Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Структурные свойства математического языка. Учебное пособие
.pdf
является взаимно однозначным отображением точек 3B
M
M
M
E
x
ство векторов
3
.E
2. (Аксиома треугольника). Для любых трех точек
на множе-
,,ABC
справедливо равенство
AB + BC = AC .
3. (Аксиома реализуемости операции откладывания). Существует
хотя бы одна точка
вания вектора
()0, 0MM для любой точки
3
0,
для которой определена операция отклады-
3
.ME
Эти три аксиомы будем называть аксиомами откладывания вектора.
Точку 0 в аксиоме 3 называют началом
3
координат в евклидовом пространстве
0
а вектор
– радиус-вектором точки M
,
в этом пространстве. Координатами (x, y, z)
точки
ус-вектора
направленные отрезки в
вующие базисным векторам
e
(0,1,0),
2
ства
3
e называют координаты ради-
0
(рис. 4.1), где , , ijk –
3
, соответст-
e
(0,0,1) векторного простран-
3
3
при отображении (4.1) с
e
(1,0,0),
1
A ≡ 0.
0
Рис. 4.1
Таким образом, по построению операции откладывания вектора в
приходим к векторному равенству
3
3
,
Это равенство, с учетом фиксированной точки
взаимно однозначное соответствие между точками
()0, 0
iyjzkMM
. (4.2)
3
0,
представляет
3
M
и арифме-
тически упорядоченными тройками чисел (x, y, z) и позволяет опреде-
3
лить координаты всех точек М евклидова пространства
.
Для вычисления длин отрезков и углов между ними воспользуемся
свойством 1 операции откладывания отрезка, и группой аксиом ска-
61
лярного произведения, согласно которой имеют место следующие
x
Е
свойства скалярного произведения (3.6), (3.8), (3.9), (3.10) из §3.
Пусть требуется найти длину отрезка
динаты его концов
, ,(),
=
xy yz z
212121
, )(,Ax y z
111
и
из формулы (3.10) находим длину
||AB , если заданы коор-
, , ).(Bxyz
222
Учитывая, что AB =
Пусть
отрезки в
2
()( )()||AB AB x x y y z z . (4.3)
AB =
3
и пусть их координаты:
, )(,au v w и
11 1
222
21 21 21
CD
=
, )(,bu v w – направленные
22 2
, , (),au v w
11 1
, , ,()vbu w в
11 1
3
.
Тогда, используя формулы (3.6), (3.9), (3.10), получаем формулу для
косинуса угла, образованного векторами
ab
cos( ^ )
ab
ab
22 2 22 2
uvw uvw
11 1 22 2
a и :b
uu vv ww
12 12 1 2
. (4.4)
Определение
Арифметической, или координатной, моделью трёхмерного евкли-
3
дова пространства
называется множество упорядоченных троек
чисел (x, y, z) определяемых соответствием (4.2) вместе с формулами
длины отрезка (4.З) и углов между направленными отрезками (4.4),
выраженными через скалярное произведение. Арифметическую мо-
дель трехмерного евклидова пространства будем обозначать
3
.R
Вывод 1
Для построения координатной модели трёхмерного евклидова пространства требуется задать:
геометрическую модель направленных отрезков трехмерного
3
векторного пространства
векторного пространства
структуру скалярного произведения, посредством которого вы-
и изоморфную ей модель координатного
3
;Е
числяются длины и углы;
структуру операции откладывания вектора, состоящую из трёх
аксиом Вейля.
62
Основные объекты геометрии – точки, прямые и плоскости в 3,R
M
N
M
M
R
R
R
Е
определяются на «языке» векторов и координат и позволяют построить
множество геометрических фигур. Рассмотрим пример такого построения.
Построение плоскости. Пусть плоскость П определяется точкой
, ) (,
xyz и вектором нормали , .(),
00 0 0
ABC Это эквивалентно
тому, что если М (x, y, z) – произвольная точка плоскости П, то
M ,N что эквивалентно условию
0
MN= 0, или в координат-
0
ной форме:
()( )( 0)xxA yyB zzC
Таким образом, искомая плоскость П в
.
000
3
– это множество троек
чисел (x, y, z), удовлетворяющих этому алгебраическому уравнению.
Что даёт это уравнение? Оно позволяет для любой точки, заданной
своими координатами, выяснить, где лежит эта точка: на плоскости,
под плоскостью или над плоскостью.
Аналогичным образом, в виде алгебраических соотношений представляются все геометрические объекты в
3
и их метрические харак-
теристики: длина, углы, площади и т.д.
Вывод 2
Решение геометрических задач в модели
3
сводится к решению
алгебраических задач: уравнений, систем уравнений, неравенств.
4.2. Арифметическая модель многомерного
евклидова пространства
Мы отмечали в п. 2.3, §2, что аксиоматика Д. Гильберта не может
быть обобщена для построения модели геометрии высоких размерностей в мыслимом многомерном евклидовом пространстве. Обратимся к
схеме Г. Вейля, согласно которой строилось арифметическое про-
странство
вспомогательного векторного пространства
3
.R На самом деле эта схема не зависит от размерности
n
.
При n = 2 и n = 3 она
просто одна и та же, и отличается набором координат. В случае «мыслимой» многомерной геометрии операция откладывания вектора (1)
является формальным определением множества точек арифметическо-
63
го n-мерного евклидова пространства ,
R
R
Е
R
R
R
E
R
n
ения
при n > 3 такая же, как и при n 3, и состоит в реализации
n
а в остальном схема постро-
следующих трёх групп аксиом:
1. Группа аксиом векторного пространства. Эта группа включает
восемь аксиом векторного пространства, сформулированных в п. 3.1 и
дополнительную девятую аксиому размерности, сформулированную в
п. 3.2. Эти аксиомы определяют арифметическую модель
n
n-мер-
ного векторного пространства, см. п. 3.3.
2. Аксиомы скалярного произведения. Сюда входят три аксиомы
1) – 3), см. (3.7), приведенные в виде свойств в п. 3.4.
3. Аксиомы откладывания векторов. Эта группа аксиом состоит из
трех свойств операции откладывания векторов, определенной в начале
этого параграфа.
Вывод 3
Система аксиом Г. Вейля определяет абстрактное n-мерное ариф-
метическое евклидово пространство ,
n
в котором основные геомет-
рические объекты – точки, прямые, плоскости размерности 2, 3, ...,
n – 1 – задаются системами алгебраических уравнений. При n > 3 отсутствует «геометрическая модель» евклидова пространства, отождествляемая с реальными объектами. Например объектами четырёх-
4
мерного арифметического пространства
являются лишь мыслимые
объекты, представляемые арифметической моделью и «несущие гео-
3
.
метрические свойства» по аналогии с
Именно поэтому для опре-
деления координат точек «мыслимого» многомерного евклидова пространства требуется аксиома 3 – существования хотя бы одной точ-
ки O, для которой определена операция откладывания векторов из
и которая считается началом координат в
4
(0,0,0,0) .OR
:
4
4
Замечание о схеме Г. Вейля
Способ построения декартовой системы координат на плоскости и
в пространстве известен всем из школьного курса математики. Этот
способ состоит из изображения трёх взаимно перпендикулярных числовых осей OX, OY, OZ пересекающихся в общей точке О, которая
является началом координат. Координатами точки М евклидова пространства считается упорядоченная тройка чисел (x, y
, z), которая по-
лучается в результате ортогональной проекции точки М на координат-
64
ные оси. Такой способ построения координат опирается на наше визуальное представление и не может быть использован для построения
арифметической модели многомерного пространства. Гениальность
схемы Г. Вейля заключается в том, что операцию построения координат в двухмерном и трёхмерном случаях он представил как интеллектуальную операцию и эту операцию реализовал тремя
аксиомами откладывания вектора. Эти три аксиомы не зависят от размерности векторного пространства и с использованием структуры векторного пространства и скалярного произведения позволяют построить многомерную координатную модель евклидова пространства.
Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии по Вейлю
наиболее распространенная схема построения арифметической модели
n
R
, применяемой в задачах линейного программирования, исследования операций и других задачах физики, математики, информатики и
естествознания.
4.3. Вопросы и задания к теме
«Модель Вейля евклидовой геометрии»
Вопросы
1. Какие аксиомы позволяют вычислять длины отрезков и углы в
многомерной геометрии?
2. Чем отличается аксиоматика Вейля трёхмерного евклидова про-
странства от многомерного?
3. Как задаются точки в модели Вейля? Как задаются координат-
ные плоскости?
4. Как задаются плоскости в модели Вейля?
Задания
1. Сформулируйте аксиоматику Вейля многомерной евклидовой
геометрии.
2. Дайте геометрическую интерпретацию аксиомам Вейля 1 – 3.
3. Задайте следующие геометрические объекты в модели Вейля:
– шар и сфера в трёхмерном пространстве;
– шар и сфера в многомерном пространстве.
4. Постройте примеры других геометрических объектов.
65
§ 5. Модель А. Пуанкаре плоскости Лобачевского
5.1. Основные понятие модели А. Пуанкаре
плоскости Лобачевского
Для того чтобы разобраться с такими структурными свойствами
аксиоматических систем, как непротиворечивость и независимость
(эти свойства будут изучаться далее в §7), а также для того, чтобы
разобраться с исторической проблемой пятого постулата, нам потребуется познакомиться с одной из моделей плоской неевклидовой геометрии Н.И. Лобачевского – моделью А. Пуанкаре.
Напомним,
вместе с остальными аксиомами II-V групп образуют систему 15 аксиом евклидовой плоскости, (см. п. 2.2 §2). Заменим в этой группе аксиом аксиому параллельности евклидовой геометрии на следующую аксиому параллельности Н.И. Лобачевского.
V’. Аксиома параллельности Лобачевского
Через любую точку A, не инцидентную прямой a, можно провести
в плоскости, определяемой точкой A и прямой a, по крайней мере, две
различные прямые, не пересекающиеся с прямой a.
Определение плоскости Лобачевского
Плоскостью Лобачевского называется мыслимая планиметрия,
определяемая аксиомами 1-3 группы I, всеми аксиомами групп II-IV
системы аксиом Д. Гильберта и аксиомой параллельности V’ Лобачевского.
Эта модель неевклидовой геометрии была опубликована Н.И. Лобачевским в его известной работе «О началах геометрии» в журнале
«Казанский вестник» в 1829–1830 гг. Созданная им геометрия получила название мыслимой
мени в математическом мире отсутствовала общепризнанная реализация этой модели.
Тот факт, что существует хотя бы одна прямая, проходящая через
точку A вне прямой a и не пересекающая прямую a, было доказано еще
Евклидом без ссылки на постулат о параллельности, см. замечание 4,
§2. Одна
более одной прямой, не имеющей общих точек с a, была построена
великим французским математиком Жюль Анри Пуанкаре (1854–
1912). Эта модель (опубликована около 1883 г.) представляет множе-
что аксиомы 1-3 из I-й группы аксиом Д. Гильберта
геометрии, так как в течение длительного вре-
из моделей, в которой через точку A вне прямой a проходит
66
ство точек полуплоскости, на которой «прямые» определены так, что
l
реализуются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского, включая неевклидову аксиому параллельности Лобачевского.
Рассмотрим кратко эту модель, опуская доказательства, которые
можно найти, например, в интернете по ключевым словам «Модель
Пуанкаре плоскости Лобачевского».
Представление основных объектов – точек и прямых
в модели Пуанкаре
Пусть l – произвольная прямая евклидовой плоскости.
1. Точками плоскости Лобачевского будем называть все точки од-
ной из полуплоскостей, например, верхней, лежащих по одну сторону
от l.
2. Прямыми плоскости Лобачевского назовем либо вертикальные
лучи, лежащие в заданной полуплоскости, либо полуокружности с
центрами на l, также лежащими в этой полуплоскости, рис. 5.1.
A
C
B
O
Рис. 5.1
3. Прямая l представляет «бесконечно удаленные точки» плоскости
Лобачевского и называется абсолютом (абсолют можно рассматривать
как параметризацию направлений прямых).
4. Углы между прямыми – это обычные евклидовы углы, образованные касательными в точке пересечения полуокружностей, представляющих эти «прямые», рис. 5.1.
5. Движение в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского представляется специальными дробно-линейными преобразованиями
верхней
полуплоскости на себя. Это преобразование сохраняет отношение 4-х
точек, через которое определяется функция расстояния между двумя
точками в модели Пуанкаре. Мы не будем иллюстрировать свойства
конгруэнтности на плоскости Лобачевского, поэтому не приводим
свойства дробно-линейных отображений и формулы, представляющие
67
функцию расстояния. Подробно изложение свойств движения в моде-
x
B
x
x
x
x
x
x
х
x
x
ли Пуанкаре плоскости Лобачевского можно так же найти в интернете
по ключевым словам «движение в модели Пуанкаре плоскости Лобачевского».
В модели, определяемой перечисленными выше условиями 1-5,
выполняются все 15 аксиом планиметрии Лобачевского. Эту модель
будем обозначать
L
и ограничимся проверкой нескольких аксиом.
2
Проверим две первые аксиомы I группы. Они должны определять
единственную прямую в модели
L по двум любым точкам. Пусть
2
абсолют l – линия OX в евклидовой плоскости. Тогда уравнения
окружностей с центром в точках
xyR. (5.1)
, ()Ax О l и радиусом R имеют вид:
0
22 2
()
0
Две точки
, , ,()( )
xy Cx y лежат на некоторой «прямой» то-
11 2 2
гда и только тогда, когда их координаты удовлетворяют уравнению (5.1) для некоторых значений
xyR
10 1
xyR
20 2
В полученной алгебраической системе уравнений числа x
y
заданы, а величины
2
и R – искомые. Раскрывая квадраты и вычи-
0
и R:
0
222
)(,
222
(5.2)
.()
1
, y1 и x2,
тая второе уравнение из первого, находим
2222
–– () 2–
xyy xxx .
1212 012
Откуда
2222
xyy
1212
x
Это решение определено, если
общем перпендикуляре
xx
12
0
xx
2)(
12
12
к оси OX. (Если
перпендикуляр представляет искомую «прямую» в
Подставляя найденное значение
в любое из уравнений (5.2), нахо-
0
,xx т.е. точки B и C не лежат на
,
xx
12
2
то этот
,L рис. 5.2, a).
68
дим значение радиуса R. Тем самым найдена «прямая», моделируемая
B
A
x
x
B
полуокружностью (5.1), проходящей через точки B и C. Эта окружность единственна, и в модели
L представляет единственную же
2
«прямую» , инцидентную точкам B и C (рис. 5.2, б).
C(x2, y2)
(x1, y1)
O
x1 = x2 = x
а б
x
O
Рис. 5.2
0
Таким образом, аксиомы 1 и 2 группы I выполнены. Аксиома 3
этой группы выполняется очевидным образом.
Оставляя проверку аксиом группы II-IV, займемся проверкой акси-
омы V' (параллельности по Лобачевскому) в модели
некоторая прямая и точка A в модели
,L рис. 5.3. Пусть и AB
2
.L Пусть
2
точки на абсолюте l, представляющие бесконечно удаленные
точки прямой , рис.5.3. Используя формулу (5.1) точно так же,
как при проверке аксиом 1-2
группы I, заключаем, что существует единственная окружность
с центром на l, проходящая через
,A
точки A и
, (),AA
и, аналогично, един-
1
ственная окружность
рис. 5.3. Полуокружности
в верхней полуплоскости
обозначим ее
2
, (),AB
и
12
L
2
Рис. 5.3
моделируют две прямые, параллельные прямой , так как имеют с ней
и ,AB
общие точки
лежащие на абсолюте l
12
69
и являющиеся, по определению, бесконечно удаленными точками.
Кроме этого, существует еще бесконечно много прямых , представляемых окружностями, проходящими через точку A внутри вертикально-
го угла, образованного
точек с в
L даже на абсолюте и называются прямыми, расходящи-
2
и (рис. 5.3). Эти прямые не имеют общих
12
мися с .
Следствие 1
В плоскости
L через точку A вне прямой проходит бесконечное
2
множество прямых, не имеющих общих точек с (расходящихся с ).
При этом существует в точности две параллельные
и , имеющие
12
общие точки с на абсолюте l:
12
, ,AlA l
Вывод
В модели L2 выполняются 15 аксиом планиметрии Лобачевс-
кого.
5.2. Основные неевклидовы факты
в планиметрии Лобачевского
Принятие столь экзотической аксиомы параллельности V' позволя-
ет «обнаружить» (точнее, строго доказать) на плоскости
L неевкли-
2
довы «эффекты», т.е. такие отношения между геометрическими объектами, которые не реализуются в евклидовой плоскости.
Ограничимся иллюстрацией ряда свойств взаимного расположения
L
прямых на плоскости
. Строгое доказательство этих фактов можно
2
найти, например, в [2].
1. Сумма углов многоугольника в плоскости
L .
2
Рассмотрим треугольник (рис. 5.4, а) с вершинами, лежащими на
абсолюте. Так как по определению абсолюта вершины
, , АА А
123
бесконечно удалены, то этот треугольник образован тремя прямыми –
сторонами
, и АА А
12 3
«прямые»
, и АА АА А А бесконечной длины. Так как в вершинах
12 13 2 3
окружности касаются друг друга, то представляемые ими
, и АА АА А А образуют нулевые углы между собой.
12 13 23
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]