Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Структурные свойства математического языка. Учебное пособие
.pdf
3. (Коммутативность) Для любых х, у Q
х + у = у + х
4. (Ассоциативность) Для любых х, у, z Q
х + (у + z) = (х + у) + z.
Аксиомы операции умножения
Для всякой упорядоченной пары
некоторый элемент
ху Q, называемый произведением х и у. При этом
х, у элементов из Q определен
выполняются следующие условия:
5. (Существование единичного элемента) Существует элемент 1
такой, что для любого
х Q
х 1 = 1 х = х
6. Для любого элемента х Q , (х
мент
1
х
0 такой, что
хх
7. (Ассоциативность) Для любых
1
= х
0) существует обратный эле-
1
х = 1
х, у, z Q
х (у z) = (х у) z
8. (Коммутативность) Для любых х, у Q
х у = у x
Аксиома связи сложения и умножения
9. (Дистрибутивность) Для любых
х + у)
(
z = x z + у z
х, у, z Q
Аксиомы порядка
Q
Всякие два элемента
х, у Q вступают в отношение сравнения .
При этом выполняются следующие условия:
10. (
х у) (у x)
11. (х
у) (у z)
x
x = у
z
21
12. Для любых х, у Q либо х < у, либо у < x.
Отношение < называется строгим неравенством,
Отношение = называется равенством элементов из
Аксиома связи сложения и порядка
Q.
13. Для любых
x, y, z Q, (x y) x + z y + z
Аксиома связи умножения и порядка
14. (0
x)(0 y) (0 xy)
Аксиома непрерывности Архимеда
15. Для любых
a > b > 0 существует m N и n Q такие, что
m 1, n < b и a = mb + n.
Следствие
Аксиомы множества рациональных чисел
Q позволяют:
1. Построить систематическую запись рациональных чисел при
помощи конечного алфавита (цифровых символов) в виде
K-ичной
системы.
2. Определить алгоритмы реализации операций , , :, в система-
тической записи рациональных чисел в выбранной
K-ичной системе.
1.4. Необходимость расширения множества
рациональных чисел
Решение задач, имеющих практический интерес, не исчерпывается
арифметическими операциями над числами. Рассмотрим следующие
две задачи измерения: длины отрезка и окружности при помощи выбранной единицы длины.
Задача 1
Измерить длину диагонали квадрата, считая, что единица длины
есть сторона этого квадрата.
Теорема Пифагора дает результат
2
положение о том, что
= p/q – несократимая рациональная дробь,
: искомая длина равна 2. Пред-
опровергается известным доказательством от противного. Предположим, что
2
= p/q, тогда
22
откуда следует, что p = 2k. Поэто-
2,pq
22
му
22
2 4 2. qkqm
Следовательно, 2 = 2k/2m, что противоре-
чит предположению, что исходная дробь несократима. Этот факт был
известен еще Пифагору.
Задача 2
Измерить длину окружности, считая, что диаметр этой окружности
есть единица длины.
Длина окружности
L = 2R, где R – радиус. В нашем случае
L = 3,1415… . Число не является рациональным. То, что число не
является рациональным числом, впервые было установлено в 1761 г.
французским математиком Иоганном Генрихом Ламбертом (1728–
1777).
Вывод 2
Существуют числа, не представимые в виде
лых
p, q.
p/q ни для каких це-
Эти числа не являются результатом конечного числа арифметических операций над целыми числами, в противном случае можно было
бы указать процедуру их вычислений за конечное число шагов.
Числа, не представимые в виде p/q ни для каких целых p, q,
называются иррациональными.
Вывод 3. К понятию иррациональных чисел мы пришли в
результате задач обычного измерения отрезков. А именно, мы решили результату измерения отрезка сопоставить определённое число. Оказалось, что множества рациональных чисел, вполне достаточного для
реализации арифметических операций, выполняемых над заданным
единичным отрезком, недостаточно для того, чтобы представить результат измерения произвольного отрезка.
Геометрически данная ситуация изображается на рис. 1.1 и
На рис. 1.1 на оси
ОХ согласно решению задачи 1 отложен отрезок,
1.2.
равный диагонали квадрата с единичной стороной, конец этого отрезка
2
отмечен символом
. На рис. 1.2 на оси ОХ согласно задаче 2 отло-
жен отрезок, равный длине окружности с единичным диаметром. Конец этого отрезка отмечен символом . Эта точка является образом
точки
точка
О: если окружность прокатить вправо один раз по оси ОХ, то
О совместится с точкой .
Таким образом, обычные задачи измерения отрезков потребовали
расширить понятия рациональных чисел до понятия иррациональных
чисел.
23
1
0 1 2 х
Рис. 1.1 Рис. 1.2
0 х
Множества всех рациональных и иррациональных чисел образуют множество действительных чисел.
Нерациональные числа появляются и при решении алгебраических
задач. Заметим, что величина
2
20.x Действительные числа, являющиеся решениями алгебраи-
2
является решением уравнения
ческих уравнений
nn
xax axa
с целочисленными коэффициентами
алгебраическими числами. Таким образом, число
1
11
0
n
aZk n
i
(1.9)
, 1, , ,
2
является алгеб-
называются
раическим числом и является результатом алгебраической операции –
извлечения корня.
Фактически мы установили, что вычисление алгебраического чис-
2
ла
требует привлечения чисел, не являющихся рациональными.
Карл Фридрих Гаусс (1777–1855) доказал, что алгебраические числа
являются либо целыми числами, либо не представимы в виде p/q ни
для каких целых p, q Z.
1.5. Аксиоматическое построение множества
действительных чисел
Конструктивное построение множества действительных чисел
можно представить в виде следующей схемы 1.3.
24
Схема 1.3.
x
x
Рациональные
числа Q
Непрерывные
операции над
множеством Q
Множество
действительных
чисел R
Непрерывными операциями мы называем вычислительные алгоритмы, состоящие из арифметических и других простых операций (например, геометрических), пронумерованных натуральным рядом. Таким
образом, для реализации непрерывной операции может потребоваться
выполнение бесконечного множества арифметических операций. Описание непрерывных операций потребует разработки вспомогательных
понятий. Избежать такой дополнительной работы можно аксиоматическим заданием множества действительных
чисел. Поскольку рациональные числа являются подмножеством действительных чисел, то при
расширении системы рациональных чисел мы сохраняем аксиомы рациональных чисел и добавляем утверждения (аксиомы), которые позволят
нам решать задачи измерения любых отрезков.
Добавим к 15 аксиомам, определяющим в П. З. множество рацио-
нальных чисел Q, следующую аксиому.
Аксиома непрерывности Кантора
16. Пусть элементы
, , , , ,
xx x
12
чают рациональные числа и удовлетворяют условию
и пусть для любого положительного рацио-
nn
yyy
,
21
и
, , , ,
n
yy y
12
обозна-
n
12
xx
нального числа > 0 начиная с некоторого номера n выполняются
условия:
kk
yx knn
, , 1,
что при всех значениях n выполняется
Тогда существует элемент Z такой,
.
Zy
nn
То, что элемент Z, о котором говорится в этой аксиоме, является
единственным, несложно доказать от противного.
Определение 2
Множество R называется множеством действительных чисел, а его
элементы – действительными числами, если они удовлетворяют всем
тем же аксиомам 1–15, что и рациональные числа и, дополнительно,
аксиоме непрерывности Кантора.
25
1.6. О представлении действительных чисел
Мы видели, что формирование числовых систем при помощи аксиоматик натуральных, рациональных и действительных чисел связано с
выполнением следующих интеллектуальных функций: перечисление
объектов (операция счёта), арифметические операции над натуральными
числами и, наконец, измерение длин геометрических протяженностей.
Для реализации этих операций надо построить символьную систему, в
которой станет возможным выполнение указанных функций
нашего
интеллекта. Таким образом, наша цель – решение следующей задачи.
Задача 3
Построить символьную запись действительных чисел, в которой:
а) допустимо измерение длины любого отрезка, б) реализуются арифметические операции над действительными числами.
Мы покажем, что запись действительных чисел в десятичной системе является подходящей для этой цели.
Нам потребуется понятие взаимно однозначного соответствия
множеств.
Определение взаимно однозначного соответствия. Будем гово-
рить, что между элементами х множества Х и элементами у множества У установлено взаимно однозначное соответствие у fx), если
каждому х из Х соответствует единственный у из У и наоборот, для
каждого у из У существует единственный х из Х такой, что у fx).
Для решения задачи а) достаточно установить, что между точками
прямой и действительными числами в десятичной записи существует
взаимно однозначное соответствие. Для простоты ограничимся записью чисел x [0,1]. Пусть точка М – произвольная точка единичного
отрезка прямой. Разобьём этот отрезок на 10 равных частей и пронумеруем эти отрезки цифрами 0, 1, 2, …,9, разместив их с
левой сторо-
ны отрезков, рис 1.3.
0 1 2 … … 8 9
0 М 1
Рис. 1.3
Если точка М попала в отрезок под номером
, где
– одно из
чисел 0,1,2, 3, …, 9, то этой точке на данном этапе построения сопо-
26
ставим число х 0,
и разделим этот
– отрезок снова на десять
равных частей, рис. 1.4. Точка М окажется в каком-то отрезке под
номером
0,
, лежащем в предыдущем отрезке, и мы напишем х
,
0 1 2 … … 8 9
1 М 1 + 1
Рис. 1.4.
Продолжая этот процесс, мы можем оказаться в одной из следующих трех ситуаций.
1) На n
-м этапе этого процесса точка М совпадет с риской, разде-
ляющей два смежных отрезка. Выберем для нумерации левый отрезок,
и закончим процесс построения координаты точки М. В этом случае
точке М будет соответствовать координата
...
х 0,
1 2
,
n
имеющая конечную десятичную запись и являющаяся рациональным
числом.
2) Точка М никогда не совпадёт с риской деления, процесс постро-
ения приведёт к бесконечной десятичной записи, в которой с некоторого места возникают периодические блоки вида
1 2
...
. В этом
k
случае точке М ставится в соответствие координата в виде бесконечной периодической десятичной дроби (для простоты мы выписали
случай, когда блоки стали повторяться с самого начала)
х 0,
1 21 21 2
kkk
... ... ... ...
Как мы видели при построении рациональных чисел в п.1.2, эта запись также представляет рациональное число.
3) Процесс построения приведёт к бесконечной непериодической
десятичной записи, в которой нет повторяющихся блоков. Десятичной
записью координаты точки М будет запись
х 0,
1 2
... ...
n
которую назовём бесконечной непериодической десятичной дробью.
В этом случае число х является иррациональным.
27
Таким образом, мы исчерпали все возможные появления десятич-
ного адреса заданной точки М. Теперь надо проверить, что бесконечная десятичная запись определяет некоторое число. Для периодических дробей мы этот факт установили. Для непериодических дробей
существование числа следует из оценки
9
k
, где k = 1, 2, 3, …
kk
10 10
Применяя эту оценку, получим
12
10 10 10 10 10 10
k
91 1 91
11
10
k
1
.
1
10
... ...
Таким образом, запись вида х 0,
1 2
определяет число,
n
меньшее единицы.
Замечание 2. В построении координат точки М мы воспользова-
лись следующим свойством прямой. Последовательность вложенных
друг в друга отрезков прямой при условии уменьшения их длин (на
k-м шаге нашего процесса длина промежутка равна 1/10
k
) стягивается
к точке и эта точка единственна. Такое свойство прямой мы увидим
при формировании аксиоматики геометрии Евклида в следующем параграфе.
Итак, для произвольной точки единичного отрезка мы построили её
числовое значение в виде конечной или бесконечной десятичной записи.
Теперь решим обратную задачу. Покажем, что каждой из возмож-
ных записей
действительного числа в десятичной системе соответ-
ствует некоторая точка М на прямой. Для этого десятичную запись
рассмотрим как адрес этой точки на прямой. Первый знак
тичной записи х 0,
стью до 1/10, два знака
1/100, и так далее. Запись х 0,
определит точку М с точностью до
1 2
... ...
укажет положение точки М с точно-
n
,
определят точку М с точностью до
12
...
1 2
с n знаками после запятой
n
n
10 .
Если десятичная дробь ко-
в деся-
1
нечна, то мы получим точное положение точки М. Если десятичная
запись бесконечна, то процесс сужения промежутка нахождения точки
теоретически может продолжаться до как угодно малого промежутка.
28
Тогда согласно аксиоме Кантора (16-й в списке аксиом действительных чисел) найдётся общий элемент для всех промежутков и этот элемент является действительным числом.
Теперь обратимся к решению задачи б) о реализации арифметических операций над числами в десятичной записи. Если число является
рациональным и имеет конечную десятичную запись, то все
арифметические операции выполняются по правилу действия «столбиком»,
известным из школьного курса. Если число записывается бесконечной
дробью, то в случае рационального числа можно вернуться к запи-
p
си
и проделать с ним арифметические операции. Если число ирра-
q
циональное или рациональное с очень большим периодом, то оно заменяется близким рациональным числом с конечной десятичной записью, и над ним совершаются операции по правилу «столбика». Какова
будет потеря точности вычислений при замене бесконечной десятичной дроби конечной её частью?
/,
Пусть
mn a a a
запятой числа
01
aaa aa
– десятичное приближение с k знаками после
k
, .
01 1
Рассмотрим десятичные приближения.
kk
Тогда погрешность этого прибли-
жения определяется разностью:
| – m/n | = a
k+1
k+1
/10
= 9/10
+ a
k+1
k+2
/10
k+2
+ … < 9/10
1/(1–1/10) = 1/10k
k+1
(1 + 1/10 +…) =
Любые практические измерения и вычисления имеют разумный
предел точности, который устанавливается, исходя из реальных потребностей. Поэтому, выбирая достаточно хорошее приближение числа с длинной десятичной записью числом с разумно короткой десятичной записью, мы реализуем арифметические операции с необходимой
точностью.
Замечание 3
Можно поставить следующую задачу: построить такое представление действительных чисел, в котором иррациональные числа приближаются рациональными числами наилучшим образом. Рациональная
дробь p/q приближает иррациональное число наилучшим образом,
если для любого рационального числа m/n с n q выполняется равенство |–p/q| < |–m/n|.
29
Для приближений лучших, чем десятичные приближения, используются представление числа цепной дробью, [6]. Если p/q – конечная
цепная дробь, приближающая число , то |–p/q| < 1/q
2
, см. [6].
Таким образом, представление числа цепной дробью «более экономично», чем представление десятичной дробью.
Эффективные алгоритмы арифметических операций для представлений чисел в виде цепных дробей до сих пор не найдены.
1.7. Языковые свойствах числовых систем
В предыдущих пунктах 1.1 – 1.6 построены три числовые знаковые
системы:
– система натуральных чисел N, предназначенная для реализации
интеллектуальной функции перечисления объектов;
– система рациональных чисел Q, в которой реализуются арифметические операции;
– система действительных чисел R, которая даёт возможность как
измерять протяжённости, так и реализовывать арифметические операции.
Напомним, что согласно определению
Л. Эйлера, знаковая система
образует язык, если позволяет реализовать следующие три интеллектуальные функции. Сформировать образ – реализация опорной функции;
построить умозаключение или, что то же, отследить смысл – логическая функция; реализовать эти две функции в виде высказывания –
коммуникационная функция.
Несложно убедиться в том, что все три упомянутые числовые си-
стемы позволяют
реализовать указанные функции. Поэтому можно
заключить, что натуральный ряд – это язык счёта, рациональные числа – язык арифметики и, наконец, действительные числа – это язык
измерений и арифметики одновременно.
Отметим некоторые свойства этих языковых систем.
1. Свойство оптимизации интеллектуальной деятельности.
Действительно, эти языки построены с целью оптимизации интеллектуальных функций счёта, вычислений и измерений.
2. Язык натуральных чисел является простейшим среди всех
языковых систем.
Это следует из того, что любой язык среди прочих
интеллектуальных функций реализует и функцию перечисления объектов. Язык натурального ряда реализует только функцию перечисления.
30
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]