Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Структурные свойства математического языка. Учебное пособие
.pdf
А каковы общие закономерности знаковых языковых систем, представляющих интеллектуальную продукцию в текстовой форме? Имеют
ли они общую природу независимо от предметной области?
Ответы на эти вопросы невозможны без анализа современных
научных направлений, синтезированных исследованиями в психологии, лингвистике, математике, физики информационных процессов и
др. и фактически подводит нас к проблеме
отношений в знаковых системах, представляющих тексты.
В историческом плане работа в этом направлении только начинается. Впереди – открытия, которые помогут нам осознать закономерности функционирования интеллектуальных систем посредством изучения текстовых структур – основного интеллектуального продукта.
С современным состоянием исследований в этом направлении можно
познакомиться по трудам научных конференций,
можно найти в интернете по ключевым словам.
моделирования смысловых
ссылки на которые
6. Цели краткого курса математики
для гуманитариев
Данное учебное пособие выполняет скромные функции семестро-
вого курса математики, читаемого на гуманитарном факультете НГТУ.
Первой целью курса является знакомство с идеями и методами
формирования математических языковых систем как инструментов реализации и оптимизации интеллектуальных функций в области математического предмета.
Автор считает, что математические тексты и структуры в определённом смысле являются образцами организации языковых систем, призванными создавать простейшие интеллектуальные продукты. Насколько значительна роль математических стереотипов в исследовании общих
текстовых структур, автору неизвестно. Очевидно лишь то, что рождение новых информационных технологий и автоматизация интеллектуального труда требует ревизии понимания назначений многих сложившихся языковых систем в науке
дования лежат в пересечении гуманитарных и естественных наук.
Мы будем знакомиться с математикой, как с искусственным языком, и рассматривать математический язык в качестве интеллектуального ремесла, [3]. Поэтому достижение поставленной цели проходит
через демонстрацию этого ремесла на примерах, доступных при
начальном изучении числовых и геометрических
Второй целью изучения математики следует считать обоснование того факта, что математика является искусственной со-
и практике, и соответствующие иссле-
структур.
11
ставляющей естественного человеческого интеллекта, развиваемой самим интеллектом для оптимизации своей деятельности.
Если считать, что одна из целей развития информационных технологий есть автоматизация интеллектуального труда, то мы с необходимостью признаем, что возможность компьютерного оперирования
«образами» связана с преобразованием образов человеческих мыслей
на язык отношений в определенных математических структурах.
этому, для начала, необходимо ответить на следующие вопросы:
– Как возникают математические структуры и что это такое?
– Как устроены такие структуры и как они функционируют?
Изучению этих вопросов мы посвящаем первую и вторую главы,
названные нами, соответственно, «формирование числовых и геометрических систем» и «структурные свойства аксиоматических теорий».
Ответ на
ность применения дедуктивных схем моделирования окружающего нас
мира и с необходимостью прийти к моделям случайных событий. Этой
теме посвящена третья глава «Математическое моделирование случайных событий».
В конце курса в заключении подводятся итоги в виде достигнутых
целей и ответов на поставленные вопросы, о которых можно
только после ознакомления с данным курсом.
поставленные вопросы позволит обнаружить ограничен-
По-
говорить
7. Вопросы и задания к теме
«Назначение знаковых языковых систем»
Вопросы
1. Какими функциями, по Эйлеру, определяются языковые знако-
вые системы?
2. Как соотносятся между собой интеллект и мышление человека?
3. Что является аналогом слова, предложения и текста в музыкаль-
ной грамоте?
4. Что является аналогом слова, предложения и текста в живописи?
Задания
1. Покажите, что в примерах 1-7 пункта 1.3 приведены языковые
знаковые системы
2. Приведите примеры знаковых систем, не являющихся языками.
3. Обоснуйте положение «язык – инструмент интеллекта и мышления».
.
12
Господь Бог создал натуральные
числа; все остальное – дело рук человеческих
Леопольд Кронекер (1823–1891)
ГЛАВА I
ФОРМИРОВАНИЕ АКСИОМАТИЧЕСКИХ
СИСТЕМ В МАТЕМАТИКЕ
§1. Формирование числовых систем
1.1. Система натуральных чисел
Человек обладает способностью образно различать количества
предметов и представлять количественные образы в знаковой, или
символьной, системе. Эта способность отражает свойство нашего интеллекта, которое мы называем умением считать или перечислять, а
соответствующая символьная реализация этого процесса называется
натуральным рядом.
Попробуем дать определение натурального ряда на русском языке,
переведём это определение на английский, затем ещё на какой-нибудь
язык и снова – на русский. К своему удивлению мы обнаружим, что
получили новый текст, не вполне идентичный исходному. Несложно
догадаться, что произошло. При переводе с другого языка мы подбираем слова, используя представителей класса синонимов, а математика
использует слова как знаковые
смысл. Чтобы избежать многозначности языкового толкования понятия «натуральный ряд», математики поступили следующим образом.
Свойство человеческого интеллекта «перечислять объекты» рассматривается как функция интеллекта, сама же функция определяется
наименьшим набором правил, которые полностью описывают действие этой функции. Чтобы найти искомые правила, построим файл,
определяющий эмпирические,
которых основано построение интересующей нас знаковой системы
натурального ряда.
единицы, несущие вполне конкретный
т. е. опытные, способности человека, на
13
Ф.1. Эмпирические свойства, определяющие построение натурального ряда
1о. Любой объект может быть выбран начальным элементом перечисления.
о
. Для любого количества перечисленных элементов определено един-
2
ственное следующее за ним количество.
о
. Начальному элементу не предшествует никакое количество.
3
о
. Двум одинаковым количествам предшествуют два одинаковых количе-
4
ства.
о
. Построенное множество количеств однозначно в том смысле, что все
5
другие построенные таким образом количества совпадают и могут отличаться только символьными системами.
Теперь займемся формализацией перечисленных свойств. Это
означает, что требуется построить систему аксиом (правил), отражающих перечисленные в файле операции 1
Дадим символьную реализацию операций 1
ляет выбрать первый элемент, обозначим его 1. Свойство 2
о-5о
в символьной форме.
о-5о.
Свойство 1о позво-
о
устанавливает операцию следования на множестве элементов. Эту операцию
представим в виде схемы
… → x →S(x) → … (1.1)
о
Заметим, что свойству 2
также удовлетворяет схема
… → x → S(x) → …
→ y (1.2)
о
Свойство 4
Свойство 3
указывает, что схема (1.2) реализоваться не может.
о
устанавливает единственность первого элемента, и мы
приходим к линейной цепочке
1 → S(1) → … → x → S(x) → … (1.3)
Эта цепочка образует «очередь», или, что, то же самое, линейный
порядок. Последнее свойство 5
ная цепочка со свойствами 1
о
утверждает, что всякая другая линей-
о-4о
будет отличаться только знаковой
системой
1 → → … → → → …
При этом порядок следования и количество операций следования,
необходимых для достижения данного элемента, не изменятся. Это
14
означает, в частности, что если знак, обозначающий количество пять,
следует за знаком количества четыре, то это свойство не зависит от
того, в какой знаковой системе оно выражено.
Приведем в немного измененном виде систему аксиом Джузеппе
Пеано (1858–1932), формализующую построение правил, записанных в
файле Ф.1. При этом каждую аксиому сформулируем подробно и
представим
кратко на языке символов формальной логики, принятых в
международной практике (см. обозначения на стр. 115).
Ф.2. Система правил, формирующих натуральный ряд.
Множество символов, элементы которого удовлетворяют следующим свойствам 1
1о. Некоторый элемент называется первым и обозначается символом 1:
2о. Для всякого элемента x существует единственный элемент S(x), следующий за x:
3о. Единице не предшествует никакой элемент:
4о. Всякому элементу предшествует единственный элемент:
5о. Аксиома индукции. Пусть подмножество ΜΝ содержит 1, и для его
элементов x выполняются свойства 2
4
о-5о
, называется натуральным рядом N.
x (x:= 1).
x y (y = S(x))
x, y (y = x S(x) = S(y)).
x (S(x) 1)
x, y (S(x) = S(y) x=y)
о
T(x)). Тогда Ν Μ.
x (xM)(T(x)) M=N
о-4о
(обозначим выполнение свойств 1о-
Заметим, что из этой системы правил нельзя выбросить ни одно.
Попробуем, например, выбросить пятое правило. Для этого рассмотрим знаковую модель, предложенную норвежским математиком Торальфом Сколемом (1887–1963). К линейной цепочке (1.3) добавляются последовательности блоков вида
…→ a
→ –1 → 0 → 1 → a2 → …
–2
15
тогда в новой цепочке найдутся новые элементы, которые нельзя представить в виде конечного числа операций S. То есть найдутся элементы
y модели Сколема, которые не удовлетворяют условию
y = S (S (…S(1))),
где S (S (…S(1))) – конечное число композиций операции следования.
Такие элементы y назовем недостижимыми. Таким образом, наличие правил
1–4 позволяет построить только линейный порядок – оче-
редь, но элементы этой очереди могут оказаться недостижимыми.
В школьной программе математики натуральный ряд строится в
десятичной модели 1, 2, 3,…, n, n + 1, …, в ней свойство конечной достижимости выполняется, т.к. десятичная запись содержит информацию о порядке числа. Десятичная система использует конечный цифровой алфавит 0, 1, 2, …, 9.
Суть построения символа целого числа в
этой системе в том, что вводятся операции сложения и умножения, и
закон записи имеет вид a N
a =
n n–1… 1 0
где
, 1, …, n(0, 1, …, 9)(
0
= n˙10n +
0).
n
n–1˙
n–1
10
+ …+ 1˙10 + 0 ,
Поскольку операции сложения и умножения ранее не фигурировали в модели Ф.2, то для построения десятичной записи элементов
натурального ряда следует добавить аксиомы, определяющие операции сложения, умножения и свойства этих операций.
Добавляя к аксиоматике натурального ряда новые операции вместе
с определяющими их аксиомами, мы не только расширяем свойства
натурального
ряда, но и расширяем само множество натуральных чи-
сел. Рассмотрим этот процесс подробнее.
1.2. Построение множества рациональных чисел
Практическая необходимость перечислять предметы привела к
формированию понятия натурального ряда. Одной из известных нам
записей натурального ряда является римская знаковая система
I, II, III, …, IХ, Х, ХI, …
Практическая же необходимость арифметических операций над
натуральными числами
приводит к формированию более широкого
класса величин – рациональным числам. Схематично это выглядит так:
16
Схема 1.2
Натуральный
ряд N
Множество Z
Операция
сложения "+";
операция
вычитания " "
обратная
к сложению.
Операции:
умножения "",
обратная опе-
рация деление
":", операция
сравнения.
Множество Z целых
чисел (положительные,
отрицательные
Множество Q
рациональных чисел
и ноль)
вида
m
n
Вывод 1
Множество чисел, представимых в виде несократимых дробей
m/n, где m, n
N, n 0 называется множеством рациональных
чисел и обозначается Q. На этом множестве определены операции
, , :, ≤, и результат действия этих операций над рациональными
числами есть снова рациональное число.
Мы не будем обсуждать все свойства рациональных чисел, а ограничимся напоминанием свойств систематического представления рациональных чисел, известных из элементарного курса математики.
Наличие операций сложения и умножения позволяет построить
представление целых чисел при помощи алфавита, содержащего К
знаков, называемых цифрами.
Такое представление дается записью вида:
aaK aKa
n
...
n
10
a N
(1.4)
и называется систематической K-ичной записью по основанию K.
Символы
Если K
aa a
10
10, то для обозначения K цифр используют первые K цифр
принимают одно из K значений 0, 1, 2, …, K – 1.
n
, , ...,
десятичной системы 0, 1, 2, ..., K – 1. Для обозначения степеней оснований (классов)
12
, , ...,
KK K
n
используются уже введенные число-
вые обозначения (классы «тиражируются» медленнее, чем числа, входящие в эти классы).
17
Запись целых чисел в K-ичной системе позволяет реализовать
арифметические операции над рациональными числами в виде некоторых алгоритмов (известных в элементарной математике как правила
«действий столбиком»), т. е. правил выполнения последовательности
простых операций над цифрами, представляющими рациональные
числа.
В школьном курсе изучаются алгоритмы арифметических операций в десятичной системе.
Напомним
Пусть а = 247 = 2 10
для примера алгоритм сложения целых чисел.
2
+ 4 10 + 7, b = 378 = 3 102 + 7 10 + 8.
Требуется найти c = а + b.
Складывая цифры, нумерующие разряды единиц, десятков и сотен,
получаем:
7 + 8 = 10 + 5 (единицы)
4 10 + 7 10 = 10
2
+ 3 102 = 5 102 (сотни)
2 10
2
+ 10 (десятки)
Учитывая правила формирования разрядов, составляем десятичную запись числа c = а + в:
2
c = (10
+ 5 . 102) + (10 + 10) + 5 = 6 102 +2 10+5 = 625.
Кроме реализации арифметических операций, систематическое
представление чисел дает алгоритм сравнения чисел по величине.
Для сравнения целых положительных чисел достаточно сравнить
цифры разрядов по старшинству, например: 197 < 211, так как
197 < 2 10
Алгоритм представления рационального числа
2
, а 211 > 2 102.
m
в десятичной
n
записи приводит к двум типам записи чисел, известным из школьного
курса.
Всякое рациональное число может быть представлено
сятичной
дробью вида:
конечной де-
mn
10 10
m
m
10
,
10 1
1
18
12
10
2
10 10
n
(1.5)
n
либо бесконечной периодической дробью вида:
, 10 10
10 1 1 1 0
mnnm
m
1
12 1 2
10
2122
10 10 10 10 10
nn
... ... ...
nnn n
(1.6)
Напомним также, что алгоритм десятичного представления рационального числа в виде (1.5) или (1.6) основан на следующем свойстве
целых чисел:
для любых a, b
N, (a > b) существуют m, n N, (m < a, n < b)
такие, что
а = bm + n
(1.7)
Замечание 1
Запись рациональных чисел в виде (1.6) требует обоснования, которое заключается в объяснении сходимости числового ряда, т.е.
существования конечного числа, являющегося результатом бесконечного суммирования в следующей записи:
11
10
... ...
nn
nn n
10 10 10
1
pn pn n
1
10 10
12
n
(1.8)
...
Объяснение того, что эта сумма представляет рациональное число,
основано на том, что эта сумма есть сумма бесконечно убывающей
геометрической прогрессии. Например, число 0,123123123…, являющееся бесконечной периодической дробью, преобразуется в запись
p/q
следующим образом:
0,123123... =
123 1 123 123 41
=
10 10 1
123 123
36
10 10
33
1
10
=
1
3
...
19
123 1
1 ...
33
10 10
999 333
=
.
Здесь мы воспользовались формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии:
a + aq + aq
2
+ … =
, q < 1 ,
1aq
где в нашем примере
a = 1, q =
10
1
.
3
1.3. Аксиоматика рациональных чисел
Конструктивное определение рациональных чисел
Q дано в схе-
ме 1.2. Приведем аксиоматическое построение множества рациональных чисел. Суть аксиоматического построения в том, что оно выдвигает такой минимум правил (аксиом), который обеспечивает построение
множества
Q со всеми операциями, перечисленными в п. 1.2. Поэтому
аксиоматика рациональных чисел должна содержать правила, определяющие действия с операциями сложения и вычитания, умножения и
деления, сравнения чисел, и связь между этими операциями.
Определение 1
Множество
элементы – рациональными числами, если выполняется следующий
комплекс условий, называемый аксиоматикой рациональных чисел:
Аксиомы операции сложения
Для всякой упорядоченной пары
некоторый элемент
полняются следующие условия:
1. (Существование нуля) Существует элемент 0 (нуль) такой, что
для любого
Q называется множеством рациональных чисел, а его
х, у элементов из Q определен
х + у Q, называемый суммой х и у. При этом вы-
х Q
х + 0 = 0 + х = х.
2. Для любого элемента х Q существует элемент х Q (проти-
воположный
х) такой, что
х + (х) = (х) + х = 0.
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]