Леонард Эйлер (1707 – 1763). Он писал: “Язык нужен людям, чтобы они могли следить за своими мыслями и развивать их, а также общаться друг с другом”, [1, с. 282]. В связи с этим положением, выдвинутым Л. Эйлером, можно система проявляется в следующих трёх функциях.

постулировать, что язык как знаковая

Три основополагающие функции языка, это:

 отслеживание мысли (опорная функция);

 формирование умозаключений (логическая функция);

 средство общения (коммуникационная функция).

Множество человеческих языков как инструментов интеллекта многообразно, это языки музыки, живописи, национальной литературы, языки различных наук, в том числе и математических.

Какую же роль играет каждый язык среди множества языков

–

инструментов человеческого интеллекта?

Чтобы ответить на этот вопрос, вначале попробуем разобраться в том, как обрабатывает человеческий интеллект поступающую информацию об окружающем его мире. Начальную роль здесь играет взаимодействие опорной и логической языковых функций. Это взаимодействие языковых функций впервые систематически исследовал известный логик конца XIX века Готлоб Фреге

(1848 – 1925). Вот его слова:

“Нам удаётся управлять нашим вниманием и направлять мысль в же-

лательное для нас русло благодаря знакам. Когда мы воспроизводим знак, то мы тем самым создаём определённую опору нашей мысли, – определённый центр, вокруг которого возникают различные представления. Из этих представлений мы выбираем одно и опять фиксируем его

с помощью знака. Так удаётся шаг за шагом проникнуть во внутренний мир наших представлений и двигаться в этом мире в нужном направлении. Чувственно-наглядное (в форме знаков) позволяет нам не потонуть в потоке восприятий и представлений, непрерывно захлёстывающих наше внимание”.

Можно считать, что Фреге открыл «атомарную» структуру мышления в виде дискретных актов, которые формируют циклический процесс организации мыслительных образов из слов в предложения и тексты. Представим этот акт в виде следующей диаграммы, которая отражает процесс мышления как циклическую операцию над образами

Схема 1.1

Поступающая информация

Продукт мышления – знаковая единица языка

Мыслительный

образ

Реализация в

знаковой системе

Согласно этой диаграмме, реализацию коммуникационной функции в виде текста можно считать итерацией, т. е. последовательной композицией, таких актов.

3. Определение и примеры языковых систем

Три функции языковой системы можно объединить в определение языковых знаковых систем, представленное в виде следующего файла Ф.1

Ф.1 Определение символьного или знакового языка

Знаковая или символьная система, используемая для такой организации структуры мыслительных образов, которая представляет информацию, называется символьным или знаковым языком.

Рассмотрим некоторые примеры языковых систем.

Пример 1

Система дискретных звуковых знаков есть общепринятое понятие человеческого языка, являющегося средством общения.

Пример 2

Система последовательностей двух символов 0 и 1 представляет язык числовых кодов: 110001, 100100100, и т. д.

Пример 3. Система жестов или сигналов, при помощи которых передаётся информация: азбука Морзе, морские сигналы при помощи флажков, жестикуляция, при помощи которой общаются глухонемые люди.

Пример 4. Набор цветных красок, позволяющий создавать любые сочетания цветов и рисовать художественные картины.

Пример 5. Система знаков, представляющих музыкальные звуки, называется нотами и формирует язык музыки.

Ф.2 Нотные знаки гаммы целых звуков одной октавы

Пример 6. Система направленных отрезков формирует язык векторов в геометрии и физике.

Пример 7. Десятичная система знаков формирует язык действительных чисел.

Пример 8. Система дорожных знаков не является языком. В этой знаковой системе присутствует опорная функция, но отсутствует логическая функция, которая позволяет строить умозаключения.

4. Основные языковые понятия

Языковой способ коммуникации, т. е. передачи информации, основан на композиции знаковых единиц – потоке слов, организованных в предложения – тексты. Приведём те языковые понятия, при помощи которых формируется понятие текста любого языка в виде следующих файлов.

Ф.3 Определение формального слова Языковую знаковую или символьную единицу, представляю-

щую мыслительный образ, назовём формальным словом

Ф.4 Определение формального предложения Упорядоченное множество формальных слов, несущее в себе

информацию законченного характера, назовём формальным предложением.

Ф.5 Определение формального текста Последовательность формальных предложений, синтезирую-

щая информационный поток, назовём формальным текстом.

Тексты, организованные в самостоятельные блоки, как это сделано выше, назовём файлами.

Ф.6 Определение файла

Текст

Файлы несут свой мыслительный образ, и поэтому их можно использовать для организации более сложных, нелинейных текстовых структур: каталогов, диаграмм, блок-схем и т.д., например, Схема 1, приведённая выше. Ещё пример – формирование понятия символьного языка в виде следующей блок-схемы:

Ф. 3

Ф. 5

Ф. 1Ф. 4

5. Предметное назначение языковых систем

Каждый предмет (литература, математика, астрономия, экономика и т. д.) имеет свой язык. Разные модели одного предмета имеют разные языки, например:

 литературное произведение на русском и английском языках;

 геометрический и координатный языки в математических моделях;

 геометрическая и аналитическая теории дифференцирования и

интегрирования, и т. д.

Каждый из этих предметов ются реализацией процесса мышления в виде языковой модели  текста. Поэтому текст можно считать основным продуктом интеллектуальной деятельности. Следовательно, исследование интеллектуального уровня умственной деятельности и реализации интеллектуальных функций – это исследование языковых знаковых продуктов.

Вывод

Сущность языковых систем состоит в том, что закономерности интеллектуальной деятельности, отражающие мыслительные процессы в некоторой предметной области, реализуются в законах организации текстовых структур, несущих специфику данной предметной области.

и каждая из предметных моделей явля-

1 / 121 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]