Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы управления химико-технологическими процессами. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
Введем в рассмотрение функцию
''2
yyyxxxyF −−+−=
55,143
и определим все ее производные при заданных начальных условиях:
dF
dx
dF
dy
dF
dx
dF
dy
0
0
'
0
5
−=
'
0
0
'
0
325,1)5,1(
0
=⋅== y
.
21823)83(
−=⋅−⋅=−= хy
;
2105,113)15,13(
=−⋅+⋅=−−= хx
;
;
Теперь, используя полученные коэффициенты, можно записать окон-
чательное линейное ДУ:
-5.∆y’ + 2.∆y + 3.∆х’ - 2.∆х = 0.
Исследование АСУ существенно упрощается при использовании
прикладных математических методов операционного исчисления, например, преобразования Лапласа. Применение преобразования Лапласа позволяет перейти от решения системы дифференциальных уравнений к решению системы алгебраических уравнений. Кроме того, отпадает необходимость специального определения постоянных интегрирования, а общее решение неоднородного ДУ при любой правой части
определяется сразу, т.е. исключается раздельное нахождение общего
y1(t) и частного y2(t) решений.
Пусть f(t) - действительная функция действительного переменного
t, удовлетворяющая условиям Дирихле (непрерывная и дифференцируемая на рассматриваемом интервале) и равная нулю при t < 0. Будем называть эту функцию оригиналом. Каждому оригиналу f(t) всегда можно поставить в соответствие функцию F(s) комплексного переменного s = α ±
jω, определенную как интеграл вида:
{ }
∞
==
∫
0
−
st
.)()()( dtetftfLsF
61
Здесь L – оператор прямого преобразования Лапласа. Комплекс-
(
)
α
+
s
ная переменная - s выбирается так, чтобы интеграл сходился.
Правая часть этого выражения называется прямым преобразованием Лапласа функции f(t), а функция F(s) – изображением Лапла-
са для функции f(t) (оригинала).
Обратное преобразование Лапласа L-1{F(s)} позволяет вычислить оригинал f(t) по известному изображению F(s):
∞+
j
σ
−
1
{ }
1
==
sFLtf
)()(
∫
j
π
2
σ
st
dsesF
,)(
∞−
j
где j = 1− , а постоянная σ выбирается так, чтобы интеграл сходился.
На практике вместо интегралов чаще всего используют готовые
таблицы, по которым можно сразу определить изображение по оригиналу и наоборот. Пример части такой таблицы представлен в табл.
1.
Таблица 1
Оригинал x(t) Изображение X(s)
δ-функция
1
t
n
t
-αt
e
n
txd )(
n
dt
t
dttx0)( ssX /)(
∫
1
s/1
2
/1 s
n
1!+n
s/1
sn.X(s)
Переход от одной модели к другой достаточно прост и заклю-
n
чается в замене знаков дифференциалов
знаков интегралов ∫dt... на множители
d
на операторы sn,
n
dt
1
, а самих x(t) и y(t) - изо-
бражениями X(s) и Y(s).
62
Пример.
s
s
s
+
+
s
2
s
3
s
Пусть объект описывается дифференциальным уравнением второго
порядка:
2
dy
yd
2
dt
dt
dx
dt
x
12265
+=++ .
y
Входной сигнал – х имеет форму единичного ступенчатого воздейст-
вия, т.е. x(t) = 1. Тогда изображение входного сигнала X(s) =
1
.
Производим преобразование исходного ДУ по Лапласу и подставляем
X(s):
s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2sX(s) + 12X(s),
s2Y(s) + 5sY(s) + 6Y(s) = 2s
1
+ 12
1
,
Y(s)(s3 + 5s2 + 6s) = 2s + 12.
Определяется выражение для Y(s):
s
sY
)(
= .
122
23
sss
65
++
Оригинал полученной функции отсутствует в таблице оригиналов и
изображений. Для решения задачи его поиска дробь разбивается на сумму
простых дробей с учетом того, что знаменатель может быть представлен в
виде s(s + 2)(s + 3):
s
sY
)(
= =
122
23
=
M
122
s
sss
65
++
2
321
=
)3)(2(
+++sss
)3)(2(
++
sss
M
1
+
M
2
+
++++++
3
+
=
+
6)235()(
MsMMMsMMM
1321
.
Сравнивая получившуюся дробь с исходной, можно составить систему из трех уравнений с тремя неизвестными:
М1 + М2 + М3 = 0 M
.
.
5
6
М
+ 3
1
.
М
= 12 M
1
М
+ 2
2
.
М
= 2 => M2 = -4
3
= 2
1
= 2
3
63
Следовательно, дробь можно представить как сумму трех дробей:
+
s
s
sY
)(
= =
Теперь, можно используя табличные функции, определить оригинал
выходной функции:
122
23
y(t) = 2 - 4.e
2
-
+
.
32+s
+ 2.e
24+s
-3t
.
sss
65
++
-2t
8.2.5. Передаточные функции
Понятие передаточная функция является наиболее важной категорией в теории автоматического управления. Передаточная функция
является своего рода математической моделью САУ, т. к. полностью характеризует динамические свойства системы.
Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести понятие передаточной функции.
Пусть модель системы управления задана линейным ДУ второго
порядка, связывающим выход у(t) со входом х(t) и возмущением f(t):
2
tyd
a +++=++ ,
2
dt
a
2
dt
)()(
tdy
)(
)(
tdx
btya
)(
dt
)(
tdf
сtxb
dt
)(
tfс
010101
где ai, bj, cj - постоянные коэффициенты, зависящие от параметров
системы.
Перейдем к алгебраическому уравнению, записанному в операторной форме по Лапласу, используя формулы прямого преобразования по Лапласу:
∞
−
st
= dtetysY
∫
0
;)()(
∞
−
st
= dtetxsX
∫
0
;)()(
∞
= dtetfsF
∫
0
−
st
.)()(
Исходное ДУ при нулевых начальных условиях равносильно
линейному алгебраическому уравнению:
a2s2Y(s)+a1sY(s)+a0Y(s)=b1sX(s)+b0X(s)+c1sF(s)+c0F(s).
Преобразуем полученное уравнение путем выноса X(s) и Y(s) за
скобки:
Y(s)∙(a2s2+a1 s+a0)=X(s)∙(b1s+b0)+ F(s)∙(c1s+c0).
64
В выражении полином, стоящий при выходном параметре Y(s),
+
+
+
называется собственным оператором и обозначается А(s). Полиномы
при воздействиях Х(s) и F(s) называются соответственно оператором
управляющего воздействия и оператором возмущающего воздействия. Оператор управляющего воздействия обозначим В(s), а оператор
возмущающего воздействия обозначим С(s):
Y(s)∙А(s) = X(s)∙В(s) + F(s)∙С(s).
Передаточной функцией называется отношение изображения
по Лапласу выходной величины Y(s) к изображению входной величины X(s) (или F(s)) при нулевых начальных условиях:
sW = .
)(
sX
)(
sY
)(
Поскольку у системы два входа (задание и возмущение), то для
линейных систем можно применить принцип суперпозиций (реакция
системы на сумму воздействий равна сумме реакций на каждое воздействие в отдельности) и выделить два случая:
- сигнал F(s) = 0, тогда А(s)∙Y(s) = В(s)∙X(s);
- сигнал X(s) = 0, тогда А(s)∙Y(s) = С(s) F(s).
Тогда для любой САР, имеющей входы по управлению и по
возмущению, можно определить две передаточные функции по
управлению Wу(s) и по возмущению Wв(s), которые представляют собой отношения следующих полиномов:
y
)(
SW
в
)(
sX
)(
sY
)(
sF
)(
sY
)(
SW
)(
sB
===
)(
sA
2
)(
sB
===
)(
sC
2
bsb
01
2
+
2
,
asasa
++
01
csc
01
.
asasa
++
01
Общая передаточная функция системы Wс(s) будет:
bsb
SWSWSW
=+=
вyс
2
01
2
+
asasa
++
01
csc
01
2
2
.)()()(
asasa
++
01
Передаточные функции содержат особые точки на комплексной
плоскости - нули и полюса.
65
Нули - это те значения s, при которых передаточная функция
равна нулю. Для нахождения нулей числитель передаточной функции
приравнивается к нулю и полученное алгебраическое уравнение решается относительно s.
Полюса - это те значения s, при которых передаточная функция
превращается в бесконечность.
Знаменатель передаточной функции приравненный к нулю называется характеристическим уравнением системы.
В рассмотренном примере характеристическое уравнение будет:
2
2
01
0
=++ asasa .
Нули и полюса определяют свойства системы.
8.3. Типовых звенья САР
Современные СУ состоят из элементов различной физической
природы (электрические, пневматические, механические и др. звенья), конструктивного исполнения, источников энергии и т. д. Однако динамические свойства некоторых элементов можно отнести к одной группе и описать одним и тем же ДУ низкого порядка (первого
или второго).
Элемент системы, обладающий определенными свойствами в
динамическом отношении называется звеном.
Соотношение входных и выходных сигналов в звеньях одной
группы описываются одинаковыми передаточными функциями. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей
или дробей, называют типовыми. К простейшим типовым звеньям
относятся:
1) усилительное;
2) интегрирующее;
3) дифференцирующее;
4) апериодическое;
5) форсирующее;
6) колебательное;
7) запаздывающее.
66
По ряду общих закономерностей типовые звенья можно разде-
К h(t) t
лить на следующие группы:
1. Статические звенья, у которых статическая характеристика
отлична от нуля, имеют однозначную связь между входной и выходной переменными в статическом режиме. К ним относят усилительное, апериодическое, колебательное звенья, у которых передаточный
коэффициент связан с передаточной функцией соотношением
KsW
=
)( .
s
=0
2. Дифференцирующие звенья, у которых статическая характе-
ристика равна нулю, – это идеальное и реальное дифференцирующие
звенья. В их передаточную функцию всегда входит сомножитель s,
поэтому 0)(
sW .
s
0==
3. Астатические звенья – звенья, не имеющие статической ха-
рактеристики, к ним относится интегрирующее звено, в передаточную функцию которого обязательно входит сомножитель 1/s, поэто-
му ∞=
)(ssW
=0
8.3.1. Усилительное звено
Преобразует сигнал в соответствии с уравнением:
у(t) = К∙х(t).
Звено усиливает входной сигнал в К раз. Параметр К называет-
ся коэффициентом усиления.
Передаточная функция WП(s) = К.
Выходной сигнал такого звена в точности повторяет 1(t) вход-
ной сигнал, усиленный в К раз ( рис. 35).
0
Рис. 35. Выходная характеристика усилительного звена
67
На рис. 36 представлен рычаг, в котором коэффициент переда-
dt
чи К определяется соотношением длин плеч
/ LLK = .
21
Рис. 36. Пример усилительного звена
Примерами усилительных звеньев также датчики, клапаны с
линеаризованной характеристикой, безинерционные усилители, механические передачи и др.
8.3.2. Интегрирующее звено
Преобразует сигнал в соответствии с уравнением:
tdy
Передаточная функция WИ(s) =
Решение исходного уравнения дает:
)()(tKx
= .
.
sK /
t
+=
dttxKyty
)()0()( .
∫
0
Выходная величина идеального интегрирующего звена пропорциональна интегралу входной величины. При подаче на вход звена
1(t) и σ(t) воздействий, выходной сигнал будет изменяться (рис. 37).
Рис. 37. Выходные характеристики интегрирующего звена
Это звено астатическое, т. е. не имеет установившегося режима.
Простейший пример интегрирующего звена – ванна, в которую
набирается вода. Входной сигнал – это поток воды через кран, выход
68
системы – уровень воды в ванне. При поступлении воды уровень рас-
dt
dt
dt
dt
1+Ts
тет, система «накапливает» (интегрирует) входной сигнал.
8.3.3. Дифференцирующее звено
Уравнение идеального дифференцирующего звена:
tdx
Kty)()( = .
Выходная величина дифференцирующего звена пропорциональна производной по времени от входной.
Передаточная функция W(s) = K∙s.
Численное решение данного уравнения требует построения
системы рекуррентных выражений.
Известно, что производная единичного ступенчатого сигнала
1(t) в точке t = 0 – это дельта-функция δ(t) . Поэтому переходная и весовая функции дифференцирующего звена
td
h(t) = kδ (t),
)( = .
)(δ
Ktw
Это физически нереализуемые функции, так как дельтафункцию и ее производную, имеющие бесконечные значения, невозможно получить на реальном устройстве. Поэтому идеальное дифференцирующее относится к физически нереализуемым звеньям.
В технике не могут использоваться физически нереализуемые
звенья. Поэтому большинство объектов, которые представляют собой
дифференцирующие звенья, относятся к реальным дифференцирующим звеньям которые описываются уравнением:
tdy
T
)()(=+ .
tdx
)(
Kty
Передаточная функция реально дифференцирующего звена
имеет вид:
W(s) =
Ks
.
69
Фактически это последовательное соединение идеального
dt
(
)
0
h(t
) t
К
w
(t
) t
К
дифференцирующего и апериодического звеньев.
Примером реально дифференцирующего звена может служить
механический демпфер.
8.3.4. Апериодическое звено 1-го порядка
Апериодическое (инерционное) звено 1-го порядка преобразует
сигнал в соответствии с дифференциальным уравнением:
dy
T =+ ,
Kxy
где Т - параметр звена, который называется постоянная времени. Постоянная времени - размерная величина, она измеряется в секундах и
характеризует инерционность объекта, то есть скорость его реакции
на изменение входного сигнала.
Этому звену соответствуют передаточная функция вида:
W(s) =
1/ +⋅sTK .
Рекуррентное выражение для численного решения исходного
уравнения:
∆
t
y .
1
−=
T
∆
t
+
y
⋅⋅
xK
11
−−
T
nnn
Графики изменения выходной величины при подаче на вход 1(t)
и σ(t) представлены на рис. 38.
Рис. 38. Выходные характеристики апериодического звена
0
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]