Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы управления химико-технологическими процессами. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
В случае, если характеристическое уравнение разомкнутой сис-
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
[
]
116100
116100
Н
еуст
.
темы правых корней не имеет (т.е. m = 0), то согласно критерию,
замкнутая система является устойчивой, если АФЧХ разомкнутой
системы Wрс(jω) не охватывает точку (-1; 0), в противном случае система будет неустойчива (рис. 66).
Im
уст.
-1
Рис. 66. Оценка устойчивости по критерию Найквиста (m=0)
Пример.
Дана передаточная функция разомкнутой системы:
рс
Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию
Найквиста.
Характеристическое уравнение разомкнутой системы:
10s2 + 6s + 1 = 0.
Корни характеристического уравнения:
2,1
s1 = - 0,3 + 0,1j , s2 = - 0,3 - 0,1j.
Корни характеристического уравнения левые (отрицательная вещественная часть), правых корней нет m = 0.
Определим частотную передаточную функция путем подстановкой
вместо s→jω:
рс
=
Выделим действительную и мнимую части:
2
126
Re(ω) =
ω
24
+++ωω
0
2
2
−−⋅+
jj
22
−−⋅+−
, Im(ω) =
Re
2
js ±−=⋅−±−= , где .1−=j
ωωωω
jjjjW
))(6)101(()1)(6(
ωωω
ωωωω
jj
−
1610/16)(
+++= ssssW .
10/320/104366
1)(6)(10/1)(6)(
=+++=
=
))(6)101(())(6)101((
3
60
−
ω
ωω
60126
−+
24
ωω
.
24
++
32
ωω
j
.
116100
++
121
Построим АФЧХ разомкнутой системы изменяя ω = 0 ... ∞ (рис. 67).
1.5
0.75
Re ω( )
1− 0.5− 0 0.5 1
0.75−
1.5−
Im ω( )
Рис. 67. АФЧХ разомкнутой системы
Замкнутая система не устойчива, так как амплитудно-фазовая характеристика Wрс,(jω) разомкнутой системы не обходит точку с координатами (-1;
j0) при m= 0.
Для определения устойчивости по критерию Найквиста можно
строить не АФЧХ, а логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.
13.2. Качество АСУ
Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос
о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям данного
процесса. Качество процесса управления определяется размером динамической ошибки, равной разности между текущим и заданным
значениями управляемой величины:
е(t)=x(t)-y(t).
Но функцию ошибки е(t) для любого момента времени трудно
определить, поскольку она описывается, как правило, с помощью ДУ
системы высокого порядка, и зависит от большого количества параметров системы. Поэтому оценивают качество САУ по некоторым ее
свойствам, которые определяют показатели качества.
Показатели качества делятся на показатели качества в переходном режиме и показатели качества в установившемся режиме. Пока-
122
затели качества в переходном режиме делятся на прямые и косвенные
показатели. Косвенные делятся:
- на корневые;
- частотные;
- интегральные.
В установившемся режиме наиболее полной характеристикой
качества системы является установившаяся ошибка.
13.2.1. Прямые показатели качества
Прямые оценки качества СУ определяются непосредственно
по переходной характеристике по каналу управления или возмущения Переходный процесс устойчивой системы всегда затухает и, в зависимости от характера затухания, подразделяется на монотонный и
колебательный (рис. 68). При этом имеется в виду, что на вход системы подано ступенчатое возмущение f( t) = 1(t).
Ниже перечислены прямые показатели качества переходного
процесса.
1. Время переходного процесса - tp.
Время переходного процесса (время регулирования) - минимальное время, по истечении которого отклонение выходной величины y(t) от установившегося значения y
не превышает некоторой за-
уст
данной величины ±q. Значение q выбирают обычно равным q = ±5
%·х или (0,05·х), где х·- задание.
Этот показатель характеризует скорость протекания переходного процесса. Если кривая переходного процесса монотонна, то этот
показатель является единственным.
123
e
А
1
х
t
А
3
у
t
t
у(t)
max
±0.05х
с
y
уст
0
τ
max
p
Рис. 68. Пример переходной характеристики
2. Перерегулирование – δ.
Перерегулирование есть разность между максимальным значением - y
нием - y
переходной характеристики и её установившимся значе-
max
(т. е. отношение максимального отклонения управляемой
уст
величины А1 к своему установившемуся значению), выраженная в
процентах:
−
A
1
δ = .100
=
y
уст
yy
устmax
⋅
y
уст
В большинстве случаев требуется, чтобы перерегулирование
не превышало 10 – 30 %.
У апериодического переходного процесса можно обеспечить
нулевое перерегулирование.
Увеличение быстродействия обычно приводит к увеличению
перерегулирования.
3. Степень затухания колебаний ψ определяется по форму-
ле:
A
3
1
−=Ψ ,
A
1
где А1 и А3 - 1- и 3-я амплитуды переходной кривой. Чем ψ ближе к 1
тем система лучше, но обычно довольствуются ψ> 0,7 ÷ 0,8.
124
4. Статическая ошибка – ес.
Это отклонения установившегося значения выходной величины
от заданной – х:
ес = х - у
5. Время достижения первого максимума t
уст
.
определяется по
max
графику.
6. Запаздывание – τ.
Это время от момента нанесения возмущения на систему до начала изменения выходной величины.
7. Динамический коэффициент регулирования - Rd %, кото-
рый определяется из формулы:
Rd = у1/уо∙100.
Рис. 69. Динамический коэффициент регулирования
Величина Rd характеризует степень воздействия регулятора на
процесс, т. е. степень понижения динамического отклонения в системе с регулятором и без него (рис. 69).
13.2.2. Косвенные показатели качества
Многие свойства системы можно определить при проектировании, по расположению корней характеристического полинома на
комплексной плоскости. Прежде всего, все корни si для устойчивой
системы должны находиться в левой полуплоскости, то есть слева от
125
мнимой оси (рис. 70). На рис. 70 знаком отмечены положения кор-
π
ней характеристического уравнения.
Чем дальше от мнимой оси расположены корни характеристического уравнения, тем дальше от границы устойчивости находится
система и тем выше ее быстродействие.
Im
η
γ
Re
Рис. 70. Корневые показатели качества
Для оценки быстродействия системы используют корневой показатель - степень устойчивости (η), а для оценки скорости затухания
колебаний в системе - степень колебательности (m).
1. Степень устойчивости - η, расстояние от мнимой оси до
ближайшего корня:
η = min )Re(
s ,
i
где Re(si) - действительная часть корня si.
2. Степень колебательности – m.
A
Если в уравнение степени затухания колебаний
вить вместо
ний) получим
T
α
0
eAA⋅−=
(где
13
α
π⋅−
ω
−=Ψ21 e
2
=T - период собственных колеба-
0
ω
. Отношение m=
α
ω
принято называть
3
1
−=Ψ , подста-
A
1
корневым показателем запаса устойчивости или степенью колебательности. Тогда получим связь степени затухания колебаний со степенью колебательности:
126
me⋅−
−=∆
−=Ψπ21
Чем больше величина m, тем слабее затухают колебания, вы-
званные этими корнями, за 1 период колебаний.
Рассчитывается через угол γ: m = tg γ. Для определения γ про-
водятся два луча, которые ограничивают все корни на комплексной
плоскости. γ - угол между этими лучами. Степень колебательности
может быть определена также по формуле:
)Re(
s
m = min
i
.
)Im(
s
i
Если m=0, то переходный процесс будет апериодическим.
При проектировании систем управления обычно требуется
обеспечить быстродействие не ниже заданного (степень устойчивости не меньше заданной min η ) и колебательность не выше заданной
max μ . Эти условия определяют усеченный сектор на комплексной
плоскости.
Оценить качество системы управления можно не только по переходным процессом, но и по частотным характеристикам.
Поведение реального объекта управления всегда несколько отличается от рассматриваемой модели, более того, его динамика может меняться во времени (корабль расходует топливо в ходе рейса).
Поэтому недостаточно спроектировать просто устойчивую систему,
нужно, чтобы система сохранила устойчивость при некоторых изменениях параметров объекта и регулятора в сравнении с расчетными,
то есть, обладала запасами устойчивости.
Обычно рассматривают запасы устойчивости по амплитуде ∆Α
и по фазе ∆ϕ. Запас устойчивости по амплитуде ∆Α – это дополнительное усиление контура, а запас устойчивости по фазе ∆ϕ – это дополнительный сдвиг фазы, которое необходимо, чтобы вывести систему на границу области устойчивости.
Запас по амплитуде вычисляется по формуле:
AA lg20
,
g
где Ag < 1 – значение амплитудной характеристики на частоте ωg, где
фазовая характеристика равна −180°. В практических задачах нужно
обеспечивать запас по амплитуде не менее 6 дБ.
127
Запас устойчивости по фазе ∆ϕ определяется на частоте среза
M
−=Ψ
1
(
)
(
)
∆
ϕ ∆
Α
ω
, где A(ωc) = 1 . Запас по фазе должен быть не менее 30°.
c
Запасы устойчивости ∆Α и ∆ϕ можно определить графически,
для этого строят АФЧХ разомкнутой системы (рис. 71).
Запас устойчивости по амплитуде ∆Α определяется по точке
пересечения АФЧХ с отрицательной действительной полуосью.
Для определения ∆ϕ строится окружность единичного радиуса
с центром в начале координат. Запас ∆ϕ определяется по точке пересечения с этой окружностью.
Im
π
−
m
1
; M =
Re
mm 2/12+ ,
-1
Рис. 71. АФЧХ разомкнутой системы
Еще одной частотной характеристикой оценки качества системы является показатель колебательности M. Он определяется по АЧХ
замкнутой системы, как отношение ее максимума к значению на нулевой частоте (рис. 72).
Все описанные выше показатели качества связаны между собой
определенными соотношениями:
tp = η/3 ;
где tp - время переходного процесса; η - степень устойчивости; ψ -
степень затухания колебаний; m - степень колебательности; M - показатель колебательности.
Для обобщенной оценки быстроты затухания и величины отклонения регулируемой величины, в виде единого числового значения
используют интегральные оценки качества.
128
Рис. 72. АЧХ замкнутой системы
Простейшей интегральной оценкой является линейная интегральная
оценка:
∞
=
1
)( dtteI .
∫
0
Она определяет площадь между заданным значение выходной
величины х(t) и её текущим значением у(t) (е(t) =х(t) - у(t)).
Недостаток интегральной оценки I1 состоит в том, что она годится только для апериодических (монотонных) переходных процессов (рис.73, а). Если же имеют место колебания (рис.73, б), то алгебраическое сложение площадей может привести к ситуации, когда при
больших колебаниях I1 = min.
В целях устранения этого недостатка на практике чаще всего
применяют квадратичную интегральную оценку:
∞
2
=
2
)( dtteI .
∫
0
Этот критерий не зависит от знака е(t) и, следовательно, может быть применен как для монотонных, так и для колебательных
процессов. Квадратная степень убирает знак, кроме того большая
ошибка в квадрате будет ещё больше, а маленькая ещё меньше.
Минимизация интегральной квадратичной оценки I2 приводит к
большим перерегулированиям переходного процесса (до 20 %
от установившегося значения y(∞).
129
Рис. 73. Переходные процессы: а - апериодический, б - колебательный
В связи с этим применяют улучшенная квадратичная интегральную оценку I3, учитывающую не только величину ошибки, но и скорость ее изменения:
∞
3
∫
0
222`
′
⋅+=
))()(( dtteteI β ,
где β – весовой коэффициент, который определяет значимость второго слагаемого подынтегральной функции.
В улучшенной квадратичной интегральной оценки I3 налагаются ограничения на величину ошибки е(t) и налагается ограничение на
скорость ее изменения )(te′. В результате чего получают достаточно
быстрые и плавные переходные процессы.
13.2.3. Робастность
Параметры стационарных систем с течением времени в силу старения или других причин могут меняться. Кроме того, при
разработке регуляторов параметры объекта могут быть точно не
известны. В подобных случаях возникает необходимость построения систем управления таким образом, чтобы она была устойчива не при одних фиксированных значениях параметров, а
при всех возможных их значениях и обеспечивала приемлемое
качество управления при малых отклонениях внешних возмущений от номинальных моделей. В современной теории управления это
свойство называют робастностью (грубостью).
130
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]