Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
приращением на интервале 0[, )tt , взятом с противоположным знаком,
X
X
M
M
X
при
tt .
0
Далее будем рассматривать только такие СПНРП, которые имеют
конечные моменты первого и второго порядка. Из определения также
следует, что значение
процесса X(t) в любой момент t не корре-
t
лированно с его будущими приращениями на промежутках, следующих за моментом
ках, предшествующих моменту
tttt и
012
Этот факт становится очевидным, если учесть, что
есть приращение процесса
щемся с
[, )tt при значениях
12
знаком приращение процесса
щемся с
[, )tt при значениях
12
СПНРП описывают с помощью функции ()
t , и с его прошлыми приращениями на промежут-
0
т
при
0
п.н.
XX
ttt
tt tt
.
12 0
X(t) на промежутке
t :
0
tt , и взятое с противоположным
0
X(t) на интервале
tt
.
0
MX X X
tt t
21
[, )tt, не пересекаю-
0
[, )tt , не пересекаю-
0
kt :
0
() 0 при ,
kt t t
т
XX t t
tt
при ,
0
т
XX t t
tt
при .
(2.5)
0
0
Справедливо утверждение, что ковариационная функция процесса X(t) и ковариационная матрица приращения
X
tt
21
процесса X(t)
на любом промежутке определяются следующими формулами:
min( , ) при ,,
ktt ttt
X
12 1 0 2 2 0 1
(, ) 0 при ,.
Ktt t t t t t t
12 12 0
max( , ) при ,,
ktt ttt
12 12 0
31
(2.6)
M
X
XX XX ktkt
tt tt
21 21
т
() ().
21
(2.7)
Из определения функции k(t) ясно, что при значениях
tt
она
0
представляет собой ковариационную матрицу значения процесса X(t)
в момент t, при значениях
tt – взятую с противоположным знаком
0
ковариационную матрицу значения процесса X(t) в момент t. Приращение функции k(t) на любом промежутке служит ковариационной
матрицей приращения процесса X(t) на промежутке. Из этих фактов
следует, что k(t) – неубывающая, неотрицательная при значениях
tt , неположительная при значениях 0tt , равная нулю при 0tt
0
функция.
Верно и обратное утверждение: если ковариационная функция СП
X(t) определяется формулой (2.5) и k(t) при этом – функция с перечисленными выше свойствами, то X(t) – СПНРП, значение которого в
момент
t почти наверное равно 0.
0
Таким образом, возможность представления ковариационной
функции процесса через функцию k(t) с указанными выше свойствами является необходимым и достаточным условием того, что X(t) –
СПНРП и его значение при
tt равно нулю почти наверное.
0
Полагая в дальнейшем функцию k(t) непрерывной и дифференцируемой, выражение для функции
значениях
, tt t
12 0
в виде
(, ) () ,
Ktt d
12
X
(, )
Ktt можно переписать при
12
X
min( , )
tt
12
(2.8)
t
0
где ()t – неотрицательная функция, называемая интенсивностью
СПНРП.
Рассмотренные выше процессы с некоррелированными приращениями можно считать процессами с ортогональными приращениями
(для этого следует полагать () 0).
mt Условие ортогональности при-
ращений приводит к тому, что ковариационная функция СПНРП имеет
специальную структуру, а именно: ковариационная функция выража-
32
ется через дисперсию процесса – см. формулу (2.8) (для других про-
X
X
цессов – наоборот, дисперсия процесса выражается через ковариационную функцию).
2.4. СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ
С НЕЗАВИСИМЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ
Случайный процесс X(t),
tT R
висимыми приращениями (СПНП), если для любых n > 1 и
1,kn , таких что
, ...,
XXX
являются независимыми. По определению неза-
ttt
11
nn
tt t
12
...
, сл. величины
, называется процессом с неза-
n
XXX
ttt
102
tT,
k
,
висимых сл. величин это означает, что
PX X u X X u X X u
t – наименьший среди всех индексов, то предполагается также,
Если
1
, , ...,
XX X X X
что
1
tt t t t
tt t t t t n
10 21 1
PX X u PX X u
.
21 1
, ,...,
12
...
tt t t n
10 1
nn
1
независимы.
nn
nn
Если процесс с независимыми приращениями имеет конечный момент второго порядка, то он является процессом с некоррелированными приращениями (обратное утверждение справедливо только для
гауссовских процессов). Следовательно, в этом случае ковариационная
(, )
функция
Ktt СПНП X(t) определяется формулой
12
(min ( , ))ktt , где k(t) – неубывающая неотрицательная функция,
12
(, )
Ktt
12
представляющая собой ковариационную матрицу (дисперсию в случае
скалярного процесса X(t)) значения процесса X(t) в данный момент
t. Если функция k(t) – непрерывная и дифференцируемая функция, то
min( , )
tt
12
(, ) ( ) ()
Ktt kt d
12 0
X
t
0
и () – интенсивность СПНП.
33
2.5. МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ
B
x
Случайный процесс X(t),
(МП), если для всех n > 1, любых
1
()
ского множества
PX BX X X PX BX
tttt tt
BR выполняется условие:
(2.9)
nnnn
, , ..., .
12 1 1
называется марковским процессом
,tT
tt t T
12
...
и любого борелев-
n
п.н.
Соотношение (2.11) – это упрощенная запись выражения
п.н.
PX BX x X x X x
tt t tn
nn
, , ...,
12 1
12 1
п.н.
,
1
где
, , ...,
xx – произвольные допустимые значения сл. величин
12 1
, , ...,
XX X.
12 1
n
PX BX x
ttn
nn
n
1
Свойство (2.9) называется марковским свойством. На языке функций распределения и плотностей распределения определение МП выглядит следующим образом: СП X(t), ,tT называется марковским
СП, если для всех n > 1 и любых
пределение в момент времени
, , ...,
процесса в моменты
tt t, а определяется значением процесса
12 1
только в момент времени
t не зависит от совокупности значений
n
n
t, т. е.
1n
tt t T
12
...
его условное рас-
n
( , , ; , ; ...; , ) ( , , )
Fx t x t x t x t Fx t x t
nn n n nn n n
1122 11 11
,
или
( , , ; , ; ...; , ) ( , , )
fx t x t x t x t fx t x t
nn n n nn n n
11 2 2 1 1 1 1
.
Таким образом, вероятностное распределение процесса в момент
времени
процесс в ближайшем прошлом
ний, предшествующих моменту
tt зависит лишь от того, в каком состоянии находился
k
tt
t
34
, и не зависит от его состоя-
1k
. Можно показать, что для мар-
1k
, ( )
B
s
s
s
s
ковских процессов при любых
PX B X B X PX BX PX B X
Условные вероятности
называются переходными вероятностями МП. Эти вероятности удовлетворяют соотношению
, .
12 1 2
tu sutu
(, ; , ) , , , ( )
Px s B t P X BX x t s x R B BR, (2.10)
( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; , )
Px s B t Py u B tPx s dy u
ts
1
R
BBR
12
1
и любых
11
,
ut
которое выполняется при всех
Чепмена–Колмогорова.
МП называется однородным, если
( , ; , ) ( ; , ) ( ; , ),Px s B t Px B t s Px B
т. е.
PX BX x PX BX x PX BX x
.
Для однородного МП уравнения Чепмена–Колмогорова упрощаются:
( ; , ) ( ; , ) ( ; , )
PxBt s PyBtPxdys
Нетрудно убедиться в том, что все конечномерные распределения
МП определяются его двумерным распределением.
Можно показать, что любой СП с независимыми приращениями
является марковским процессом (проверить самостоятельно, см. также
раздел 2.6).
Все, что было сказано выше о марковских процессах, характерно, вообще говоря, для непрерывных процессов. Поскольку для
марковских процессов в полной
приведенная в таблице раздела 1, то есть смысл ввести некоторые
понятия для марковских цепей (МЦ) и дискретных марковских процессов (ДМП).
1
R
utT
и называется условием
00ts ts
, где , ,
мере используется терминология,
ts t T
.
35
Условие (2.9) – марковское свойство – для марковских цепей и
X
X
X
Xk
для дискретных марковских процессов записывается следующим образом:
п.н.
PX x X x X x X x
tnt t t n
nn
п.н.
. (2.11)
, , ...,
12 1
12 1
PX x X x
tnt n
nn
1
1
Аналогично изменится и условие (2.10):
(, ; , ) , , , ,
Px s y t P X yX x t s x y R (2.12)
ts
1
это соотношение означает, что в интервале времени (s, t) состояние
процесса изменится от x к y. Если при этом речь идет о цепях, то говорят об изменении состояния процесса за (t – s) шагов.
Уравнение Чепмена–Колмогорова в этих случаях будет записы-
( , ; , ) ( , ; , ) ( , ; , )
ваться как
Px s y t Px s z uPz u y t s u t T
zS
S – множество значений сл. величины
; для однородных мар-
t
и
ковских цепей и однородных дискретных марковских процессов –
( ; , ) ( ; , ) ( ; , )
Px y t s Px u tPu y s s u t T
zS
.
Пример 1. Рассмотрим последовательность бросаний игральной
кости. Пусть
Введем последовательность сл. величин
max ( , , ..., )
. Покажем, что последовательность
– число очков, выпавшее при n-м бросании, 1, 2,...n
n
по правилу: nX
n
12
n
– мар-
n
ковская, и определим для нее переходную вероятность.
Решение. Пусть при некотором значении n ≥ 1
n
, где k –
целое число от 1 до 6. При последующих бросаниях k не может
уменьшиться, поэтому для r = 1, 2, …, 6
36
Xk
X
0, ,
rk
PX rX k PX k r k
В силу независимости результатов бросаний условная вероятность
зависит лишь от
довательно, последовательность
роятность за один шаг описывается матрицей P, элементы которой
pPX jXiij
:
ij n n
11
nn n
n
1
1
,.
6
и не зависит от предыдущих значений X. Сле-
,, 1,6
111 1
666 6
0...
P
0 0 0 ... 1
не больше ,,
rk
– марковская. Переходная ве-
n
...
11 1
36 6
...
.
k
6
2.6. ПУАССОНОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Пуассоновским процессом с параметром 0 называется
процесс X
0...
висимы;
(t), [0, + )t , удовлетворяющий следующим условиям:
1)
2) для любого
tt t его приращения
01
(0) 0 1PX ;
p = 2, 3, ... и любых значений параметров
XX
p
, k = 0, 1, 2, ..., p, неза-
tt
37
1kk
3) случайная величина
XX
s
s
распределение с параметром ()
k
()
ts
.
ких событий. Он играет важную роль в различных приложениях теории случайных процессов, в частности в теории массового обслуживания.
ляют перечислить некоторые важные свойства этого процесса.
котором промежутке не зависит от числа наступлений событий в других не пересекающихся с ним промежутках – условие 2 в определении
процесса.
(, ]
от значения процесса в точке s, а определяется полностью длиной
промежутка (t – s) – условие 3 в определении.
пример 8 раздела 1. Ординарность предполагает, что за время
может наступить не более одного события, т. е. значения процесса изменяются скачком на единицу.
ют собой неубывающую ступенчатую функцию, моменты скачков
определяются моментами появления некоторого события.
мя (0, ]t – процесс является дискретным. Более того, нетрудно пока-
зать, что пуассоновский процесс является дискретным марковским
процессом. Действительно, пусть в моменты времени
чения процесса были
!
k
Пуассоновский процесс возникает при моделировании потока ред-
Пример 8 раздела 1 и определение пуассоновского процесса позво-
1. Отсутствие последействия. Число наступлений событий в не-
2. Стационарность. Число событий, наступивших в промежутке
t , не зависит от положения этого промежутка на числовой прямой,
3. Ординарность. Для выяснения смысла этого понятия важен
Таким образом, реализации пуассоновского процесса представля-
Значением процесса является число событий, появившихся за вре-
e
ts
()
, , kk k
123
, 0
ts
ts
. Тогда
t, имеет пуассоновское
, т. е.
PX X k
tt t
123
ts
зна-
0h
PX k X k X k
PX X k k m X X k k m X m
tt tt t
32 21 1
32 3 21 2 1
,,
123
tt t
12 3
;;
38
()()()
p
X
PX X m PX X mPX m
tt tt t
32 21 1
Отсюда
()
ptt PX X kk марковское условие (2.9)
32 3 2
mtt
332
, ; ,
Pk t kt k t
3311 22
321
() ( ) ( ).
tp t tp t t
12132
mm m
12 3
() ( ) ( )
ptp t tp t t
12132
mm m
12 3
ptp t t
mm
() ( )
121
12
выполняется.
Принято обозначать пуассоновский процесс буквой N: () ().
tNt
Одномерный закон распределения пуассоновского процесса опре-
k
()
t
деляется соотношением
() , 0,
pt PN k e k
kt
которое
k
t
!
получается из условия 3 определения при s = 0 (см. также формулу из
примера 8 раздела 1).
2.7. ВИНЕРОВСКИЙ ПРОЦЕСС
Винеровским процессом, выходящим из нуля, называется процесс
W(t), [0, )t , удовлетворяющий следующим условиям:
1) все реализации ()wt процесса W(t) непрерывны и (0) 0w
2) для любого p = 2, 3, … значений параметров
его приращения
WW
tt
10
3) случайная величина 0
пределение с параметрами
,
WW ...,
tt
21
WW ts
ts
(0, ( ) )ts
,
имеет нормальное рас-
2
, где
WW
tt
0...
независимы;
1pp
2
– коэффициент диф-
tt t
01
;
p
фузии винеровского процесса или его интенсивность.
Таким образом, плотность распределения сл. величины W
2
x
2( )
ts
, .xR
WWts равна
,,
ts
2( )
1
ts
()
fx e
w
В определении винеровского процесса можно условие (0) 0w
менить на условие (0)wxR
, и тогда получим определение вине-
за-
39
ровского процесса, выходящего из точки x. Можно рассматривать ви-
неровский процесс, выходящий из случайной точки.
Случайный процесс
1
называется стандартным винеровским
()Wt
процессом, его интенсивность равна единице.
Получим конечномерные распределения винеровского процесса.
Зафиксируем n произвольных точек
тор
WW W получается из вектора приращений W
WWW W W W
невырожденным линейным
ttttt
121 1
, ...,
tt
1
, , ...,
0
т
n
nn
преобразованием с матрицей A:
0 ...
tt. Случайный век-
1
т
10...0
11...0
A
... ... ... ...
1111
n
, т. е. .WAW
Из теории вероятностей известно, что линейное преобразование гауссовой сл. величины вновь является гауссовой сл. величиной; следовательно, все конечномерные распределения винеровского процесса являются нормальными распределениями с нулевым математическим
ожиданием и ковариационной матрицей , равной
...
...
...
ttt t
111 1
ttt t
122 2
2
ttt t
123
...
n
(см. последнее свойство ковариационной функции). Вид матрицы Σ можно определить достаточно просто еще и, если учесть, что винеровский
процесс является процессом с независимыми (следовательно, с некоррелированными) приращениями и согласно формуле (2.10) его ковариаци-
min( , )
tt
ij
онная функция
(, ) min(, ), , 1,.
Ktt dt tt ij n
wi j i j
0
40
22
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]