Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
распределенные сл. величины со средним m и дисперсией D > 0. Ис-
X
X
X
X
X
X
Xt
следовать на непрерывность функцию
MU m t
Решение.
ная на
() ()
mt MX mt
Xt X
Т функция. Найдем теперь (, )
MV m t
X(t).
1
,,
2
1
,,
2
Kts. Если
– непрерыв-
max ( , )2ts
1
, то
(, )cov( , )cov(, )
Kts XX UU D; если
cov ( , )VV D. Если же
ts
1
(, )cov(, )0
ts
Kts UV
,
2
функция (, )
Kts разрывна в точке
1
min ( , )2ts
X
1
(, )
Kts
X
Kts D
2
11 1
, и , или ,
ts ts ts
и
22 2
1
ts
.
Kts ts
(, ) 0 при , и
X
1
2
2
Замечание. Из условия с.к. непрерывности процесса ничего нельзя
сказать о непрерывности реализаций процесса. Возможны различные
комбинации: процесс с.к. непрерывен, но почти все его траектории
разрывные функции, или же все траектории процесса – непрерывные
функции, сам же процесс не является с. к. непрерывным.
3.3. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Определение.
емой в точке tT , если существует такая случайная функция
которой с.к. сходится при
Скалярная СФ X(t) называется с.к. дифференциру-
, к
()Xt
()()
th Xt
0h случайная функция
h
()()
th Xt
Случайная функция ()
() l.i.m. .
Xt
h
0
h
называется с.к.
производной случайной функции X(t) в точке t.
:
51
Если функция X(t) дифференцируема в каждой точке tT, то се-
R
X
M
R
R
R
R
R
R
мейство сл. величин
(), XttT
называется с.к. производной про-
цесса X(t) на Т.
Теорема 3. Случайная функция X(t) с.к. дифференцируема в обла-
сти Т тогда и только тогда, когда существует конечная производная
2
(, )
X
ts
ts
во всех точках (, )ts T T
.
Доказательство. По стохастическому критерию Коши с.к. предел
()()
th Xt
()
Xt
h
при
h
0h существует тогда и только тогда,
когда существует конечный предел момента
MX tX t M Xt h Xt Xt r Xt
() () ( ) () ( ) ()
h
1
hr
при (, ) (0, 0).
Xt hXt r Xt hXt XtXt r XtXt
( ) ( ) ( ) () () ( ) () ()
1
(, )(, )(, )(, )
hr
thtr R tht R ttr R tt
XXXX
hr
1
hr
Но если этот предел существует, то он равен второй смешанной
2
(, )
производной
tt
X
tt
12
12
в точке
tt t
. Но в том случае по свой-
12
ствам ковариационной функции, если эта производная существует на
TT
точках диагонали квадрата ,
TT
рате .
В условиях теоремы 3 во всех точках
(, )
tt
12
(, )
12
X
,
t
1
(, )
tt
12
X
t
производные
Rtt
XX
то она существует и всюду в квад-
X
1
(, )
tt
12
t
2
,
Rtt
(, )tt TT
12
и справедливы формулы
(, )
12
XX
существуют
(, )
tt
12
X
t
2
. (3.1)
52
Действительно,
R
X
X
Xt
X
()()
(, ) () ( ) l.i.m. ( )
Rtt MXtXt M Xt
XX
12 1 2 2
lim
h
(, ) (, ) (, )
tht Rtt Rtt
1 2 12 12
XXX
0
ht
Xt h Xt
11
h
.
1
В вычислениях воспользовались замечанием в конце раздела 3.1.
Из второй формулировки стохастического критерия Коши следует
утверждение.
Теорема 4. Случайная функция X(t) с.к. дифференцируема в обла-
сти Т тогда и только тогда, когда:
1) существует конечная производная функции ()
mt, tT, и
2) существует конечная вторая смешанная производная ее ковариа-
ционной функции
(, )
Ktt во всех точках (, )ts T T
12
.
Справедливы формулы:
() ();
mtmt
Ktt
Ktt
XX
2
(, )
Ktt
X
(, ) ;
X
XX
12
(, ) ;
12
12
tt
12
(, )
Ktt
X
12
t
1
(3.2)
(, )
Ktt
x
(, ) .
Ktt
XX
12
t
12
2
Обычным образом определение с.к. производной обобщается на
случай с.к. производной СФ X(t) более чем первого порядка.
Замечание. Если X(t), tT
(, )()()
Ktt Kt t K
12 2 1
XX X
него
(, ) () (), ,
Ktt K K tt
XX X
() 0
12 2 1
dK
, – стационарный процесс, то
. Если существует процесс
2
()
X
2
d
53
()
, то для
mt
.
Пример 4. Пусть центрированная функция X(t) имеет ковариаци-
X
X
X
X
X
2
()
tt
онную функцию
сию ее с.к. производной.
Решение.
Поскольку
(, ) 2 , 0.
Ktt e
12
() 0,
mt
X
цируемость ковариационную функцию
12
Вычислить диспер-
остается проверить на дифферен-
(, )
Ktt
X
– она бесконечное
12
число раз дифференцируема. Тогда
2
(, )
Kts
(, ) 4 1 2 ( )
Kts tse
X
X
ts
Dt Ktt
() (, ) 4 .
X
2()
ts
2
Отметим, что операция с.к. дифференцирования является линейной
m
() (),
tXt
операцией. Пусть
где
kk
k
1
– числа, а ()
k
t – с.к.
k
дифференцируемые сл. функции. Тогда
mm
tXt
() l.i.m. ().
kkk
h
11
kk
() ()
Xth Xt
kk
0
h
Иными словами, с.к. производная линейной комбинации с.к. дифференцируемых функций является линейной комбинацией их с.к. производных, что и означает линейность операции с.к. дифференцирования.
Этот результат можно обобщить в следующем направлении: если
неслучайная функция ()t
дифференцируема на Т, то СФ () () ()Yt tXt
() () () () ().Yt tXt tXt
дифференцируема на Т, а СФ X(t) – с.к.
имеет с.к. производную
Однако не следует думать, что все случайные функции с.к. дифференцируемы.
2
Пример 5. Рассмотрим винеровский процесс W(t), 0t ,
1
, и
решим вопрос об его с.к. дифференцируемости.
54
Решение. Пусть 0.hr
Xt
X
Xt
При , 0hr величина
() ()
MW t W t
hr
1
r
не имеет конечного предела. Это означает, что винеровский процесс не
является с.к. дифференцируемым ни при каком [0, )tT
:
MW t W t M W W W W
() () ( )( )
hr thttrt
1
()( )
th t tr th th t
hr
1
MWWWW WW
( )(( ) ( ))
th t tr th th t
hr
Сделаем еще одно важное
1
hr
11
DW W
().
hr r
замечание. Дифференцируемость сл.
th t
функций весьма легко проверяется, сравнительно легко вычисляются
вероятностные характеристики производных сл. функций. К сожале-
()
нию, явный вид процесса
по приведенным выше необходимым и
достаточным условиям существования производных сл. функций получить не удается. Это удается сделать в отдельных случаях на основе
следующего определения.
Определение. Случайная функция X(t),
, называется диф-
tT
ференцируемой на Т (потраекторно), если почти все ее траектории – дифференцируемые функции, т. е. вероятность события
:(, )дифференцируема на
tT равна единице:
дифференцируема на 1.T
Здесь (, )Xt – траектория процес-
:(, )PXt
са X(t).
Пусть (, )Xt
– производная траектории СП X(t) (и ее мы можем
считать производной самого процесса в случае потраекторной диффе-
()
ренцируемости процесса),
tT , тогда из условия
– с.к. производная процесса X(t),
:(, )дифференцируема на 1PXt T
следует
() () 1PXt Xt
,
55
что означает стохастическую эквивалентность процессов
Xt
X
X
X
M
X
X
X
X
X
Xt
п.н.
()
t, т. е.
Пример 6. Пусть
ванные сл. величины с математическими ожиданиями ,
персиями ,
ции. Найти ()
Решение. Траектории СП X(t) имеют вид
где ()
V – неслучайные числа, следовательно, для всех
k
(, ) ( ) ()
tVt
() ()
tXt
DV D а ()kt – непрерывные на Т неслучайные функ-
kk
.
N
() (), ,
tVttT
где
kk
k
1
V – некоррелиро-
k
Vm дис-
kk
t.
N
(, ) ( ) ()
tVt
,
k
1
N
. Если X(t) – с.к. дифференцируемый СП, то
k
k
1
()
и
kk
его производная согласно вышеизложенному совпадает почти всюду с
производной траекторий (, )Xt
, т. е.
() ()
N
п.н.
tVttT
.
k
k
1
Остается проверить с.к. дифференцируемость СП X(t) по теоре-
NNN
ме 4:
() (), (, ) cov( , ) () ( )
mt m t Kts VV t s
XkkX krkr
kkr
111
диф-
ференцируемы нужное число раз, при этом
N
() (),
mt m t
Xkk
NN N
(, ) cov(, )()() ()().
Kts VV t s t sD
kr k
11 1
k
1
krkr kk k
Легко видеть, что при вычислении ковариационной функции полученного процесса ()
результат повторит только что полученное
выражение.
56
3.4. ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
g
gt
g
g
g
Определение интеграла от случайной функции X(t) на отрезке
[, ]ab T дословно повторяет определение интеграла Римана на
отрезке [, ]ab. Пусть X(t) – случайная с.к. непрерывная функция,
t – неслучайная непрерывная функция двух переменных , tT
(, )
[ , ] , , ...,
ab t t t – некоторое разбиение отрезка [, ]ab с мелко-
стью разбиения
нами
St gt X t
nkkk
01
t
произвольные (не случайные!) точки
k
n
() (, ) ( )
k
1
n
max( )
k
tt
kk
. Выберем на отрезках 1[, ]
1
k
tt дли-
kk
и составим сумму
.
,
Определение. Средним квадратическим интегралом, или с.к. инте-
гралом, от случайной функции (, ) ( )gt X
с.к. предел последовательности интегральных сумм ()
по области Т называется
St при 0
n
,
если он существует и не зависит ни от разбиения отрезка, ни от выбора
точек
случайной функции X(t) с весом (, )
:
Yt S t gt X d
k
Интеграл
() l.i.m. () (, ) ( )
n
() (, ) ( )
Yt gt X d
n
T
T
называют еще с.к. интегралом от
.
.
Теорема 5. С.к. интеграл от случайной функции X(t) с весом
t по промежутку TR существует тогда и только тогда, когда
(, )
существует интеграл
( , ) ( , ) ( , ) ,
tgt R dd
11 2 2 1 2 12
T
X
, ,tt T
12
или, что то же самое, с.к. интеграл от случайной функции Х(t) с весом (, )
t по промежутку TR существует тогда и только тогда,
когда:
1) существует интеграл
2) существует интеграл
, .tt T
12
gt m d
(, ) ( )
T
T
X
(, )( , ) ( , )
gt gt K d d
11 2 2 1 2 12
и
X
,
57
Доказательство теорем опирается на стохастический критерий Ко-
g
g
gt
gt
ши с.к. сходимости. Справедливы соотношения:
() (, ) ( ) ;
mt gt m d
YX
Ktt gt gt K dd
YX
Ktt gt K td
YX X
T
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ;
12 11 2 2 1 2 12
( , ) ( , ) ( , ) ;
T
12 1 2
T
(3.3)
Ktt gt Ktd
При этом
бой момент второго порядка для интеграла Y(t), т. е.
( , ) ( , ) ( , ) .
tgtR dd
12 2 2 12 12
TT
В частном случае, когда (, )
,,,.
12 2 1
XY X
TT
T
( , ) ( , ) ( , )
tgt R dd
11 2 2 1 2 12
X
X
зависит только от , т. е.
представляет со-
(, )
Rtt
12
Y
(, ) ( )gt , с.к. интеграл от случайной функции X(t) с весом ()
YXd
будет уже просто сл. величиной () ()
, для которой спра-
T
ведливы формулы
mmdD Kdd
YXY X
() () , ( ) ( ) ( , ) .
TTT
12 1212
Формулы (3.3) легко можно доказать, опираясь на определение ковариационной матрицы и замечание в конце раздела 3.1.
Если X(t) – k-мерный СП, тогда (, )
– матрица размерности
kk и формулы (3.3) имеют место с очевидными изменениями: вто-
рая из них запишется в виде
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
Ktt gt K gt dd
12 1 1 1 2 2 2 1 2
YX
TT
т
,
58
а последняя формула – в виде
( , ) ( , ) ( , ) .
Ktt Kt gt d
XY X
12 1 2
T
т
С.к. интеграл Y(t) обладает некоторыми свойствами определенного интеграла.
1. Интеграл Y(t) существует, если (, ) ( )gt X
– с.к. непрерывная
на Т функция.
2. Интеграл Y(t) – линейная функция в том смысле, что
bb
nn
(, )() (, )(),
ag t X d a g t X d
kk k k k k
11
kk
aa
a – неслучайные коэффициенты, а (, ) ( )
где
k
gt X – с.к. интегри-
kk
руемые на отрезке функции.
3. Для интеграла Y(t) справедливо правило дифференцирования по
верхнему пределу.
Прежде всего введем определение такого интеграла. Если
(, ) ( )
gt Jt
1, если ,
0, если ,
t
t
то
Yt Jt X d
() ( ) ()
T
–
интеграл с переменным верхним пределом интегрирования. Такие интегралы могут иметь и более общий вид
t
Yt X d
() ( ) ()
a
, (3.4)
где ()CT , X(t) – с.к. непрерывная cл. функция.
Для интеграла (3.4) применимо правило дифференцирования по
t
переменному верхнему пределу, т. е. сл. функция
() ( ) ()
Yt X d
a
с.к. дифференцируема по переменному верхнему пределу и справедлива формула
() () ().Yt tXt
(3.5)
59
Этот результат можно получить строго, если рассмотреть выраже-
M
X
X
ние
() () ()
Yt tXt
и показать, что в пределе при
t
выражение обращается в нуль
2
()()
Yt t Yt
():
Yt
t
t
. Для инте-
0t
это
грала (3.4) формулы (3.3) принимают вид
t
() () ()
mt m d
YX
tt
12
(, ) ( )( ) ( , ) ,
Ktt K dd
12 1 2 1 2 1 2
XX
aa
a
,
и в точках непрерывности подынтегральных функций следуют равенства
2
(, )
Ktt
X
() () (), ( ) ( ) ( , ).
mt tm t t tK tt
YX X
tt
12
12
12 12
4. Интеграл (3.4) можно вычислять по частям: если в интеграле Y(t)
(1)
()CT , Х(t) – с.к. непрерывная случайная функция, имеющая с.к.
производную ()
tt
aa
t, тогда справедлива формула
( ) ( ) () () ( ) ( ) ( ) ( ) .
dtXtaXa Xd
(3.6)
Из формулы (3.6), рассматривая интеграл в левой части как с.к.
предел интегральных сумм и учитывая непрерывность дифференцируемой функции ()t , можно получить формулу для с.к. производной
произведения:
d
.
() () () () () ()
tXt tXt tX t
dt
Пример 7. Пусть W(t), t ≥ 0, – стандартный винеровский процесс.
Докажем, что он с.к. интегрируем при t ≥ 0 с весом ()Jt
60
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]