Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Структурные свойства математического языка. Учебное пособие
.pdf
раз так, что конец предыдущего откладывания есть начало следующего
и два последовательных отрезка имеют только одну общую точку,
рис. 2.2).
n CD
AC D 2 СD … B n CD
Рис. 2.2
19. Аксиома Кантора. Пусть на прямой дана последовательность
отрезков [A
, B1], [A2, B2], …, [AN, BN], …, удовлетворяющая двум тре-
1
бованиям: 1) каждый последующий отрезок содержится в предыдущем 2) не существует отрезка, принадлежащего всем отрезкам последовательности. Тогда существует точка M, принадлежащая всем отрезкам последовательности, рис. 2.3.
[ [ [ … … ] ] ]
A1 A2 A
Аксиомы непрерывности 18-19 в геометрии и аксиомы непрерывности Архимеда и Кантора действительных чисел позволяют установить взаимно однозначное соответствие между значениями длин всех
отрезков и действительными числами так, что конгруэнтным отрезкам
соответствуют равные значения длин.
Замечание 2
Геометрия, построенная на 19 аксиомах групп 1-4, называется абсолютной геометрией. В этой геометрии ещё нет понятия параллельности прямых и параллельного переноса, поэтому ей принадлежат те и
только те утверждения, которые не используют явно или неявно свойство параллельности прямых линий.
. . . M . . . B3 B2 B
3
Рис. 2.3
1
Замечание 3
Конгруэнтные отрезки в абсолютной геометрии имеют равные
длины, а конгруэнтные фигуры – равные числовые меры углов, пло-
41
щадей и объемов. Поэтому отношение двух фигур «быть конгруэнт-
B
ными» в абсолютной геометрии превращается в числовые равенства
длин, углов, площадей и объемов фигур или их частей.
В абсолютной геометрии определено расстояние (А, В) между
любыми точками А и В, если определено понятие длины отрезка на
прямой.
(А, В) =
длине отрезка АВ.
Расстояние обладает свойствами:
(А, В) > 0А ≡ В;
(А, С) (А, В) + (В, С), А, В, С
Причем равенство выполняется только для точек А, В, С, лежащих
на одной прямой так, что A < B < C.
Вывод 3
Абсолютная геометрия содержит понятия числовых равенств
элементов фигур (сторон, углов и т.д.). В этой геометрии существует понятие «близости» и «непрерывности» основанные на понятии
расстояния между точками фигур.
2.2.5. Группа 5. Аксиома параллельности (евклидовой геометрии)
20. Через любую точку А, не инцидентную прямой a , можно провести в плоскости (определяемой этой точкой А и прямой a) не более
одной прямой, не пересекающейся с a.
Замечание 4
То, что через точку А вне прямой a можно провести хотя бы одну
прямую b не пересекающуюся с a, где аb = , мог доказать еще
Евклид.
Действительно, опустим перпендикуляр АВ на прямую a. Затем
восстановим в точке А перпендикуляр b к прямой АВ (рис. 2.4).
A
b
P
a
Рис. 2.4
42
Если существует пересечение прямых a и b в точке Р, то в треугольнике АВР имеем прямой угол В равный внешнему прямому же
углу при вершине А. Это противоречит теореме о внешнем угле треугольника (доказанной на основании 1-3 групп аксиом!). Следовательно, bа = .
Итак, одна прямая, проходящая через
точку и не пересекающая заданную прямую, существует. Но другую, отличную от этой, прямую
никто построить не мог. Это породило иллюзию, что аксиома параллельности (V-постулат в «Началах» Евклида) может быть доказана. На
протяжении почти двух тысяч лет геометры пытались вывести V постулат из остальных, рассуждая от противного. Лишь в XIX веке
Николаю Ивановичу Лобачевскому (1792–1856) удалось построить мыслимую непротиворечивую геометрию, основанную на отрицании
V постулата. Историческую роль V постулата мы исследуем отдельно,
познакомившись с требованиями, предъявляемыми к системе аксиом.
2.3. Два недостатка аксиоматики Д. Гильберта
Огромное значение аксиоматики Д. Гильберта для всей математики, и геометрии в частности, неоспоримо и продолжает исследоваться
до сих пор. А о той роли, которую сыграли выделенные ниже два «недостатка» упоминается нечасто, так как эти «недостатки» не влияют на
формирование дедуктивной схемы в евклидовой геометрии. Можно
сказать, что эти «недостатки
» составляют суть дедуктивной схемы
формирования евклидовой геометрии.
Первым недостатком является «язык» аксиоматики. Дело в том, что
часть формулируемых аксиом содержит понятия, обоснование которых проводится на уровне теорем существования, доказываемых из
предыдущих аксиом. Например, формулировка аксиомы Паша требует
понятия отрезка и существования его внутренних точек (последнее
приходится доказывать на основе
уже сформулированных ранее аксиом, см. теорему 4 в группе 2 аксиом порядка). Далее, требование откладывания конгруэнтного угла с заданной стороны прямой в аксиоме
16, требует доказательства существования двух сторон, на которые
всякая прямая разбивает плоскость. Есть еще немало замечаний, которые, вместе с отмеченными выше двумя, приводят к вопросам о взаимной совместимости и зависимости аксиоматических требований и
критериях проверки этих требований.
Второй «недостаток» состоит в том, что описание отношений меж-
ду основными геометрическими объектами – точками, прямыми и
43
плоскостями, приведенное в аксиоматике Д. Гильберта, не может быть
индуктивно перенесено на «мыслимые» свойства «мыслимых» же геометрических объектов размерности большее трех. Необходимость построения многомерной геометрии была продиктована задачами аналитической механики систем n-точек уже в XIX веке. В XX веке модель
многомерной геометрии возникла в экономических задачах линейного
программирования и
других задачах естествознания и социальной
практики человека, а к концу ХХ века появились компьютерные модели, где размерность геометрического пространства определялась пиксельной размерностью мониторов персональных компьютеров (об
этом будет сказано при построении векторных структур).
2.4. Структурный характер аксиоматики Д. Гильберта
Аксиоматический подход, предложенный Д. Гильбертом, представил математическому миру совершенно новую дедуктивную схему
систематизации геометрических знаний в виде геометрического языка.
Выясним суть этой схемы.
При построении аксиоматики выделяются основополагающие объекты Q(Q
, Q2, Q3) теории (в геометрии это точки, прямые и плоско-
1
сти), которые изначально не определяются и имеют эмпирическое
(опытное) происхождение, а строительная роль выделенных объектов
раскрывается аксиоматикой. Каким образом? Задаётся основной набор
отношений (они перечислены в предыдущем пункте) P(P
(в которые вступают объекты Q(Q
, Q2, Q3) и формируют как новые
1
, P2, …, P5)
1
отношения, так и новые объекты. Отношения P между объектами Q
регулируются аксиомами T(T
, T2, …, T20).
1
В течение нескольких десятилетий после появления аксиоматики
Д. Гильберта, по этой схеме были построены основные математические языки, которые стали называться системами или структурами.
Именно по такой схеме мы построили системы натуральных, рациональных и действительных чисел. И по этой же схеме продолжим построение следующих математических языков.
2.5. Вопросы и задания к теме
«Аксиоматическое обоснование евклидовой геометрии»
Вопросы
1. Какую роль играют аксиомы и постулаты в «Началах» Евклида?
2. Каково историческое значение «Начал» Евклида?
44
3. Почему аксиоматика Гильберта разбита на пять групп?
4. Как устроена схема аксиоматики Гильберта?
5. Какие недостатки имеет аксиоматика Гильберта?
6. Почему систематизация математических языков по дедуктивной
схеме начиналась с геометрического языка, а не с более «простых»
числовых систем?
Задания
1. Объяснить назначение группы 1 аксиоматики Гильберта и при-
вести примеры утверждений, доказываемых в этой группе.
2. Объяснить назначение группы 2 аксиоматики Гильберта и при-
вести примеры утверждений, доказываемых в этой группе.
3. Объяснить назначение группы 3 аксиоматики Гильберта и при-
вести примеры утверждений, доказываемых в этой группе.
4. Объяснить назначение группы 4 аксиоматики Гильберта и при
вести примеры утверждений, доказываемых в этой группе.
5. Объяснить назначение группы 5 аксиоматики Гильберта и при-
вести примеры утверждений, доказываемых в этой группе.
§3. Структура векторного пространства
3.1. Модель направленных отрезков
Рассмотрим следующую задачу. Нам надо переплыть речку, и мы
должны определить положение такой точки В, в которой мы достигнем
противоположного берега, если начинаем плыть из точки А (рис. 3.1, а).
Изобразим скорость пловца направленным отрезком
V
речки направленным отрезком
длин направленных отрезков должно соответствовать отношению числовых значений скоростей пловца и речки, а направление этих отрезков должно соответствовать направлениям течения речки и пловца.
Эксперимент показывает, что из точки А нижнего берега мы попадём
в точку В на верхнем берегу, как это указано на
Теория этого эксперимента такова. Результирующая скорость
пловца изобразится направленным отрезком, полученным сложением
отрезков
v и
V
по правилу параллелограмма (рис. 3.1, б).
(рис. 3.1, б), при этом, отношение
рис. 3.1, б.
v , а скорость
U
-
45
B
речка
B
A
A
V
речка
v
Vv
A
а б
Рис. 3.1
A
V
Правило параллелограмма сложения скоростей было открыто
опытным путём, а знаковая система направленных отрезков возникла
как инструмент описания эксперимента. Различные задачи механики
и физики используют модели, элементами которых являются объекты, характеризуемые величиной действия в заданном направлении,
как в только что рассмотренном примере. Такими объектами являются силы, скорости, ускорения и др
. Над этими объектами определены
операция сложения по определенному выше закону параллелограмма
и операция умножения на число. При этом как сами объекты, так и
результаты операции над ними не зависят от параллельного переноса
в пространстве.
Сформулируем нашу главную задачу.
Задача А. Построить систему свойств (аксиоматику), достаточную
для описания модели направленных отрезков с операциями сложения
по правилу параллелограмма и умножения на число.
Решение сформулированной задачи состоит из двух частей. В первой части надо определить понятие направленных отрезков, определить указанные операции, и установить
основные свойства этих опе-
раций. Во второй части надо указать критерии, согласно которым проверяется, что сформулированных
основных свойств достаточно для
однозначного описания модели.
Приступим к решению первой части
резок
B
есть отрезок AB заданной длины, направленный параллельно
задачи А. Направленный от-
некоторой прямой l, причем порядок пары точек означает, что точка А –
начало, В – конец направленного отрезка. Для простоты будем направ-
ленные отрезки обозначать также одной буквой
B = , и т.д.
Так как направление и длина направленного отрезка не зависят от
параллельного переноса, то направленный отрезок изображает класс
46
направленных отрезков, совместимых параллельными переносами.
Этот факт будем называть инвариантностью направленного отрезка
относительно параллельного переноса.
На множестве направленных отрезков
, , ab определим опера-
ции сложения и умножения на действительное число и установим
свойства этих операций.
Суммой направленных отрезков
резок
конец, что и
местить с концом
,с ab который имеет то же начало, что и отрезок a и тот же
,b если начало отрезка b параллельным переносом сов-
a (рис. 3.2, а).
и ab назовем направленный от-
= +
а б
Рис. 3.2
Учитывая инвариантность направленного отрезка относительно параллельного переноса, заключаем, что
c является направлен-
ной диагональю параллелограмма, построенного на сторонах
(рис. 3.2,
а правило сложения (
б). Правило сложения (а) называется правилом треугольника,
б) – правилом параллелограмма.
Сложение обладает свойствами:
1.
2.
и ab
, и ab c () ()ab ca bc
3. Существует вектор
abba
0 такой, что
0aa
a
(0 – нулевой
вектор)
4.
a
«»a
положным вектору
такой, что ()0aa
)a
.
.
( a
называется противо-
Доказательство свойств 1 и 2 схематично изображены на рис. 3.3, а
и б.
и ab
47
B
A
A
B
+
+
+
+
а б
Рис. 3.3
( + )+ = +( + )
Свойство 3 представляет возможность вырождения в точку одного
из слагаемых:
, 0AB BB AB BB
.
Свойство 4 представляет правило сложения
0AB BA AA
,
. Длину направленного отрезка a
=
||
B
.
||
A
направление c то же, что и у
где естественно считать
|.|a
будем обозначать
Очевидно, что
Операция умножения отрезка
ный отрезок
отрезка
, если > 0, и обратное, если < 0.
a
.ca Длина
A
= –
B
a на число определяет направлен-
||||||;ca
Свойства операции умножения:
1. a a ·1 = a .
2. , R и
3. R и
4. , R и
a ( a ) = ( ) a .
b
,
a
(a
+ )b =
a ( + ) a = a + a .
a
+
.b
Доказательство четырёх свойств сложения (два мы уже доказали)
и четырёх свойств умножения на число для направленных отрезков
можно найти в школьных учебниках, и мы их опускаем.
Теперь сформулируем понятие вектора как элемента модели
направленных отрезков.
Определение
Направленные отрезки с операциями сложения по правилу треугольника (параллелограмма) и умножения на число называются
векторами геометрической модели направленных отрезков.
48
В силу инвариантности направленных отрезков относительно па-
раллельного переноса заключаем, что: 1) вектор – это класс направленных отрезков, определяемый всеми параллельными переносами
любого из его представителей; 2) свойства операций сложения векторов и умножения на число так же инвариантны относительно параллельного переноса.
Множество всех векторов назовем векторным пространством,
а построенную модель направленных отрезков - геометрической
моделью векторного пространства направленных отрезков.
Первая часть сформулированной задачи A нами решена. Для решения второй части этой задачи построим ещё одну модель – арифметическую (координатную) модель векторного пространства.
3.2. Построение арифметической модели
векторного пространства направленных отрезков
В этом пункте для направленных отрезков, являющихся элементами геометрической модели векторного пространства, мы построим
координатную (арифметическую) модель так, что нам потребуются
лишь восемь свойств направленных отрезков сформулированных выше и следующая теорема размерности.
ab c
Выражения вида
называются линейными комби-
нациями векторов с действительными числами.
Теорема размерности
1. Пусть вектор a параллелен вектору
ственное xR такое, что
a =
2. Пусть два вектора
плоскости, и пусть вектор
e
лен вектору
. Тогда всякий вектор b
2
e
.xe
1
e
и
1
лежат в
2
e
не паралле-
1
,e
тогда существует един-
1
этой плоскости (рис. 3.4) есть единственная линейная комбинация векторов
e
и
:
2
e
1
bxe ye
12
.
49
Рис. 3.4
e
x
y
e
3. Пусть векторы
всякий вектор
,
1
d
есть их единственная линейная комбинация:
e
и
2
dxe ye ze .
не лежат в одной плоскости. Тогда
3
123
Доказательство проведем только для второго случая.
Выберем произвольную точку О на плоскости и отложим из нее
e
векторы
проекции вектора
e
,
и .b На направления
1
2
,b рис. 3.4, обозначив их, соответственно, х
Тогда получим требуемое равенство
e
e
и
1
b
=
отложим направленные
2
и у2.
2
e
e
+
. Случай 2 доказан.
1
2
Случай 1 – тривиален, а случай 3 доказывается аналогично с построением параллелепипеда.
e
e
и
Будем говорить, что векторы
, рис. 3.4, образуют векторный
1
2
базис на плоскости векторов, а числа х и у в этом разложении назовем
координатами вектора
b
в этом базисе. Аналогично можно определить базис на прямой и в пространстве, используя случаи 1 и 3 рассмотренной теоремы.
Таким образом, каждый вектор имеет свои координаты в заданном
базисе и, наоборот, всякая тройка чисел (x, y, z) (в заданном порядке)
определяет единственный вектор в этом базисе.
Вывод 1
e
e
Если в пространстве задан базис {
1
e
,
,
}, то между множе-
2
3
ством векторов геометрической модели направленных отрезков и
упорядоченными тройками чисел (x, y, z) установлено взаимнооднозначное соответствие
a ↔ (x, y, z), (3.1)
которое определяется разложением вектора
axeyeze
123
.
в заданном базисе:
a
Чтобы объявить множество упорядоченных троек чисел (x, y, z)
арифметической или, что то же, координатной моделью трехмерного
векторного пространства, нам надо определить операции сложения
векторов и умножения на число в координатной форме, учитывая
определения этих операций в геометрической модели направленных
отрезков.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]