Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
()
Для отыскания выражения для
s
воспользуемся только что
Y
полученной формулой (4.29) и формулой (4.2). По формуле (4.2)
() ( )
Ksed
YY
i
; по формуле (4.29)
n
2
d
2
n
dK
() ( 1) ( 1) ( )
Ksed
YX
nni
nnin
(1) ( )( ) (1) .
()
X
22
nn
dd
sied
X
22
Сравнение полученных результатов дает соотношение
2
() ().
ss
YX
n
(4.30)
Законность дифференцирования под знаком интеграла следует из
существования n-й производной процесса X(t), что равносильно схо-
димости несобственного интеграла
2
ni
es d
()
X
.
Для получения передаточной функции (частотной характеристики
()
() ()
преобразования
Yt X t ) ( )Hi воспользуемся спектральным
представлением процесса X(t) и формулой Ито:
() ().
nit
iedW
n
()
() ()
Yt X t
n
Но тогда по соотношению (4.17) для ()Hi по-
лучим выражение
()().
Hi i (4.31)
n
k
d
k
k
dt
0
, tT, kb – известные постоянные,
2. Пусть
n
() ()
Yt b Xt
k
k = 0, 1, …, n, и X(t) – скалярный стационарный процесс, n раз с.к.
дифференцируемый на [0, )T
, со спектральной плотностью ().
121
s
X
Воспользуемся, как и в предыдущем случае, стохастическим пред-
X
X
X
ставлением процесса X(t):
() ( )
tm eVd
X
it
.
С использованием формулы (4.17) получим спектральное пред-
ставление процесса Y(t):
() () ( ) ( )
Yt m t e Hi V d
Y
it
.
Теперь получим выражение для Y(t) с использованием формулы
Ито, формулы спектрального представления процесса X(t) и соотно-
it k
Xk
n
0
k
шения
n
() ()
Yt b Xt
k
k
d
k
k
dt
0
:
() ( ) ( ) .
Yt bm e V b i d
0
Сравнение формул дает результаты:
n
() , ( ) ( ) .
mt bm Hi bi
YX k
0
(4.32)
k
0
k
3. Рассмотрим достаточно общий случай преобразований стацио-
нарного процесса при его прохождении через линейную динамическую
систему.
Пусть X(t), [0, )tT , – стационарный n раз с.к. дифференциру-
m
емый на Т скалярный процесс с математическим ожиданием
спектральной плотностью
s
()
, а скалярный процесс Y(t), tT, –
X
и
m раз с.к. дифференцируемый на T процесс имеет место соотношение:
mn
k
k
dd
() ()
aYt bXt
k
dt dt
00
k
, 0t , в котором ka , b – известные
постоянные.
При достаточно больших tT
, когда в системе затихли переход-
ные процессы и система начинает работать в установившемся режиме,
процесс Y(t), tT , можно считать скалярным стационарным процес-
сом с математическим ожиданием
()
s .
Y
m , спектральной плотностью
Y
Воспользуемся по-прежнему стохастическими представлениями
процессов X(t) и Y(t):
() ( ) ,
tm eVd
X
it
() ()
Yt m t
Y
122
it
()
eV d
1
. Применив к последним двум выражениям формулу
Ито, получим соотношение:
am e V a i d bm e V b i d
01 0
YkX
it k it
mn
() ( ) () ( ) .
00
k
b
am bm m m
00
YX Y X
,.
0
a
0
(4.33)
Принимая во внимание полученное соотношение (4.33), перепишем
предпоследнее равенство в виде
it k it
eV ai d eV bi d
mn
() () () ()
1
k
k
00
или
n
it it
() () .
eV d eV d
1
0
m
0
k
()
bi
ai
()
k
k
В левой части последнего равенства стоит стохастическое представление центрированного процесса
Y(t), в правой части, согласно форму-
ле (4.17), – его выражение через стохастическое представление процесса
X(t). Следовательно, получаем соотношение
n
m
Hi
() .
0
0
k
123
()
bi
ai
()
k
(4.34)
k
УПРАЖНЕНИЯ
X
X
X
X
X
X
()
1. Найти ковариационную функцию
са (), [0, )Xt t T , если
2. Пусть (),
Yt X t
и () ()
. Найти
ttT
s
()
X
, – с.к. дифференцируемый скалярный процесс
DY t s
(), если ()
K
,[, ],
C
стационарного процес-
X
12
0, [ , ].
X
12
2
a
222
()
, где и a –
известные величины.
3. Определить ()
скалярный процесс,
где
– известная величина.
0
4. Пусть (), [0, )
ковариационной функцией
вестные величины. Найти
5. Два скалярных стационарных процесса (), (), [0, )
связаны равенством 5() () 4 ()3(), .
матическое ожидание и дисперсию процесса
() 2 , 0
Ke
– известная постоянная.
6. Работу дифференцируемой
RCY t Y t RCX t t T
() () (), [0, ).
Найти математическое ожида-
ние и дисперсию СП
s
Xt t T
Y(t), если
, если (), [0, )Xt t T – стационарный
2
() ,DX t
1, ,
()
K
X
0
0
0
0, ,
, – скалярный стационарный процесс с
Ke
()
s
X
X
.
22
() 1 , ,
Yt Xt t T
Yt Yt Xt Xt t T
Найти мате-
Y(t), если () 0,
mt
RC-цепочки описывает уравнение
() 0, ( ) cos ,
mt K
X
2
где 2,
– известные величины.
7. Спектральная плотность стационарного в широком смысле про-
2
цесса (), ,
ttT имеет вид
() ,
s
X
21
если
12
– из-
,
,
124
(0), и равна нулю в остальных случаях (полосовой белый
X
X
X
X
X
X
X
21
шум). Вычислить ()
K
, рассмотреть случай, когда
. Какому
21
СП соответствует предельный случай?
b
8. Пусть
() ,где , 0
sb
X
величину для стационарного СП
9. Найти и ()
22
() , 0.
KDe
XX
10. Стационарный СП (), ,
ли () () ()
Yt aXt bX t
.
11. Пусть (), ,
и с
s , если
Y
a) ( ) , 0; b) ( ) , 0.
()
ttT
Ke Ke
Найти
XX
() (), .Yt X t t T
22
()
. Найти (), ()
KDt
и
X
X(t).
s
– нормальный стационарный СП с ()
22
2
для стационарного СП X(t) с
ttT
имеет ()
s
. Найти ()
s
Y
mt m
22
, ес-
125
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дуб Дж. Случайные процессы: пер. с англ. / Дж. Дуб. – М.: Иностранная литература, 1962.
2. Карлин С. Основы теории случайных процессов: пер. с англ. / С. Кар-
лин. – М.: Мир, 1971.
3. Кемени Дж. Конечные цепи Маркова / Дж. Кемени, Дж. Снелл. – М.:
Наука, 1970.
4. Пугачев В.С. Стохастические дифференциальные системы / В.
чев, И.Н. Синицын. – М.: Наука, 1985.
5. Скороход А.В. Элементы теории вероятностей и случайные процессы /
А.В. Скороход. – Киев: Вища школа, 1980.
6. Медич Дж. Статистические оптимальные линейные оценки и управление / Дж. Медич. – М.: Энергия, 1973.
7. Волков И.К. Случайные процессы / И.К. Волков, С.М. Зуев, Г.М
кова. – М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 2000.
8. Лоэв М. Теория вероятностей / М. Лоэв. – М.: Иностранная литература,
1962.
9. Радюк Л.Е. Теория вероятностей и случайных процессов / Л.Е. Радюк,
А.Ф. Терпугов. – Томск: Изд-во Томского университета, 1988.
10. Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. – М.: Наука, 1976.
С. Пуга-
. Цвет-
126
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
Бекарева Нина Даниловна
СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Учебное пособие
Редактор И.Л. Кескевич
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор И.Е. Семенова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка С.И. Ткачева
Подписано в печать 24.10.2016. Формат 60 84 1/16. Бумага офсетная
Уч.-изд. л. 7,44. Печ. л. 8,0. Изд. № 188. Заказ № 1483. Цена договорная
Отпечатано в типографии
Новосибирского государственного технического университета
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
93
. Тираж 100 экз.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]