Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
при этом для любого борелевского множества ()B
X
R
X
X
X
X
X
X
Z – ортогональная стохастическая мера, определенная на боре-
и ()
левской σ-алгебре (), [ , ],
менем и
для процесса с непрерывным временем.
Отметим, что если [, ]
нимать как (), .
nX
MZ dS
B
для процесса с дискретным вре-
, то формулу (4.10) следует воспри-
in
eZd nZ
Далее, в разделе 3.10 было отмечено, что для любого ()
2
() ()
MZ m – значение структурной функции, соответствую-
X
щей стохастической ортогональной мере ()
из равенства (4.11), ( )
турной функции ()
S
m
ортогональной стохастической меры ()
определенной на борелевской σ-алгебре ()
ab то () () ()
(, ) [ , ],
mSbSa
ствует спектральная плотность
Формулу (4.10) называют
онарного процесса
X(t). Спектральное представление играет важ-
2
() ()
XX
, (4.11)
B
Z
. Но тогда, как следует
является функцией распределения струк-
Z
B
. В частности, если
; если к тому же суще-
(),
s
X
X
b
то
msd
() () .
X
a
спектральным представлением стаци-
нейшую роль в задачах линейного оценивания и прогнозирования процессов.
,
4.2.4. ПРИМЕРЫ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
2
,,
Пример 4. Пусть
s
X
() 0.
2
0, ,
101
0
0
Вычислить ().
0
Kt
X
X
X
X
X
X
X
it
Решение. По формуле (4.5) запишем
22 2 2
0
22 2
it it
ed e t
0
1
it it t
0
0
Kt es d
() ( )
XX
it it
00
ee
sin ;
0
() (0) ( ) .
Dt K s d d
XX X
Отметим, что () 0
чения процесса
Kt при
и
t
X
– некоррелированные сл. величины.
tt
k
При достаточно больших значениях
tkZ
k
2
0
2
0
k
,;
это означает, что се-
0
процесс X(t) называют
0
2
0
широкополосным белым шумом и используют для аппроксимации белого шума с непрерывным временем.
Пример 5. Существует ли стационарный сл. процесс X(t) с кова-
2
,,
tt
риационной функцией
()
Kt
X
0, ?
0
tt
0
Решение. Если формально воспользоваться соотношением (4.9),
s
то получим для спектральной плотности выражение ()
1
it it
ция ()
eKtdt edt t
22
s не может быть спектральной плотностью процесса X(t),
() sin .
X
так как нарушается условие () 0 .
t
22
0
t
0
s
Следовательно, про-
Но полученная функ-
0
цесса с заданной ковариационной функцией не существует.
Пример 6. Пусть (), ,
ttT – стационарный белый шум, т. е. его
ковариационная функция содержит множителем δ-функцию:
2
() ().
Kt t Определить спектральные характеристики процесса.
102
Решение. Опять-таки формально воспользуемся соотношени-
s
X
X
X
X
R
X
X
X
ем (4.9):
1
it it it
( ) () () , .
XX t
eKtdt e tdt e R
2222
4.2.5. СПЕКТРЫ СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
t
222
0
t
0
0
В этом разделе речь пойдет о скалярных процессах.
Итак, по теореме 3 спектральные представления стационарных
it
процессов всегда существуют: ( ) ( ), ,
it
раздел 3.10) ( ) ( ), .
tedW tT
teZdtT
Следовательно, для любого ста-
или же (см.
X
ционарного процесса существует определяющая его спектральная
функция (), ,
S – она является функцией распределения ор-
тогональной стохастической меры процесса.
()
В зависимости от типа спектральной функции
S
– является ли
X
она абсолютно непрерывной, или ступенчатой, или смешанного типа –
различают процессы с различными спектрами.
Если ()
S абсолютно непрерывная функция, то процесс (),Xt
,tT состоит из некоррелированных гармонических колебаний всех
частот
которых приближенно равна () .
В этом случае процесс (), ,
рывным спектром
ставляет собой сумму гармоник, каждая из которых имеет частоту
случайную амплитуду с дисперсией
определяются спектральной функцией
рыва функции
соответствующих точках разрыва
с бесконечно малыми амплитудами ()dW, дисперсия
s
ttT называется процессом с непре-
()
s
()
S
X
ступенчатая функция, то процесс (), ,
()
S
X
.
X
2
, k =1, 2,… Числа
k
():
S
2
,
– это величины скачков функции
k
(см. раздел 3.10). Иначе говоря,
k
Xk
ttT пред-
– это точки раз-
kk
()
S
X
k
2
,
в
,
103
дисперсия процесса X(t) не «размазана» по непрерывному множеству
R
X
X
X
X
частот ,
. Множество пар чисел
дискретным спектром процесса (), ,
как в первом случае, а сосредоточена в отдельных точках
2
k
, , 1, 2, 3,...,
kk
k называют
ttT сам процесс – процессом
с дискретным спектром.
Спектр процесса может быть и смешанного типа – для него спектральная плотность существует, но она содержит множителем δ-функцию.
Можно ли вывести условия существования дискретного спектра
стационарного процесса?
Пусть процесс (), ,
конечной суммы гармоник sin ( )At
ttT представим в виде конечной или бес-
со случайными амплитуда-
ми А, фазами и различными частотами , т. е. в виде
() .
Здесь
– последовательность частот;
k
величин. Будем полагать, что () 0
цесса ()
K непрерывна и зависит от
Xt Ve
k
mt, ковариационная функция про-
it
k
k
(4.12)
V – последовательность сл.
k
tt . Для того чтобы эти
21
условия сохранялись при представлении процесса в виде ряда (4.12),
необходимо и достаточно, чтобы сл. величины
V , k = 1, 2,…, были не-
k
коррелированными и имели нулевые математические ожидания:
(, )
Ktt MXX MXX MVe e
Xttk
12
tt
21
k
21
itt
De
k
k
()
21
k
,
itit
2
12
kk
или
()
KDe
Xk
k
i
k
, (4.13)
104
D
X
D
X
X
X
D
X
где
– дисперсия сл. величин
k
(0)
V
. Отсюда
k
KD
(4.14)
Xk
k
и дисперсия процесса конечна тогда и только тогда, когда ряд (4.14)
сходится. При этом ряд (4.13) сходится к функции ()
K
равномерно
(признак Вейерштрасса). Равномерная же сходимость ряда (4.13) ста-
новится необходимым и достаточным условием сходимости ряда (4.12)
в среднем квадратическом смысле.
Формула (4.14) определяет распределение дисперсии процесса по
частотам его спектра
, kZ.
k
Итак, если ковариационная функция процесса X(t) представима
равномерно сходящимся к ней рядом Фурье, то сам процесс X(t) представим в виде суммы гармоник со случайными амплитудами и вся
дисперсия процесса состоит из суммы дисперсий амплитуд составляющих процесс гармоник.
В общем случае о представлении стационарного процесса Х(t)
ря-
дом (4.12) больше ничего нельзя сказать. Но вот если все частоты процесса
периоду 2
Фурье для функции ()
быть уточнена. Так, в силу четности ()
кратны основной частоте
k
2
:
2
K
, то формула (4.13) представляет собой ряд
. В этом случае сама эта формула может
, соответствующей некоторому
1
K сумму (4.13) можно пере-
писать в виде
и
2
kX
()cos
Kd
0
KD
k
В силу непрерывности ()
() cos
Xk
0
k
– коэффициенты ряда Фурье.
K
при любых , 0km существуют ин-
k
(4.14)
тегралы:
4
2
()coscos ,
Kt t dtdt
00
21 12
X
kt mt
12
105
X
X
X
X
X
X
поэтому процесс
4
Kt t dtdt
()cossin ,
X
2
00
4
2
00
21 12
Kt t dtdt
()sinsin ,
21 12
X
X(t) с.к. интегрируем с весами
kt mt
12
kt mt
12
kt kt
cos , sin ,
k =
= 1, 2, … Следовательно, на множестве
n
и
22
kk
00
n
St
Xkk
()cos , 0, , ()sin , 1, .
tdtkn Xtdtkn
Если процесс ()
ходному процессу
k
стационарного процесса X(t).
0k
0
() cos sin
kt kt
n
St является стационарным и с.к. сходится к ис-
X(t), tT
2
1
k
, то можно говорить о спектре частот
Т определен скалярный процесс
kt kt
(4.15)
Последний вывод является корректным, так как справедлива
Теорема 4. Если ()
процесса
X(t),
tT
K
, с () 0,
mt
– ковариационная функция скалярного
непрерывна на отрезке [, ]
, пред-
ставима на нем равномерно сходящимся к ней рядом Фурье
() cos ,
K
Xk
2
0
k
1) процесс ()
k
то:
n
St, определяемый формулой (4.15), является стаци-
онарным;
n
2) процесс ()
St с.к. сходится к исходному процессу X(t).
Доказательство. Заметим, что с целью упрощения доказательства
теоремы будем полагать числа k в формуле (4.14) четными и, кроме
того, вместо символов
2
.
ми
k
D в ней будем пользоваться обозначения-
k
106
() 0
M
p
p
X
M
M
Из условия, что
Cov( , ) ( ) ( )cos cos
pq
mt
X
4
2
, следует:
X t X t dt dt
12 12
00
mm
kk
22
pt qt
n
0
,
12
mS t
X
() 0.
4
2
4
2
22 2 2
kt pt kt qt
sin cos sin cos
00
2
k
0
k
11 2 2
()cos cos
Kt t dtdt
21 12
X
00
22 2 2
kt pt kt qt
cos cos cos cos
00
11 2 2
dt dt
12
22
pt qt
12
dt dt
12
2
, если ,
p
0, если .
q
q
Точно также доказываются равенства:
2
,,
pq
k
Cov( , ) Cov ( , ) 0.
pq pq
Далее покажем, что существует с.к. предел ()
равен X(t), т. е.
nnnn
() () () () 2 () () () () ,
S t Xt M XtXt M XtS t M S tS t
XXXX
lim ( ) ( ) 0 .
n
2
0, .
pq
St при
n
St Xt tT
X
2
n
n
и он
n
() () ()
MS tXt MXt
X
n
k
1
() cos () sin ,
MXt MXt
kk
1
2
22
kt kt
0
107
22
M
kt kt
() cos () sin
MX t MX t
kk
MXt X d
22()
() ()cos
XtX d
0
22()2()
22
p
cos cos , 1, .
pk
0
00
Аналогично доказывается равенство
nnn
MS t Xt DXt DS t DS t
но,
() () () () 2 () 0
XXXk
22 2
() ()cos cos
0
kt
kt pt
2
kkt
22()
()cos
Kt d
0
X
dkn
() 2MXt. Следователь-
00
kn
kt
2
2
1
при
n как остаток сходящегося ряда.
Замечание. В результате получаем, что дисперсии сл. величин
V
k
являются коэффициентами ряда Фурье для ковариационной функции исходного процесса X(t) при соответствующих частотах, т. е.
() ,
Ke
Xk
k
Пример 7. Пусть X(t), [0, ]tT
i
2
k
2
и
kk
DV .
, – стационарный скалярный
процесс с нулевым математическим ожиданием и ковариационной
функцией
,,
e
()
K
X
e
,,
2
2
– известная констан-
0
та. Убедимся в том, что процесс X(t) представим рядом Фурье.
108
()
X
X
X
Решение. Ковариационная функция
монотонна на отрезке [, ]
, а значит, имеет на отрезке ограниченное
K
непрерывна, кусочно-
X
изменение, в концах отрезка имеет равные значения, следовательно, по
признаку Дирихле ее ряд Фурье равномерно к ней сходится:
K
() cos ,
Xk
2
0
k
k
где
2
– коэффициенты ряда Фурье. Пусть
k
2.km
22
2
kX
2
222 2
ede d
0
cos cos
4
22
m
(2 ) ( )
()cos
Kd
0
mm
m
()
2
m
1(1) .
2
e
При
() 1 ( 1) cos ,
Ke
X
21 0.
km Но тогда
(2 ) ( )
0
k
ме 4 процесс X(t), tT
2
k
42
22
k
k
2
k
и тогда по теоре-
, представим рядом Фурье.
Пример 8. Пусть ковариационная функция стационарного сл. про-
t
цесса (), ,
ttR имеет вид () , , 0.
Kt e
Найти спек-
тральные характеристики и спектральное представление процесса.
Решение. По теореме 2 существует спектральная плотность про-
цесса, поскольку функция ()
грируема, так как
Kt непрерывна на R и абсолютно инте-
K t dt e dt e dt
() 2 .
X
t
109
t
0
2
Согласно равенству (4.9)
s
X
X
X
X
X
X
Z
X
X
X
1
it
() ()
XX
eKtdt
2
eedt e dte dt
22
t
it
11 1
2 ii
В данном примере роль спектра выполняет функция ()
тральная плотность. Она показывает,
стационарного процесса (), ,
тот элементарных гармоник: промежутку (, )
дисперсия, обозначим ее через D
0
ti ti
0
22
как распределена дисперсия
.
s
– спек-
D
ttR по непрерывному спектру час-
соответствует
, равная () ( ),
Ds o
0. Последнее слагаемое в формуле обычно не пишут:
Ds
го интеграла вида (4.10), где ортогональная стохастическая мера ()
() .
Сам процесс ()
t в этом случае представим в виде стохастическо-
определяется выражением (4.11). Можно считать в этом случае, что
()
t состоит из некоррелированных гармонических колебаний всех
частот ω с бесконечно малыми амплитудами ()dW
рых приближенно равна () .
ляется процессом с непрерывным спектром ().
s
Таким образом, процесс ()Xt яв-
s
, дисперсия кото-
Замечание. Спектр стационарного процесса X(t) называют еще
энергетическим спектром. Этот термин вызван следующими обстоятельствами. В радио- и электротехнических приложениях СП встречаются обычно в виде напряжений и токов в различных цепях. Из физики
известно, что энергия чисто синусоидального тока пропорциональна
квадрату амплитуды описывающей его гармоники. Поэтому, имея дело
со случайным
током и случайным напряжением, полагают, что дисперсия всего процесса пропорциональна энергии всего тока, а дисперсия отдельных составляющих процесса пропорциональна энергии составляющих его гармоник. Поэтому и удобно рассматривать в качестве
110
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]