Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Структурные свойства математического языка. Учебное пособие
.pdf
Для удобства будем считать, что
j
yj
x
yj
x
yj
x
yy
y
xy
,ei
1
,e
ek
2
– известный
3
в элементарной геометрии базис, состоящий из единичных взаимноперпендикулярных векторов. Для простоты так же ограничимся двумерным случаем.
Пусть
axi
aa
,
.
bxi yj Тогда
bb
b – элементы гео-
и
a
метрической модели, и для них определена сумма
.
Учитываем, что
ab xi yj xi yj
a
aa bb
,
i
,
a
,
i
и
b
– также элементы геомет-
b
рической модели и, используя свойства 1-4 сложения и свойства 1-4
умножения, получаем:
ab ix xjy y .
()( )
ab a b
Согласно соответствию (1.10), установленному выше, заключаем,
, ()
x
что
abab
вается, что вектор
– координаты вектора
a
имеет координаты
ax a
.ab
Аналогично показы-
, ().
aa
Вывод 2
Операции сложения по правилу параллелограмма в геометрической модели направленных отрезков соответствует операция
сложения по координатам в арифметической (координатной) модели векторов, операции умножения направленного отрезка на
число соответствует операция умножения всех координат этого
вектора на число в координатной модели.
–
Наконец, для противоположного вектора a =
находим координаты:
–, – – .(),
aaa
z
xyjizk
aa a
Вывод 3
В координатной модели определены операции сложения векторов и умножение векторов на число. Доказательство этих фактов
использует в точности 8 свойств операций сложения и умножения, установленных в геометрической модели. При построении
координат использовалась теорема размерности для направленных
отрезков, поэтому эти 8 свойств и свойство размерности называют девятью аксиомами арифметической модели
векторного про-
странства.
51
Мы завершили решение сформулированной в начале параграфа задачи А. Вот это решение:
На множестве направленных отрезков система восьми свойств операций сложения направленных отрезков и умножения на число и
утверждение о размерности векторного пространства определяет
арифметическую модель векторного пространства.
Попутно мы устанавливаем следующее свойство.
Вывод 4
Между элементами геометрической модели векторного пространства и элементами арифметической модели векторного пространства существует взаимно однозначное соответствие (3.1),
обозначим его
Это соответствие сохраняет результат линейных операций сложения векторов и умножения на число:
)(La
= (x, y, z), L: ↔ (x, y, z) (3.2)
)(),((L a+ b La)+ Lb (3.3)
и называется изоморфизмом арифметической и геометрической
моделей векторного пространства направленных отрезков.
3.3. Определение и примеры абстрактного
векторного пространства
В этом параграфе будет построена аксиоматика и приведены при-
меры векторного пространства для многомерного случая N 3. Для
этого заметим, что с понятием размерности N в геометрической модели направленных отрезков связана только аксиома размерности векторного пространства, в которой определено понятие базиса для случаев размерностей 1, 2 и 3. Формулировка восьми свойств
операций
сложения векторов и умножения векторов на число от размерности
базиса не зависят. Поэтому, чтобы построить аксиоматику многомерного векторного пространства, достаточно определить понятие базиса
для векторного пространства при N 3, а остальные восемь аксиом
оставить без изменения.
52
Определение базиса и размерности векторного пространства
x
x
x
x
x
P
x
E
для N
Наименьший по n набор n элементов
3
, , ,
ee e
12
n
из X таких, что
всякий элемент x из X представляется в виде линейной комбинации
e
x =
11
называется базисом в X, а упорядоченный набор чисел (
+
e
22
+ … +
e
nn
,
, ,
,
1
x
2
n
называется координатами элемента x в пространстве X.
Рассмотрим примеры объектов, удовлетворяющих этим аксиомам и
являющиеся моделями многомерных векторных пространств.
Пример 1
Множество многочленов степени не выше n
n
()
xaax ax
nn
образует векторное пространство размерности n + 1, в котором мономы 1, x, …, x
, , ,( )
aa a
01
n
– базисные элементы, а коэффициенты многочлена
– координаты вектора ()
n
01
P
n
в этом базисе.
Пример 2
Пусть
e
= (1,0,0,…,0),
1
местные наборы», где
e
= (0,1,0,…,0),…,
2
e
имеет «1» на k-м месте и нули на остальных
k
e
= (0,…,0,1), – «n-
n
местах, k = 1, 2,…, n. Тогда объекты
n
xxex x x
k
1
,0, ,0 0, , ,0 0,()()(,0,
kk n
12
)
)
,,,
()
xx x
12
n
образуют векторное пространство с базисными элементами
n
Обозначим это пространство .
53
, , .
ee
1
n
Пример 3
Объекты вида
aa a
11 12 1
aa a
21 22 2
aa a
mm mn
12
называют матрицами размерности
в
i-м ряду на j-м месте. Если объекты
n
n
(3.4)
A
m × n, в которых элементы
– числа, то матрица называет-
a
ij
стоят
a
ij
ся числовой.
Такие матрицы возникают, например, если пиксельную систему
экрана персонального компьютера представить в виде чисел, указав
для пикселя, находящегося на пересечении
i-го ряда и j-го столбца,
число, соответствующее частоте (или длине) световой волны. Таким
образом, любая информация, изображаемая на мониторе, представляется числовой матрицей вида (3.4).
Сумма и разность двух матриц определяется по правилу
aabb
AB
ab ab
11 1 11 1
aabb
11
mmnmmn
ab ab
11 11 1 1
11
mm mnmn
nn
nn
(3.5)
,
C
т.е. элементы матрицы
соответствующих элементов матриц
Операция умножения матрицы
ся умножением всех элементов матрицы
С представляют собой суммы или разности
А и В.
А на некоторое число определяет-
А на это число.
Множество матриц одной размерности с только что определенными операциями образуют векторное пространство.
54
Учитывая определенные выше операции для матриц, заключаем,
x
x
x
E
что базис этого векторного пространства образуют
m × n элементов
вида
j
000
ij
010
000
i
,
где на всех местах, кроме
a , стоят нули, а ija = 1.
ij
С помощью этого базиса мы можем написать
nm
Aaaa a
ij
ij ij mn mn
11
11 11 12 12
.
Размерность этого векторного пространства есть N = m × n.
Определение абстрактного векторного пространства
Элементы х множества Х образуют абстрактное векторное пространство Х, если для них выполняется 8 аксиом векторного пространства относительно операций сложения элементов и умножения этих
элементов на действительные числа и аксиома размерности x =
e + … +
+
22
Замечание. Пространство
e , где элементы
nn
,, ,
ee e образуют базис в Х.
12
n
, построенное в примере 2 выше, яв-
n
e +
11
ляется арифметической, или координатной, моделью абстрактного
векторного пространства Х размерности n. Элементы этого векторного
пространства X могут быть произвольной природы, в чём мы убедились на приведённых выше примерах, но все они имеют одну и ту же
арифметическую (координатную) модель.
Следствие
Все n-мерные абстрактные векторные пространства имеют
одну и ту же арифметическую модель, поэтому изоморфны друг
другу.
55
Если векторное пространство X содержит для всякого nN под-
X
E
n
,
множество
для него выполняется аксиома размерности с заданным n
которое само является векторным пространством и
, то X
назовем
бесконечномерным векторным пространством. Примером такого пространства является множество всех многочленов. Подмножества многочленов степени не выше
n – 1 образуют n мерные подпространства в
этом пространстве.
3.4. Аксиомы скалярного произведения векторов
Модель арифметического n-мерного пространства
n
не содержит
понятий длины вектора и углов между векторами. Для того чтобы
установить понятия длины вектора и углов между векторами в пространстве размерности
n > 3, рассмотрим, какими свойствами опреде-
ляется правило измерения длин и углов в геометрической трёхмерной
модели направленных отрезков.
Напомним, что в геометрической модели трехмерного векторного
пространства определяется скалярное произведение представлением
||||c (^os )abab a b . (3.6)
В школьном курсе геометрии из этого представления выводятся
три свойства:
ab = ba ,
1)
()abc acbc
2)
3)
aa = 2a > 0; 2a = 0 a = 0.
(3.7)
, ab
, , , ab c и , R1
Следствие
Из формулы (3.6) находим представление длины вектора через ска-
лярное произведение
2
||a = 2a , ||a =
56
2
. (3.8)
a
Если в качестве базиса выбрать векторы , , ijk, то используя
x
x
E
свойства 1-3 скалярного произведения, получаем координатное представление скалярного произведения:
axi yjzk ,
111
ab xi yj zk xi yj zk xx yy zz . (3.9)
Мы воспользовались тем, что
111 2 2 2 121212
222
bxi yjzk
222
0ij ik jk
1,ijk
.
Следствие
Используя (3.8) и (3.9), заключаем, что длина трёхмерного вектора
вычисляется по правилу
||
222
yza . (3.10)
111
А из формул (3.6), (3.9) и (3.10) находим формулу для вычисления
углов между векторами
xx yy zz
cos ( ^ )
ab
12 12 12
222 222
yz xyz
111 222
. (3.11)
Вывод 4
Вычисление длин и углов для векторов трёхмерного векторного
пространства осуществляется при помощи скалярного произведения векторов. Структура скалярного произведения в трёхмерном
случае определяется тремя свойствами (3.7), которые мы примем в
качестве аксиом задания скалярного произведения.
n
Для определения длины вектора в
при n > 3 воспользуемся свя-
.
зью между длинной вектора и скалярным произведением в трёхмерном
пространстве направленных отрезков. При этом скалярное произведение зададим аксиоматически теми же свойствами, которыми оно определяется в трехмерном векторном пространстве.
Схему, по которой мы из определения скалярного произведения (3.6) получили формулу длины вектора (3.10), повторим в абстрактном векторном пространстве с той разницей, что во первых, скалярное произведение векторов зададим при помощи трех аксиом (3.7)
57
и во вторых, существование скалярного произведения в координатной
E
x
x
модели E
n
установим формулой, аналогичной (3.9):
axe xe
где
11 nn
,,
ab E a b xy x y xy
n
,
bye ye в
11 2 2
11 nn
, (3.12)
nn
n
.
Теперь, согласно нашей схеме, длина вектора определена формулой (3.8). Из (3.8) с учетом (3.12) получаем формулу длинны вектора в
n-мерном арифметическом пространстве, аналогичную (3.10) в виде
||nxxa
22 2
. (3.13)
12
Формула для вычисления косинуса угла получаем в виде
xy x y x y
ab
cos ( ^ )
11 2 2
2222
11
xy y
nn
nn
. (3.14)
Определение n-мерного евклидова векторного пространства
Абстрактное n-мерное векторное пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее трем аксиомам (3.7), называем n-мерным евклидовым векторным пространством. Его координатная модель E
нием (3.12) называется декартовой моделью
n
со скалярным произведе-
.
Рене Декарт (1596–1650) впервые построил координатную модель
трехмерного евклидова пространства.
В качестве примера применения языка многомерного векторного
пространства с обобщённым понятием длины покажем, как можно
оценить «близость» двух почти одинаковых изображений на пиксельном экране. Такие изображения моделируются векторным пространством матриц в примере 3. Это векторное пространство имеет
размерность N = n ×
пиксельные координаты ,
пиксельные координаты ,
m. Пусть матрица А первого изображения имеет
a а матрица В второго изображения имеет
ij
b где индексы i = 1,2, …, n, j = 1, …, m,
ij
обозначают в матрицах А и В номер строки, и номер столбца, соответственно. Если в этом векторном пространстве задать структуру ска-
58
лярного произведения со скалярным произведением, которое задаётся
формулой
AB a b a b a b a b
11 11 12 12 13 13 1 1mm
ab ab a b
11 2 2
nn n n nmnm
,
то квадрат длины вектора С = А – В оценит близость изображений А
и В. Согласно формуле длины вектора (3.13), длина вектора С будет
равна сумме квадратов разности одноимённых координат матрицы С:
2
()()( )
С ab ab a b
11 11 12 12
22 2
nm nm
.
Если число , стоящее в правой части этого равенства, будет до-
статочно мало, то вектор С будет достаточно мал, а векторы А и В до-
статочно близки. Следовательно, достаточно «близкими» будут и пиксельные изображения, представляемые матрицами А и В.
3.5. Вопросы и задания к теме
«Структура векторного пространства»
Вопросы
1. В каких задачах возник «язык» направленных отрезков?
2. Какую роль выполняет аксиома размерности векторного про-
странства?
3. Какую роль выполняют 8 аксиом сложения и умножения в акси-
оматике векторной структуры?
4. Объяснить назначение структуры скалярного произведения.
Задания
1. Привести примеры задач, в решении которых применяется век-
торная структура.
2. Объяснить, почему изображение на дисплее имеет векторную
структуру.
3. Определите изоморфизм модели направленных отрезков на её
координатную реализацию. Какой операции над координатами соответствует правило параллелограмма сложения отрезков при этом изоморфизме?
4. Покажите, что все векторные пространства одинаковой размерности изоморфны.
59
§4. Модель Вейля евклидовой геометрии
4.1. Арифметическая модель
трехмерного евклидова пространства
Геометрической моделью трехмерного евклидова пространства будем называть множество точек, прямых и плоскостей, удовлетворяющих двадцати аксиомам Д. Гильберта, сформулированным в §2, а также множество всевозможных фигур со свойствами, которые логически
доказываются в рамках сформулированной аксиоматики. Эту модель
будем обозначать
ством.
В этом параграфе вначале будет построена арифметическая (координатная) модель трёхмерного евклидова пространства
Г. Вейля, а затем, по этой же схеме, будет построена модель многомерного арифметического евклидова пространства. Эта схема называется обоснованием евклидовой геометрии по Вейлю (Герман Вейль,
1885–1955); она базируется на системе аксиом Вейля, называемой точечно-векторной, так как в ней неопределяемыми понятиями (объектами аксиоматики) являются точки
ваются основными геометрическими объектами в модели Вейля, вступающими в отношения, определяемыми тремя группами аксиом, образующими аксиоматику Г. Вейля. Вот эти три группы аксиом:
группа аксиом векторного пространства;
группа аксиом скалярного произведения;
группа аксиом откладывания вектора.
Первые две группы аксиом нам уже известны. Для изложения третьей группы аксиом введем операцию откладывания вектора. Эта опе-
рация сопоставляет всяким двум точкам
обозначается как отображение
представить как изображение направленного отрезка и определить следующими свойствами.
1. Для всякой фиксированной точки
3
B отображение
3
и называть трёхмерным евклидовым простран-
3
по схеме
и векторы. Точки и векторы назы-
3
,AB
вектор
AB E и
() .,AB AB Операцию (A,B) можно
3
A
и произвольной точки
0
(), AB AB
00
3
():, ABBBA (4.1)
00
60
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]