Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Структурные свойства математического языка. Учебное пособие
.pdf
временного метода построения математических теорий по аксиоматической схеме и впоследствии легла в основу формирования математических структур, о которых мы говорим в этой главе.
7.6. Вопросы и задания к теме
«Требования, предъявляемые к системе аксиом»
Вопросы
1. Сформулируйте понятие непротиворечивости системы аксиом и
достаточное условие этой непротиворечивости.
2. Сформулируйте понятие независимости некоторой аксиомы от
остальных аксиом и достаточное условие этой независимости.
3. Дайте определение дедуктивной полноты системы аксиом и приведите примеры дедуктивно полной и неполной аксиоматик в геометрии.
4. Какова историческая роль пятого постулата Евклида о парал
лельных прямых?
Задания
1. Как проверить независимость аксиом геометрии в аксиоматике
Д. Гильберта?
2. Покажите, что аксиома параллельности в форме Евклида и в
форме Лобачевского не зависит от остальных аксиом.
3. Покажите, что аксиоматика векторного пространства дедуктивно
полна. Указание: используйте тот факт, что все векторные пространства одинаковой размерности изоморфны арифметической модели
векторного пространства той
рием категоричности при обосновании дедуктивной полноты.
4. Покажите, что существуют неизоморфные модели аксиоматической теории примера 1 п. 7.5.
же размерности и воспользуйтеь крите-
-
§8. Смысловой анализ текстовых продуктов
8.1. Понятие смыслового анализа текстового продукта
Под смыслом текста мы будем понимать языковую реализацию
(языковое описание) какого-либо явления или, что то же самое, мысленное моделирование этого явления. Если текст не представляет реа-
91
лизацию какого-либо явления, то этот текст, а также соответствующую
мысленную модель будем считать бессмысленными.
Исследование наличия смыслового содержания в тексте назовем смысловым анализом текстового продукта
.
Мы остановимся на смысловом анализе только тех текстовых продуктов, в которых осуществляется построение или доказательство некоторых утверждений по дедуктивной схеме.
Систему аксиом Т и ее аксиоматическую теорию Т можно рассматривать как мыслимую, или абстрактную, теорию, не заботясь о
существовании её реализации. Если существует реализация R(T) этой
построенной мыслимой теории, то соответствие между элементами
мыслимой теории и элементами её реализации даёт изоморфизм между мыслимой структурой и реальной моделью этой структуры. Таким
образом, мы можем заключить следующее.
Вывод. Текст имеет смысл, если существует изоморфизм
мыслимой структуры на реализацию этой структуры. Поэтому
смысловой анализ текстового продукта сводится к построению
такого изоморфизма.
8.2. Языковые свойства имен объектов
Готлоб Фреге впервые обратил внимание на то, что имя каждого
объекта имеет два значения: предметное и смысловое. По его “теории
смысла” с понятием имени связаны три отношения к объекту: предметное, смысловое и знаковое. Определим их:
Денотат имени – это предметное значение имени, т.е. сам именуемый объект.
Концепт имени – это смысловое значение имени, т.е. то объективное содержание, которое выражается именем.
Константы – это сами имена индивидуальных предметов, но не
имена свойств и отношений.
Наличие у имен двух значений – предметного и смыслового – приводит к двузначности имени: если имеется в виду концепт имени, то
говорят об интенциональном значении имени, если же имеется в виду
денотат имени, то говорят об экстенциональном значении имени.
Рассмотрим примеры.
Пример 1
Число 2 – это имя имеет определенный денотат и концепт.
92
Пример 2
Имена: Отношение эквивалентности, подобие, параллельность имеют определенный концепт, как некоторые отношения. В то
же время денотаты этих имен не определены.
Пример 3.
Имя
ло 2. Однако, его концепт неопределен:
– символ, представляющий определенный денотат – чис-
4
√
– операция или
4
√
– вели-
4
√
чина?
8.3. Проблема выражения смысла
Двузначность имени придает гибкость языку, как средству коммуникации и, в то же время, делает его несовершенным как знаковое
средство передачи информации. Действительно, последовательность
слов, как знаковых единиц несущих двузначный смысл, накапливает
смысловую неопределенность или смысловую многозначность от слова к слову. В конце концов, смысл предложения, как знаковой цепоч
ки, может стать неопределенным. Мера определенности будет также
зависеть от свойства субъекта использовать синонимы – образные и
смысловые словесные аналоги. Видимо, мера определённости является
мерой символьной длины формального предложения, состоящего из
знаковых единиц, несущих смысл – слов. Потому построение изоморфизма между мыслимой и реальной моделями может оказаться затруднительным для достаточно
длинного предложения.
Математики всегда сознавали несовершенство естественного языка, когда речь шла об однозначном толковании информации. Громоздкие языковые конструкции затрудняли математическую деятельность,
которая сводилась к описанию моделей, структур и изоморфизмов. Это
послужило причиной возникновения символьного языка математической логики, предметных языков геометрии, теории множеств и т.д.
Однако символьный язык
не смог полностью заменить естественный
язык, так как язык изложения по необходимости всегда шире пред-
метного языка самой теории.
Требование математической строгости, с одной стороны, заключается в изоморфном описании структур, т.е. требуется, чтобы некоторый минимум свойств–аксиом однозначно представлял объекты по их
отношениям. С другой стороны, всякое рассуждение должно начинаться с явного описания соответствующей предметной области. Эти два
-
93
требования, как правило, несовместимы. А эта несовместимость и порождает проблему выражения смысла.
8.4. Понятие искусственного языка
Всякий предметный или искусственный язык состоит из следующих компонентов:
1. Алфавит (конечный список исходных символов).
2. Правила построения термов (имен и именных форм).
3. Правила построения формул (высказываний и высказывательных
форм).
4. Интерпретации языка.
Пункты 1-3 представляют синтаксис языка; пункт 4 представляет
семантику языка.
Если вернуться к трём функциям Л. Эйлера языко-
вой знаковой системы, то мы видим, что п.3 формирует логическую
функцию, п.п. 1-2 формируют коммуникационную функцию, а п. 4
отвечает за реализацию опорной функции.
Математические языки является искусственными языками и носят
исключительно информативный характер. В этих языках используются
только повествовательные предложения (высказывания). Формы мыс
лительной деятельности, не представляющиеся повествовательными
предложениями, в этих языках невыразимы.
Самым простым искусственным языком, позволяющим строить
импликации, является язык математической логики первого порядка [4].
Предметные языки – геометрический язык и язык теории множеств – считаются более сложными, так как содержат отношения
включения и другие, не заданные в языке логики первого порядка.
Искусственные языки делятся по уровням сложности в зависимости от типов отношений, которые они описывают.
Описание свойств моделей в зависимости от уровня языка требует
специальных сведений по математической логике, [4], которые не входят в круг рассматриваемых нами вопросов.
-
8.5. Понятие и анализ парадоксов
Проблема выражения смысла при помощи текста отражает несоответствие естественного и искусственного языков, а также несоответствие между самими искусственными языками, относящимися к моде-
94
лям разного уровня сложности. Эти несоответствия мы обнаруживаем
в виде различных парадоксов.
Парадоксами будем называть текстовые утверждение, логические следствие которых приводит к противоречиям.
Таким способом определённые парадоксы следует отнести к бессмысленным текстовым продуктам. Следовательно, анализ парадокса
связан с исследованием изоморфизма соответствия мыслимой и реальной структур.
Мы ограничимся нестрогим анализом текстов некоторых парадоксов, возникающих при дедуктивном построении теорий, используя
лишь понятия изоморфизма мысленной и реальной структур, а также
свойств совместности, независимости и категоричности систем аксиом, и будем опираться на построенные примеры математических
структур.
Мы выделим два следующих типа соответствий, возникающих при
мысленном моделировании дедуктивных теорий
.
Первый тип. Согласно выводу п. 8.1, изоморфизм мыслимой структуры на некоторую реальную структуру дает возможность мысленно
воспринимать объект или, что то же, выражать мысль в виде отношения каких-то элементов внешнего объекта в знаковой форме.
Этот
первый тип отношений мы назовём существованием реализации
мыслимой теории.
Второй тип. Соответствие между языками моделей представляется
структурными изоморфизмами.
Этот второй тип соответствия
мы назовём структурным изоморфизмом.
Рассмотрим текстовые противоречия с точки зрения нарушения
одного из двух указанных типов соответствия между языками моделей
на примерах известных парадоксов.
8.6. “Ахиллес и черепаха”
Понятийный аппарат человеческого разума способен создавать автономные модели. Эти мыслимые модели могут не иметь образов в
реальном мире. Противоречие в таком случае снимается исследованием изоморфизма между мыслимой моделью и моделью определенного
объекта. Рассмотрим пример.
Апория “Ахиллес и черепаха” принадлежит Зенону из Элен (483–
375 гг. до н.э.) и состоит
в следующем.
95
«Легендарный бегун Ахиллес движется в два раза быстрее черепа-
хи. В момент старта черепаха находилась на расстоянии а от Ахиллеса.
Когда Ахиллес пробежит этот отрезок а, то черепаха уползет вперед на
расстояние а/2. Когда Ахиллес пробежит отрезок а/2, то черепаха
уползет вперед на а/4. Когда Ахиллес пробежит а/4, то черепаха
продвинется вперед еще на а/8 и т.д. Этот процесс бесконечен, и Ахиллес
никогда не догонит черепаху».
Зенон считает, что в реальном мире каждая физическая операция
требует некоторого времени, которое больше некоторого фиксированного временного интервала. Поэтому всякая бесконечная последовательность физических операций выполнима лишь за бесконечный
промежуток времени.
Апория
построена на интуитивном убеждении, что никакие бесконечные процессы завершиться не могут. Именно это и приводит к противоречию.
Надо объяснить, каким образом рассматриваемый мысленно бес-
конечный процесс все же закончится.
Герман Вейль в начале XX века дал следующее объяснение этой
апории. В мыслимой модели существует бесконечная последовательность 1, 2, 3, ..., n, ... временных
стояние а/2
= 1/2n. В реальности, сумма таких интервалов существует и равна 2
t
n
n
) с неограниченно убывающим временным интервалом
событий (Ахиллес проходит рас-
ед. времени, поэтому через эти две единицы времени Ахиллес догонит
черепаху.
Мы видим, что в апории Зенона «Ахиллес и черепаха» отсутствует
изоморфизм мыслимой и реальной структур, по нашей классификации
нарушено соответствие первого типа. Изоморфизм нарушен там, где
Зенон неверно оценил сумму временных
интервалов.
8.7. Парадокс пустого множества
Рассмотрим высказывание Т всё, что я скажу, ложь. Первый
вопрос, который у нас возникает: истинно это утверждение или ложно?
По своему смыслу это высказывание ложно, так как заявлено, что
любое моё высказывание – ложь. С другой стороны истина в том, что я
только лгу, поэтому это высказывание истинно. Таким образом
, Т не
является ни истинным, ни ложным. В чем суть противоречия?
Рассмотрим утверждение Т как аксиому и будем считать, что есть
некоторая мыслимая структура и теория этой структуры, построенные
96
на основе этой аксиомы. Рассмотрим существование реализации R(T)
мыслимой теории построенной по этой аксиоме Т. Реализация есть
пустое множество, поскольку не существует языка, в котором все
утверждения лживы. Если бы реализация такого языка нашлась, то в
этой реализации мы имели бы некоторое свойство и его отрицание
одновременно, что противоречит понятию
реализации как совокупности конкретных свойств. Поэтому не существует изоморфизма мыслимой модели Т ни на какую реализацию R(T). Следовательно, согласно
определению смысла текстового объекта в выводе п.8.1, заключаем,
что утверждение Т всё, что я скажу, ложь является бессмысленным.
Вывод. Утверждение такого типа, когда мыслимые теории не
имеют реальных моделей, можно называть бессмысленным, а парадоксы – противоречия, возникающие в таких теориях – будем
называть парадоксами пустого множества.
8.8. Парадокс конечной достижимости в очереди
Моделью «очереди», или линейного порядка, будем называть всякую реализацию аксиом 1–4 из 5 аксиом Пеано структуры натурального ряда, см. п. 1.1 §1. Элемент х будем называть достижимым в «очереди», если этот элемент х = S(...S(S(1))) получен конечным числом
операций следования S из 1 (первого элемента). Вопрос: всякий ли
элемент «очереди» достижим?
В качестве первой модели возьмём модель натурального ряда
N = {1, 2, 3, …} в десятичной записи. Для доказательства конечной
достижимости всех элементов в этой модели воспользуемся аксиомой 5 “Математической индукции” аксиоматики Пеано, см. п. 1.1. §1.
Пусть М – множество всех достижимых элементов. Это множество
удовлетворяет
свойствам 1–4 аксиоматики Пеано: 1М, S(1)М; если
xМ, то S(х)М и так далее. Следовательно, по аксиоме 5, заключаем,
что М N, т.е. все элементы натурального ряда достижимы.
В качестве второй модели «очереди» возьмём модель Торальфа
Сколема. Эта модель представляет линейную цепочку вида: (п. 1.1. §1)
Т = 1, 2, ..., n
, ...; ..., а–2, а–1, а0, а1, а2, ...; ...,
97
Первые четыре аксиомы аксиоматики Пеано, формирующие структуру «очереди», для этой цепочки выполняются. В этой модели второй
и следующие за ним блоки имеют вид
..., а
, а–1, а0, а1, а2, ...
–2
и содержат недостижимые элементы. Получили парадокс: в одной модели линейного порядка N все элементы достижимы, в другой модели
линейного порядка Т оказались недостижимые элементы.
Мы получили противоречие, которое состоит в том, что на вопрос,
достижимы или не достижимы все элементы «очереди», нет однозначного ответа: в одной модели есть, в
другой модели нет этой достижи-
мости.
Покажем, что свойство достижимости, назовем его аксиомой Д, не
зависит от первых четырёх аксиом Пеано, следовательно, не является
логически выводимым в теории аксиоматики, состоящей только из
первых четырёх аксиом. Пусть П = П
, ..., П4 – аксиоматика структу-
1
ры линейного порядка, см. п. 1.1, §1.
Модель Сколема Т реализует систему Аксиом П и отрицание аксиомы достижимости: Т = R
П, Д. Модель N десятичного системати-
1
ческого представления натурального ряда реализует аксиомы П и аксиому достижимости: N = R
(П, Д). Следовательно, согласно достаточ-
2
ным условиям независимости системы аксиом, п. 7.3., §7, заключаем,
что аксиома Д не зависит от системы четырёх аксиом линейного порядка П.
Вывод 1. В теории структуры линейного порядка, определяемо-
го первыми четырьмя аксиомами аксиоматики Пеано, свойство
достижимости не доказуемо и не опровержимо, подобно тому, как
в абсолютной планиметрии не доказуема и не опровержима аксиома параллельности.
Вывод 2. Парадокс конечной достижимости в структуре ли-
нейного порядка есть следствие существования неизоморфных
моделей этой структуры.
8.9. Противоречивость в дедуктивных схемах
Можно ли в процессе дискуссии, основываясь на одних и тех же
фактах, прийти к противоречащим друг другу выводам? Рассмотрим
следующий пример.
98
Пример
Из 15 аксиом планиметрии Евклида Е2 и 15 аксиом планиметрии
Лобачевского L
удалим аксиомы параллельности. Оставшиеся 14 ак-
2
сиом составляют аксиоматику абсолютной планиметрии.
Напомним, что теория абсолютной планиметрии не категорична,
так как существуют две её неизоморфные реализации: L
2
. Эта теория дедуктивно неполна, так как аксиома параллельности
на R
не изоморф-
2
не выводима из остальных аксиом. Начнём строить умозаключения в
этой теории и посмотрим, к чему это может привести.
Три признака равенства треугольников справедливы в абсолютной
планиметрии, так как при их доказательстве не используется свойство
параллельности. Следовательно, как в реализации L
2
ции Е
эти три признака равенства треугольников справедливы. Но
, так и в реализа-
2
если мы начнём строить логические следствия, основанные на свойствах параллельных прямых, то обнаружим взаимоисключающие факты. Например, в плоскости L
, см. §5, мы видим два равных тре-
2
угольника по трем равным углам, а также две прямые, которые не параллельны и не пересекаются. Этого увидеть в плоскости R
2
мы не
можем, в том же §5 показаны и другие «неевклидовы» эффекты в
плоскости Лобачевского L
2 .
Таким образом, одна и та же система аксиом абсолютной планиметрии , реализованная в неизоморфных моделях, имеет противоречивые, взаимоисключающие “визуальные” эффекты. Почему это возможно? Дело в том, что неизоморфные модели в нашем случае содержат такие отношения, которые связаны с реализацией неучтённых
нами аксиом параллельности в этих реализациях, а
эти аксиомы имеют
противоположное толкование.
Вывод 1. Дискуссии, основанные на дедуктивно неполных и не
категоричных системах аксиом, могут привести к взаимоисключающим выводам по причине того, что неизоморфные реализации
могут содержать неучтённые аксиомы, имеющие в неизоморфных
реализациях взаимоисключающее толкование.
Вывод 2. Дедуктивная схема построения теории может не
дать однозначного вывода, если не известны все базовые аксиомы
теории.
99
8.10. Вопросы и задания к теме
«Смысловой анализ текстовых продуктов»
Вопросы
1. Как определить наличие или отсутствие смысла в текстовом
продукте?
2. Дайте определение парадоксу.
3. Приведите примеры парадоксальных умозаключений.
4. На чём могут быть основаны противоречия при дедуктивном по-
строении утверждений?
Задания
1. Покажите, что доказательства «от противного» основаны на па-
радоксе пустого множества.
2. Приведите примеры парадоксов и проведите анализ смысла вы-
сказываний в этих парадоксах:
– парадокс «Ахиллес и черепаха»;
– парадокс конечной достижимости в системе линейного порядка.
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]