Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы управления химико-технологическими процессами. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
ходится в положении равновесия, но оно неустойчиво, так как при
малейшем сдвиге в сторону шарик скатывается с вершины. В положениях Г и Д равновесие шарика нейтральное, при небольшом воздействии он перейдет в новом положение. При этом говорят, что система находится на границе устойчивости.
Как видно из рисунка, положение равновесия может быть устойчиво при малых отклонениях (система устойчива «в малом») и
неустойчиво при больших («в большом»). Когда система возвращается в состояние равновесия при любых начальных отклонениях, ее называют устойчивой в целом, т. е. в малом и большом.
Об устойчивости системы можно судить по видам переходных
процессов (рис. 60).
Практически все системы управления являются нелинейными,
а линейные системы управления следует рассматривать как приближенные, линеаризованные модели нелинейных систем.
Линеаризация производится относительно заданного номинального (равновесного) режима y(t), называемого в теории устойчивости невозмущенным движением. Невозмущенное движение y(t) нелинейной системы называется асимптотически устойчивым, если
существует некоторая окрестность вокруг невозмущенного движения
такая, что любое возмущенное движение y(t), начинающееся в момент tо окончания действия возмущения в этой окрестности, в дальнейшем не выходит из этой окрестности и y(t) → yо(t) при t → ∞.
Возникает вопрос: можно ли судить об асимптотической устойчивости невозмущенного движения нелинейной системы на основании исследования устойчивости ее линеаризованной модели?
Впервые этот вопрос был поставлен и решен A.M. Ляпуновым в 1892
г. в его диссертационной работе.
111
у
(t)
у
0
1
g t
0 0 0 g t
у
tt
g
аб г
2 1 2
д
(t)
(t)
Рис. 60. Примеры переходных процессов: а - устойчивые колебательные
процессы: 1- по управлению, 2 – по возмущению; б – автоколебательный
процесс (система на грани устойчивости, это неустойчивый процесс);
в – устойчивые апериодические сходящиеся процессы; г – неустойчивые
процессы: 1 – апериодический расходящийся, 2 - колебательный
у(t)
Система называется устойчивой по Ляпунову в положении равновесия x*, если при начальном отклонении от положения равновесия x* не более, чем на δ, траектория движения отклоняется от x* не
более, чем на ε , причем для каждого ε можно найти соответствующее ему δ(ε ) :
0
**
><−⇒<− txtxxx εδ
.0всехпри)(
Фактически это означает, что чем меньше начальное отклонение, тем меньше траектория движения отклоняется от положения
равновесия.
Если кроме того вектор состояния стремится к положению равновесия, то есть
*
,при0)(
∞→→− txtx
система называется асимптотически устойчивой в положении равновесия x*.
Положение равновесия неустойчиво, если для него не выполняется условие устойчивости Ляпунова. Это значит, что существует
112
такое ε > 0 , что траектория x(t) выходит за границы области
ε<−*)( xtx при сколь угодно малом отклонении начального состоя-
ния x0 от положения равновесия x*.
Геометрическая трактовка условия устойчивости по Ляпунову: если при возмущениях, не выведших точку Во за сферу λ, возмущенное движение будет таково, что точка В1 не выйдет за границу
сферы А, то оно устойчиво (рис. 61).
х
2
В
1
λ
х
В
о
А
х
3
1
Рис. 61. Геометрическая трактовка условия устойчивости по Ляпунову
Оценить устойчивость системы можно методом прямого эксперимента на работающем объекте, но это не всегда приемлемо, даже
бывает опасно, а на уровне проектирования объектов просто невозможно. Поэтому в теории автоматического управления разработаны
специальные математические методы оценки устойчивости, которые
используют аналитическое описание систем управления виде линейных дифференциальных уравнений. Эти методы косвенные и известны как критерии устойчивости. Они позволяют также оценить влияние параметров системы на устойчивость. Все критерии устойчивости делятся:
- на корневой;
- алгебраические;
- частотные.
113
Корневой критерий является необходимым условием устойчивости отдельных звеньев и разомкнутых систем, но достаточным
только для систем описываемых ДУ 1- и 2-го порядков. Алгебраические критерии позволяют оценивать устойчивость замкнутых систем
без запаздывания по коэффициентам характеристического уравнения
любого порядка. Частотные критерии применяются к замкнутым системам с запаздыванием и позволяют определить устойчивость системы на основе анализа соответствующих частотных характеристик.
13.1.1. Корневой критерий
Корневой критерий определяет устойчивость системы по корням характеристического уравнения. Путем приравнивания знаменателя передаточной функции к нулю можно получить характеристическое уравнение:
1
−nnn
10
.0...
=+++
asasa
Корни характеристического уравнения si могут быть как действительные, так и комплексные, и для определения устойчивости откладываются на комплексной плоскости (рис. 62). Символом обозначены корни уравнения.
4
Im
6
5
3
1
0
2
5
4
Рис. 62. Варианты расположение корней характеристического уравнения на
комплексной плоскости
Re
Корни si=α± jω характеристического уравнения могут быть:
- действительные: положительные (корень № 1); отрицательные
(2,6); нулевые (3);
- комплексные: комплексные сопряженные (4); чисто мнимые (5).
114
По кратности корни бывают одиночные (1, 2, 3) и сопряженные
(4, 5).
Корневой критерий формулируется следующим образом:
Линейная АСР устойчива, если все корни характеристического
уравнения лежат в левой полуплоскости (имеют отрицательную вещественную часть). Если хотя бы один корень находится на мнимой
оси, которая является границей устойчивости, то говорят, что система находится на границе устойчивости. Если хотя бы один корень
находится в правой полуплоскости (не зависимо от числа корней в
левой), то система является неустойчивой.
Чтобы корни характеристического уравнения имели отрицательные
вещественные части, необходимо чтобы все его коэффициенты аi были положительны. Однако это условие является достаточным только
для систем описываемых ДУ 1- и 2-го порядков. При n > 2 это условие недостаточно, если полином имеет комплексно-сопряженные
корни.
Пример.
Пусть передаточная функция системы имеет вид:
43
+
)(
=
sW
Характеристическое уравнение: s3 + 2s2 + 2,25s + 1,25 = 0.
Корни: s1 = -1; s2 = -0,5 + j; s3 = -0,5 - j.
Так как все действительные корни и действительные части комплексных корней отрицательны, следовательно, система устойчива.
s
23
sss
.
25.125.22
+++
13.1.2. Алгебраические критерии устойчивости
Наибольшее распространение среди алгебраических критериев
устойчивости получил критерий Гурвица (швейцарский математик,
1885).
В основе этого критерия лежит анализ коэффициентов характеристического уравнения динамической системы. Из коэффициентов
характеристического уравнения:
a0 s
n
+ a
s
1
n
-1
+ ... + a
s + a
n-1
= 0 ,
n
115
составляется матрица главного определителя Δ:
∆
∆
161052
+++
+
sss
s
K
K
Δ =
aaa
531
aaa
420
aa
31
000
K
K
0
0
00
LLLLL
a
n
По диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются
по порядку все коэффициенты характеристического уравнения, начиная с а1. Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом,
чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а
вниз уменьшались.
Определение критерия. Для устойчивой системы необходимым и
достаточным условием является то, чтобы главный определитель и все
n диагональные миноры получаемые из квадратной матрицы коэффи-
циентов должны быть положительны, при a0 > 0.
Матрицы, для расчета диагональных миноров, получают из исходной путем последовательного исключения последних столбца и
строки:
a
211
Если хотя бы один определитель будет равен нулю, то система
будет находится на границе устойчивости.
Если хотя бы один определитель будет отрицателен, то система
неустойчива, не зависимо от числа положительных или нулевых определителей.
Вычисление диагональных миноров невысоких порядков
(51...
) не представляет значительного труда, и устойчивость кон-
кретной системы может быть легко определена вручную.
Пример.
Дана передаточная функция замкнутой системы:
)(
sW .
зс
aa
31
>=∆>=∆
aa
20
=
и т. д.
0 ;0
23
1692
+++
sss
234
116
Требуется определить устойчивость замкнутой системы по критерию
Гурвица.
Для этого определяется характеристическое уравнение замкнутой
системы:
2s4 + 5s3 + 10s2 + 6s + 1 = 0.
Поскольку максимальная степень характеристического уравнения
замкнутой системы равна n = 4, то матрица будет иметь размер 4×4.
Коэффициенты характеристического уравнения равны: а0 = 2, а1 =
5, а2 = 10, а3 = 6, а4 = 1.
Определитель Гурвица имеет вид:
0065
=∆
01102
0650
11020
Диагональные определители будут:
Δ
= 5 > 0,
1
65
=∆
2
102
065
=∆
3
Δ
= 1· Δ3 = 1·209 > 0.
4
1102
650
,
03862105
>=⋅−⋅=
)0520166105(
−⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=
0209)6621550100(
>=⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅−
Поскольку все определители положительны и a0 > 0, то АСР
устойчива.
К алгебраическим критерия относят также критерии Рауса
(1877), Льенара—Шипара (1914) и др.
13.1.3. Частотные критерии устойчивости
Алгебраические критерий достаточно просты для исследования
устойчивости динамических систем, имеющих характеристические
уравнения невысокого порядка. Однако для уравнений высших по-
117
рядков их применение становится затруднительным, а если в системе
(
)
ωωω
+
=
s
имеются запаздывающие звенья
с
τ−
esWsW
⋅= )()(
, то и вовсе невоз-
можно, так как в этом случае характеристическое уравнение становится трансцендентным.
В подобных случаях оказывается более удобным исследовать
устойчивость системы, применяя частотные критерии, обладающие
большей наглядностью в силу простой геометрической интерпретации. Частотные критерии можно разделить на две группы: первые
предназначены для исследования устойчивости замкнутой системы –
критерий Михайлова (он применяется обычно для сложных систем);
вторые – для исследования устойчивости замкнутой системы по частотной характеристике разомкнутой системы – критерий Найквиста
(используется, когда размыкание системы приводит к существенным
упрощениям частотной функции).
Критерий А.В. Михайлова (советский учёный, 1938) предпо-
лагает построение годографа (АФЧХ) на комплексной плоскости.
Для построения годографа, из характеристического уравнения путем
подстановки вместо s→jω получают аналитическое выражение вектора D(jω):
nn
−
1
ωωω .
10
ajajajD +++=
...)()()(
n
Данное уравнение является комплексным и может быть представлено в виде:
)Im()Re(
jjD
.
На комплексной плоскости строится по Re(ω) и Im(ω) (изменяя
частоту ω от 0 до ∞ ) годограф Михайлова D(jω).
Определение критерия. Для устойчивой АСР необходимо и
достаточно, чтобы годограф Михайлова (рис. 63), начинаясь при ω =
0 на положительной вещественной полуоси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) при воз-
растании ω от 0 до ∞ n квадрантов, где n - степень характеристического полинома.
118
Im
Уст.
Граница уст.
Рис. 63. Годограф Михайлова
0
Re
Неуст.
Если годограф Михайлова проходит через начало координат, то
говорят, что система находится на границе устойчивости.
Пример.
Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы:
2s4 + 5s3 + 10s2 + 6s + 1 = 0.
Подставим в характеристическое уравнение вместо s→jω:
D(jω)= 2(jω)4+5(jω)3+10(jω)2+6(jω)+1=2ω4-5jω3-10ω2+6jω+1.
Выделим действительную и мнимую части:
Re(ω) = 2ω4-10ω2+1;
Im(ω) = -5ω3+6ω.
Построим годограф Михайлова изменяя частоту ω = 0 ... ∞ (рис. 64).
Рис. 64. Оценка устойчивости по критерию Михайлова
Система устойчива, т. к. годограф Михайлова начинается на положи-
тельной оси абсцисс, последовательно пересекает оси координат с увеличе-
119
нием частоты, проходя при этом четыре квадранта и оставаясь в четвертом
На границе
уст.
квадранте комплексной плоскости, что соответствует полученному характеристическому уравнению четвертого порядка для замкнутой системы автоматического регулирования.
Частотный критерий получил название критерия Х. Найквиста
(английский математик, 1932) и разработан специально для анализа устойчивости динамических систем, имеющих обратные связи. Данный
критерий аналогичен критерию Михайлова, но работает с АФЧХ разомкнутой системы, поэтому более сложен для расчетов.
Порядок применения критерия Найквиста.
1) Определяется передаточная функция разомкнутой системы.
2) Определяется число правых корней m характеристического
уравнения разомкнутой системы.
3) определяется частотная передаточная функция подстановкой
s = jω: Wрс(jω) = Re(ω) + Im(ω).
4) На комплексной плоскости строится по Re(ω) и Im(ω) (изме-
няя частоту ω от 0 до ∞ ) АФЧХ разомкнутой системы.
Определение критерия. Чтобы система в замкнутом состоянии
была устойчивой необходимо и достаточно, чтобы при изменении ω
от -∞ до +∞ годограф разомкнутой системы Wрс(jω) (АФЧХ), поворачиваясь вокруг начала координат по часовой стрелке, охватил точку (-1, j0) m раз, где m - число правых корней разомкнутой системы.
Если АФХ проходит через точку (-1; 0), то замкнутая система
находится на границе устойчивости (рис. 65).
Im
Неуст.
-1
Рис. 65. Оценка устойчивости по критерию Найквиста (m=1)
0
Re
Уст.
120
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]