Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
r
D
M
X
X
ки, согласно формулам (3.3) раздела 3, равны
rr
1
Y K t t dt dt
2
r
(, ) .
X
00
12 12
1
mmtdtm
YX X
r
0
() ;
С другой стороны, если воспользоваться определением дисперсии
2
сл. величины, получим
DMYm M Xtdtmt
() (() ()).
YY X
2
Сопоставляя два выражения для дисперсии
rrr
шение
11
(() ()) (, ) .
Xtdt m t K t t dtdt
r
000
Предел левой части при
2
XX
2
r
r
равен нулю тогда и только тогда,
когда равен нулю предел правой части при
r
1
r
0
D , получаем соотно-
Y
12 12
r
.
Теорема доказана. Она содержит необходимое и достаточное условия эргодичности процесса X(t) и утверждает следующее. Для скалярного процесса (), [0, ],
ttT r
с постоянным математическим
ожиданием условие, что среднее значение этого сл. процесса по области T в пределе при
r
равносильно условию, что среднее значение по области TT
равно его математическому ожиданию,
ковари-
ационной функции при r стремится к нулю.
В вычислительном отношении иногда гораздо проще, особенно в
случае стационарных процессов, использовать следующее достаточное
условие эргодичности СП.
Теорема 7. Для эргодичности СП X(t), [0, ]tT r
к его математическому ожиданию, с.к. интегрируемого на T с весом
, по отношению
1
r
имеющего постоянное математическое ожидание, достаточно существования предела
Пример 12. Пусть X(t), [0, )tT
lim ( , ) 0.
Ktt
12
tt
21
X
, – стационарный скалярный
,
СП с параметрами () 0
mt,
() cos sin ,
Ke
X
71
2
0 . Он является эргодическим по отношению к его математическо-
X
x
му ожиданию, так как:
() 0
mt – математическое ожидание постоянно;
1)
X
2) процесс является с.к. интегрируемым на любом отрезке [0, ]r
r
1
mtdt
X
r
0
() 0
и
с весом
rr
1
Kt tdtdt
();
X
2
r
00
1
, поскольку существуют интегралы
r
2112
3) выполняется достаточное условие теоремы 7, которое при
tt означает существование предела lim ( ) 0
21
K
.
X
Еще раз отметим сущность эргодических процессов: эргодичность
скалярного СП X(t), tT
, относительно его математического ожида-
ния означает, что если известна его реализация X(t), то в качестве
оценки
m
может быть взята величина
r
1
r
0
tdt
()
, т. е.
ˆ
mxtdt
r
1
r
0
() .
X
Чем больше величина r, тем точнее оценка.
3.8. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ
ОТ НЕСЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
Рассмотрим на множестве [, ]Tab неслучайную непрерывную
функцию ()t и скалярный процесс с некоррелированными прираще-
ниями X(t) с известными математическим ожиданием и ковариацион-
ной функцией:
t
() ( ) ( ) , ,
mt ma m dtT
XX X
()
где
mt
и ()t также непрерывные на множестве Т функции, ( )t –
X
a
Kts ka d
(, ) ( ) ( )
X
t
a
,
интенсивность процесса X(t) [см. формулы (2.8) и (2.10)]. Для произвольных разбиений отрезка [, ]ab точками
мелкостями разбиений
max ( )
k
tt
kk
72
1
, 1,kn , составим инте-
at t t b
01
...
с
n
n
M
D
гральные суммы
точки отрезков
SXtXt
nkkk
[, ]
tt
1
kk
Определение. Стохастическим интегралом от функции ()t
процессу X(t) называется с.к. предел последовательности
() () ( ),
k
1
.
– произвольные
k
1
по
,1
Sn
n
при 0 , если он существует и не зависит ни от разбиения отрезка
[, ]ab, ни от выбора точек
:
k
n
l.i.m. l.i.m. ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Y S Xt Xt tdXt
nkkk
00
k
1
b
1
a
.
Теорема 8. Для существования стохастического интеграла от не-
случайной функции
по процессу X с некоррелированными прира-
щениями необходимо и достаточно существование пределов:
bb
lim ( ) ( ) , lim ( ) ( ) .
nmn
Smd MSS d
nX nm
aa
,
2
При этом математическое ожидание и ковариационная функция
(дисперсия в случае скалярного процесса) стохастического интеграла
определяются формулами:
b
mmd
YX
Y
() () ,
a
b
a
2
() () .
(3.15)
d
Пример 13. Найти математическое ожидание и дисперсию стоха-
стического интеграла
ровский процесс, 0
.
0
, если X(t) – стандартный вине-
()YedX
73
Решение. Для винеровского процесса
Dd
ковариационная функция имеет вид
min( , )
tt
12
(, ) ()
Ktt d
12
X
0
Тогда по формулам (3.15)
() 0
mt tT
X
= min (
, tt).
12
и () 1t
me d
Y
0
00;
De d
Y
2
0
1.
1
2
Пример 14. Найти математическое ожидание и дисперсию стоха-
()
стического интеграла
постоянной интенсивности
dX
Y
1
0
, если X(t) – пуассоновский процесс
2
.
Решение. Пуассоновский процесс есть процесс с независимыми
приращениями и конечными моментами второго порядка, следовательно, он является СПНРП, поэтому задание интеграла по пуассоновскому процессу корректно.
d
Известно,
Ddt
Y
()
mt t
X
(1 ) (1 ) 1 (1 )
00 00
, тогда
dt t t dt td t
22 22 2 22
tt tt
arctg .
1(1)
t
0
m
Y
22 2
11
tdt
22
22 4
tt
11
2
1
0
;
2
2
0
0
Замечание 1. Если в определении стохастического интеграла про-
цесс X(t) – векторный, то ()t
отношениях (3.15) принимает вид
, ( )t – матрицы, вторая формула в со-
74
b
()() () .
Y
a
т
Необходи-
мым и достаточным условием существования векторного стохастиче-
X
X
ского интеграла является существование всех скалярных интегралов,
входящих в его состав.
Замечание 2. Если
(1)
()CT и X(t) – СПНРП, тогда справедлива
формула интегрирования по частям:
tt
dX tXt aXa X d
() () () () () ( ) () () .
aa
Эта формула выражает стохастический интеграл через с.к. интеграл, и
это равенство может быть принято за определение стохастического
интеграла.
3.9. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ КАК ИНТЕГРАЛЫ,
СОДЕРЖАЩИЕ БЕЛЫЙ ШУМ
Покажем прежде всего, что процессы с некоррелированными при-
ращениями не являются с.к. дифференцируемыми процессами. Пусть
min( , )
tt
12
X(t), ,tT – СПНРП с () 0
mt,
(, ) ()
Ktt d
X
12
t
0
.
Для с.к. дифференцируемости СП X(t) необходимо и достаточно
2
(, )
Ktt
существование конечной второй производной
K
рим сначала
как функцию 2t при фиксированном 1t , тогда
X
tt
12
12
. Рассмот-
t
2
() , если ,
dtt
t
0
t
1
() , если .
dtt
t
0
21
12
(, )
Ktt
12
X
75
Дифференцируя эту формулу по 2t , находим
X
(),если ,
ttt
(, )
Ktt
X
12
t
2
откуда следует, что функция
с величиной скачка, равной
(, )
Ktt
12
сать в виде
X
t
2
221
0, если ,
(, )
Ktt
12
X
t
2
()t . Последнее равенство можно запи-
2
, где
()( )
ttt
212
tt
12
в точке
tt терпит разрыв
12
()tt
– единичная
12
функция.
Продифференцируем последнее равенство по переменной
2
(, )
Ktt
X
чим
При
с.к. дифференцируемости процесса
12
tt
12
tt
12
()( ) ()( ).
ttt ttt
212 112
2
(, )
Ktt
X
tt
12
12
, следовательно, достаточное условие
не выполнено.
t , полу-
1
Однако выражение для второй производной ковариационной функции содержит множителем δ-функцию, но тогда это ковариационная
функция белого шума. Поэтому целесообразно считать с.к. производную СПНРП X(t) белым шумом. Для формального же доказательства
этого факта достаточно показать, что любой СПНРП имеет слабую с.к.
производную, представляющую собой
белый шум той же интенсивно-
сти, что и СПНРП.
На основании сказанного стохастический интеграл от неслучайной
функции можно
щего белый шум:
Если в интегралах заменить a на
то они примут вид
tt
() () ( ) ()
V d Xt Xt V d
tt
00
формально представить в виде интеграла, содержа-
bb
() () () () .
dX V d
aa
t , b – на t и ()t – на ()t ,
0
tt t
( ) () ( ) () ()
tdX tVd dX
tt t
00 0
0
t
() ( ) ( ) .
tXt Vd
0
t
0
76
Последний результат означает, что любой с.к. непрерывный про-
FP
E
F
цесс с некоррелированными приращениями можно представить в виде
интеграла от белого шума той же интенсивности.
3.10. СТОХАСТИЧЕСКИЙ ИНТЕГРАЛ
ПО ОРТОГОНАЛЬНОЙ СТОХАСТИЧЕСКОЙ МЕРЕ
Отметим, что введенный выше стохастический интеграл от неслучайной функции представляет собой частный случай стохастических
интегралов от неслучайных функций по ортогональной стохастической
мере.
Введем некоторые определения.
Пусть задано вероятностное пространство (, , )
множество
1
R с σ-алгеброй ε его подмножеств.
и некоторое
Определение. Случайная функция (может быть и комплексная)
(, ) (), , ,ZZ называется элементарной стохастиче-
ской мерой, если выполнены условия:
1) ( )Z – центрированная сл. функция с конечным вторым момен-
том, т. е.
2) для
();Z
2
3) если
то
nk
() 0, () ;MZ M Z
, , таких, что
12
– последовательность из ε такая, что
n
... и ,
k
1
Если дополнительно выполняется условие, что
что
12 1 2
,(), ()0,MZ Z т. е.
2
,
12
2
() 0,
MZ n
.
n
()()ZZ
12 1
12
,
таких,
12
() (),ZZ
то стоха-
12
...
стическая мера называется ортогональной.
С каждой стохастической мерой ()Z связана неслучайная мера
(),m определенная следующим образом:
() () , .mMZ
2
Она называется структурной функцией стохастической меры. С каждой же конечной мерой ()m
это любая функция (), ,
xxE обладающая свойствами: 1) ( )Fx –
связана функция распределения –
77
неубывающая функция, 2) (0) 0,F
E
F
f
f
f
f
T , и 3) ( )Fx – непрерывная справа функция. Говорят еще, что
[0, ]
() lim () ,
FT F x
xT
если
неслучайная конечная мера порождает функцию распределения.
С помощью функции распределения ()
x мера ()m на каждом
промежутке , ab задается следующим образом:
(, ] () (), (, ) ( ) (),mab Fb Fa mab Fb Fa
[, ] () ( ), [, ) ( ) ( ).mab Fb Fa mab Fb Fa
Определение стохастического интеграла по ортогональной стохастической мере от неслучайной функции полностью повторяет определение интеграла Лебега. Пусть f(x) – некоторая простая функция на Е,
n
т. е. такая, что
ция множества
() ()
xfIx
k
1
k
. Стохастическим интегралом по ортогональной
k
k
и ()
Ix – индикаторная функ-
k
мере ()Z от простой функции f(x) называется сл. величина
n
() ( ).
If fZ
kk
1
k
Если (), ,
стых функций
функции на Е, то сл. величина
xxE аппроксимируется последовательностью про-
(), 1,т. е.() lim ()
xn fx fx
nn
и
n
() lim ( )
If If
n
называется стохасти-
n
– простые
n
ческим интегралом на Е от произвольной неслучайной функции по
ортогональной стохастической мере.
Перечислим некоторые свойства стохастических интегралов от неслучайных функций по ортогональной стохастической мере.
1.
2.
3.
() 0.MIf
п.н.
() () ( ), ( )
DIf fx mdx mdx
() (), , Iaf bg aIf bIg ab – числа.
2
E
– структурная функция меры
()Z на ε.
78
4.
Z
X
s
Z
F
X
f
cov ( ), ( ) () () ( )
If Ig fxgxmdx
Далее, из теории стохастических мер известно, что стохастическая
ортогональная мера ()
отрезка
непрерывных СП X(t),
приращениями, иначе говоря, с помощью процессов с ортогональными
приращениями (см. раздел 2.2). В этом состоит еще одна особенность
СП с ортогональными приращениями. Если ,
то сл. функция () () ()
тарной ортогональной стохастической меры на ε. Структурная функ-
ция ()m этой ортогональной стохастической меры имеет вид
0, TE может быть задана с помощью центрированных с.к.
E
на борелевской σ-алгебре ε подмножеств
(0) 0, 0, ,
Xt Xs
обладает всеми свойствами элемен-
.
tT с некоррелированными
т. е. ,
,
tE
() () () () () ()
[см. формулы (2.7), (2.9)].
В силу с.к. непрерывности процесса X(t) его дисперсия является
функцией непрерывной, поэтому в силу полученного соотношения
можно считать, что неслучайная мера ()m порождает функцию рас-
пределения () (), ,
пределения меры ()m
Интегралы по стохастической ортогональной мере, порожденной
процессом X(t) с ортогональными приращениями, записывают обыч-
но в виде
Поскольку часто в роли процессов X(t) выступают винеровские
процессы, последняя запись преобразуется к виду
T
() ()
tdWt
0
mMZ ktksDtDs , (3.16)
tDttT иначе говоря, ( )
TT
( ) () ( ) () ().
If ftZdt ftdXt
00
(см. также следующий раздел).
2
.
XX
Dt есть функция рас-
T
() ()( )
If ftZdt
0
79
3.11. СТОХАСТИЧЕСКИЕ ИНТЕГРАЛЫ
X
s
ОТ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Пусть задан винеровский процесс W(t), t ≥ 0, интенсивности ()t–
это значит, что его приращение в точке t – сл. величина
имеет нормальное распределение с параметрами 0 и
WW
tt t
. Напоми-
()tt
наем, что когда мы полагали интенсивность винеровского процесса
постоянной, равной σ, для дисперсии приращения постулировалась
()
формула
(, ) ( ) ()
Ktt kt d
w
12 0
DW W t
tt t
min( , )
tt
12
t
0
2
. Знаем, что () 0 0
mt t
w
,
, где ()t – неотрицательная непре-
рывная функция. Пусть далее X(t) – с.к. непрерывная сл. функция с
конечным моментом второго порядка, такая, что случайные величины
,..., , ,...,
XW W
ttss
11
tt t t;
12
nm
...
n
ка [, ]ab точками
max ( )
k
tt
kk
1
запишем сумму
не зависят от () ()Ws Wt при любых n, m и
...
ssts
. Для любых разбиений отрез-
12
at t t b
m
...
с мелкостью разбиения
01
n
n
SXtWtWt
nkkk
()() ().
11
k
1
Определение. Стохастическим интегралом от с.к. непрерывной
случайной функции X(t) по процессу с независимыми приращениями
W(t) (интегралом Ито) называется с.к. предел последовательности
S при 0( )n , если он существует и не зависит от спо-
сумм
n
соба разбиения отрезка:
b
Y X dW Xt Wt Wt
() () l.i.m. ( ) ( ) ( )
a
n
n
k
1
11
kkk
.
Замечание! Значение СФ X(t) берется в левом конце отрезка
,
tt. При другом выборе точек из отрезка
1
kk
,
tt значение
kk
1
предела изменится.
80
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]