Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
17. Пусть X(t), tT= [0, ), – интегрируемый на T скалярный
X
X
X
X
s
X
X
(, ).
СП с известной ковариационной функцией
t
(, ),
Ktt если
12
Y
18. Является ли СП
() () .
Yt Xsds
0
X(t),
нию к математическому ожиданию, если () ()
X
– двумерный СП, распределенный по нормальному закону с пара-
0
() 0, () ,
метрами
mt Dt A
XX
19. Пусть
X(t), ,tT
– с.к. дифференцируемый на T скалярный
= [0, ), эргодическим по отноше-
tT
tAXt
10 01
01 10
Ktt Найти
12
X
, X(0) = X0, где
?
СП, имеющий постоянное математическое ожидание и ковариацион-
st
2
Найти
2()
ную функцию
(, )
Ktt, определить ее наибольшее значение. Будет ли СП Y(t),
12
Y
эргодическим по отношению к его математическому ожиданию?
,tT
(, ) , 0,
Kts e
() (), .Yt X t t T
20. Будет ли с.к. дифференцируемым и с.к. непрерывным пуассо-
новский процесс?
21. Случайный процесс задан соотношением
MD
сл. величина с 2, 3.
() () 3 ().
Yt Xt X t
22. Пусть
()
t
2.
e
Найти (), (, ),
X(t),
2
Найти (), (, ), ()
– СП с mX(t) = 3t2 + 2t + 1 и (, )
tT
mt K ts
YY
() () .Yt tX t t
mt K ts Dt, если
X(t) =
YY Y
2
23. Случайный процесс X(t), ,tT задан выражением ()
t
Ve t
где V – сл. величина с 2, 3.MV DV Найти
mt K ts если
стоянные.
cos ,
(), (, ),
YY
t
() () ()
Yt Xt Xsds
0
, где > 0, , , – по-
cos
t, где –
Kts
t
24. Дифференцируем ли в среднем квадратическом стационарный
процесс
X(t), ,tT с
() ?
Ke
2
91
(, )
X
X
x
X
X
25. Сколько раз с.к. дифференцируем процесс X(t) с
Ktt
12
X
имеющей вид:
а)
2
б)
X
Записать
26. Показать, что
и ее производной
(, ) , .
Kts Kts
XY YX
27. Нормальный стационарный случайный процесс
рактеристики
() 13 .PXt
28. Стационарный нормальный процесс
ское ожидание () 0
22
2
e
– постоянная величина. Найти двумерную плот-
,0;e
cos ( / ) sin , , 0.
e
(, ),
Kts
X
если она существует, найти дисперсию
(, )
Kts
XY
() (),Yt X t
стационарной сл. функции X(t), ,tT
,tT удовлетворяет условию
X(t) имеет ха-
mt K e
() 1, ( ) 4 cos3 sin .
XX
mt
,0
2
и ковариационную функцию ()
2
Вычислить
3
X(t) имеет математиче-
Kt
().
Dt
X
22
2
ность совместного распределения вероятностей случайных процессов
X(t) и () ()Yt X t
29. Задана ковариационная функция
случайного процесса (), .
в один и тот же момент времени.
() 4
Kt e
стационарного
ttT
Найти ()
Dt, если
Y
2
t
() ( ) .
Yt X sds
0
,
92
R
4. СТАЦИОНАРНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
Определение стационарных процессов было дано в разделе 2.2.
Отметим некоторые свойства таких процессов. Будем полагать их действительными
4.1. СВОЙСТВА СТАЦИОНАРНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ (ССП)
( ) ( , ) (0) const
Dt Ktt K
1.
XX X
ССП X(t) (дисперсия в случае скалярного процесса) постоянна.
() ( )
KK
2.
XX
т
.
Это свойство вытекает из первого свойства ковариационной функции (см. раздел 1). Если X(t) – скалярный ССП, то
ковариационная функция является четной.
() (0)
KDK – ковариационная функция скалярного
3.
XXX
стационарного процесса не может быть больше ее значения в начале
координат.
4. Ковариационная функция непрерывна всюду на
непрерывна в точке 0t
– результат свойства 4 ковариационных
функций из раздела 1.
5. Производная стационарного процесса также является стационар-
2
Ktt
и
K
(0) 0,
X
ным процессом:
() ()
KK
ности,
K
ция
X
XX X
()
имеет максимум. Это означает, что значения любого ста-
(, ) ()
Ktt K
XX
12
– ковариационная матрица
() ( )
KK
XX
(, )
X
12
tt
12
,
tt
. В част-
21
поскольку в точке 0
–
1
, если она
функ-
93
ционарного процесса и его первой производной в одной и той же точке
X
являются
некоррелированными сл. величинами.
Везде далее в этом разделе мы будем рассматривать сл. процессы
X(t), стационарные в широком смысле.
4.2. СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ СТАЦИОНАРНЫХ
СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
По своей сути – это применение идей и методов гармонического
анализа к случайным функциям. Гармонический анализ решает задачу
представления функции в виде суммы гармоник sin ( )
из которых соответствует определенной частоте
частот
образует спектр функции. Зная спектр функции, ее можно
At
, каждая
. Множество этих
восстановить с любой наперед заданной точностью.
При изучении случайных процессов приходится считаться с тем
фактом, что ни одна из реализаций процесса не может быть известна
заранее. Однако оказывается возможным заранее установить, как распределяются дисперсии процессов по частотам составляющих их гармоник. Такая
информация по значимости не уступает знанию спектра
детерминированных (неслучайных) функций.
Использование этой информации при изучении стационарных случайных процессов представляет сущность спектральной теории.
4.2.1. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
Любой стационарный процесс, как и любой другой случайный
процесс, в качестве вероятностных характеристик (кроме законов распределения) имеет математическое ожидание и ковариационную
функцию. Но для решения основной задачи спектральной теории
необходимо знать спектральные характеристики стационарных процессов. К их числу относятся спектральная функция и спектральная
плотность. Понятие спектральной функции вводится следующей
тео-
ремой.
Теорема 1 (Герглотц, Бохнер, Хинчин). Пусть (), ,
онарный процесс с ковариационной функцией
()
ствует единственная функция
S
X
94
такая, что:
ttT
()
Kt
. Тогда суще-
X
– стаци-
1) если (), ,
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
ttT
– процесс с дискретным временем, то
it
; (4.1)
() ( )
Kt edS
XX
2) если (), ,
()
Kt непрерывна, то
ttT
При этом функция
ственная функция, непрерывная справа на промежутке
– процесс с непрерывным временем и функция
it
. (4.2)
– неотрицательная неубывающая веще-
() ( )
Kt edS
XX
()
S
X
, принимающая в левом конце промежутка нулевое значение. В первом случае
промежуток
Функция
ttT и, как следует из теоремы 1, однозначно определяется ра-
(), ,
имеет вид [, ]
()
S
называется спектральной функцией процесса
X
, ( , )
– во втором.
венствами (4.1) или (4.2); при этом равенство (4.1) точнее может быть
in
, и именно это соотношение – суть
спектраль-
()
Kt.
является абсолютно непрерывной, т. е. суще-
такая, что
() ()
Ssd
XX
:
()
, (4.3)
() ()
записано как
Kn edS
XX
теоремы Герглотца. Сами равенства (4.1), (4.2) называют
ным представлением ковариационной функции
Если функция ()
ствует функция ()
S
s
s называется спектральной плотностью процесса, при этом
то ()
() 0
s в силу монотонности ()
S
, и почти всюду на множест-
ве имеет место соотношение
п.н.
() ().
Ss
95
(4.4)
X
Тогда равенства (4.1) и (4.2), если выполнено условие (4.3), могут
s
s
X
X
быть переписаны в виде
it
() ( )
Kt es d
XX
(4.5)
и
DK dS s d
XX X X
(0) ( ) ( )
() время дискретное,
SS
X
() время непрерывное.
X
T
(4.6)
Если X(t) – процесс с дискретным временем, то связь спектральных
характеристик с ковариационной функцией процесса можно выразить
следующим образом. Формулу (4.5) можно рассматривать как формулу
для получения коэффициентов ряда Фурье по ортогональной на отрез-
ке [, ] системе функций
XX
2
1
() ()
. Если ряд
лютно, т. е.
in
eKn
nZ
()
Kn
X
nZ
it
e
для функции
, то он сходится к функции ()
eKn
nZ
in
()
s
, следовательно,
X
сходится абсо-
()
X
s
X
для лю-
бого [, ] :
1
() ()
XX
2
in
eKn
nZ
. (4.7)
В случае же, когда Т – непрерывное множество, связь спектраль-
ных характеристик с ковариационной функцией выглядит иначе.
Теорема 2. Пусть (), ,
ной функцией ()
Kt. Тогда:
ttT – ССП с непрерывной ковариацион-
1) для любых точек непрерывности ,, , спектральной
()
функции
S выполнено равенство
X
A
() () lim () ;
SS Ktdt
XX X
1
2
A
96
it it
ee
A
it
(4.8)
()
R
X
s
X
X
X
X
X
X
2) если ковариационная функция
Ktdt
X
() ,
на
1
, т. е.
то спектральная плотность ()
Kt
абсолютно интегрируема
X
s
суще-
ствует и определяется обратным преобразованием Фурье ковариационной функции
1
() ()
XX
2
Равенства (4.5) и (4.9) означают, что ()
it
eKtdt
Kt и ()
. (4.9)
s
связаны вза-
имно обратными преобразованиями Фурье и обладают всеми свойствами, присущими этим преобразованиям, в частности, чем «шире»
()
s
X
, тем «уже»
()
Kt
Речь идет о том, что расширение полосы ча-
X
стот, в которой спектральная плотность заметно отличается от нуля,
приводит к уменьшению интервала корреляции.
4.2.2. ПРИМЕРЫ СТАЦИОНАРНЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ
Пример 1. Пусть заданы центрированные комплексные сл. вели-
, , ...,
чины
zz z
12
(, ) cov(, )
zz zz
ij ij
числа из промежутка [, ).
тельность
последовательность
, удовлетворяющие условию ортогональности, т. е.
N
2
,,
ij
i
0, .
ij
Пусть
12
...
– некоторые
N
Введем в рассмотрение сл. последова-
N
in
соотношением
n
n
nk
k
стационарна, и найти ее спектральные ха-
k
ze n Z
1
,.
Показать, что
рактеристики.
Решение. Последовательность
N
in
k
eMz
k
1
0.
Ковариационная функция последовательности
k
(, )cov ,
Knmm ze ze
Xkk
NN
kk
inm im
11
центрирована: nMX
n
()
kk
97
NN
X
X
X
X
X
cov( , ) .
kj k
,1 1
zze e e
kj k
inmim in
()
kk k
2
Отсюда
тельность
Спектральной функцией процесса является функция ()
:
k
k
числе и равенству (4.1):
[ , ], , , ...,
величины скачков в этих точках. Иначе говоря, функция
(, )
Knmm зависит только от n. Следовательно, последова-
X
стационарна.
n
S
2
,
так как она удовлетворяет условиям теоремы 1, в том
k
[, ]. Такая функция
12
– точки ее разрыва, а
N
in
() () ,
Kn edS e
XXk
()
S
X
:
k
k
кусочно-постоянна на отрезке
() ( )
SS
kXk k
S
X
()
in
2
не яв-
k
2
–
ляется абсолютно непрерывной, следовательно, спектральной плотности для нее не существует.
Пример 2. Пусть
коррелированных сл. величин:
– последовательность центрированных не-
n
MX DX Показать стацио-
0, .
nn
2
нарность последовательности, найти ее вероятностные и спектральные
характеристики.
in
Воспользуемся соотношением
ed
спектральное представление для ковариационной функции
22
22
тельности
in
ed s
,.
n
X
nZ
()
– спектральная плотность последова-
Спектральную функцию найдем по формуле (4.3),
() ( ), .
sd
X
2
2
2, 0,
n
n
0, 0,
получим
()
Kn
X
()
S
X
98
Последовательность
X
X
X
X
дискретным белым шумом. При
из примера 2 называют стационарным
n
2
1 белый шум называют стан-
дартным.
Термин «белый шум» пришел из радиофизики, где белым шумом
называют случайный сигнал с равномерным спектром. Белый шум
позволяет сформировать различные виды стационарных последовательностей.
Пример 3. Пусть
довательность комплексных чисел таких, что
Последовательность
называется последовательностью двустороннего сколь-
k
knk
,
зящего среднего; последовательность
X
называется последовательностью одностороннего
nknk
k
0
,
скользящего среднего; последовательность
p
нием
X
называется последовательностью скользящего
nknk
k
0
– стандартный белый шум и
n
, заданная соотношением
n
, заданная соотношением
n
,
n
k
n
2
.
k
, заданная соотноше-
– после-
X
n
среднего порядка p.
Показать, что все эти последовательности удовлетворяют условиям
стационарности, найти их спектральные характеристики.
Решение. Приведем решение для первой из последовательностей,
так как две другие являются ее частными случаями.
Очевидно, что
X
nnkk
kZ
0, ( , )
MX K n m m
nX
cov , cov ( , )
nmk k mk k nmk mq k q
kZ kZ kqZ
,
kZ
nk k
99
.
22
X
X
X
X
nk k
Поскольку
полученный ряд
nk k
,
2
сходится.
Спектральную плотность поможет найти формула (4.7):
kZ
nk k
seKke
11
22
,,
nk Z mk Z
11
() ()
22
()
ink ik im ik
ee ee
Далее, в силу условия
интегрируема на отрезке [, ]
спектральная функция
4.2.3. СПЕКТРАЛЬНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
ik in
kZ nZ kZ
Xnkk
nk k m k
1
2
k
kZ
e
k
2
2
ik
.
k
полученная функция ()
s
, потому может быть определена и
Ssd
СТАЦИОНАРНЫХ ПРОЦЕССОВ
() () .
XX
Используя понятие интеграла по ортогональной стохастической
мере (см. раздел 3.10), можно получить спектральное представление и
для процессов (не только для ковариационной функции).
Теорема 3. Для любого скалярного стационарного процесса (),
()
,tT с ковариационной функцией
()
ей
S
имеет место спектральное представление
X
Kt
и со спектральной функци-
X
t
it
() ( ), ,
teZdtT
(4.10)
X
100
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]