Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
Решение. Для решения воспользуемся теоремой 5. Интеграл
J
J
X
t
() ( ) () ()
Yt Jt W d W d
грал
Знаем, что
T
( ) () ()
tm d m d
T
()( )(, ) (, )
TT
WW
tJt K dd K dd
1 1 2 2 12 12 12 12
() 0
mt
W
0
t
0
WW
(, ) min(, )
Ktt tt
,
W
существует, если существует инте-
и существует интеграл
tt
12
00
t
12 12
. Но тогда
md
0
() 0
W
и
.
tt t t
12 1 1 2
min( , )
00 0 0
t
1
3 23 32323
11211121121
=
62362326
0
dd d d d
12 12 1 22 12
t
tttttttt
1
0
1
.
Оба интеграла конечны, но тогда существует и интеграл Y(t).
t
Пример 8. Найти
tt
12
De
.
(, )
Ktt, если
12
Y
() ()
Yt X d
0
,
Ktt
Решение.
tt tt
12 12
(, ) ( , )
Ktt d K d Dd e d t t
YX
12 1 1 2 2 1 2 1 2
00 00
tt
11 2
Ddeded
12 2
00
() ()
12 21
61
12
1
(, )
12
t
X
1
D
() ()
eed
0
t
1
D
ee d
0
1
12 21
0
121
()
t
t
1
2
1
1
D
2
DD
ee e t
2
tt вследствие симметрии матрицы
При
12
K будет аналогичным, только 1t и 2t поменяются местами. Оконча-
Y
t
1
121
ee
0
tt
12
t
()
1
t
0
tt
21
t
1
2
12 .
1
0
1
K
выражение для
тельно получаем
Ktt tt e e e
(, ) 2 min(, ) 1.
Y
12 12
DD
tt
12
2
tt
12
В заключение отметим, что операция с.к. интегрирования также не
позволяет найти интеграл Y(t) в явном виде. Иногда это удается сделать точно таким же способом, как и получение с.к. производной.
Пусть X(t) такова, что все ее реализации интегрируемы по Риману на
множестве Т, т. е
Y
при различных значениях ω – сл. величина. Если X(t) к тому же
R
с.к. интегрируем, то потраекторный интеграл
YtXtdt
() ()
T
. : существует () () (, ) 1
PYtXtdt
R
T
Y
и с.к. интеграл
R
. Тогда
совпадают с вероятностью 1. Тогда можем сначала
найти с.к. интеграл от случайной функции и для него вычислять числовые характеристики. Рассмотрим пример.
Пример 9. Пусть () sin cos , 0, 0Xt U vt V vt t v
независимые гауссовские сл. величины с 0MU MV
и U и V –
и равными
62
дисперсиями .DU DV D
X
R
D
X
X
t
() , 0.
Xdt
0
Найти явный вид интеграла ()Yt
Решение. Для любого ω траектория сл. функции X(t) имеет вид
tU vtV vt и, как линейная комбинация интегри-
(, ) ( )sin ( )cos
руемых функций, интегрируема на любом конечном отрезке
t
tYt Xd U vt V vtt
0, : ( , ) ( ) ( )(cos 1) ( )sin , 0.
R
0
1
v
Далее, сл. функция X(t) является при каждом t гауссовской сл.
() 0
величиной с параметрами
cos ( ) sin ( )vt s vt s. Условия теоремы 5 для функций
(, )
Kts выполняются, поэтому с.к. интеграл Y(t) существует и почти
X
mt
X
и
всюду равен потраекторному интегралу ()
1
теристики имеют вид 0,
(cos 1) sin , 0.Uvt Vvtt
v
m
Y
Его числовые вероятностные харак-
2
D
() (1 cos ).
tvt
Y
2
v
() ; (, )
Dt DKts D
XX
Yt, т. е.
() ( )
Yt X d
mt
X
t
0
()
и
3.5. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ (ТИП I)
Введенные выше понятия с.к. производной и с.к. интеграла позво-
ляют рассмотреть стохастические дифференциальные уравнения вида
() () () () (), 0,
где ()
t – с.к. производная процесса X(t); ξ(t) – с.к. непрерывная при
Xt AtXt Bt t t
(0) ,
XX
0
(3.7)
t ≥ 0 случайная функция; A(t), B(t) – непрерывные неслучайные функции;
– некоторая сл. величина.
0
63
Определение. Случайная функция X(t), t ≥ 0, является решением
X
X
X
X
F
F
X
уравнения (3.7) с начальным условием
0XX , если при любом
0
t ≥ 0 выполняется соотношение
tt
() () () () ()
tX AXd B d
0
00
, (3.8)
где в правой части равенства (3.8) все интегралы понимаются в среднем квадратическом смысле.
Уравнение (3.7) можно записать в несколько ином виде:
() () () () () .dX t A t X t dt B t t dt
(3.9)
Уравнения (3.7) – (3.9) эквивалентны в том смысле, что все они
определяют один и тот же СП ()
t .
Можно проверить, что решением дифференциального уравне-
ния (3.7) или, что все равно, (3.9) является процесс ()
t
1
где ()
t – решение уравнения
() () () ( ) () ( )
tFtX FtF B d
0
() () (), 0,
Ft AtFt t
(0) .
FI
0
(3.11)
t , имеющий вид
, (3.10)
Из теории обыкновенных дифференциальных уравнений известно,
что матричная функция ()
t из (3.11) такова, что () 0Ft при любом
t ≥ 0, а функция A(t) – кусочно-непрерывна.
Вычислим с.к. производную равенства (3.10) с учетом всех свойств
операций с.к. дифференцирования и с.к. интегрирования, отмеченных
выше:
t
11
() () () () () ( ) () () () ()
t F tX F t F B d FtF tBt t
0
0
64
F
Xt
X
X
M
X
F
=
() () () () ( ) ( ) () ()
At F t X F t F B d Bt t
0
t
1
0
=()() ()().At X t Bt t
Осталось проверить выполнение начального условия: (0)X
(0) .
XX В силу (3.11) (0)FI, следовательно, начальное
00
условие выполняется. Выражение (3.10) позволяет выписать явный
аналитический вид решения уравнения (3.7) во многих практически
важных случаях.
()
Пример 10. Пусть X(t), t ≥ 0, удовлетворяет уравнению
() , (0) ,
tXX
0
где
ный вектор, причем
cov( , ).
Найти закон распределения X(t) при любом t ≥ 0.
0
и
образуют гауссовский случай-
0
,,,
mMXmDD
00
00
Решение. Уравнение (3.11) для данного случая имеет вид
t
() (), (0) 1.Ft Ft F
Поэтому () .
te
Общее решение уравне-
ния, заданного в условии задачи, согласно формуле (3.10) имеет вид
Xt e X e e d
tt t t
() ( 1).
Xt e X e e d e X e
00
0
t
0
tt
()
t
0
Видим, что процесс X(t) как линейная комбинация гауссовских сл.
величин
иX – гауссовская сл. величина с параметрами
0
,DX D
m
tt
MX m t e m e
Dt e D e e e
() ( 1) ( 1).
x
x
22
tt tt
0
() ( 1),
D
2
65
0
2
3.6. СЛАБАЯ СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ.
X
X
X
X
X
X
ОБОЩЕННЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ
Обобщим понятие с.к. сходимости последовательностей сл. величин на с.к. сходимость последовательностей сл. функций.
Определение. Последовательность случайных функций
n
()
t
называется сходящейся в среднем квадратическом к случайной функции X(t),
чайных функций с.к. сходится к соответствующему значению
чайной функции X(t) при всех фиксированных tT
,tT если последовательность значений
X этих слу-
nt
.
слу-
t
Случайная функция X(t) называется с.к. пределом последовательности сл. функций
Пусть
– некоторый класс ограниченных функций переменной t,
n
()
t .
каждая из которых отлична от нуля только в некоторой конечной области (это существенно, только если Т – бесконечная область).
Определение. Последовательность случайных функций
, называется слабо с.к. сходящейся (с.с.к. сходящейся) к случай-
tT
ной функции X(t) (по отношению к классу
с.к.
() () () () () .
Xd Xd t
TT
n
), если
n
()
t ,
Случайная функция X(t) называется в этом случае слабым средним квадратическим пределом (с.с.к. пределом) последовательности
()
t .
n
Класс функций
обычно в определении не указывается, так как
он естественно определяется условиями задачи. Обычно это класс непрерывных функций, или непрерывных со своими производными до
определенного порядка, или бесконечно дифференцируемых функций
и т. д.
Пример 11. Пусть последовательность ()
кова, что
() 0
mt ,
X
n
Ktt
XX
mn
(, )
12
mn
mn
mn
mn
mt t
ett
nt t
ett
t , tT, n =1, 2,…, та-
n
()
12
,;
12
()
21
,.
12
66
Исследовать на с.к. сходимость эту функциональную последова-
X
тельность.
Решение.
, ,mn если
предела при , mn для любых
(, ) 0, , ,
Ktt mn если
12
mn
tt. Следовательно,
12
MX X не имеет конечного
nt nt
,,tt T а значит, с.к. сходимости
12
tt
12
12
,
(, ) ,
Ktt
12
mn
по стохастическому критерию Коши последовательности функций
быть не может. Что можно сказать о с.с.к. сходимости этой последовательности?
Согласно определению слабой сходимости вещественных (неслучайных функций) получим
Kt td ed ed
(, ) 1
mn
(, ) ( )
Ktt tt при ,mn.
12 1 2
mn
mn
слабо
0
mn
nm
0
Поэтому естественно считать с.к. пределом последовательности
функций
(),
ttT белый шум единичной интенсивности.
n
Обратимся теперь к определению слабой с.к. сходимости последовательности сл. функций, для чего рассмотрим интегралы
YXd , где – любая непрерывная финитная функция.
() ()
nn
MY Y K d d
mn mn
(, )()( )
12 1 2 12
mn
mn
() ( ) ( )
11 2 2 2 2
(, )
где
e
,
()
n
21
11
0
, то
1
() ()
mn
de d e d
mn
mn m n
21
12 21
1
() ,
11 1 1
(, )
. Так как
11
11
d
,
при , mn, и в силу
11 1
67
()
m
e
12
0
,
непрерывности функции ()
M
X
X
X
2
YY d
mn
,mn последовательность интегралов
()
сходится. Тогда последовательность
1111
(),
n
(), ()
ttT слабо с.к. сходится.
Значит, белый шум единичной интенсивности является с.с.к. пределом
рассматриваемой последовательности.
Приведенный пример показывает, что в общем случае с.с.к. предел
последовательности случайных функций может не быть случайной
функцией в обычном смысле. Это вызывает необходимость расширить
понятие случайной функции.
Определение. Слабый средний квадратический предел последова-
тельности случайных функций называется обобщенной случайной
функцией.
Белый шум относится к классу случайных обобщенных функций.
Очевидно, что из с.к. сходимости с.с.к. сходимость следует: любая
с.к. сходящаяся последовательность случайных функций с.с.к. сходится с той же предельной функции. Следовательно, класс
обобщенных
сл. функций содержит и некоторые обычные случайные функции.
Интегралы, содержащие белый шум
Определение.
интегрируемых функций
ма ()Vt называется с.к. предел интегралов от сл. функций ():
Пусть V(t) – с.с.к. предел последовательности с.к.
(),
ttT . Интегралом от белого шу-
n
t
n
() () l.i.m. () () .
Vd X d
TT
n
n
(3.12)
Рассмотрим числовые вероятностные характеристики таких интегралов.
t
Пусть сначала
ним пределом. Тогда () 0,
() () ()
Yt V d
(, ) ()()()()
Kts M V V dd
Y
0
mt MY
Yt
ts
00
– интеграл с переменным верх-
68
ts ts
M
x
M
x
x
M
x
() ( ) (, ) ()( ) ()( )
00 00
Kdd dd
V
2
()()td
0
, (3.13)
где ()– интенсивность белого шума.
Если в равенстве (3.12) интеграл Y(t) рассматривать на отрезке
, ab T , то он будет уже просто сл. величиной () ()
YVd
с
T
математическим ожиданием и дисперсией, равными соответственно
b
0, ( ) ( ) .
YDY d
2
a
Если же в качестве интеграла Y(t) рассмотреть общий случай,
а именно () (, ) ( )
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( ) .
K t t gt gt K d d gt gt d
12 11 2 2 1 2 1 2 1 2
YV
Yt gt V d
T
, где [, ]ab T, то () 0,
TT T
mt MY
Yt
3.7. ЭРГОДИЧЕСКИЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
При решении практических задач большое значение имеет вопрос:
можно ли по одной реализации СП делать выводы о вероятностных
свойствах процесса? Оказывается, что в некоторых случаях это возможно.
Для стационарных процессов, кроме средних статистических
характеристик, вводятся еще характеристики, средние по времени.
Пусть ()
lim ( )
T
t – реализация СП X(t), .tT Рассмотрим
T
1
T
tdt m
0
. Здесь символом
ˆ
обозначено усреднение по
ˆ
()
Xt
времени.
Следует отметить, что не для всех процессов временные средние
m имеют конечные значения. Это во-первых. Если они и имеют
конечные значения, то они могут меняться от реализации к реализа-
69
ции. Это во-вторых. Процессы, для которых временные средние ко-
X
X
X
X
X
нечны и одинаковы для всех реализаций и, кроме того, совпадают со
статистическими средними, носят название эргодических процессов
относительно математического ожидания или просто эргодических
процессов.
В эргодических процессах статистические средние с вероятностью,
сколь угодно близкой к 1, равны временному среднему, полученному
усреднением одной единственной реализации за достаточно большой
промежуток времени. Таким образом, по одной реализации процесса
можно сделать выводы о его вероятностных свойствах.
Дадим формальное определение эргодическим процессам.
Определение. Скалярный СП X(t), [0, ]tT r , с.к. интегрируе-
1
мый на Т с весом
, имеющий постоянное математическое
(, )gt
r
ожидание
скому ожиданию, если существует
самое, cуществует предел
Теорема 6. Пусть X(t), [0, ]tT r
m , называется эргодическим по отношению к математиче-
r
1
tdt m
l.i.m. ( )
r
1
MXtdtm
lim ( ) 0
r
r
r
0
r
0
X
или, что то же
2
.
, – скалярный процесс с конеч-
ным моментом второго порядка, с.к. интегрируемый на множестве T
с весом
смысле
1
и
r
l.i.m. ( ( ) ) 0
r
() .
mt m tT
XX
r
1
r
0
tmdt
Предел в среднем квадратическом
X
существует тогда и только тогда, ко-
гда существует предел
rr
1
lim ( , ) 0.
r
Kttdtdt
12 12
X
2
r
00
(3.14)
Доказательство. Обозначим за сл. величину Y интеграл
rr
11
tdt Y Xtdt
() : () .
rr
00
Его числовые вероятностные характеристи-
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]