Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
1, 2, 3,...,n
X
X
F
X
совокупности гауссовских сл. величин с параметрами 0,
2
D (дискретный белый гауссовский шум). Найти одномер-
n
0
ную функцию распределения случайной последовательности
0,X
где
0
– последовательность независимых в
n
M
n
n
,
1, 2, 3,...n
Решение. Рекуррентное соотношение в определении последова-
тельности ,1, 2, 3,...
Xn
nnk
Xn
n
12
nn nk
12
фиксированном n ≥ 1 сл. величины
ют нормальное распределение с параметрами
n
22()
2
k
nk
1
x
1
D
X
n
2
n
2
1
u
2
D
X
edun
n
, можно развернуть и получить результат:
n
... , 1, 2, 3,...
2
n
2
2
,1.
,1, 2, 3,...
1
k
1
,1,
1
Следовательно, ( , )
согласно условию задачи име-
n
При каждом
MX
n
0,
DX
xn
n
1.3. МОМЕНТЫ СЛУЧАЙНОЙ ФУНКЦИИ
Казалось бы естественным рассматривать СП X(t), tT, как всю
совокупность случайных величин
. Но в общем случае это множе-
t
ство сл. величин может быть несчетным и невозможно построить совместный закон распределения
всех его сечений. Даже если бы это ока-
залось возможным, то полученное выражение стало бы слишком громоздким и непригодным для вычислений. К счастью, многие прикладные задачи допускают решения, основанные на использовании лишь
первых двух моментных характеристик СП – математического ожидания и ковариационной функции. Моментные характеристики процесса
задают его простейшие
свойства и вычисляются с помощью конечно-
мерных распределений различных порядков. Отметим, что моментом
11
k-го порядка СП X(t) называется k-й момент его сечений
X
X
X
X
идет о любых моментах – начальных, центральных и т. д.).
Рассмотрим более подробно начальный момент первого порядка и
центральный момент второго порядка – иначе говоря, математическое
ожидание и ковариацию сечений процесса.
Определение. Математическим ожиданием k-мерного процесса
X(t), tT , называют неслучайную k-мерную же функцию ()
ременной ,tT которая при всех tT
нию его сечений
Итак, ( ) ( , ), 1.
Функцию
зацию
Процесс X(t), tT
тическое ожидание равно нулю, т. е.
Определение. Ковариационной функцией (функцией ковариаций)
k-мерного процесса, ( ), , 1,Xt t T k
ную функцию
которой при любых фиксированных
k-мерных сл. величин
mt MX xdFxtk
Xt
процесса X(t).
(, ) () ( )
Ktt MXX MX mt X mt
12 1 2
XtXtX
.
t
k
R
()
mt
, tT, интерпретируют как усредненную реали-
X
, называют центрированным, если его матема-
(, )
Ktt скалярных переменных
12
,:
XX
tt
12
tt
12
т
равна математическому ожида-
() 0
mt tT
X
называют неслучайную матрич-
, tt равны ковариациям двух
12
12
.
, ,tt T значения
12
(речь
t
mt пе-
т
(при k = 1 знак транспонирования в формуле не нужен).
Иначе говоря,
(, )
Ktt
12
X
11 1 2 1
cov cov ... cov
XX XX XX
tt tt tt
12 12 12
cov cov ... cov
cov cov ... cov
21 22 2
XX XX XX
XX XX XX
tt tt tt
12 12 12
12
kk kk
tt tt tt
12 12 12
.. .
12
k
k
,
где , 1, 2, ...,
X
X
X
X
M
X
онной матрицей, которую обозначают как () (, )
ют дисперсией СП X(t).
j
jk , – компоненты сл. вектора .
t
tt t, то ковариационная функция называется ковариаци-
Если
12
Dt Ktt и называ-
Таким образом,
t
X
cov cov ... cov
cov cov ... cov
()
Dt
X
cov cov ... cov
cov ... cov
cov cov ...
Пример 7. Пусть
ные некоррелированные сл. величины с известными параметрами
,
D, а ()kt – заданные на Т детерминированные функции.
kk
Найти ( ), ( ), ( , ).
mtDtKts
Решение. В соответствии с определениями имеем
XX
11 1 2 1
XX XX XX
tt tt tt
21 22 2
XX XX XX
tt tt tt
.. .
12
kk kk
XX XX XX
tt tt tt
112 1
DX XX XX
XX DX XX
XX XX DX
cov ... cov
ttt tt
21 2 2
tt t tt
.. .
12
kk k
tt tt t
n
() (), ,
tttT
где
kk
1
k
k
k
=
k
k
.
– действитель-
k
nn n
() () ( ()) ();
mt M t M t M t
Xkk kkkk
11 1
kk k
13
nn nn
D
D
p
N
N
Nn
p
p
N
N
Kts t s t s
Xkkii kiki
ki ki
11 11
n
() ( );
k
1
ts
kk k
( , ) cov ( ), ( ) cov( , ) ( ) ( )
=
n
() (, ) ().
tKtt D t
XX kk
1
k
2
Пример 8. Случайный процесс N(t) удовлетворяет следующим
условиям.
1. N(t) определен [0, )tT
2.
(0) 0 1PN .
3. Для любых фиксированных
, , ...,
NN N N N
tt t t t
независимы.
01 0 1
.
p
ttt t
012
...
сл. величины
p
4. В случайные моменты времени происходит приращение значе-
ния функции N(t) на единицу, причем для любого момента времени
t ≥ 0 {( ( ) ( )) 1} ( )PNt t Nt t o t ,
и
0t
– постоян-
0
ное для данного процесса число.
Найти одномерное распределение процесса N(t).
Решение. Введем обозначения. Разность сл. величин
обозначим через
мя ∆t. Событие
. Это случайное приращение процесса за вре-
t
означает, что «число единичных приращений
t
N
tt t
за время t равно n», иначе – «число событий за время t равно n»,
если считать приращение на единицу значения функции N(t) событи-
ем. Положим
нии ()
t для n = 0, 1, 2… и всех
n
Выразим событие {}
{ }{}{ 0}{()1}{1}.
NnNnN NtnN
По условию 3
tt t t t
задачи, полагая
личины
()
tPNn
nt
0t
0
NN NN N независимы. Поэтому пары
tt t tt t
10 21
, n = 0, 1, 2… Задача состоит в отыска-
.
0t
n
tt
, 1tt, 2tt t
следующим образом:
, получаем, что случайные ве-
,
событий в правой части записанного выше равенства также независимы.
14
По условию 4 задачи
p
p
p
p
p
p
p
p
p
PN tot
t
{0}
PN
t
{1} (),
1(),0.tot t Учитывая все сказанное, имеем:
( ) ( )(1 ( )) ( )( ( )), 0
pt t pt t o t p t to t t
nn n
1
( ) () ( ()) () ( ), 0.
pt t pt t pt p t ot t
nn nn
1
Деля обе части полученного равенства на ∆t и переходя к пределу
при ∆t → 0, получим дифференциальное уравнение для искомых веро-
() () (),
ятностей:
условиями
tptpt
nnn
(0) 1p
0
,
p
n
(0) 0
нение решаем рекуррентно, считая, что на n-м шаге значение
n = 0, 1, 2, …, с начальными
1
, n = 1, 2, … Дифференциальное урав-
1()n
t
уже известно.
Пусть n = 0. Дифференциальное уравнение принимает вид
() ()
tpt
при ограничении 0(0) 1p . Решая это уравнение, пе-
00
dp t dp t
() ()
репишем его в виде
00
dt p t
ln () () .
pt t C pt Ce
Условие 0(0) 1p
00
чение, равное единице, окончательно имеем
()
tdt
0
t
0
()
()
te
.
0
дает для С зна-
t
Это вероятность того, что в промежутке (0, t] не произойдет ни одного события, иначе – функция N(t) не изменила своего значения в
этом промежутке.
Пусть теперь n = 1. При этом значении n получаем линейное не-
() () (),
tptpt
однородное уравнение с начальным условием:
(0) 0p
1
. Общее решение этого неоднородного уравнения, как извест-
11 0
но, представляет собой сумму двух решений: общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения
неоднородного. Общее решение соответствующего однородного урав-
t
нения есть
()
tCe
1
найденное методом вариации постоянной, имеет вид
. Частное решение неоднородного уравнения,
t
pt te
1
Тогда общее решение неоднородного уравнения получаем в виде
tt
()
tCe te
1
вое значение, С = 0. Окончательно имеем:
. Начальное условие 1(0) 0p
дает для С нуле-
t
()
tte
1
– это вероят-
.
15
ность того, что в промежутке времени (0, t] произойдет ровно одно
N
N
N
M
событие.
Аналогичными рассуждениями приходим к результату:
k
()
t
( ) , 0, 1, 2, ...
pt e k
k
k
t
!
Полученная формула выражает соответствие между значениями сл.
величины
вероятностями, с которыми эти значения сл. величина
в произвольные фиксированные моменты времени t и
t
может при-
t
нимать, т. е. мы получили одномерный закон распределения сл. величины
цесса N(t), t ≥ 0, – это распределение Пуассона с параметром t
, а следовательно, и одномерный закон распределения про-
t
. По-
ставленная задача решена.
Случайный процесс N(t), t ≥ 0, называется пуассоновским. Параметр трактуется как среднее число единичных приращений в единицу времени.
Пример 9. Найти математическое ожидание и ковариационную
функцию действительного ступенчатого процесса X(t), который скачком меняет свое значение в случайные моменты времени, образующие
пуассоновский поток интенсивности
, а в промежутках между этими
моментами сохраняет неизменные значения, представляющие собой
независимые случайные величины с нулевыми математическими ожи-
даниями и постоянными дисперсиями
2
.
Решение. Прежде сделаем замечание относительно термина «пуас-
соновский поток». Если считать в задаче событием изменение значения процесса в случайный момент времени t, то вероятность числа
таких событий, происшедших за промежуток времени
0, t , вычисля-
ется по закону Пуассона (см. предыдущий пример).
Очевидно, что
mt MX
Xt
поскольку в любой момент вре-
() 0,
мени сечением процесса будет сл. величина с нулевым математиче-
ским ожиданием. Ковариационная функция
XX , причем процесс скалярный (n = 1). Введем вспомогатель-
tt
12
ную сл. величину Y: Y = 0, если в промежутке
постоянное значение, и Y = 1, если в промежутке
(, )
Ktt MXX
12
X
, tt X(t) сохраняет
12
, tt процесс X(t)
12
tt
12
16
хотя бы раз изменил значение. В примере 8 получена формула для вы-
p
N
f
p
f
M
числения вероятностей событий {в промежутке времени
0, t изме-
нение значения процесса произошло ровно k раз}, иначе – событий
{число точек, в которых произошло изменение значения процесса в
промежутке времени
времени
() , 0.
pt e k
k
0, t изменение значения процесса произошло ровно k раз} =
k
()
t
!
k
вероятность события {число точек из промежутка
0, t , равно k}, она имеет вид Р {в промежутке
t
На основании этой формулы легко получить
, tt, в которых
12
произошло изменение значений процесса, равно k}. Обозначим вероятность этого последнего события через
()
tt
21
поскольку
k
tt
()
21
ett
!
k
,0 ,
12
и по условию 3 примера 8 получаем
можно вычислить вероятность событий
()
tt
21
ep
,
(1)1 .
PY e p
0
()
tt
21
1
tt ptt
21 21
kk
, 0, 0, tt t t
12 2 1
NN
tt t t
21 2 1
0, 1:YY (0)PY
.
Но тогда
():()
Получили закон распределения сл. величины Y в виде ряда распре-
деления.
Заметим, что ряд распределения для дискретной сл. величины часто записывают в виде так называемой обобщенной плотности распределения – формулы, содержащей множителем δ-функцию: ( )
()
yk
k
k
сл. величины Y эта функция имеет вид
(1 ) ( 1) .
ey
Теперь для вычисления
полного математического ожидания
и k – значения дискретной сл. величины. Для
()
ye y
()
tt
21
() ()
(, )
Ktt
X
можно применить формулу
12
() ()():
MMydFxy
tt
21
y
(, ) | | ( )
K t t MXX MMXX Y MXX ydFxy
Xtttt tt
12
12 12 12
17
() ()
X
X
X
R
X
R
M
X
X
X
X
tt tt
MXX e MXX e
|0 |1 1
tt tt
12 12
() () ()
tt tt tt
22
eee
21 21
21 21 21
01 ,
так как
MXX
tt
12
|0
2
,
MXX MXMX.
|1 0
tt t t
12 1 2
Задача решена.
Вернемся к определению ковариационной функции. Ковариационная функция СП Х(t) является вторым смешанным центральным мо-
ментом сл. величин
рой смешанный начальный момент
и
t
1
. Иногда вместо нее рассматривают вто-
t
2
(, )
tt MXX. Эту функ-
12
tt
12
цию называют корреляционной функцией СП Х(t). Из теории вероятностей известно соотношение между этими функциями:
(, ) (, )
K t t R t t MX MX
12 12
Xtt
12
или
(, )
tt=
12
X
Определение. Взаимной ковариационной функцией
(, )
Ktt+
12
X
XMX .
tt
12
(, )
Ktt
12
XY
случайных функций X(t) и Y(t), определенных на одном и том же вероятностном пространстве и на одном и том же множестве Т, на-
зывается ковариация их сечений
ция аргументов
YYmt Если для любых
t
tY
2
2
, tt T:
12
().
2
Ktt MXY
XY
,
Y , рассматриваемая как функ-
tt
12
(, ) ,
12
, tt T
12
tt
12
Ktt, то слу-
Y
Xmt
t
tX
1
(, ) 0
12
(),
1
1
чайные функции X(t), Y(t) называются некоррелированными. Если
хотя бы для одной пары
, tt T
12
(, ) 0
Ktt, то X(t), Y(t) назы-
12
Y
ваются коррелированными случайными функциями.
1.4. БЕЛЫЙ ШУМ
Большое значение для теории сл. процессов и ее приложений имеет
особый вид случайных функций, у которых ковариационная функция в
качестве множителя содержит δ-функцию.
18
Определение. СП X(t), ,tT
X
данием и ковариационной функцией
()( )ttt называется белым шумом. Множитель ()t называется
212
с нулевым математическим ожи-
(, ) ()( )
Ktt t tt
12 1 1 2
интенсивностью белого шума.
Очевидно, что дисперсия D
()0 и () приtt tt tt t t , а его значения
12 1 2 12 12
(t) белого шума бесконечна
X
в двух сколь угодно близких точках некоррелированны.
В чистом виде белый шум не может существовать физически, для
его реализации необходима бесконечная мощность. Поэтому понятие
белого шума является математической абстракцией, удобной для построения теории. Практически можно говорить о большей или меньшей степени приближения
случайной функции к белому шуму. Это
может быть только в том случае, когда наименьший интервал между
значениями аргумента, при которых значения случайной функции
практически некоррелированны, называемый интервалом корреляции,
достаточно мал. На практике для определения интервала корреляции
t
Ktdt
X
max ( )
– это чисто
часто пользуются формулой
1
2
2
X
практическая мера близости случайных функций к белому шуму.
Векторную случайную функцию X(t) можно считать белым шу-
мом, если все ее компоненты допустимо принять за белый шум.
Замечание. Ранее (см. примеры 5 и 6) был введен в рассмотрение
белый шум с дискретным временем, т. е. последовательность центрированных независимых и, следовательно, некоррелированных сл. величин. В отличие от белого шума с непрерывным временем белый
шум с дискретным временем является гильбертовым процессом (см.
раздел. 1.7).
1.5. СВОЙСТВА КОВАРИАЦИОННОЙ ФУНКЦИИ
(, ) (, )
Ktt Ktt
1.
XX
21 12
т
.
Действительно,
т
(, ) (, )
Ktt Ktt MXX
21 21
XX
19
tt
21
т
M
N
X
X
М
т
XX K tt
tt
12
(, ) (, )
Ktt Ktt
XX
т
(, ).
X
21 12
12
.
является неотрицательно определенной
Для скалярного процесса
(, )
, tt
.
12
Ktt
X
2. Матрица
функцией
12
По определению таких функциональных матриц это означает, что
, , ...,
,
tt t T
12
N
, и любых ненулевых векторов
же размерности, что и СП X(t),
N
т
(, ) 0
uK t t u. Проверим это
pxpqq
,1
pq
, ...,
uu
1
неравенство:
NN
ттт
uK t t u M uX Xu
,1 ,1
pq pq
(, )
pXpqq pt q
t
p
q
N
той
NNN
M uX uX M uX uX
pq p q
тт т т
,1 1 1
pt qt pt q t
pq p q
MuX
2
(, ) () ( )
Ktt t t , где
3.
XXX
12 1 2
22
т
N
т
pt
1
p
2
0.
p
2
() ()
ttrDt
XX
. Нормой
матрицы будем считать евклидову норму.
Это свойство называют неравенством Коши–Буняковского. Оно
следует из неравенства Шварца для математического ожидания
векторных сл. величин
2
ттт
MMM . Если в неравенстве Шварца в качестве ξ взять
сл. величину
тогда
M
–
t
1
т
()
mt, в качестве η – сл. величину
1
X
т
XX K tt
tt
12
( , , ..., ) , ( , , ..., )
:
12 12
(, );
X
12
20
тт
kk
()
mt
tX
2
,
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]