Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Структурные свойства математического языка. Учебное пособие
.pdf
Аналогично, на рис. 5.4, б представлен n-угольник с бесконечно длин-
A1 A2A3A1A1A
A
A1A
ными сторонами и суммой углов, равной нулю.
а б
Рис. 5.4
1
Если внутренние окружности на рис. 5.4, a и б взять чуть большего
, , ,
радиуса, то точки
АА А попадут в плоскость 2L (не будут
12
n
лежать на абсолюте), перестанут считаться бесконечно удаленными.
Тогда длины сторон многоугольника станут конечными, а сумма углов
многоугольника станет несколько больше нуля. С другой стороны,
если треугольник образован «малыми» кусками дуг окружностей,
рис. 5.5, то сумма его углов приближается к 180°, но остается все же
несколько меньше 180°.
Следствие 2. В плоскости Лобачевского
L сумма углов тре-
2
угольника не постоянна и может принимать любое значение
больше нуля и меньше
.
2
3
Рис. 5.5
2. Взаимное расположение прямых в плоскости
Всякие две прямые в плоскости
L
либо пересекаются, либо па-
2
L
.
2
раллельны, либо являются расходящимися, т.е. не параллельны и не
пересекаются, рис. 5.1.
71
3. Перпендикуляр к стороне угла.
M
M
МОМ
M
B
A
M
M
Для любого угла, образованного пересечением прямых
,ОВ
рис. 5, на любой из его сторон (например, на стороне
ществует такая точка М, что перпендикуляр, восстановленный к
из точки М, будет параллелен второй стороне угла
B
,OA и
щий из точки ,
а всякий перпендикуляр, восстановленный из точки ,
,OB
не имеет общих точек со стороной ,OB
B
|| .OB При этом, всякий перпендикуляр, выходя-
пересекает противоположную сторону угла
рис. 5.
M
O
ОА
)ОА
су-
ОА
,OB
рис. 5.6:
MA
и
Рис. 5.6
4. Четвертый признак конгруэнтности треугольников.
В абсолютной геометрии без привлечения аксиомы параллельности
доказываются три признака конгруэнтности треугольников. В планиметрии Лобачевского справедлив еще один, четвертый признак. Если
три угла одного треугольника конгруэнтны соответствующим трем
углам второго треугольника, то эти треугольники конгруэнтны, [2].
Вывод 2
Рассмотренные выше неевклидовы факты 1-4, выражающие необычные для евклидовой геометрии отношения между прямыми на
плоскости Лобачевского, являются логическим следствием 15 аксиом
планиметрии Лобачевского. Эти свойства реализуются в модели Пуан-
,L
каре
в евклидовой плоскости эти факты не имеют места.
2
5.3. Научная значимость открытия геометрии Лобачевского
Открытие мыслимой неевклидовой геометрии Лобачевского задолго до построения ее реализаций, и последовавшие затем открытия ее
реализаций Гауссом, Клейном, Бельтрами и Пуанкаре явились проло-
72
гом пересмотра многих устоявшихся фундаментальных понятий в теории познания, и в построении математических дедуктивных теорий.
После построения геометрии Лобачевского начали подвергаться анализу идеи и методы доказательства в классической математике и математической логике. Это привело к рождению теории множеств и развитию дедуктивных схем построения теорий в математике на
новом
структурном уровне. Новые геометрические идеи формирования математических языков подняли научный уровень теоретической физики,
а затем и всего естествознания. Одним из итогов открытия геометрии
Лобачевского является то, что в современной науке понятие реализации или модели некоторой системы аксиом используется для проверки
основных требований, предъявляемых к аксиоматическому методу в
моделировании реальных процессов в различных задачах человеческой
практики.
Вывод 3
Открытие и построение неевклидовой геометрии предшествовало,
а затем и сопутствовало развитию современных математических языков. Роль математического моделирования в современной науке не
сводится только к формированию математического аппарата. Многие
законы, открытые в теории математического моделирования, т.е. в
математических языках, моделируют интеллектуальную деятельность
вообще и исследовательскую деятельность в частности.
Формирование математических
текстов на основе дедуктивного
метода, т.е. построение теории на базе системы аксиом, должно удовлетворять некоторым законам свойствам аксиоматических систем.
К изучению этих законов мы приступаем в следующей главе.
5.4. Вопросы и задания к теме
«Модель Пуанкаре плоскости Лобачевского»
Вопросы
1. Как формулируется аксиома параллельности в планиметрии Ло-
бачевского?
2. Почему три признака равенства треугольников планиметрии Ев-
клида выполняются и в планиметрии Лобачевского?
3. Может ли факт, доказанный в абсолютной планиметрии, быть
верным в планиметрии Лобачевского и неверным в планиметрии Евклида? Быть верным в планиметрии Евклида и неверным в планимет-
Лобачевского?
рии
73
4. Изобразите в модели Пуанкаре две не параллельные прямые, которые не пересекаются, три и большее количество таких прямых.
Задания
1. Приведите примеры геометрических фактов, справедливых в
планиметрии Евклида и несправедливых в планиметрии Лобачевского.
2. Приведите примеры фактов, справедливых в планиметрии Лобачевского и несправедливых в планиметрии Евклида.
3. Приведите примеры утверждений абсолютной планиметрии, и
изобразите их как в планиметрии Евклида, так и в модели Пуанкаре
планиметрии Лобачевского.
4. Изобразите многоугольник в модели
Пуанкаре плоскости Лоба-
чевского.
5. Изобразите такой многоугольник, у которого сумма всех углов
достаточно мала.
74
Лучший метод для предвидения
будущего развития математических наук заключается в изучении
истории и нынешнего состояния
этих наук
Анри Пуанкаре
ГЛАВА II
СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА
АКСИОМАТИЧЕСКИХ ТЕОРИЙ
§6. Математические структуры
и аксиоматические теории
6.1. Понятие отношений между объектами.
Принято считать, что понятие отношения выражает связи между
объектами как элементами x, y, … некоторых множеств Ax, By, … .
Отношения между двумя элементами xA и yB называют двухместными, или бинарными, отношениями. Все такие отношения будем обозначать P(x, y), xA, yB. Отношение P(x, y
ными способами: описывать словами, изображать чертежами и задавать формулами. Удобным является «язык» множеств. Всякое отношение P(x, y) определяет множество p упорядоченных пар (x, y) некото-
рых элементов xA и yB по следующему правилу:
) можно представлять раз-
(x, y) p {выполняется P (x, y)} (6.1)
Множество всех упорядоченных пар (x, y) xA и yB в матема-
тике называется декартовым произведением множеств A и B и обозначается AB.
Используя это определение и учитывая определение бинарного от-
ношения, заключаем, что имеет место следующее
Следствие 1.
P
(x, y) между элементами x, y двух множеств Ax и By представ-
Всякое бинарное, или двухместное, отношение
75
ляется некоторым подмножеством p(x, y)AB по закону (1). Об-
xM
ратно, всякое подмножество p
некоторое отношение P
(x, y).
AB по закону (6.1) представляет
Пример 1
Пусть A = B = R – два экземпляра множеств действительных чисел.
Тогда R R есть декартово произведение арифметических моделей
евклидовых прямых. Это произведение представляет собой арифметическую модель евклидовой плоскости. Другими словами, множество
числовых упорядоченных пар (x, y), xR, yR представляет все
точки евклидовой плоскости.
Определение отношения эквивалентности
Бинарное отношение P(x, y) между элементами множества M назы-
вается отношением эквивалентности, обозначим его P(x, y) (x ~ y),
если выполняются три условия:
1. Рефлексивности: x ~ x;
2. Симметричности: если x ~ y, то y ~ x;
3. Транзитивности: если x ~ y, y ~ z, то x ~ z.
Примеры отношений эквивалентности: числовые равенства, кон-
груэнтность фигур, подобие фигур, параллельность прямых и
т.д.
Любое отношение эквивалентности P(x, y) для (x, y)MM опреде-
ляет новое множество – множество классов эквивалентности: два элемента x, yM образуют один класс эквивалентности тогда и только
тогда, когда x ~ y. Множество классов эквивалентности называется
фактор-множеством M по отношению P и обозначается M/P или
M/p,
что равносильно в силу приведённого выше Следствия 1 об эквивалентности отношения и соответствующего подмножества.
Отношение эквивалентности разбивает множество M на непересекающиеся классы. Обратно, всякое разбиение M на непересекающиеся
классы задает на M отношение эквивалентности. Действительно, если
MM M M
12 n
ние принадлежности элементов одному классу ()
и
MM при i j, то отноше-
ij
()
i
yM
j
P(x, y) удовлетворяет условиям 1) – 3) отношения эквивалентности.
Следствие 2. Задание отношения эквивалентности на некото-
ром множестве равносильно разбиению этого множества на непересекающиеся подмножества.
76
Аналогично двухместным отношениям, определяются n-местные
x
x
x
p
M
M
M
M
M
M
, ,
AxA
отношения между элементами
жеств
AA
1
n
, , .
Декартово произведение
, , , ()
ченных наборов
n-местное отношение
множеством
{( ) }, , , выполняется ,,() ,
Px x x x x x p A A A
12 12 1 2
nnn
xx
12
Px x
1
AA A по следующему закону
12 n
11
AA A
12 n
n
, ,()
есть множество упорядо-
элементов
представляется некоторым под-
n
некоторых n мно-
nn
, , ,
AxA
11
nn
а
6.2. Понятие математической структуры
Все рассмотренные в главе I системы аксиом:
аксиоматика Пеано для натуральных чисел;
аксиоматика рациональных чисел;
аксиоматика действительных чисел;
аксиоматика векторных пространств
аксиоматика Гильберта евклидовой геометрии;
аксиоматика Вейля арифметического евклидова пространства;
аксиоматика плоскости Лобачевского;
можно характеризовать как системы утверждений
задающих множество отношений
некоторых объектов
QQ Q
, , {}
1
Например, 20 аксиом Гильберта
PP P
S
, , {}
между элементами
1
m
.
{,, , }TTT T описывают
12 20
TT T
, ,{},
1
n
отношения:
–
P инцидентности,
1
P порядка
–
2
P конгруэнтности,
–
3
P отношения, определяющие свойства непрерывности,
–
4
P отношение параллельности.
–
5
Каждое из этих отношений определено на объектах из следующих
множеств:
множество плоскостей,
углов,
множество точек,
1
множество отрезков,
4
множество натуральных чисел. При этом, множества объ-
6
множество прямых,
2
множество
5
3
77
ектов
M
M
L
MM
123
остаются основными, а множества
, ,
MM
456
, ,
дополнительно построенными вспомогательными.
Аналогичным образом, в остальных системах аксиом можно выделить все три указанных понятия:
аксиом (систему утверждений),
, , {}
QQQ – систему множеств базовых объектов. Эти понятия
и
1
s
TT T
PP P
, , {}
– собственно систему
1
, , {}
1
n
– систему отношений
m
вступают в новое отношение, называемое математической структурой.
Определение. Математической структурой называется заданная система отношений
QQ Q
TT T
, { },
1
, { },
1
и действующая посредством системы аксиом
m
.
n
PP P
, { },
1
на базовых объектах
m
Таким способом определенную математическую структуру будем обозначать
, ,{}
QPT
.
T
Примеры
Аксиоматики, указанные в начале пункта, задают, соответственно,
структуры: натуральных чисел, действительных чисел, векторных пространств, структуру геометрического евклидова пространства и структуру арифметического евклидова пространства, структуру неевклидовой плоскости Лобачевского.
Числовые структуры принято также называть аксиоматическими
системами.
Определение теории структуры
Множество всех утверждений, полученных в виде логических
следствий в структуре ,
структуры. Аксиоматическую теорию структуры
символом .
T
называется аксиоматической теорией этой
T
будем обозначать
T
Пример
Теорема о внешнем угле треугольника: «внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника» – является
элементом теории структуры абсолютной планиметрии (геометрии
плоскости, построенной в системе 14 аксиом планиметрии без аксиом
параллельности).
78
6.3. Модель или реализация системы аксиом
E
xx
R
Модель системы аксиом T представляет собой такую совокупность
некоторых объектов и отношений между ними, для которой выполняются все требования системы аксиом T, [2].
Понятие модели в математике принято отождествлять с понятием
реализации.
Модель (реализация) системы аксиом T называется также моделью (реализацией) аксиоматической теории
Эту реализацию будем обозначать R
(T) = R(T1, …,T
T
, и структуры T.
L
).
n
Приведем примеры реализаций.
Модель Торальфа Сколема, см. п. 1.1, является моделью, или реализацией, линейного порядка или, проще говоря, очереди, в которой
каждый знает за кем стоит, кто за ним стоит, известен первый член
очереди, но никто не знает какой он по счёту в этой очереди.
Известная Римская система знаков I, II, III, …, IX, X, XI, … являет-
моделью или реализацией системы натуральных чисел.
ся
Множество действительных чисел является арифметической реализацией евклидовой прямой.
3
Арифметическая модель векторного пространства
(см. п. 3.2)
является реализацией системы аксиом векторного пространства размерности три.
3
Арифметическая модель евклидова пространства
,R см. п. 4.1, яв-
ляется реализацией как системы аксиом Гильберта, так и системы аксиом Вейля евклидовой геометрии.
Множество n-местных наборов чисел
(, ),
1
зацией n-мерного арифметического евклидова пространства ,
является реали-
n
n
см.
п. 4.2.
Модель Пуанкаре
L является реализацией планиметрии Лобачев-
2
ского.
Замечание 1
Понятия «модели» и «структуры» часто используются в качестве
понятия «конкретного множества» и «множества с заданными свойствами». Именно в таком контексте мы использовали эти понятия в
§§3–5. Это не вступает в противоречие с математическими определениями этих понятий, приведенными в этом §6.
79
6.4. Формальная и содержательная аксиоматики,
R
R
R
R
М
М
M
R
R
p
R
аксиоматические теории и математические структуры
Пусть R(T) – реализация некоторой системы аксиом Т или, что то
же, реализация структуры и теории определяемой этой системой аксиом. Рассмотрим подробнее, что означает эта реализация. Согласно
определению реализации, данному в п. 6.3, реализация R(T) содержит:
),(
1. объекты
QQ и обладающие таким свойством, что существует взаимно
,,
1
m
однозначное соответствие
,
тами
i = 1, 2, …, m;
i
2. отношения
R(T) отношения
Q являющиеся реализациями базовых объектов
ii
()
rQ
iii
, ,(),
pR R
1
im
, , ()
PP P заданные системой аксиом для соответ-
1
im
между объектами
которые представляют в реализации
Q и объек-
i
ствующих объектов Q;
3. все утверждения, получаемые логическим следствием в теории
данной системы аксиом входят в реализацию R(T) так же в виде некоторых утверждений, выраженных через отношения реализаций базовых объектов.
Рассмотрим пример
2
Пусть
базовое множество
упорядоченных числовых пар (x, y). Базовое множество
множество всех прямых
ax + by + c = 0. Отношение
М принадлежит прямой l, реализуется свойством
– арифметическая модель евклидовой плоскости, тогда
– это все точки
1
2
,lR реализующихся уравнениями вида
(),PM l ≡ (),
1
2
,MR реализующиеся в виде
– это
2
l состоящее в том, точка
:P пара (x, y) удо-
1
влетворяет уравнению ax + by + c = 0, и т.д.
Вывод 1
Всякая реализация R(T) системы аксиом Т устанавливает взаимно
()
однозначное соответствие
и объектами
, ,()
PP P
1
m
отношениями
реализаций
i
, заданные в системе аксиом Т, реализуются некоторыми
, , ()
RR
im
rQ
iii
между базовыми объектами Qi
Q
в R(T). При этом отношения
i
между соответствующими объектами
в R(T).
80
i
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]