Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
Теорема 9. Необходимым и достаточным условием существования
M
D
X
lim
интеграла Ито является существование интеграла,
b
a
2
() ()
Xd
, при этом справедливо соотношение
Y
b
MX d
a
2
() ()
. (3.17)
mn
MS S
,
nm
Очевидно, что () 0
mt.
Y
(Поскольку стохастический интеграл от случайной функции также
является частным случаем стохастических интегралов по ортогональной стохастической мере, условия теоремы 9 аналогичны условиям
теоремы 8.)
t
Пример 15. Найти дисперсию интеграла Ито
если X(t) – сл. функция с
() , ( , )
mt ctKtt De
,
X
YXdW
12
() ()
0
()
tt tt
12 12
а W(t) – стандартный винеровский процесс.
Решение. По формуле (3.17)
bt
DMX d m D d
YXX
a
t
() (1).
ct De d D e
0
22
() () () () 1
22 2 2
0
23
ct
32
1
t
3.12. ДРУГИЕ ВИДЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ИНТЕГРАЛОВ
ОТ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Согласно замечанию к определению интеграла Ито, если в инте-
гральных суммах брать значения функции в других точках отрезков
,
tt, то в с.к. пределе этих интегральных сумм будем получать
1
kk
другие интегралы. Так, если брать значения сл. функции X(t) в правых
,
81
концах отрезков, то получим интегралы, обозначаемые символом
X
b
Y X dW Xt Wt Wt
11 1
() () l.i.m. ( ) ( ) ( ).
a
И вообще, для любого (0, 1)
n
k
n
kk k
1
можно определить стохастиче-
ский -интеграл соотношением
b
YXdW YY
n
l.i.m. (1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) .
n
1
k
() () (1 )
a
Xt Xt Wt Wt
11
kkkk
1
Y
:
1
Интеграл Ито получается при 0
1
симметризованный стохастический интеграл носит название ин-
, интеграл 1Y при 1
; при
2
теграла Стратоновича.
Среди всех этих интегралов интеграл Ито – самый простой в вычислительном отношении: достаточно просто вычисляются математическое ожидание и дисперсия интеграла. При остальных 0
рактеристики вычислять сложно из-за зависимости сл. величин
() ( )
от сл. величин
Wt Wt
kk
.
1
эти ха-
()
X
k
Как и в случае стохастических интегралов от неслучайных функций, стохастические интегралы от случайных функций можно рассматривать как интегралы, содержащие белый шум. Имея в виду фор-
()
мальное соотношение
dW t
()
Vt
, стохастический интеграл Ито
dt
bb
можно записать в виде
tdWt XtVtdt
() () () ()
aa
.
О процессе
tt
Yt X dW X V d
() () () () ()
aa
(3.18)
82
принято говорить, что он имеет стохастический дифференциал Ито:
M
X
D
D
() () ()dY t X t dW t , или, короче:
.dY XdW
Формула (3.19) представляет собой сокращенную форму записи
интеграла (3.18) в том смысле, что один и тот же процесс в первой из
этих формул представлен интегралом, а во второй из них – дифференциалом.
Аналогичные сокращенные формы записей интегралов приняты и
для других стохастических интегралов, в частности для интеграла
принято обозначение
тоновича. В случае же произвольного
Так как процесс W(t) не имеет с.к. производной в обычном смысле, то dW, а следовательно, и dY не являются дифференциалами в
привычном смысле. Тем не менее равенство (3.19) имеет вполне определенный смысл: обозначим приращение сл. функции Y(t) на малом
интервале Δt через ()()(),YYt t Yt XtW
()Wt . Итак, получили соотношение () .YXtW Оценим теперь
порядок малости Y
математическое ожидание и условную дисперсию величины Y
данном значении x сл. величины X(t). Сначала условное математиче-
ское ожидание:
ского интеграла от случайных функций ()и
симыми сл. величинами при любых
дисперсию
го ожидания
рядок малости компонент вектора
Таким образом, в отличие от обычного дифференциала функции
() ()df x f x x
имеющих тот же порядок малости, что и приращение независимой пе-
ременной, стохастический дифференциал имеет порядок малости
относительно ∆
dY Xd W и dY Xd W
относительно Δt. Для этого вычислим условное
Yx xM Wx = |по определению стохастиче-
Yx : при нулевом значении условного математическо-
Yx M Y x x t t Отсюда следует, что по-
и с.к. дифференциала сл. функции
t.
1
()WWt t
22
()().
(3.19)
Y
1
– для интегралов Стра-
-интеграла пишут dY Xd W
tW
t| = ( ) 0xM W. Теперь – условную
Y
относительно Δt равен
являются незави-
1
2
() ()dX t X t t
.
при
.
1
2
,
83
3.13. ФОРМУЛА ИТО
X
X
Z
Zt
Zx
B
x
Пусть сл. процесс X(t) есть решение дифференциального уравнения
рые неслучайные функции двух переменных;
() (, ()) (, ()) (), (0) ,
t AtXt BtXtVt X X
где A, B – некото-
0
()
Vtdt
dW t
()
– белый
шум интенсивности ()
сивности;
– сл. величина. В этом случае процесс X(t) представим
0
t
; ( )Wt – винеровский процесс той же интен-
своим стохастическим дифференциалом
Далее, пусть (, ), 0, ,
ция, имеющая непрерывные производные
Yt Zt Xt t имеет стохастический интеграл
цесс () (, ()), 0,
At Xt dt Bt Xt dWt t Xt B t Xt dt
ZZZ
(, ()) (, ()) (, ()) (, ()) (, ())
tx
() (, ()) (, ()) (), (0) .dXt AtXtdt BtXtdWt X X (3.20)
0
tx t x R – вещественная скалярная функ-
2
и
ZZ
() (, ()) (, ()) ()
dY t t X t dt t X t dX t
tx
2
1
ZZZ
2
t Xt dXt t Xt dt t Xt
(, ())( ()) (, ()) (, ())
2
x
(, ()) (, ()) () (, ()) (, ())
tXt AtXt tXt tXt B tXt dt
2
tx
2
1
Z
2
2
x
2
1
2
2
x
. Тогда [11] про-
2
2
2
(())dX t определяется из равенства (3.20) по следующему правилу
где
2
(, ()) (, ()) (),
tXt tXt dWt
«оперирования с дифференциалами»: ( ) ( ) 0,
dW t dW t dt
() () .
Z
(3.21)
dt dt dt dW t dW t dt
84
Иначе говоря, для всех неотрицательных t почти наверное имеет
Z
s
X
Z
место равенство
t
( , ( )) (0, ) ( , ( )) ( , ( ) ( )
tXt Z X BsXs sXsdWs
t
ZZZ
0
Xs As Xs B s Xs ds
(, () (, ()) (, ()) .
tx
0
0
Z
x
1
2
2
2
x
2
(3.22)
При этом должны быть выполнены условия, при которых определен стохастический интеграл по процессу ().
Wt
Любая из двух последних формул называется формулой Ито: первая формула – формула Ито стохастического дифференциала, вторая –
формула Ито стохастического интеграла.
Как пользуются формулой Ито? Рассмотрим примеры.
Пример 16. Рассмотрим процесс
() (), 0,Yt W t t ()Wt – стан-
2
дартный винеровский процесс. Вычислить дифференциал Ито процесса ()
Yt .
Решение. В этом примере () ()
лы (3.20), и
() 0 2 () () 2( ()) 2 () ()
dYt dt WtdWt dWt WtdWt dt
(, ) .
tx x Действуя по формуле (3.21), получим
2
1
tWt
2
, что следует из форму-
2
()dW t
2
WtdWt dt
2() () .
В соответствии с интегральной формулой (3.22) получаем
2
Wt WsdWs dst
11
tt
() 2 ( ) ( ) , 0,
00
Преобразуем последнюю формулу к виду
2
Wt t Видим, что стохастический интеграл от стандартного
() .
при этом учли, что (0) 0.W
t
0
() ()
WsdWs
22
винеровского процесса по этому же процессу нельзя вычислять по
обычной формуле интеграла от степенной функции.
85
Стохастический θ-интеграл при любом θ отличается от интеграла
Ито на величину θ
t
В частности,
t
() () ()
WtdWt W t t
0
1
WtdWt W t
0
11
22
t, поэтому
() () ()
2
для интеграла
t
() () () .
WtdWt W t t
0
1
2
для интеграла Стратоновича и
2
.Y
1
11
22
2
Видим, что значения стохастических θ-интегралов существенно
отличаются друг от друга при различных значениях θ, особенно если
значение
Пример 17. Пусть
процесс. Вычислить дифференциал Ито этого процесса ()
Решение. Согласно формуле (3.21)
t достаточно велико.
Wt
()
Yt e , ( )Wt – стандартный винеровский
()
Yt .
1
() ()
()
dY t de e dt
Wt Wt
2
()
Wt
edWt .
Пример 18. Пусть
ский процесс. Вычислить дифференциал Ито этого процесса ()
()
3
() (),Yt W t
где ()Wt – стандартный винеров-
Yt .
Решение.
212
dY t W t dW t W t dW t
()3 ()() 6 ()(())
1
2
33
dW t dt
2
Wt
()
() .
Wt
()
3.14. СТОХАСТИЧЕСКИЕ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (ТИП ІІ)
Введенное понятие стохастического интеграла Ито позволяет рассмотреть класс дифференциальных уравнений, отличных от рассмотренных ранее в разделе 3.5.
86
nn nm
X
X
x
Z
() , ( , ) , ( , )
Xt R AXt R BXt R
Пусть
ция размерности
ский процесс и
nm
R
0
()
Wt R
,
n
– вектор начальных условий.
m
– m-мерный стандартный винеров-
– матричная функ-
Определение. Случайная функция X(t) является решением стоха-
стического дифференциального уравнения
() ( (), ) ( (), ) ()
на отрезке [0, ]
го
t ее можно представить в виде
dXt AXt tdt BXt tdWt
T с начальным условием (0) 0X
TT
() ( ( ), ) ( ( ), ) ( )
Xt X AX d BX dW
0
00
(3.23)
, если для каждо-
, (3.24)
где первый интеграл в правой части понимается в с.к. смысле, а второй – является интегралом Ито.
От дифференциальных уравнений раздела 3.5 уравнение (3.24) отличается наличием в нем интеграла Ито. Уравнение (3.23) называют в
этом случае стохастическим дифференциальным уравнением в форме
Ито.
Рассмотрим примеры.
Пример 19. Показать, что сл. функция
Xt e удовлетворяет
стохастическому дифференциальному уравнению
()
Wt
1
() ()
dX t X t dt
()
2
() (), (0) 1
XtdWt X, ( )Wt – стандартный винеровский процесс.
()
Решение. Рассмотрим
tx e . Используем результаты примера 17:
(, )
Xt e в виде () (, ())
()
Wt
tZtWt
1
() ()
Wt Wt
de e dt
и
2
()
Wt
e dWt Xtdt XtdWt Кроме того,
1
() () () ().
(0)
W
(0) 1
Xe .
2
Следовательно,
Xt e действительно является решением урав-
()
Wt
()
нения.
Пример 20. Пусть X(t) удовлетворяет линейному дифференци-
альному стохастическому уравнению () ( () () ())
dXt AtXt Bt dt
87
() (), (0)GtdWt X X
F
Z
с непрерывными коэффициентами A, B, G.
0
Показать, что процесс
tt
11
() () () () () () () () ()
Xt FtX Ft F B d Ft F G dW
0
00
(3.25)
является решением этого дифференциального уравнения, если матричная функция
F(t) удовлетворяет системе дифференциальных урав-
нений
tAtFt
() () (),
FI
(0) .
(3.26)
Решение. Вычислим стохастические дифференциалы слагаемых в
правой части равенства (3.25), используя правило с.к. дифференцирования и формулу Ито:
tt
dFt F B d Ft F B d Bt dt
tt
() () () () () () () () () ().
dFtF G dW FtF G dW GtdWt
00
11
() () () () () () () ;
00
11
t
1
В последнем равенстве учтено, что для
1
определению справедливо
() () () ()dY t F t G t dW t
, а по правилу Ито
в силу линейности преобразования (, ()) () ()
( () ()) () () () ().dFtY t F tYtdt FtdY t
() () () ()
Yt F G dW
tYt FtYt
0
по
имеет место
Окончательно получаем
tt
() () () () () () ()
dX t F t X F B d F G dW dt
0
11
00
88
(3.26)
B
M
X
M
() () ()B t dt G t dW t
() () () () () () () ()
AFtX Ft F B d Ft F G dW dt
0
() () () () () () () ().
t dt G t dW t A t X t dt B t dt G t dW t
tt
11
00
Итак, выражение (3.25) дает общий вид решения стохастического
дифференциального уравнения в форме Ито.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Можно ли утверждать, что с.к. предел последовательности сл.
величин обладает обычными свойствами предела последовательности?
2. Можно ли утверждать, что с.к. предел сл. функции обладает
обычными свойствами предела неслучайной функции?
3. Доказать, что линейная комбинация и произведение с.к. непре-
рывных на
T скалярных сл. процессов – с.к. непрерывные на T ска-
лярные сл. процессы.
4. Пусть , 1, 2,...
n
YXn
nk
1
k
,1
Yn сходится тогда и только тогда, когда одновременно сходят-
n
ся числовые ряды
5. Пусть
ные сл. процессы, причем
l.i.m. () ().
Yt Yt
k
k
6. Пусть
процесс, исходящий из нуля. Пусть [
которое разбиение отрезка [
1
n
l.i.m. 0.
0
1
k
Xk
k
,1, 2,...
11
nn
( ), ( ), ( ), ( ), , 1, 2, ...
Xt Yt X t Y t t T R k , – скаляр-
Доказать, что ,l.i.m. () () () ().
X(t) = (X
, – некоррелированные сл. величины и
Доказать, что последовательность сл. величин
,.
XDX
nn
kk
22
(t), X2(t))T, t T, – двумерный винеровский
1
() , () ,MX t MY t
l.i.m. () (),
k
XtYt MXtYt
kn
kn
a, b] T и
, , , ...,
tt t t – не-
123
k
a, b]. Доказать, что существует
1122
XXXX
tttt
11
kkkk
tXt
n
89
t
X
X
X
X
X
() ()Yt X t
если
где – сл.
() sin sin(2 ),Xt t t
и () 2
tt
D = D = 0.1.
() ()Yt X t
cov( , ) .
mt K ts если
YY
и ()
],
t
21
13
7. Доказать, что СП X(t), t T, 2() sin( ),
Xt e t
величина, имеющая равномерное распределение на отрезке [0, 2
дифференцируем на
T.
8. Пусть процесс задается соотношением
tT – cл. величина, распределенная по равномерному за-
кону на отрезке [0, 2
вольная реализация СП
процесс
[0, ),
X(t)?
9. Найти
23
,,,tttT – некоррелированные сл. величины с нулевыми
]. Является ли дифференцируемой на T произ-
X(t)? Является ли с.к. дифференцируемым
(), ( , ), (),
mt Ktt Dt
YY Y
12
если
математическими ожиданиями и равными дисперсиями
(), ( , ), (),
10. Найти
12 11
11. Пусть (), ,
mt Ktt Dt
YY Y
sin , , ( , ) , (1, 1) ,tttT M
ttT
12
тт
– сл. процесс с известными математическим
ожиданием и ковариационной функцией. Найти (), (, ),
Y(t) = X(t) + X(t), t T.
12. Является ли с.к. дифференцируемым винеровский процесс?
13. Пусть (), ,
ttT
с.к. дифференцируемый на
смысле процесс
X(t)?
– процесс, стационарный в широком смысле,
T. Является ли стационарным в широком
14. Доказать, что производная от гауссовского процесса – гауссов-
ский процесс.
15. Найти одномерный закон распределения СП
Y(t) = (X(t), X (t))
T
, а X(t) – нормальный скалярный стационарный в
Y(t), ,tT
если
широком смысле процесс с нулевым математическим ожиданием и
ковариационной функцией
16. Пусть (), ,
ttT
– стационарный в широком смысле, диффе-
() = (1 + 2)–1.
X
K
ренцируемый СП. Будет ли стационарным в широком смысле СП
t
() () ?
Yt X sds
0
90
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]