Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Структурные свойства математического языка. Учебное пособие
.pdf
ГЛАВА III
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ
СЛУЧАЙНЫХ СОБЫТИЙ
§ 9. Понятие вероятности случайного события
9.1. Необходимость изучения случайных событий
Изучение аксиоматического метода построения математических
моделей мы закончили неутешительным выводом о том, что если нам
не известны все базовые положения – аксиомы модели, которую мы
собираемся построить, или мы не уверены в полноте набора базовых
аксиом модели, то нас могут ожидать парадоксальные выводы в виде
логических противоречий. Что же делать, когда нельзя
логику языка? Выход один, положиться на исход события в виде благоприятного случая, если, первое, мы можем вычислить меру интересующего нас благоприятного исхода и, второе, эта мера нас устроит
при принятии определённого решения.
Рассмотрим традиционный пример бросания монеты. Известный
математик К. Пирсон бросал монету 24 000 раз (вот это
при этом сторона с гербом выпала 12 012 раз. Никакими логическими
построениями предугадать исход именно с таким числом выпадения
орла нельзя. Но можно обратить внимание на то, что при каждом бросании монеты допустимо два равновозможных исхода, и при 24 000
бросаниях почти половина приходится на каждый из них. В известных
учебниках по
десяти серий по 1000 бросаний монеты: 529, 504, 528, 507, 476, 504,
529, 497, 518, 502. Таким образом, мы видим, что при многократном
повторении эксперимента (бросания монеты) наблюдается тенденция
равновозможных реализаций двух сторон монеты.
Приведём ещё один пример. В России в последнее десятилетие
ежегодно попадают под автомобили и погибают порядка 36 000 чело-
теории вероятности приводятся следующие результаты
положиться на
терпение!), и
101
век, в один день это порядка 100 печальных случаев по стране. Из многомиллионного населения страны проезжую часть ежедневно переходит не менее порядка 50 000 000 пешеходов (некоторые пешеходы
пересекают дорогу многократно). Таким образом, шанс оказаться среди этих 100 несчастных случаев составляет что-то около 0,0002 %.
Логически мы не можем предопределить исход такого печального со
-
бытия, но столь малый процент прогноза нас не только не пугает, но и
ничему не учит (к сожалению, люди часто переходят проезжую часть в
неположенном месте).
Этот второй пример принципиально отличается от первого. В первом примере мера появления герба при бросании монеты имеет тенденцию: каждая сторона любой монеты
имеет половину шансов. Во
втором примере мера несчастного случая 0,0002% неодинакова для
всех пешеходов, эта мера очень сильно зависит от культуры пешехода.
Объективности ради следует сказать, что математики научились
измерять долю «удачи» при ожидании «необходимого» нам случая,
для этого был построен специальный математический язык – теория
вероятности.
Вывод. Когда нельзя положиться на логику языка, мы ищем
возможность вычислить меру возможности реализации интересующего нас случая.
9.2. Относительная частота и вероятность
случайного события
Если событие неизбежно произойдёт, его называют достоверным,
если событие в данных условиях не реализуется, его называют невозможным событием. Событие, которое при данных обстоятельствах
может реализоваться или не реализоваться, называют случайным событием.
Мерой реализации случайного события является его вероятность,
как мера объективной возможности. Существование меры объективной возможности реализации случайного
события объясняется следующим образом. Будем многократно повторять испытания, при которых
возможна реализация случайного события
n
таких испытаний, и пусть
испытаниях. Отношение
стотой случайного события А.
– число реализации события А в этих n
A
p
= n
A
/n называется относительной ча-
A
Если при многократном повторении
А. Пусть n – общее число
испытания относительная частота имеет тенденцию группироваться
P
около некоторого числа
, то это число объективно является мерой
A
102
реализации случайного события А и называется вероятностью этого
случайного события.
В первом примере п. 9.1, при бросании монеты, случайное событие –
выпадение орла имеет вероятность
p
частота
имеет тенденцию группироваться около значения 1/2. Во
A
1/2. В этом примере относительная
втором примере относительная частота - показатель трагических происшествий на дороге, меняется из года в год, зависит от города, от дисциплинированности пешеходов и водителей и так далее, и не имеет
тенденции группироваться около некоторой величины. Поэтому случайное событие этого примера не имеет точного измерения в виде относительной частоты
, поэтому не имеет и фиксированной вероятности.
Свойство относительных частот группироваться около некоторой
числовой величины называют
статистической устойчивостью.
Вывод 1. Случайные события, которые при многократно по-
вторяющихся испытаниях не проявляют свойство статистической устойчивости, не обладают такой характеристикой как вероятность.
Замечание. Вероятность достоверного события равна единице,
вероятность невозможного события равна нулю.
Пример.
Бросается кубик с шестью гранями, помеченными цифрами 1, 2, 3, 4, 5, 6. Вероятность того, что при бросании кубика реализуется одно из этих чисел, равна 1/6. Реализация любого другого числа
при однократном бросании есть невозможное событие и его вероятность равна нулю. Реализация хотя бы одного из чисел 1,2,…,6 при
одном бросании есть событие достоверное и
его вероятность равна
единице.
9.3. Классическое определение вероятности
Определение вероятности посредством подсчёта относительных
частот в серии испытаний дело хлопотное. Существует равнозначное,
или эквивалентное определение, основанное на некоторых дополнительных понятиях.
Случайные события A
и A2 несовместны, если реализация одного
1
из них исключает возможность реализации другого. Например, реализация грани кубика с цифрой 1 исключает при одном испытании реализацию грани с другой цифрой.
Попарно несовместные случайные события A
полную группу элементарных событий, если при каждом испыта-
ют
, A2, …, An составля-
1
нии реализуется какое-либо одно из них.
103
Случайные события A1, A2, …, An называются равновозможными,
если теоретические рассуждения о нахождении их относительных частот показывают, что их относительные частоты равны. Например,
реализации граней кубика при его бросании можно считать равновозможными случайными событиями, реализации двух сторон монеты
также равновозможные случайные события. Заметим, что если монета
прогнута, то две её стороны не являются равновозможными
событиями
при бросании. Если центр тяжести кубика находится ближе к какой–
либо грани, то реализация этой грани при бросании более вероятна,
чем реализация других граней при бросании кубика.
Будем говорить, что случайное событие A
чайному событию А, если реализация A
влечёт реализацию события А.
k
благоприятствует слу-
k
Например, случайному событию «при бросании кубика выпадет число
равное или меньшее трёх» благоприятствуют реализации граней с номерами 1, 2 и 3.
Определение. Пусть n попарно несовместных случайных собы-
тий образует полную группу элементарных событий и пусть случайному событию А благоприятствуют n
случайных событий из
A
этой полной группы, тогда вероятностью события А называется
число, равное отношению
Пример 1.
Какова вероятность того, что сумма чисел, выпавших
P
= nA / n
A
при двух бросаниях кубика, окажется больше 10?
Решение. При двух испытаниях полная группа элементарных равновозможных исходов состоит из 6х6 = 36 исходов: (1,1), (1,2), …,
(1,6); (2,1), …, (2,6); …; (6,1),…, (6,6). Сумме больше десяти благоприятствуют три исхода (5,6), (6,5), (6,6). Поэтому искомая вероятность
есть 3/36 = 1/12.
Пример 2. Вероятность того, что при семи бросаниях кубика вы-
падет сумма, не меньшая семи, равна единице, так как это событие
достоверное.
9.4. Вопросы и задания к теме
«Понятие вероятности случайного события»
Вопросы
2. Как соотносятся относительная частота случайного события и
его классическая вероятность?
3. Всякое ли случайное событие имеет вероятность?
104
4. Какова вероятность того, что сумма очков выпадет больше трёх
p
p
при двух бросаниях кубика?
5. Можно или нет вычислить вероятность дождя на новый год?
Задания
1. Приведите примеры случайных событий, не обладающих стати-
стической устойчивостью.
2. Приведите примеры случайных событий, обладающих статисти-
ческой устойчивостью.
3. Вычислите количество равновозможных элементарных исходов
при десяти бросаниях кубика.
4. Вычислите вероятность того, что при трёх бросаниях кубика вы-
падет в сумме:
– более четырёх очков;
– менее семнадцати очков.
§10. Моделирование случайных событий
случайными величинами
10.1. Понятие случайной величины
Случайным событиям, которые могут реализоваться при некотором
испытании, по условию задачи могут быть присвоены числовые значения. Тогда можно говорить о случайных числовых величинах. Например, грани кубика можно пронумеровать числами 1, 2, 3, 4, 5, 6, тогда
можно говорить о реализации этих чисел с вероятностями 1/6. В этом
случае полную группу элементарных равновозможных исходов составляют указанные
Пусть случайные величины x
жество из n элементов, или пусть множество случайных величин x
, … нумеруется натуральным рядом 1, 2, …, n, … (в последнем
…, x
n
случае последовательность x
эти случайные величины называют дискретными случайными величи-
нами.
Если дискретные случайные величины образуют полную группу
элементарных событий, не обязательно равновозможных, то сумма их
вероятностей p
равновозможные случайные величины.
, x2, …, xn образуют конечное мно-
1
, x2, …, xn, … называют счётной), тогда
1
должна равняться единице:
k
kn
1
k
= 1,
k
k
= 1.
k
1
k
, x2,
1
105
Подробнее со свойствами случайных величин можно ознакомиться,
например, в [5].
Множество случайных величин может быть не только дискретным,
(конечным или счётным). Например, если случайное событие состоит в
том, что выбирается наугад порция отрезка или квадрата, то в качестве
случайных событий выступают геометрические объекты, а их мерой
являются геометрические меры: длина, площадь,
объём. Случайные
величины – точки, заполняющие геометрические объекты, называют
непрерывными случайными величинами.
10.2. Геометрические вероятности.
Рассмотрим две следующие задачи, иллюстрирующие суть непре-
рывных случайных величин.
1. Игра « Мексиканский ковёр»
Хозяин ковра, разлинованного на мелкие квадраты, каждый из которых несколько крупнее монеты, предлагает вам бросить на ковёр
наугад монету. Когда монета пересекает контур квадрата, тогда хозяин
ковра забирает монету себе, если монета не пересекает контур квадрата, а оказывается внутри квадрата, то хозяин отдаёт вам равнозначную
монету. Какова вероятность
выиграть или проиграть в этой игре?
Решение задачи. Можно считать, что
все квадраты равноправны, поэтому
можно ограничиться рассмотрением исходов испытаний в одном квадрате. Каждый исход однозначно определяется положением центра круглой монеты внутри
квадрата. Поэтому множество всех исходов есть множество точек квадрата со
стороной длины
а. Рассмотрим ситуацию
изображённую справа на рис. 10.1, когда
монета касается контура квадрата.
Выигрышу соответствуют исходы,
Рис. 10.1
когда центр монеты попадает во внутренний квадрат со стороной длины
а – 2r), где r – радиус монеты. Проигрышу соответствуют исходы,
(
когда центр монеты находится за пределами внутреннего квадрата.
Таким образом, множество случайных событий в данной задаче есть
непрерывная случайная величина – точки квадрата со стороной
а.
106
В качестве меры таких исходов естественно выбрать геометрическую
меру плоских фигур – площадь. Полная группа элементарных равновозможных случайных исходов в этой задаче состоит из точек внешнего квадрата. Мерой всех этих исходов является площадь квадрата
2
.Sa
1
квадрата
Благоприятные исходы измеряются площадью внутреннего
2
–()2.Sar Вероятностью выигрыша P(B) естественно
2
считать отношение меры благоприятных исходов к мере всех исходов
(2) 2
PB
ar r
2
2
a
() 1 .
2
a
В этой формуле всегда должно выполняться условие 2r
< a – диа-
метр монеты меньше стороны квадрата, иначе всегда будет проигрыш.
Для того чтобы шансов на выигрыш было больше, чем 50 %, должно
выполняться условие
1
.
a
2
2
21
r
Несложно вычислить, что это соответствует следующему соотно-
шению радиуса монеты и стороны квадрата: r
< 0,15a.
2. Задача о встрече
Предположим, что А и В имеют обыкновение обедать в кафе «Под
яблоком Ньютона», случайно заходя туда между двумя и тремя часами
дня. Каждый из них обедает двадцать минут. Какова вероятность того,
что они встретятся в кафе?
Так как
A и B случайно появляются в кафе в течение часа, то мож-
но считать, что случайная величина Х заполняет отрезок (0,1) по оси
ОХ, а случайная величина У заполняет отрезок (0,1) по оси ОУ. Тогда
полная группа равновозможных элементарных исходов представляется
точками квадрата (0,1)
Условие встречи состоит в том, что разность времён появлений
× (0,1), рис. 10.2.
А и
В не должна превышать 1/3 часа, это выражается неравенством
|1–3|xy
,
которое выделяет в квадрате точки (x, y), соответствующие благоприятным исходам – встречам
А и В, рис. 10.3. Искомая вероятность
107
Y
Y
1
y
(x, y)
0 x 1 X
Рис.10.2 Рис.10.3
1
1/3
0 1/3 1 X
встречи Р есть отношение площади заштрихованной фигуры, соответствующей благоприятным исходам, к площади единичного квадрата.
Вычисляя это отношение площадей, находим
Р = 4/9.
10.3. Парадокс Бертрана
Условия задач на геометрическую вероятность в предыдущих двух
задачах позволяют однозначно представить случайные исходы точками геометрических объектов – квадратов и их частей. На этом основании отношение меры благоприятных исходов к мере всех равновозможных исходов однозначно представляется отношением площадей
конкретных геометрических фигур.
Если условия задачи позволяют
двумя или более способами пред-
ставить случайные исходы точками некоторого множества, то число
методов решений и ответов задачи будет определяться числом таких
способов. В качестве иллюстрации приведём задачу известного математика девятнадцатого века Жозефа Бертрана.
Задача о хорде. Наугад выбирается хорда в круге. Какова вероят-
ность того, что её длина больше стороны вписанного в эту окружность
равностороннего треугольника?
Решение 1. Зафиксируем один конец хорды в произвольной точке
А на окружности. Тогда множеству всех равновозможных исходов,
образующих полную группу элементарных событий, соответствуют
любые возможные концы A
, A2,…, рис.10.4, заполняющие всю окруж-
1
ность длины 2r, где r – радиус окружности. Благоприятным исходам
108
соответствуют точки Ak, лежащие на дуге ВС, где АВС – вписанный
равносторонний треугольник. Длина дуги ВС равна 2r/3. Отношение
меры благоприятных исходов к мере всех исходов даст искомую веро-
= 1/3.
1
y
2r
B
2
2r
(x, y)
3
ятность P
A
A
1
A
B C
A
Рис. 10.4 Рис. 10.5
Решение 2. Концы хорды А и В – наугад взятые точки на окружно-
k
0 2r/3 A 2r x
сти длины 2r. Значит множество всех равновозможных исходов – это
множество точек с координатами (x,y) в квадрате со стороной длины
2r, рис. 10.5. Благоприятный исход выражается условием | x – y | >
> 2r/3. Такое условие соответствует тому, что начало и конец хорды
лежат
дальше друг от друга вдоль окружности, чем 1/3 длины этой
окружности, рис. 10.4. Мера всех исходов – площадь квадрата, равная
2
. Мера благоприятных исходов – площадь заштрихованных тре-
4r
угольников, равная 16r
есть P
= 4/9.
2
2
/9. Искомая вероятность при таком решении
Почему два решения дают два различных ответа? Всё дело в том,
что условие «наугад выбирается хорда» не позволяет: 1) единственным
способом задать соответствие между случайными исходами и точками
определённого геометрического множества; 2) нет возможности однозначно определить меру случайных исходов.
Вывод. Парадокс в задаче Бертрана возник в силу неоднозначности
толкования условия «наугад выбирается хорда».
109
10.4. Условия корректного моделирования
случайного события
Парадокс Бертрана, рассмотренный в предыдущем пункте, показывает, что не всякое случайное событие может иметь однозначную вероятность своего исхода. Пример трагического исхода с пешеходами,
рассмотренный в п. 9.1 выражает случайное событие в процентах, но
это случайное событие не имеет вероятности, так как не обладает
свойством статистической устойчивости.
Математическую модель случайного события назовём корректной, если условия, определяющие это случайное событие, позволяют однозначно вычислить вероятность этого события.
Выясним, какой комплекс условий гарантирует корректное моделирование случайного события.
Свойство статистической устойчивости случайного события, о котором говорилось в п. 9.2, гарантирует существование вероятности
случайного события. Вычисляется эта вероятность согласно классическому определению как отношение меры благоприятных исходов к
мере полной группы элементарных исходов. В качестве меры может
служить натуральное число
или геометрическая мера. Чтобы так определяемая вероятность вычислялась однозначно, надо чтобы комплекс
условий позволил единственным способом реализовать группу элементарных исходов числовым множеством, на котором определена
мера представления этих исходов.
Вывод. Случайное событие имеет корректную математическую модель, если комплекс условий, определяющих это случайное событие 1) позволяет говорить о статистической устойчивости и 2) гарантирует однозначное представление полной группы
элементарных исходов числовым множеством с соответствующей
мерой.
10.5. Вопросы и задания к теме
«Моделирование случайных событий случайными величинами»
Вопросы
1. В каких задачах возникают геометрические вероятности?
2. Чем объясняется парадокс Бертрана?
3. Можно ли вычислить вероятность того, что спустившись в мет-
ро, вы не будете ожидать поезда?
4. Как определяются дискретная и непрерывная случайные величины?
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]