Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Структурные свойства математического языка. Учебное пособие
.pdf
Вывод 2
Всякое утверждение в виде отношений объектов в теории
,Т
ко-
торое получается логическим следствием, выполняется и в реализации
R(T) в виде некоторого свойства реализованных объектов. Таким образом, существует взаимно однозначное соответствие между утвержде-
ниями теории Т
и выполнением соответствующих им свойств в реа-
лизации R(T).
Изначально структуру можно строить безотносительно её реализации.
Определение
Система аксиом Т, ее аксиоматическая теория Т
тическая структура
, определенные вне какой-либо реализации
T
и аксиома-
называются абстрактными (или формальными) системой аксиом,
теорий или структурой соответственно.
Если существует реализация R(T) системы аксиом Т, её теории и её структуры, то система Т, её теория Т
и структура T
называются содержательными.
Классическим примером формальной теории является мыслимая
геометрия, построенная Н.И. Лобачевским. Эта мыслимая геометрия
долгое время не воспринималась однозначно как содержательная аксиоматическая теория, пока не были найдены ее реализации, например,
реализация Пуанкаре
,L построенная нами выше. Таким образом,
2
исторический опыт с геометрией Лобачевского имеет «хороший конец»: были найдены реализации этой геометрии, и абстрактное аксиоматическое построение неевклидовой плоскости Лобачевского стало
содержательной теорией.
История науки знает немало примеров, когда построенные
теории так и не нашли соответствующих реализаций. Это касается
не только теорий в математике, физике и других естественных
науках, но и теорий экономических и социальных
.
6.5. Изоморфизм
В следующем параграфе мы покажем, как используются реализации для исследования свойств аксиоматических систем и теорий. Для
этого нам потребуется ещё одно понятие – изоморфизм моделей аксиоматических структур.
81
Пусть система аксиом Т имеет две реализации R(T) и R(T). Тогда,
R
R
R
R
R
R
М
R
Е
E
согласно выводу 1, п. 6.4, между реализациями
Q устанавливается взаимно однозначное соответствие:
ектов
i
и
i
базовых объ-
i
QR
. (6.2)
iii
Это соответствие является отношением эквивалентности. Что можно сказать о соответствии между реализациями отношений
реализациями этих же отношений
P
в
i
? Рассмотрим два примера.
i
Р
в
i
и
i
Пример 1
Пусть система аксиом Т состоит из 14 аксиом аксиоматики Гильберта, определяющих абсолютную геометрию плоскости (геометрию
без аксиомы параллельности). Мы имеем две реализации этой планиметрии:
2
(1) – арифметическая модель
(2) – модель Пуанкаре
L (плоскости Лобачевского). Можно уста-
2
новить взаимно однозначное соответствие между точками
точками
прямыми
,NL а также установить некоторое соответствие между
2
2
lR и прямыми
между точками и прямыми в модели
щие отношения в модели
≡ {
прямые
, и aa a
12 3
не пересекаются в конечной части плоскости}
2
может так выполняться в
(евклидовой плоскости);
.aL В то же время не всем отношениям
2
L можно найти соответствую-
2
.R Например, отношение
,L что не иметь аналога в
2
, )(,Pa a a
123
2
R и
2
(см.
≡
рис. 5.4, а).
Пример 2
Пусть 2 – геометрическая модель направленных отрезков (выполненная, например, карандашом на бумаге или реализованная на пик-
2
сельном экране компьютера). Пусть
арифметическая модель век-
торного пространства. Операция откладывания вектора, указанная
в модели Вейля, п. 4.1, устанавливает взаимно однозначное отобра-
жение :
a ↔(x, y) модели
2
a на модель
2
(, ).
xy
При этом
отображение сохраняет все определенные в векторной структуре
82
отношения, реализующиеся между соответствующими векторами a и
R
RQ
p
R
E
()a = (x, y).
Определение изоморфизма
Две реализации R(T) и R'(T) системы аксиом Т будем называть изоморфными, если выполняется два условия:
1. Существует взаимно однозначное соответствие (6.2) между реа-
лизациями ()
Q и ()
ii
базовых объектов ,
ii
Q i = 1, 2, …, m;
i
2. Отображение (6.2) устанавливает взаимно однозначное соответ-
ствие между всеми отношениями
RR
1
im
и
, , (,)
pR R
1
im
, ,( )
представляющими в моделях R и R определённые отношения
, , (.)
PQ Q
1
im
Само отображение (6.2) при этом называется изоморфизмом моделей или изоморфизмом реализацией R(T) и R(T), а также изоморфизмом аксиоматических структур ; ; {}
TPR и ; ; .{}
T
TP R
T
Другими словами, изоморфизм моделей это такое взаимно
однозначное соответствие между элементами моделей, которое
сохраняет все отношения элементов в этих моделях.
В примере 1, приведенном выше, модели
2
2
и
В примере 2 модели
изоморфны.
2
и 2L не изоморфны.
6.6. Вопросы и задания к теме
«Математические структуры и аксиоматические теории»
Вопросы
1. Приведите примеры отношений между базовыми объектами в
геометрии.
2. Приведите примеры отношений эквивалентности.
3. Дайте определение математической структуры и приведите при-
меры.
4. Дайте определение реализации системы аксиом, структур.
5. Дайте определение изоморфизма структур.
Задания
1. Перечислите базовые объекты и их отношения в числовых системах натурального ряда, рациональных чисел, действительных
чисел.
83
2. Приведите примеры изоморфных структур, изоморфных реали-
заций аксиоматических систем.
3. Покажите, что модели плоскости Евклида и плоскости Лобачевского не изоморфны.
4. Постройте пример аксиоматической теории, не имеющий реализаций.
5. Можно ли считать всякое свойство реализации структуры истинным утверждением теории этой структуры?
§7. Требования, предъявляемые к системам аксиом
7.1. Непротиворечивость системы аксиом.
Система аксиом называется непротиворечивой, или совместной,
если в теории
нибудь утверждение А и доказать его отрицание А. В противном слу-
чае система аксиом называется противоречивой или несовместной.
Теория ,Т
и отрицание этого утверждения АТ
теорией. С точки зрения «здравого смысла» такая теория абсурдна, так
как в мире «реальных вещей» некоторое свойство А «выражает» отношение этих реальных вещей и не может одновременно «не выражать»
это отношение.
Теоретическая проверка совместности системы аксиом, основанная
на непосредственном определении совместности, затруднительна.
Действительно, пусть мы доказали утверждения
Т и пусть отрицание этих свойств А1, ..., А
гарантия, что не найдется свойство
своим отрицанием
перебрать все возможные утверждения некоторой теории практически
невозможно. Например, евклидова геометрия, согласно работе профессора Гарвардского университета Гаррета Биркгоффа [7], основанная на
20 аксиомах Гильберта, включает около 20 000 утверждений, получаемых логическим путем. Ясно, что нет никакой возможности проверить
на непротиворечивость все эти 20000 утверждений, составляющий
предмет геометрической теории
этой системы аксиом невозможно доказать какое-
Т
содержащая вместе с некоторым утверждением АТ
называется неклассической
, , ...,
АА А теории
12
невозможны в Т. Где
n
А
, которое доказуемо вместе со
1n
А в теории Т? Такой гарантии нет, поскольку
1n
, , ..., .ТАА А
1 2 20000
n
84
Мы уже говорили, что с точки зрения здравого смысла, противо-
R
x
речивая система аксиом не должна допускать никакой реализации или
модели (кроме, быть может, мыслимой модели), так как ни одно свойство в реальной модели не может иметь место вместе со своим отрицанием. Отсюда логично сформулировать достаточное условие совместности в
следующем виде
Достаточное условие совместности (непротиворечивости)
системы аксиом
Система аксиом Т совместна (или непротиворечива), если су-
ществует хотя бы одна реализация R(T) этой системы.
Доказательство. Пусть выполняется некоторое логическое след-
ствие Т
А и его отрицание ТА. Тогда реализация R(T) содержит
реализацию свойства А и реализацию его отрицания, что невозможно
по определению самого понятия реализации.
Вывод 1
Непротиворечивость всякой системы аксиом Т сводится к суще-
ствованию хотя бы одной априорно не противоречивой реализации.
В качестве примера обратимся к трехмерной евклидовой геомет-
рии. Так как одной из ее реализаций является арифметическая модель
3
(координатная модель), то евклидова геометрия не противоречива,
если непротиворечива арифметика действительных чисел. Таким образом, вопрос о непротиворечивости евклидовой геометрии сводится к
вопросу о непротиворечивости арифметики действительных чисел.
Если в качестве реализации евклидовой геометрии рассматривать
окружающий нас мир, то непротиворечивость этой геометрии будет
сведена к опытной проверке. Однако расширение границ
опыта в конце
ХІХ, начале ХХ столетия привело к открытию неевклидовых геометрий
в мире электромагнитных явлений, в мире гравитации. Так возникла
специальная теория относительности, которая построена на законах
неевклидовой геометрии, связанной с геометрией Лобачевского.
В качестве второго примера рассмотрим планиметрию Лоба-
чевского. Она имеет реализацию Пуанкаре
L имеет арифметическую модель: {(x, y); y > 0} – "точки",
редь
{,()
2
222
ayk y > 0} – "прямые", и так далее. Следовательно, во-
,L см. §5. В свою оче-
2
прос о непротиворечивости планиметрии Лобачевского сводится, как и
в случае евклидовой геометрии, к непротиворечивости арифметики.
85
7.2. Независимость аксиоматической системы
Непротиворечивая система аксиом называется независимой, если
ни одна из аксиом этой системы не может быть выведена (или опровергнута) из остальных аксиом как теорема. В противном случае система аксиом называется зависимой.
Для иллюстрации этого свойства обратимся снова к геометрической теории, основанной на аксиоматике Гильберта. Ясно, что непосредственная проверка
независимости каждой из 20 аксиом затруднительна. История V постулата «Начал» Евклида является поучительным
тому примером. Четвертый постулат о конгруэнтности всех прямых
углов впоследствии был доказан как логическое следствие других аксиом и постулатов (точнее, других «очевидных» утверждений). Возник
вопрос о независимости или прямом доказательстве следующего, пятого постулата о параллельных прямых.
Тем более, см. замечание к аксиоме параллельности в §2, что как бы «половина доказательства»
аксиомы параллельности уже была известна. Более двух тысяч лет
предпринимались попытки доказать одно из двух: либо то, что V постулат есть логическое следствие других «более очевидных» утверждений, либо то, что он не доказывается исходя из каких
-либо «оче-
видных» утверждений, аксиом и постулатов.
Сформулируем назревший вопрос. Существует ли эффективное достаточное условие для проверки независимости какого-либо утверждения А от системы аксиом Т (проверенной уже на совместность). Такое
условие существует и для совместной системы аксиом формируется
следующим образом в терминах реализаций.
Теорема. Пусть Т – непротиворечивая система аксиом.
Утверждение А не зависит от системы аксиом Т, если вместе с
некоторой реализацией R
ществует некоторая другая реализация R
рицания утверждения
Доказательство. Пусть существует реализация R
(Т, А) системы Т и утверждения А су-
1
(T, А) системы Т и от-
2
А.
(T, A) системы
2
аксиом Т и отрицания утверждения – А, и пусть ТА (т.е. А следует
из Т). Тогда реализация R
(T, A) содержит вместе со свойством А и
2
его отрицание А = (А), что несовместимо с понятием реализации (см.
п. 6.3, §6, если в реализации выполняется некоторое свойство, то не
может выполнятся одновременно и его отрицание). Следовательно,
предположение ТА неверно. Точно так же можно проверить, что
наличие реализации R
(Т, А) не позволяет опровергнуть утверждение
1
86
А. Действительно, пусть ТА, т.е. имеет место опровержение утвер-
ждения А. Тогда реализация R
(Т, А) вместе со свойством А обладает и
1
свойством А, что невозможно по определению реализации. Теорема
доказана.
В качестве применения этого достаточного условия докажем независимость аксиомы параллельности от всех остальных 14 аксиом планиметрии.
7.3. Независимость аксиомы параллельности.
Напомним, что планиметрия строится на основе системы из 15 аксиом, включая аксиому параллельности (см. Аксиоматику Д. Гильберта в п. 2.2.,§2). Пусть Т = {T
, ..., T14} – система аксиом абсолютной
1
планиметрии без аксиомы параллельности, П – аксиома параллельности евклидовой геометрии. В качестве реализации R
аксиом Т и П возьмем модель R
сти : R
Пуанкаре L
2
= R1(T, П). В качестве реализаций R2(T, П) возьмем модель
= R2(T, П). Непротиворечивость этих реализаций сводит-
2
2
–арифметической евклидовой плоско-
(T, П) системы
1
ся, как было замечено в п. 7.1, к непротиворечивости арифметики действительных чисел. Существование реализаций R
(T, П) и R2(T, П),
1
согласно достаточному условию, сформулированному и доказанному в
п. 7.2, влечет независимость аксиомы параллельности П евклидовой
геометрии от остальных 14 аксиом планиметрии. Действительно,
допустим, что аксиому параллельности в формулировке евклидовой геометрии можно доказать. Тогда имеет место импликация
Т ={T
L
, ..., T14} => П. Но это противоречит существованию реализации
1
= R2(T, П), в которой окажутся два взаимоисключающих утверж-
2
дения П и П. Допустим, что эту аксиому параллельности можно
опровергнуть. Тогда справедлива следующая импликация
Т ={T
, ..., T14} => П. Но это противоречит реализации R2 = R1(T, П), в
1
которой снова окажутся два взаимоисключающих утверждения П и П.
Независимость аксиомы параллельности в евклидовой геометрии доказана.
Аналогично доказывается независимость аксиомы параллельности
в геометрии Лобачевского с использованием тех же реализаций – реализации
2
= R1(T, П) и L2 = R2(T, П).
R
87
Замечание 1
Доказательство независимости остальных аксиом геометрии
можно найти, например, в [2, 8].
7.4. Дедуктивная полнота и категоричность системы аксиом
Теория Т всякой структуры T = {T, Ð, M} состоит из множества У – утверждений или высказываний, связывающих некоторыми
отношениями заданные или вновь построенные объекты этой структуры. Любое высказывание «у» этой теории обладает одним из следую-
щих трех свойств.
– Высказывание «у» является доказуемым в теории Т
, т.е. истин-
∑
ным, обозначим множество таких высказываний И.
– Высказывание «у» опровержимо в системе Т
, т.е. ложное, обо-
∑
значим множество таких высказываний Л.
– Наконец, высказывание «у» не является ни доказуемым, ни опро-
вержимым, т.е. является неопределенным, множество таких неопределённых высказываний обозначим Н.
Таким образом, множество всех высказываний У, заявляющих о
наличии некоторого отношения объектов структуры
, есть сумма
T
непересекающихся классов истинных, ложных и неопределённых
утверждений:
У = И Л Н. (7.1)
Определение (дедуктивной полноты)
Непротиворечивая система аксиом Т называется дедуктивно полной, если в определяемой ею теории всякое предложение либо доказуемо, либо опровержимо.
Другими словами, в теории всех высказываний такой системы Т
недоказуемые и неопровержимые (неопределенные) утверждения отсутствуют и представление (7.1) принимает вид:
У = И Л. (7.2)
Например, система аксиом Т абсолютной геометрии
, состоящая из
аксиом Д. Гильберта с исключенной аксиомой параллельности прямых П дедуктивно неполна. Действительно, аксиома параллельности П
не доказуема и не опровержима в системе Т, так как П не зависит от Т,
поэтому утверждения, основанные на этой аксиоме, будут так же не
доказуемыми и не опровержимыми, т.е. неопределёнными.
88
Вся система аксиом Гильберта обладает свойством дедуктивной
полноты, см. например [2, 8].
В случае дедуктивно неполной системы аксиом можно найти две
неизоморфные модели. В качестве примера можно взять систему акси-
ом абсолютной планиметрии и ее две реализации в модели R
дели L
. Мы уже показали, см. пример п. 6.5. §6, что модели R2 и L2
2
2
и в мо-
неизоморфны.
Критерием дедуктивной полноты является следующее свойство категоричности системы аксиом.
Определение (категоричности)
Непротиворечивая система аксиом называется категоричной, если
любые ее модели (реализации) изоморфны.
Рассмотренный выше пример системы аксиом абсолютной геометрии представляет пример некатегоричной системы аксиом, так как
существуют две неизоморфные реализации L
и R2 этой системы.
2
Приведем без доказательства следующий критерий дедуктивной
полноты.
Если система аксиом категорична, то она является дедуктивно полной.
Обратное утверждение не справедливо. Рассмотрим следующий
пример аксиоматической теории, определяемой совместной (непротиворечивой) аксиоматической системой состоящей из следующих
семи аксиом.
Пример 1 (дедуктивно полной, но не категоричной системы
аксиом)
1. Аксиома рефлексивности: х (х х).
2. Аксиомы антисимметричности: х, у (х у у х х = у).
3. Аксиома транзитивности: х, у, z (х у у z х у).
4. Аксиома линейности: х, у (х у у
х).
5. Аксиома плотности: х, уz (х у х z у y z x)
6. Аксиома отсутствия наименьшего элемента: хz (z y).
7. Аксиома отсутствия наибольшего элемента: хz (z y).
Эта система аксиом дедуктивно полна, см. например, [4], но не ка
тегорична, так как имеет две неизоморфные модели: Q – множество
рациональных чисел и R – множество действительных чисел.
89
-
7.5. Историческая роль V постулата Евклида
в развитии оснований математики
Исключительная роль V постулата "Начал" Евклида в развитии
оснований математики состоит в том, что в течение почти двух тысяч
лет предпринимались безуспешные попытки доказательства этого постулата в качестве Теоремы. Сложившуюся иллюзию у математиков по
поводу возможности доказать этот постулат мы обсудили в п. 2.1.3.
Около 1826 года Н.И. Лобачевским была впервые осознана
независимость аксиомы параллельности от остальных аксиом геометрии.
Этот факт явился первым важным историческим шагом на начальном
этапе развитии современной теории оснований математики. Осознать
этот факт Лобачевский сумел благодаря тому, что к построению непротиворечивой геометрической теории он пришёл, основываясь на
утверждении, противном тому, что требовалось доказать. А именно,
Лобачевский
предположил, что аксиома параллельности, формулируемая в евклидовой геометрии, не верна. Он сформулировал свою аксиому параллельности, предположив, что существует по крайней мере две
линии, параллельные заданной прямой и содержащие заданную точку
(не лежащую на этой прямой), и стал строить в этих предположениях
геометрию, надеясь получить противоречие. Но вместо противоречия
он получил совершенно новую мыслимую геометрию, в которой противоречий не было, но открывались удивительные факты.
Следующий важный шаг состоял в том, что математическим миром
была принята «мыслимая» неевклидова геометрии и началось исследование отношений между аксиоматической геометрической теорией и
ее моделью. Этот шаг был проделан трудами А. Пуанкаре, Ф. Клейна
(1842–1925г.г.), К.Ф. Гаусса и других математиков ХIХ века.
Эти геометрические исследования второй половины ХIХ века послужили мощным импульсом пересмотра аксиоматических начал всей
математики.
Георг Фердинанд Людвиг Филипп Кантор (1843–1918) предпринял
попытку аксиоматического построения теории множеств, правда, не
выдвигая никаких требований к аксиоматическим теориям. Исследование противоречий
языкового характера, с которыми столкнулись математики в его «наивной теории множеств» привели, наконец, к современному пониманию требований, предъявляемых к системам аксиом. И, в конце концов, в 1899 г. появляется практически современная
геометрическая аксиоматика Д. Гильберта, которая легла в основу со-
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]