Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Структурные свойства математического языка. Учебное пособие
.pdf
Рассматривая задачу измерения отрезков прямой действительными
числами, мы установили взаимно однозначное соответствие между
множеством точек прямой и множеством действительных чисел в десятичном представлении. Это позволяет визуализировать арифметические операции, изображая результаты сложения, вычитания и деления
отрезков прямой. Так, например, сумму двух действительных чисел
2
можно вычислить с любой степенью точности в десятичной
системе, а можно и изобразить как суммарный отрезок, используя построения в задачах 1 и 2 из п. 1.4. При этом результат суммы в одной
из этих реализаций будет соответствовать результату суммы в другой
реализации. То же можно сказать и об операциях вычитания, умножения
и деления.
Взаимно однозначное соответствие между множествами, которое сохраняет результат операций на этих множествах, называется изоморфизмом.
Учитывая это понятие изоморфизма, мы устанавливаем следующее
свойство.
3. Десятичная (и вообще, любая k-ичная) знаковая реализация
действительных чисел изоморфна геометрической реализации действительных чисел в виде отрезков прямой.
Это свойство является простейшей демонстрацией удивительной
способности человеческого интеллекта представлять свои чувства в
числовом формате.
1.8. Вопросы и задания к теме «числовые системы»
Вопросы
1. Какую роль играет аксиома индукции в аксиоматике натурально-
го ряда Д. Пеано?
2. Объясните, почему языка рациональных чисел недостаточно для
реализации процессов измерения отрезков?
3. Какую роль играет аксиома Архимеда в аксиоматике рациональ-
ных чисел?
4. Какие интеллектуальные задачи реализуют языки натуральных,
рациональных и действительных чисел?
5. Какую роль играет аксиома о
вложенных промежутках в аксио-
матике действительных чисел и как строится взаимно однозначное
соответствие между действительными числами и точками евклидовой
прямой?
31
6. Используется ли в практической деятельности человека полная
модель действительных чисел, или для практических нужд достаточно
рациональных чисел? Почему?
Задания
1. Покажите, что системы натуральных, рациональных и действительных чисел независимо от выбора знаковой реализации являются
языковыми системами в смысле Л. Эйлера.
2. Как можно представить «слова» и «предложения» в языке рациональных чисел, действительных чисел? Приведите пример текстового
формата в этих языках.
3. Постройте изоморфизм между реализацией действительных чисел в
десятичной системе и геометрической реализацией в виде отрез-
ков евклидовой прямой.
(Указание: задать единичный отрезок на евклидовой прямой, а операции умножения и деления определить как порции этого отрезка;
использовать алгоритм построения рациональных чисел циркулем и
линейкой на евклидовой прямой.)
4. Покажите, что реализации действительных чисел в виде k-ичных
систем
довой прямой и аксиома о вложенных промежутках в аксиоматике
действительных чисел?
изоморфны для различных k 2, 3, …, n.
5. Как связаны аксиома Кантора «о вложенных отрезках» на евкли-
§2. Аксиоматическое обоснование
евклидовой геометрии
2.1. О “Началах” Евклида
2.1.1. Структура «Начал» Евклида
Александрийский ученый Евклид, живший в третьем веке до
нашей эры, впервые в истории предпринял попытку глобальной систематизации математических фактов по дедуктивной схеме. Его “Начала” состояли из 13 книг, которые представляли собой, по существу,
главы, посвященные отдельным вопросам математики. В них дано
безупречное для того времени построение геометрии. Евклид начинал
изложения
которые представляют собой умозаключения, основанные на постулатах, аксиомах, определениях и ранее доказанных теоремах.
с определений, постулатов и аксиом. Затем идут теоремы,
32
Математические построения начинаются с 23 определений. Приведем некоторые из них:
Точка есть то, что не имеет частей;
Линия же - длина без ширины;
Концы линии - точки;
Прямая линия есть та, которая равно расположена по отношению
к точкам на ней;
Параллельные прямые это прямые, которые находятся в одной
плоскости и при неограниченном продолжении ни с той, ни с другой
стороны не пересекаются и т.д.
Далее Евклид излагает постулаты и аксиомы, формулировки которых представляют для нас лишь исторический интерес.
Постулаты:
1. От всякой точки до всякой точки можно провести
прямую ли-
нию.
2. Каждую прямую можно непрерывно продолжать по прямой.
3. Из любого центра можно описать окружность любым радиусом.
4. Все прямые углы равны между собой.
5. Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние по
одну сторону углы, меньшие в сумме двух прямых, то продолженные
эти прямые неограниченно встретятся с той
стороны, где углы в сумме
меньше двух прямых.
Аксиомы:
1. Равные одному и тому же равны между собой.
2. Если к равным прибавляются равные, то целые будут равны.
3. Если от равных отнимаются равные, то остатки будут равны.
4. Если к неравным прибавляются равные, то целые будут не рав-
ны.
5. Удвоенные одного
и того же равны между собой.
6. Половины одного и того же равны между собой.
7. Совмещающиеся друг с другом равны между собой.
8. Целое больше части.
9. Две прямые не содержат пространства.
Построения оснований геометрии были проделаны Евклидом с
большим мастерством. “Начала” Евклида затмили сочинения его
предшественников, и на протяжении более
чем двух тысяч лет “Начала” представляли образец математической строгости изложения научных знаний по дедуктивной схеме.
33
2.1.2. Историческое значение «Начал» Евклида
Систематизация знаний, в том числе и в математике, в виде предметных энциклопедических сведений возникла очень и очень давно.
Люди копили знания о съедобных и лекарственных растениях, строительных материалах, культуре земледелия и животноводства, о военном опыте и так далее. Но уже при возникновении первых инженерных
технологий (конструирование при помощи
системы рычагов, блоков и
их соединений) потребовался другой способ систематизации знаний,
такой, который позволил бы человеку мысленно создавать новые проекты конструкций, другими словами, на основе простых моделей строить более сложные. Так возникла необходимость систематизация знаний в виде дедуктивной схемы, в которой отправными объектами были
эмпирические законы (у
Евклида это постулаты) и правила логических
действий (у Евклида это аксиомы). Такая дедуктивная систематизация
знаний могла быть основана только на особом абстрактном языке символов, и такие символы уже имелись в математических языках: натуральных числах, рациональных числах, имелись объекты языка геометрии – точки, прямые, плоскости. Эти языковые объекты составили
основу
первой попытки систематизации знаний в виде дедуктивной
схемы, и эта схема получила название «Начала» Евклида.
На интуитивном уровне «Начала» предвосхитили многие математические построения, по образу и подобию «Начал» вплоть до середины
девятнадцатого века формировались многие исследования в математических дисциплинах, а так же в механике и физике.
Вывод. «Начала» Евклида были первой исторической попыткой
систематизации знаний в виде дедуктивной схемы. Предпосылкой
появления дедуктивного метода построения знаний явилось развитие конструкторской деятельности древней инженерии.
2.1.3. Историческое развитие дедуктивной схемы
«Начал» Евклида
С точки зрения современной математики дедуктивные построения
Евклида не отражают всех отношений между геометрическими элементами, необходимых для строгих логических рассуждений. В его
«Началах» отсутствуют также необходимые требования, предъявляемые к аксиоматическим теориям для построения строгой дедуктивной
схемы в геометрии. На том историческом уровне развития математики
не была чётко сформулирована
роль постулатов и аксиом и неясными
34
были требования, которые должны были предъявляться к аксиомам и
постулатам. В связи с этим, невозможно было выделить базовые объекты в геометрии и указать основные отношения между ними для реализации дедуктивной схемы, поэтому часть определений оказалась
логически не задействованной, а сами доказательства опирались на ряд
неопределяемых понятий. Как следствие этого
, четвёртый постулат
был вскоре доказан.
А вот пятый постулат о параллельности прямых, который сформулирован в предыдущем пункте, создал интригу на два тысячелетия
вперёд. Дело в том, что этот постулат эквивалентен следующему
утверждению. Существует одна и только одна прямая, которая проходит через заданную точку и параллельна заданной прямой (не пересекает заданную прямую). То, что существует хотя бы одна такая прямая, было доказано еще Евклидом без ссылки на постулат о параллельности, (см. ниже п. 2.2.5, замечание 4). Если бы удалось доказать,
что эта прямая в то же время единственна, то пятый постулат оказался
бы доказанным. Иллюзия того, что эта прямая
единственна, долго
оставалась и доминировала в математической среде. Поэтому математики пытались в течение двух тысяч лет этот факт доказать. Но каждый раз оказывалось, что при доказательстве неявно использовалось
утверждение, эквивалентное пятому постулату. Так, в попытке доказать пятый постулат, развивалась техника геометрических доказательств. Параллельно также развивались геометрические
представления в описании объектов механики, астрономии и физики вплоть до
конца девятнадцатого столетия. Развивались и инструменты языка
дифференциального исчисления математики в механике и физике, и
математики пришли к следующим выводам. При аксиоматическом
изложении теории требуется выдвинуть следующие требования, вопервых, к аксиомам как утверждениям, принимаемым без доказательства в качестве
эмпирических свойств объектов теории, во вторых, к
самим объектам теории, и, в третьих, требуется точно указать список
отношений, в которые вступают объекты выстраиваемой теории.
Вывод. Требования, предъявляемые к дедуктивному методу по-
строения теорий, могли быть осознаны математиками и появиться только на определённом историческом этапе развитии
математики, как языковом инструменте механики, астрономии и
физики.
35
2.2. Аксиоматика Д. Гильберта(1862–1943)
На рубеже двадцатого века в геометрии был принят новый аксиоматический подход в геометрии – аксиоматика Давида Гильберта. Эта
аксиоматика появилась в 1899 г. как триумф работы целой группы
выдающихся математиков и с небольшими изменениями до сих пор
считается одним из современных аксиоматических обоснований евклидовой геометрии. Вся система аксиом состоит из 20 аксиом
и со-
держит 26 требований, которые описывают 5 видов отношений между
тремя основными геометрическими объектами точками, прямыми и
плоскостями. Отметим, что эти основные геометрические объекты
точки, прямые и плоскости никак не определяются, рассматриваются
как первичные понятия, суть которых раскрывается через описываемые отношения. По типам отношений аксиомы образуют 5 групп и
формируются следующим образом:
2.2.1. Группа 1. Аксиомы соединения
Эта группа аксиом описывает отношения инцидентности (связи и
принадлежности) между точками, прямыми и плоскостям.
1. Для любых двух различных точек существует прямая, инцидент-
ная этим точкам.
2. Для любых двух различных точек существует не более одной
прямой, инцидентной этим точкам.
3. Для каждой прямой существуют, по крайней мере, две точки, ей
инцидентные.
Существуют три точки, не инцидентные одной прямой.
4. Для любых трех точек, не инцидентных прямой, существует
плоскость, инцидентная этим точкам. Для каждой плоскости существует, по крайней мере, одна точка, ей инцидентная.
5. Для трех различных точек, не инцидентных прямой, существует
не более одной плоскости, инцидентной этим точкам.
6. Если две точки
прямой инцидентны плоскости, то каждая точка
этой прямой инцидентна плоскости (т.е. вся прямая инцидентна плоскости).
7. Если две плоскости имеют точку инцидентную им, то существу-
ет, по крайней мере, еще одна точка, им инцидентная.
8. Существуют четыре точки, не инцидентные одной плоскости.
Заметим, что аксиомы 3 и 4 содержат по два требования
. Приведем
примеры типичных утверждений, доказываемых в группе 1.
36
Теорема 1
Две различные точки определяют одну и только одну прямую, им
инцидентную.
Теорема 2
Три точки, не инцидентные одной прямой определяют одну и толь-
ко одну плоскость, им инцидентную.
Теорема 3
Прямая и не инцидента ей точка определяют одну и только одну
плоскость, им инцидентную.
И так далее.
2.2.2. Группа 2. Аксиомы порядка.
Аксиомы этой группы определяют линейный порядок точек на
прямой и понятие полуплоскости относительно прямой на плоскости,
первая аксиома содержит два требования.
9. Если А, В, С – три точки, инцидентные прямой, и точка В лежит
между точками А, С, то: а) точки А, В, С различны; б) точка В лежит
между точкой
С и точкой A.
10. Для любых двух точек А, В, инцидентных прямой а, существует
точка С прямой а такая, что точка В лежит между точками А и С.
11. Для трех различных точек, инцидентных прямой, существуют
не более одной из них, которая лежит между двумя оставшимися.
Для формулировки следующей аксиомы
требуется дать некоторые
определения, являющиеся логическими следствиями уже сформулированных аксиом 1–11.
Определение
Две точки А и В определяют на прямой отрезок АВ.
Следствие
Согласно аксиомам 9-11 на этой прямой существуют точки, внеш-
ние и внутренние по отношению к отрезку АВ.
Определение
Совокупность трех точек А, В, С, не инцидентных одной прямой, и
трех отрезков АВ, АС и ВС называется треугольником.
37
Аксиома Паша
F
Р
12. Пусть задан треугольник АВС и в его плоскости прямая а, не
проходящая через точки А, B, C. Если прямая а пересекает одну сторону АС треугольника, то она пересекает, по крайней мере, еще одну
сторону.
Вот типичная теорема этой группы аксиом.
Теорема 4
Отрезок АВ имеет бесконечное мно-
A
F1
2
C
E
D
B
ис. 2.1
жество внутренних точек (т.е. точек, лежащих между точками А и В).
Схема доказательства.
(1) существует точка С, не принадле-
жащая прямой АВ, (акс.3), рис.2.1;
(2) существует точка D на прямой АС
такая, что точка C лежит между А и D;
(3) существует прямая ВD, (акс
.1-2) и
существует точка Е такая, что D лежит
между В и Е;
(4) прямая ЕС по аксиоме Паша име-
ет общую с АВ точку F
(иначе ЕС совпа-
1
дет с ЕD).
(5) аналогично доказывается, что на АF
ка F
, и т.д.
2
существует еще одна точ-
1
Теорема доказана.
Примечательно то, что для доказательства существования внутренних точек отрезка приходится “выходить” на плоскость. Далее можно
определить понятия луча, полуплоскости, угла, многоугольника и т.д.
2.2.3. Группа 3. Аксиомы конгруэнтности
Отношение конгруэнтности понимается как отношение равенства,
идентичности геометрических объектов. Группы аксиом 1-3 позволяют
доказать основные свойства отношения конгруэнтности между геометрическими фигурами, определить понятие движения в геометрии и
установить признаки конгруэнтности геометрических фигур. Первая
аксиома этой группы содержит два требования, а четвертая три.
13. Пусть дан отрезок АВ, прямая а и точка
A а. Существует
точка B а с заданной стороны относительно точки A такая, что отрезок АВ конгруэнтен отрезку AB (обозначим это AB = АВ), требуется также, чтобы АВ = ВА.
38
14. Пусть AB ≡ АВ, AB ≡ АВ, тогда AB ≡ AB.
15. Пусть АВ и ВС – отрезки на прямой a, АВВС = В, AB ≡ AB,
BC ≡ BC, и B лежит между A и C тогда AC ≡ AC.
16. Пусть
ab есть угол с вершиной О и сторонами – лучами a и b.
Для любой точки O и любого выходящего из нее луча a можно построить в заданной плоскости, инцидентной a, по любую сторону от a
один и только один, второй луч b такой, что ab ≡ a
b.
Требуется также, чтобы ab ≡ ab (это означает, что угол конгруэнтен самому себе) и ab ≡ ba.
17. Пусть даны два треугольника АВС и АВС таких, что АВ ≡ АВ,
ВC ≡ BC, АВС = АВС, тогда В
AС = BAС.
На основании аксиом конгруэнтности вводятся понятия прямого
угла, смежных и вертикальных конгруэнтных углов, операции сравнения углов и отрезков. Отрезок АВ больше отрезка СD, обозначается
АВ > СD, если при совмещении точек А и С и откладывании точек В
и D по одну сторону от
точки А на некоторой прямой, точка D будет
лежать между А и С.
В этой группе аксиом доказываются три признака конгруэнтности
треугольников, свойства равнобедренных и равносторонних треугольников и т.д. Справедлива также теорема о внешнем угле треугольника
в слабом варианте (известная еще Евклиду).
Теорема (о внешнем угле треугольника)
Внешний угол треугольника больше любого не смежного с ним угла треугольника.
Аксиомы 13–17 позволяют ввести операцию движения в геометрии.
Определение движения
Взаимно однозначное соответствие точек плоскости f: A↔A называется движением, если соответствующим парам точек f: A↔A, B↔B
соответствуют конгруэнтные отрезки АВ ≡ АВ.
Замечание 1
В этой группе вместо аксиом 13–17 можно аксиоматически задать
движение и некоторые его свойства. Тогда аксиомы 13–17 будут являться теоремами, которые доказываются на основании аксиом движения.
Вывод 1
Аксиомы 1–17 первых трех групп позволяют построить геометрию, в которой на прямой существует последовательность
39
примыкающих друг к другу конгруэнтных отрезков, пронумерованных натуральным рядом. В этой геометрии есть конгруэнтные
и правильные фигуры, определено понятие движения, совмещающего конгруэнтные фигуры и т.д.
Но в этой геометрии еще нет понятия параллельного переноса, не
определено соответствие между действительными числами и точками
прямой, поэтому отсутствуют понятия длины отрезка, а также площади и объема геометрических фигур. Следовательно, в этой геометрии
еще нет понятия расстояния и понятий «близости» и «непрерывности»,
связанных со свойствами расстояния между точками. Хотя
абстрактные понятия близости и непрерывности уже можно вести на языке
шаровых окрестностей.
Действительно, шаром В(O, OА) с центром в точке О и радиусом
ОА назовем все точки М такие, что ОМ<ОА. Далее, шар В(О,ОА
B(О,ОА
точки О есть множество всех шаров В(О, ОР
), если ОА1 < ОА2, таким образом, множество окрестностей
2
), k, где Рk –
k
)
1
любая точка пространства. Определим последовательность точек
В(О, ОРk), k следующими условиями (а) и (b):
М
k
(а) ОР
вательность вложенных шаров В(О,ОР
(b) М
> ОР2 > … > ОРk > …, что означает, что мы имеем последо-
1
)В(О,ОР2)… В(О,ОРk) …;
1
kN, что означает, что каждая последующая точка
kВk+1
выбирается в следующем вложенном шаре.
Вывод 2
Используя лишь аксиомы групп 1–3, мы не сможем установить
существование предела у последовательности М
1, М2, …, Мk
, … , а в
случае существования этого предела мы не сможем доказать его
единственность.
2.2.4. Группа 4. Аксиомы непрерывности
Для описания свойства непрерывного расположения точек на прямой, взаимно однозначного соответствия между точками прямой и
действительными числами, определения длины отрезка и величины
угла, для установления взаимно однозначного соответствия между
длинами всех отрезков и множеством действительных чисел вводятся
две следующие аксиомы.
18.
Аксиома Архимеда. Пусть даны два произвольных отрезка АВ
и СD; существует такое натуральное n, что n·СD > АВ, (n – 1)CD ≤ AB,
(n·СD – обозначаем отрезок, полученный откладыванием отрезка СD n
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]