Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы управления химико-технологическими процессами. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
R
TT
R
dt
−
−
c
qTKVqTKVq
=⋅⋅=⋅⋅=
sooii
.,,
Подставляя выражения тепловых потоков в уравнение равновесия получаем:
dT
СTKVq
ie
TKV
TT
c
+⋅⋅+=⋅⋅+
.
Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, в котором независимыми входными переменными
являются
TTq ,, . Выходная величина нагревателя eq - это регулирующее
сie
воздействие. Величины Ti и Tc называются возмущающими воздействиями
(это переменные, на которые мы никак не можем влиять и которые вызыва-
ют нежелаемую реакцию объекта). Обычно при синтезе системы управления
выдвигается требование минимизировать влияние внешних возмущений.
Эмпирические модели являются результатом математической
обработки экспериментальных данных по идентификации объекта.
Получаемые в процессе идентификации статические и динамические
характеристики реального объекта, являясь внешним проявлением
многообразных внутренних процессов, не вскрывают этой внутренней сущности, а потому являются самыми общими и наименее информативными моделями, хотя и самыми точными. Недостатком таких моделей является также их высокая стоимость и возможность
получения только на действующем оборудовании.
Пример.
Часто возникает необходимость выразить в виде функциональной зависимости связь между входной - х и выходной - у величинами или изменением выходной величины у от времени t, которые заданы в виде набора
точек с координатами (х,у) или (у,t).
Задача сводится к нахождению кривую, которая с достаточной степенью точностью описывает экспериментальные точки (рис.21).
41
Рис. 21. Экспериментальные данные и расчетная кривая
∂
∂
∂
Для нахождения такой кривой обычно пользуются методом наименьших квадратов (МНК), т.е. ищется такая зависимость, при которой обращается в минимум выражение
N
∑
1
=
i
э
где
y - экспериментальные значения; iy - расчетные значения в точках t
i
2
э
yyS
i
min,)(
→−=
i
N- число точек эксперимента.
По виду расположения экспериментальных точек выбирается вид полинома аппроксимации, например для рис. 20 это будет квадратичная зависимость:
2
tCtCCy ++=
321 iii
Задача в определении коэффициентов С1, С2, С3, при которых критерий МНК минимален:
N
∑
i
э
i
1
=
22
min))((
→++−=
tCtCCyS .
321
ii
Известно, что в минимуме функции еѐ производные по всем переменным равны нулю:
S
∂
С
S
=
∂
С
S
;0;0;0
=
=
∂
С
321
Продифференцируем критерий S по всем переменным:
42
;
i
∂
S
∂
С
1
∂
S
∂
С
2
∂
S
∂
С
3
N
∑
=
i
N
i
N
i
э
i
1
N
э
i
2
i
i
∑∑
11
==
i
N
э
i
∑∑
11
==
i
2
;0)(2
=−−−⋅−=
tCtCCy
321
ii
2
;
0)(2
=−−−⋅⋅−=
tCtCCyt
321
ii
tCtCCyt
321
ii
2
.0)(2
=−−−⋅⋅−=
В упрощенном виде получим
N
i
N
i
N
1
i
1
i
N
1
i
1
2
i
1
1
i
N
1
i
N
2
2
i
3
i
1
2
i
1
i
N
2
1
i
N
2
i
N
э
=⋅+⋅+⋅
3
3
i
4
i
1
;
yCtCtCN
i
∑∑∑
===
1
i
N
⋅=⋅+⋅+⋅
;)(
tyCtCtCt
3
∑∑∑∑
====
1
i
N
3
∑∑∑∑
====
1
i
iэi
2
⋅=⋅+⋅+⋅
;)(
tyCtCtCt
iэi
Решив данную систему, находим искомые коэффициенты С1, С2, С3 и
подставляем их в уравнение регрессии, которое будет описывать экспериментальные точки.
Полуэмпирические модели базируются на уравнениях аналитической модели, но некоторые еѐ коэффициенты получают из эксперимента, проводимого на реальном объекте. Такие модели более точны, но их получение сопряжено с дополнительными материальными
затратами.
Для определения степени соответствия (совпадения) свойств
полученной математической модели реальному объекту используется
понятие адекватности. Адекватность модели в какой-то мере условное понятие, так как полного соответствия модели реальному
объекту быть не может, иначе это была бы не модель, а сам объект.
Проверка соответствия модели реальной системе осуществляется по оценки адекватности модели. Оценка адекватности модели
реальному объекту оценивается по близости результатов расчетов
экспериментальным данным.
43
Существует два основных подхода к оценке адекватности.
1) По средним значениям откликов модели и системы.
Данный подход позволяет проверить значимость (качество)
уравнения регрессии определяющей модельную зависимость между
расчетными и экспериментальным данным. Проверка адекватности
уравнения регрессии (модели) осуществляется с помощью средней
ошибки аппроксимации, величина которой не должна превышать 1215 % (максимально допустимое значение), то есть проверяется гипотеза о близости средних значений каждой i-й компоненты откликов
модели - yi известным средним значениям i-й компоненты откликов
реальной системы (объекта) -
ε
э
y :
i
n
1
=
∑
n
=
i
1
э
−
yy
ii
⋅
100
y
i
2) По дисперсиям отклонений откликов модели от среднего
значения откликов систем.
Сравнение дисперсии проводят с помощью критерия F (критерия Фишера), критерия согласия (соответствия) - χ 2 (используется
при больших выборках, n>100), t-критерия Стьюдента (n<30), крите-
рия Колмогорова - Смирнова, Кохрена и др.
Критерий Фишера позволяет провести оценку качества регрессионной модели в целом, путем сравнения дисперсий двух вариационных рядов и по параметрам. Согласно основной идее дисперсионного анализа общая сумма квадратов отклонений переменной - y от
среднего значения - y раскладывается на две части: «объяснен-
ную» (факторную) и «необъясненную» (остаточную):
222
€
()(
∑∑∑
()
€
)
−+−=− yyyyyy .
Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на
одну степень свободы, получим величину F
факт
:
44
2
S
факт
F
факт
==
2
S
ост
∑
(
∑
(
2
€
€
/)
−
myy
2
.
)1/()
−−−
mnyy
Например, для парной линейной регрессии (у = f(x)) когда
m = 1:
2
€
)
(
yy
−
факт
∑
=
∑
2
€
)
(
yy
−
F ⇒−⋅
,сравнить)2(
Fсn
табл
где n – число наблюдений; m – число параметров при переменной;
€
у, y
,y - фактическое, расчетные и среднее значения переменой.
Рассчитанное фактическое значение критерия Фишера - F
сравнивается с табличным значением F
(α,k1,k2) при заданном
табл.
факт
уровне значимости α и степенях свободы k1 = m и k2 = n–m-1.
F
. - это максимальное значение критерия под влиянием случайных
табл
факторов при текущих степенях свободы и уровне значимости α.
Уровень значимости α характеризует вероятность не принять гипотезу при условии, что она верна. Как правило α принимается равной
0,05 или 0,01. Табличное значение F
таблиц по уровню значимости α, на пересечении столбцов k
выбирается из специальных
табл
1 и k2
.
Если фактическое значение F-критерия больше табличного
F
> F
факт
целом, т.е модель адекватна. Если F
, то признается статистическая значимость уравнения в
табл
факт
< F
, то признается незна-
табл
чимость (неадекватность) модели, ненадежность уравнения регрессии.
При анализе адекватности модели исследуемому процессу с использованием критерия Фишера, возможны следующие варианты.
1. Построенная модель на основе F-критерия Фишера в целом
адекватна и все коэффициенты регрессии значимы. Такая модель
может быть использована для принятия решений и осуществления
прогнозов.
2. Модель по F-критерию Фишера адекватна, но часть коэффициентов не значима. Модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозов.
45
3. Модель по F-критерию адекватна, но все коэффициенты рег-
рессии не значимы. Модель полностью считается неадекватной. На
ее основе не принимаются решения и не осуществляются прогнозы.
Для характеристики качества уравнения регрессии (значимости
коэффициентов) используют коэффициент детерминации R2. В случае линейной зависимости R2 равен коэффициенту корреляции
2
r
xy
между входной х и выходной у переменными:
2
€
)
(
yy
−
∑
2
R =
=
(
−
∑
2
.
r
xy
2
€
)
yy
Коэффициент детерминации R2 показывает, какая часть дисперсии результативного признака - y объяснена уравнением регрессии.
Коэффициент детерминации R2 принимает значения в диапазоне от
нуля до единицы 0≤ R2 ≤1. Чем больше R2, тем лучше уравнение регрессии описывает исходные данные. При отсутствии зависимости
между у и x коэффициент детерминации R2 будет близок к нулю. Значение R2 является индикатором степени подгонки модели к данным
(при R2 близкое к 1.0 показывает, что модель объясняет почти всю
изменчивость соответствующих переменных).
Величина F
2
(r
), следующей формулой:
xy
связана с коэффициентом детерминации R2
факт
2
2
r
F
факт
xy
= n
2
1
−
r
xy
).2(
−⋅
Оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и
коэффициента корреляции простой линейной регрессии (n<30) можно
проверить по t-критерию Стьюдента. При этом вычисляют расчетные
(фактические) значения t-критерия для параметров и сравнивают с t
табл
которые определяют по таблице значений Стьюдента с учетом принятого уровня значимости α и числа степеней свободы вариации. На основании t
расч.>tтабл
делают вывод об адекватности модели.
46
,
8.2. Основные способы математического описания
систем автоматического управления
Работу системы автоматического управления можно описать
словесно. Словесное описание помогает понять принцип действия
системы, ее назначение, особенности функционирования и т.д.
Однако, что самое главное, оно не дает количественных оценок качества регулирования, поэтому не пригодно для изучения характеристик систем и построения систем автоматизированного управления.
Поэтому в ТАУ используются более точные математические методы
описания свойств систем:
− статические характеристики;
− динамические характеристики;
− частотные характеристики;
− дифференциальные уравнения;
− передаточные функции.
8.2.1. Статические характеристики
Системы автоматического управления являются динамическими системами, поэтому их качество оценивается по поведению в двух
режимах работы: установившемся и неустановившемся (переходном).
Установившийся режим - это режим, при котором расхождение
между истинным значением регулируемой величины и ее заданным
значением будет постоянным во времени.
При поступлении на вход системы нового задания она должна
обеспечить с заданной степенью точности новое значение регулируемой величины в установившемся режиме.
Частным случаем установившегося режима является статический режим. Под статическим режимом системы (зависимость
выходной величины от возмущающих и управляющих воздействий) понимается такой режим, при котором все координаты, определяющие ее состояние, являются постоянными. Отсюда следу-
47
ет, что в статическом режиме производные по времени по всем координатам равны нулю.
Уравнение статического режима получается из соответствующего дифференциального уравнения при приравнивании к нулю всех
производных.
В статическом режиме система управления или её элемент описываются статическими характеристиками.
Статической характеристикой элемента (системы) называется
зависимость установившихся значений выходной величины (y
yст
) от
значения величины на входе системы, т.е. выходная величина постоянна во времени y
= f(х).
уст
Статическую характеристику (рис. 22) часто изображают графически в виде кривой у(х).
у
уст
х
Рис. 22. Пример статической характеристики
Основной задачей управления объектом в статическом режиме
является уменьшение или устранение статического отклонения (y
торое фактически создает погрешность в управлении.
В зависимости от вида статических характеристик описывающих элементы систем управления, выделяют статические и астатические.
Статическим называется элемент, у которого при постоянном
входном воздействии с течением времени устанавливается постоянная
выходная величина. Например, при подаче на вход нагревателя различных значений напряжения он будет нагреваться до соответствующих этим напряжениям значений температуры.
Астатическим называется элемент, у которого при постоянном
входном воздействии сигнал на выходе непрерывно растет с постоянной скоростью, ускорением и т. д. (например, обороты вала электродвигателя).
yст
), ко-
48
8.2.2. Динамические характеристики
Наиболее значимым режимом работы объектов, а следовательно, и систем управления является динамический режим. В реальном
технологическом процессе всегда имеет место наложение детерминированных и случайных составляющих на его координаты или параметры. Так, в процессе обработки происходят изменения характеристик сырья во времени, изменяется тепловой фон окружающей
среды, происходят изменения напряжения питания в сети, давления
пара в магистрали при подключениях и отключениях потребителей и
т. д. Поэтому основное внимание при синтезе систем управления
уделяется их работе именно в динамических режимах.
При подачи на вход системы управления возмущающего воздействия, система должна от одного установившегося режима перейдет к
другому. Такой переход называется переходным процессом.
Переходный процесс характеризует динамические свойства
системы, ее поведение. Он может изображаться графически, в виде
кривой - y(t). Например, процесс нагрева сушильного шкафа до установившегося значения может иметь вид, представленный на рис. 23.
у, °С
у
уст
0
Рис. 23. Пример переходного процесса
t
Возмущения, действующие на САР, представляют собой непрерывные функции времени с различными законами изменения.
Один и тот возмущающий сигнал может иметь различную
физическую природу (электрическую, пневматическую, звуковую, световую и т. д.), но его математические представление будет одинаковым. Для анализа динамических и статических свойств
49
САУ часто используют типовые возмущающие воздействия, которые
t 10
представляют собой либо наиболее вероятные, либо наиболее неблагоприятные законы изменения управляющих и возмущающих воздействий.
К типовым возмущающим воздействия относятся:
− единичная ступенчатая функция;
− импульсное воздействие;
− гармонические воздействия.
Единичной ступенчатой функцией - 1(t) (функция Хевисайда)
<
=
)(1 t
0 tпри ,0
>
0. tпри ,1
называется функция, которая равна:
Графическое представление единичного ступенчатого воздей-
ствия представлено на рис. 24.
f(t)
Рис. 24. Единичное ступенчатое воздействие
Для автоматических систем 1(t) является распространенным
видом входного воздействия. Как правило, подобные воздействия сопровождают процессы включения, выключения систем и вызывают
переходы от одного установившегося состояния к другому (изменение задания температуры в теплообменнике, уровня в баке и т. д.).
Единичное импульсное воздействие - δ(t) (дельта-функция
Дирака) представляет собой математическую идеализацию импульса бесконечно малой длительности, бесконечно большой амплитуды, имеющего конечную площадь, равную единице:
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]