Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Случайные процессы. Учебное пособие
.pdf
Из полученного результата следует, что винеровский процесс – это
j
процесс со стационарными приращениями (почему?).
Если W(t), [0, ),t сл. вектор размерности k, то все компо-
ненты его независимы и представляют собой одномерные винеровские
процессы. Ковариационная матрица n-мерного нормального распре-
деления сл. вектора
W
размерности k имеет вид
t
(, ) (, )... (, )
Ktt Ktt Ktt
11 12 1
ww wn
(, ) (, )... (, )
Ktt Kt t Ktt
21 22 2
ww wn
( , ) ( , ) ... ( , )
Kt t Kt t Kt t
wn wn wn n
...
12
.
Каждая компонента матрицы Σ –
представима в виде
Винеровский процесс называют еще процессом броуновского движения; он имел большое значение при разработке теории СП. Многие
распределения, используемые в теории управления, можно моделировать процессами, порождаемыми винеровскими процессами. Кроме
того, он находит широкое применение в теории стохастической ортогональной меры (см. раздел 3.10).
Траектория винеровского процесса обладает весьма неожиданными
свойствами. В
приращений винеровского процесса, соответствующих разбиению от-
резка [, ] [0, )ab T точками
нии мелкости разбиения
дальнейших разделах покажем, что сумма квадратов
(, )
Ktt
wi j
к нулю, сходится в смысле
max( )
k
(, ), , 1,,
Ktt ij n
wi j
j
cov 0 ... 0
i
XX
1
1
0cov ...0
0 0 ... cov
at t t b
01
tt
1
kk
XX
...
...
, при стремле-
в свою очередь
j
i
2
2
n
i
XX
k
k
.
41
средней квадратической сходимости к ()ba . Если рассмотреть ана-
X
X
логичную сумму квадратов приращений для процесса, изменяющегося
скачками, то она будет конечной на любом отрезке [, ]ab, если число
скачков на отрезке конечно, и совпадет с суммой квадратов скачков,
таким образом, не зависит непрерывно от a и b.
Сравнение этих результатов приводит к
вопросу о том, существуют
ли у траектории винеровского процесса скачки.
А.Н. Колмогоров показал, что для любого винеровского процесса
можно построить новый, эквивалентный ему процесс с непрерывными
траекториями. В силу того, что конечномерные распределения эквивалентных процессов совпадают, новый процесс с независимыми приращениями также будет винеровским. Этими соображениями и продик
товано условие 1) в определении винеровского процесса.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Доказать, что все конечномерные распределения марковских
процессов определяются их двумерными распределениями.
2. Доказать, что любой процесс с независимыми приращениями яв-
ляется марковским.
3. Написать уравнение Чепмена–Колмогорова. Почему оно спра-
ведливо лишь для марковских процессов?
4. Является ли винеровский процесс гауссовским? марковским?
5. Какими общими свойствами обладают винеровский и пуассонов-
ский процессы?
6. Доказать, что пуассоновский процесс является марковским.
7. Показать, что СП, являющийся линейной комбинацией нормаль-
ных процессов, является нормальным процессом. В частности, найти
характеристики нормального процесса Z(t) = aX(t) + bY(t), где X и Y –
нормальные процессы с характеристиками () ,
(, ) ,
Kts
X
1
ts
2
12( )
8. Пусть X(t), Y(t), tT
(, ) 9 ,
Kts e
Y
– винеровские процессы, исходящие из
2(( ) )
(, ) 4cos( ).
mt t 2() 1 ,
2
st
Kts ts
Y
mt t
Y
нуля. Найти их совместный закон распределения при каждом фиксированном .tT
9. Доказать, что из стационарности в узком смысле следует стацио-
нарность в широком смысле.
-
42
10. Пусть X(t) X t R, причем X подчиняется показательному
X
X
X
X
X
распределению с параметром
= 2. Является ли СП X(t) стационар-
ным в узком смысле?
tvt
11. Является ли скалярный случайный процесс () sin
cos , , , vt t T R
– некоррелированные сл. величины с нуле-
выми математическими ожиданиями и одинаковыми дисперсиями,
равными
12. Пусть X(t), t
2
, стационарным: а) в узком смысле? б) в широком смысле?
T, – нормальный стационарный СП. Найти од-
номерный и двумерный законы распределения процесса.
13. Является ли СП Y(t) = Х(t) + u, t
смысле, если X(t), t
личины X
и u – независимы; б) u = X(t0), t0 T?
t
14. Пусть X(t) =
T, – стационарный процесс и а) t T сл. ве-
cos
(t + ), t T, , – неотрицательные сл.
T, стационарным в широком
величины с известной совместной плотностью вероятностей f(а, b), а
сл. величина
ке
0, 2 . Доказать, что СП X(t) стационарен.
15. Пусть (), ,
не зависит от них и равномерно распределена на отрез-
ttT – гауссовский стационарный процесс с по-
стоянным математическим ожиданием и ковариационной функцией
вида
xx
(, ) ( ).
Kts Kts Показать, что этот процесс стационарен в уз-
ком смысле.
16. Пусть
– последовательность центрированных некоррели-
n
рованных сл. величин. Доказать стационарность последовательности в
широком смысле.
17. Пусть
, , ...,
zz z – набор центрированных комплексных
12
n
сл. величин, удовлетворяющих условию ортогональности. Пусть
, , ...,
– некоторые числа из промежутка [, )
12
довательность
mk
k
n
Xm определена следующим образом:
n
im
k
ze m Z
1
,.
, 1, 2,...,
m
Показать, что она стационарна в широком
. После-
смысле.
18. Пусть
– последовательность из задачи 16, а
n
следовательность комплексных чисел, таких что
kZ
k
– по-
n
.
Последо-
43
вательность
F
X
следовательность двустороннего скользящего среднего). Показать, что
она стационарна в широком смысле.
19. Пусть cos ( ),
дана функцией распределения () ().
трированная стационарная в широком смысле последовательность.
20. Определить n-мерный закон распределения пуассоновского
процесса.
21. СП X(t) – величина интервала времени между двумя последовательными скачками пуассоновского процесса N(t) с параметром
Найти f(x, t).
22. Найти математическое ожидание и K
процесса с параметром
23. Найти вероятность того, что за время
число скачков, если речь идет о пуассоновском процессе N(t) c параметром
Y определяется соотношением
n
Xn
n
.
где
.
xFx
YX
nknk
kZ
0, 2 ,Rav
сл. величина ξ за-
Показать, что
, t2) пуассоновского
N (t1
произойдет четное
n
(по-
– цен-
.
44
X
X
X
X
3. ОПЕРАЦИИ АНАЛИЗА
НАД СЛУЧАЙНЫМИ ФУНКЦИЯМИ
Все операции математического анализа опираются на понятия предела и сходимости. Для случайных функций речь должна идти о вероятностной сходимости, но вероятностной сходимости существует
много видов. Какую из них предпочесть?
В теории случайных процессов предпочтение отдается средней
квадратической сходимости (с.к. сходимости), поскольку при этом виде сходимости получается
вания и интегрирования случайных функций, дающая удобные практические методы исследования сл. функций.
3.1. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ.
довольно несложная теория дифференциро-
ЛЕММА ЛОЭВА
Напомним определение с.к. сходимости для последовательности
скалярных сл. величин. Последовательность скалярных сл. величин
, ,...XX называется сходящейся в среднем квадратическом или, ко-
12
роче, с.к. сходящейся к случайной величине
n
. Очевидно, при этом сл. величины
X, если
должны иметь конечные
n
MX X ,
2
n
0
моменты второго порядка.
Случайная величина X называется средним квадратическим или
с.к. пределом последовательности
с.к.
, n , или l.i.m.
X
n
n
X
n
(l.i.m. – сокращение от limit in
; записывают это так:
n
main – сходимость в среднем).
45
Аналогично в случае однопараметрического семейства случайных
X
X
X
M
M
M
M
M
M
M
X
M
величин
рят, что
Лемма Лоэва. Пусть
сл. величин,
XY MXY
, X с конечными моментами второго порядка, гово-
с.к. сходится к X при
2
0,MX X
,
.
0
,X
,
с.к.
X
,
(, ) ( , )
.
00
,
0
,
0
{}YB
YY
– два семейства
,
с.к.
,
с.к.
X
, если
. Тогда
0
Доказательство. Доказательство утверждения опирается на не-
равенство
XY MXY MX Y Y MX XY
.
()( )
Применим к каждому слагаемому правой части неравенство Шварца (см. третье свойство ковариационных функций):
() ()
Далее, учитывая, что
, так как
0
2( ) 2( ) 2
XXXMX MXX MX
,
получим результат:
XY Y MXMY Y
() ().
222
,
XXY MXXMY
2
X
остается ограниченной величиной при
()()MX MX X X MX X
что означает сходимость к нулю ()
с.к.
Следствие 1. Если
(, ) ( , ) .
00
22
22
222
22
XY MXY
,
X
2,MX Y MXY MX MY
121
при
, то
0
(, ) ( , ).
XX MX
00
,
2
46
с.к.
X
M
X
M
M
M
X
M
X
X
M
X
X
Следствие 2. Если
XY MXY
ны
Y
Следствие 3. Если
XX MX
,
2
,
(, ) ( , )
.
.
0
00
X
с.к.
,
,
X
, то для любой сл. величи-
0
, то
0
XMX
Для доказательства последнего результата достаточно воспользоваться неравенством
,
() ()
XXY MXXMY
22
,
на основании которого можно утверждать, что с.к. сходимость
с.к.
сходимость ,
0
oo
X
. Затем к последнему из полученных
, влечет сходимость
,
X
0
XMX
,
, и с.к.
0
результатов следует применить следствие 1.
Можно доказать обратное по отношению к лемме Лоэва утверждение: если существует конечный
предел сл. величины
Действительно, пусть
при
limMXX A
X X MX MX X MX
2
.
Перейдем к пределу при
lim lim 2 lim lim 0MX X MX MX X MX
0000
00
2
,
limMXX
0
0
.
0
0
0
22
2
,
0
22
, то существует и с.к.
. Рассмотрим
:
0
так как предел каждого из слагаемых правой части равен А. Следовательно,
для
.
– фундаментальна и, значит, существует с.к. предел
47
Теперь можно сформировать так называемый стохастический кри-
X
X
M
X
терий Коши с.к. сходимости.
Для с.к. сходимости сл. величины
при
цательному пределу при
с.к. сходимости сл. величины
необходимо и достаточно: 1) сходимости MX к конечному
пределу при
к конечному пределу при
Замечание. Если
limMXMX
0
необходимо и достаточно сходимости MXX
0
(, ) ( , )
. Или, что то же самое, для
к некоторой сл. величине X при
0
и 2) сходимости центрального момента MXX
(следствие 3 леммы Лоэва). Последнее равенство с
0
(, ) ( , )
.
с.к.
,,XX
т. е. 0l.i.m. ,XX
к некоторой сл. величине X
00
00
0
к неотри-
тогда
учетом первого соотношения перепишем в виде
lim ( l.i.m. )MX MX M X
0
Получили очень
0
lim ( l.i.m. )
XM X
0
важное соотношение, полезное в задачах с пре-
.
0
дельными переходами!
Пример 1. Пусть X(t), [0, )t
, – винеровский скалярный про-
цесс с единичным коэффициентом диффузии. Пусть [, ]ab T
, ...
ab a t t t b – некоторое разбиение этого отрезка с
мелкостью разбиения
предел
01
n
l.i.m. .
tt
1
k
kk
0
n
max( )
1
k
2
tt
kk
. Покажем, что существует с.к.
Xba
1
Решение. Согласно определению винеровского процесса сл. вели-
чины
ские ожидания и дисперсии
. Так как
XX
tt
,
tt
1kk
1kk
, независимы, имеют нулевые математиче-
1,kn
DX X M X X
48
tt tt
kk kk
11
и
2
MXX MXX
D
то очевидно, что
nn
tt tt
kk kk
kk
11
nn
XX tt ba
tt kk
kk
kk
11
22
11
1
(),
1
nn
lim ( ) lim
MXX ba DXX
tt tt
XX
tt
kk
tt
00
kk
1
1
kk
kk kk
11
lim
0
независимы, имеют нормальное распределение с пара-
22
11
n
DX X
tt
1
k
kk
метрами 0 и 1, следовательно, сл. величина
2
2
|сл. величины
1
XX
tt
kk
tt
kk
1
1
2
имеет
хи-квадрат-распределение с одной степенью свободы:
XX
tt
kk
tt
kk
2
1
1
2
,
1
а потому
MD
XX XX
tt tt
kk kk
tt tt
kk kk
22
11
11
1 и 2
| =
nn
2lim()()2()0,0.
tt tt ba
kk kk
0
kk
11
2
11
49
3.2. СРЕДНЯЯ КВАДРАТИЧЕСКАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ
X
R
M
X
X
СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ
Определение
. Скалярная случайная функция X(t), ,tT называет-
ся непрерывной в среднем квадратическом, или, короче, с.к. непрерывной в точке
.
,tT если
00, : ()()t t t MXt Xt
2
Это определение конструктивно совпадает с определением непрерывной в точке функции в анализе.
Если сл. функция X(t) с.к. непрерывна в любой точке
называется с.к. непрерывной в области
T.
tT
, то она
Необходимое и достаточное условие с.к. непрерывности сл. функции
X(t), tT , можно выразить одним из утверждений.
Теорема 1.
ласти
Т необходима и достаточна непрерывность функции (, )
XX на множестве Т Т.
ts
Для с.к. непрерывности случайной функции X(t) в об-
ts
Теорема 2. Случайная функция X(t) с.к. непрерывна на области Т
тогда и только тогда, когда:
1) непрерывно на
Т ее математическое ожидание ()
2) непрерывна на области
Т
Т ковариационная функция (, )
mt и
Kts.
Справедливость теорем следует из определения функции, непрерывной в среднем квадратическом, и двух формулировок стохастического критерия Коши с.к. сходимости.
Пример 2. Покажем, что винеровский процесс является с.к. непре-
рывным.
Решение. Ковариационная функция винеровского процесса
(, )
Ktt t
12 1
X
Пример 3.
2
tt
,
, удовлетворяет требованиям теоремы 2.
12
Пусть сл. функция X(t) задана на отрезке
0,1T сле-
дующим образом:
()
Xt
,,
Ut
,,
Vt
1
2
где U, V – независимые одинаково
1
2
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]