Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Системы управления химико-технологическими процессами. Часть 1. Учебное пособие
.pdf
.1)(
∫
В качестве импульсного типового воздействия используется
воздействие следующего вида:
=
)(
tδ
Графическое представление импульсного воздействия представлено на рис. 25.
=dttδ
≠
0 при ,0
t
=∞
0. при ,
t
x
0
Рис. 25. Дельта–функция
Для автоматических систем является менее распространенным
видом входного воздействия, чем единичная ступенчатая функция.
Практически реализовать дельта-функцию Дирака δ(t) сложнее
чем функцию 1(t). Однако для теоретического описания возмущений имеет существенное значение. Подобные воздействия характерны для включения, скачков тока и т. д. (рис. 26).
t
x
0
Δt
Рис. 26. Практическая реализация импульсного воздействия
t
51
Существует следующая связь между единичной ступенчатой
dt
x Т А
функцией и дельта – функцией:
)()(1 t
∫
илиdttt δδ
td
).(
==
)(1
Гармоническое возмущающее воздействие представляет собой
синусоидальное воздействие подаваемые на вход системы:
х(t) = A·sin(ω),
где А – амплитуда колебаний; ω = 1/Т – частота колебаний; Т – период колебаний; t – время.
Графическое представление гармонических возмущающих воздействий приведено на рис. 27.
t
Рис. 27. Гармоническое возмущающие воздействие
Если использовать формулу Эйлера гармонический сигнал
можно записать:
х(t) = А
вх
.ejωt
,
где ejω= cos(ωt) + j.sin(ωt); 1−=j - мнимая единица.
Периодические гармонические сигналы составляют особый
класс воздействий на САР которые определяют частотные характеристики системы. Примерами гармонического сигнала являются частота переменного тока, вибрации и т. д.
Графическое изображение переходных процессов системы
(объекта) на типовые возмущающие воздействия называются дина-
мическими (временными) характеристиками.
В зависимости от вида входного воздействия различают сле-
дующие динамические характеристики:
− переходная;
− импульсная (весовая);
− частотная.
52
Переходной функцией h(t) - называют функцию, описывающая
реакцию объекта на единичное ступенчатое воздействие 1(t), при нулевых начальных условиях, т.е. при х(0) = 0 и у(0) = 0.
График переходной функции, представляющий собой зависимость функции h(t) от времени t, называют переходной характери-
стикой (рис. 28).
СУ
Рис. 28. Переходная характеристика
В том случае, если амплитуда единичного ступенчатого воздействия отлична от единицы получают разновидность переходной
характеристики, которая называется кривой разгона.
Импульсной или весовой функцией ω(t) - называют функцию,
описывающую реакцию объекта на единичное импульсное воздействие δ(t), при нулевых начальных условиях.
График зависимости функции ω(t) от времени называют им-
пульсной или весовой характеристикой (рис. 29).
СУ
Рис. 29. Импульсная характеристика
Между переходной и импульсной функциями существует следующая зависимость:
53
dt
tdh
).()(t
ω=
Частотными характеристиками - называются зависимости
амплитуды и фазы выходного сигнала системы в установившемся
режиме от входного гармонического воздействия.
8.2.3. Частотные характеристики
В условиях реальной эксплуатации САУ часто возникает необходимость определить реакцию системы на периодические сигналы,
т. е. определить сигнал на выходе САУ, если на один из входов подается периодически сигнал гармонической формы. Решение этой задачи возможно получить путем использования частотных характеристик. Частотные характеристики могут быть получены аналитическим или экспериментальным путем
Если на вход любой системы подать сигнал синусоидальной
формы: х = Авхsin(ωt), то на выходе системы будет также синусоидальный сигнал той же частоты ω, но другой амплитуды А
лом фазового сдвига ϕ: у(t) = А
sin(ωt + ϕ) (рис. 30).
вых
и с уг-
вых
х(t)
Рис. 30. Прохождение гармонического сигнала через СУ
СУ
у(t)
При разных значениях ω величины А
и ϕ, как правило, также
вых
будут различными. Эти зависимости амплитуды и фазы от частоты
называют частотными характеристиками.
Различают следующие виды частотных характеристик:
− АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика;
− АЧХ - амплитудно-частотная характеристика;
− ФЧХ - фазово-частотная характеристика;
− ЛАЧХ, ЛФЧХ - логарифмические амплитудная и фазовая
частотные характеристики.
54
В математике АЧХ и ФЧХ называют, соответственно, модулем
ω
ωωω
ωωω
+
=
ω
ϕ
ω
и аргументом комплексной функции:
)(ωϕωωj
.)()(
eAjW =
Комплексная функция является аналитическим выражением
комплексной частотной характеристики.
Комплексная частотная характеристика (АФЧХ) строится на
комплексной плоскости и представляет собой кривую траектории
конца вектора )(ωjW в рабочем диапазоне изменения частот (
= 0
÷ ∞), называемую годографом.
На рис. 31 показан годограф (АФЧХ) построенный по трем точкам для частот
,,
321
Рис. 31. АФЧХ
Комплексную функция W(jω) можно получить из передаточной
функции W(s) путём подставки вместо s = jω и записать в комплексном виде:
)Im()Re()(
jjjW
,
где Re(ω) - вещественная составляющая, а Im(ω) - мнимая состав-
ляющая.
Соответственно амплитуда )(ωА и фазовый сдвиг )(
связа-
ны с комплексными составляющими формулами:
22
,)(Im)(Re)(
ωωω +=А
)Im(
ωϕ =
arctg)(
.
)Re(
ω
55
Функция А(ω), представленная при изменении частоты от 0 до
∞ получило название амплитудной частотной характеристики
(АЧХ).
Функция ϕ(ω), представленная при изменении частоты от 0 до
∞ называется фазовой частотной характеристикой (ФЧХ).
На рис. 32 представлены графики АЧХ и ФЧХ построенные по
трем точкам.
Рис. 32. АЧХ и ФЧХ
Кроме рассматриваемых выше частотных характеристик, в инженерных расчетах часто используются логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ). ЛЧХ называют также диаграммами
Боде.
Существуют два основных вида ЛЧХ, которые, как правило,
используются совместно и изображаются в виде графиков:
1) ЛАЧХ - логарифмическая АЧХ.
Для оценки отношения двух величин используется логарифми-
ческая единица – децибел (дБ).
Бел представляет собой логарифмическую единицу измерения,
соответствующую десятикратному увеличению мощности. Один бел
соответствует увеличению мощности в 10 раз, 2 бела - в 100 раз
и т. д.
Характеристика определяющая связь между числом децибел
L(ω) и амплитудой A(ω) и называется ЛАЧХ определяется формулой:
Lm(ω) = 20.lg A(ω).
При построении графика ЛАЧХ (рис. 33) по оси абсцисс откладывается частота в логарифмическом масштабе lgω, а возле отметок
56
пишут само значение частоты ω, выраженное в радианах в единицу
ϕ(ω
ω
10
ω
10
времени. Это означает, что равным величинам отрезков по оси ω соответствуют кратные значения частоты. Для ЛЧХ кратность = 10. По
оси ординат откладываются значения L(ω) в обычном масштабе.
2) ЛФЧХ - логарифмическая ФЧХ. Представляет из себя лога-
рифмическую характеристику, у которой ось частоты ω проградуирована в логарифмическом масштабе в соответствии с ЛАЧХ, а по
оси ординат откладываются фазы ϕ в градусах в линейном масштабе.
L(ω)
20
-20
0,01 0,1 1
-20 дБ/дек
Рис. 33. Пример ЛАЧХ и ЛФЧХ
)
90
0,01
-90
0,1
1
Примеры ЛЧХ представлены на рис. 33.
8.2.4. Дифференциальные уравнения
Известно, что любое движение, процессы передачи, обмена,
преобразования энергии и вещества математически можно описать в
виде дифференциальных уравнений (ДУ). Аппарат ДУ является также основным математическим аппаратом при изучении и исследовании систем управления. Решив ДУ, можно найти характер изменения
регулируемой переменной в переходных и установившихся режимах
при различных воздействиях на систему.
Порядком ДУ называют максимальную степень дифференци-
рования в уравнении. Обычно составляя модель объекта на основании физических законов, чаще всего получаем систему дифференциальных уравнений первого и второго порядка.
57
При составлении описании различают стационарные объекты,
′′′
коэффициенты ДУ которых не изменяются во времени, и нестационарные и объекты, у которых коэффициенты изменяются с течением
времени, например, изменение теплопроводности, старение катализатора и др. Первые относятся к классу линейных систем управления и
описываются линейными ДУ с коэффициентами, не зависящими от
переменных величин, входящих в уравнение, т. е. являются постоянными либо зависящими от времени. Например, если система уравнений описывается дифференциальным уравнением второго порядка
вида:
2
a =++
tyd
0
2
dt
и коэффициенты а0, а1, а2 и b0 не зависят от переменных у, yy
)()(
tdy
a
dt
)()(
txbtya
021
, и х,
то такая система относится к классу линейных.
Если хотя бы один из этих коэффициентов зависит от переменных, входящих в уравнение, то уравнение, а следовательно, и система
относится к классу нелинейных.
Нелинейным будет и выражение вида:
2
tyF
)(
tdx
)(
tdy
),((
)(
tyd
,
2
tx
)(
tdx
)(
tdx
),(,
.0)
=
dt
Так как y и x, в свою очередь, являются векторами, то это вы-
ражение есть система нелинейных дифференциальных уравнений.
Математический аппарат решение различных линейных ДУ хорошо развит, это классический метод решения (нахождение общего
решения ДУ и частного), метод Лагража (вариации произвольной постоянной), метод Бернулли, приведение к форме Коши и др. Это позволяет решать большинство известных практических задач управления химико-технологическими объектами, модели которых описываются или приводятся к данному классу уравнений.
Однако в большинстве случаев в реальных элементах системы
связь между входной и выходной величинами является нелинейной и
часто задается в графической форме. Поэтому даже если ДУ системы
58
и будет получено, оно будет нелинейным. Это легко понять хотя бы
Объект
потому, что всегда есть предельно допустимое значение входного
сигнала – при его превышении объект может просто выйти из строя
или даже разрушиться (линейность нарушается). Методы исследования нелинейных операторов очень сложны математически, в теории
нелинейных систем точные решения известны только для достаточно
узкого круга задач. Общих методов решения систем нелинейных
дифференциальных уравнений не существует. Поэтому решают их
приближенно, либо с использованием различных численных методов,
либо за счет упрощения модели путем линеаризации нелинейных ДУ.
Замена нелинейного ДУ приближенным линейным называется
линеаризацией. Считают, что в процессе регулирования отклонения
всех изменяющихся величин от их установившихся значений малы, и
поэтому возможна замена нелинейных ДУ приближенными линейными ДУ. Для этого нелинейные функции переменных, входящих в
уравнение движения, разлагают в ряд Тейлора в окрестностях рабочей точки (установившегося значения переменных). На том основании, что отклонения малы, в разложении оставляют лишь члены, содержащие отклонения в первых степенях, после чего из полученных
уравнений вычитают уравнения равновесия (статики) и получают запись линеаризованных уравнений в отклонениях.
Рассмотрим сущность процесса линеаризации на примере сушильного шкафа. Зависимость температуры - Т объекта от подаваемого напряжения - U в большинстве случаев нелинейна и имеет вид,
представленный на рис. 34.
Объект в общем виде описывается нелинейной функцией двух
переменных: F(U,T) = F(х,у) = 0.
Т
у
о
х
Рис. 34. Пример графической линеаризации объекта в точке (х0, у0)
Модель
U
о
59
Разложим данную функцию в окрестности некоторой точки (х0,
x
∂
'
x
''x
'''
x
+=+
−
у
) в ряд Тейлора по формуле:
0
F
∂
),(),(),(
yxFyyxxFyxF
+=∆+∆+=
0000
x
∂
0
∞
1
∂
x
+
∑
!
2
n
=
+∆
xn
∂
∂
n
∂
∆
y
).,(
yxFy
00
F
∂
x
+∆⋅
∂
y
y
+∆⋅
0
Линейная часть приведенного разложения определяется лишь
первыми тремя членами, остальными слагаемыми можно пренебречь
в силу малости Δx, Δy. Эту процедуру можно интерпретировать как
замену в окрестности точки (х0, у0) рассматриваемого участка кривой
на касательную (см. рис. 33), уравнение которой определяется по
формуле:
∂
F
+∆⋅
x
∂
y
0
,0
=∆⋅
y
где
∂
F
∂
x
0
и
F
- частные производные от F по х и у. Данное уравне-
у
∂
F∂∂
ние называется уравнением в приращениях, поскольку значения х и у
здесь заменены на приращения ∆х = х - х0 и ∆у = у - у0.
При наличии в уравнении производных линеаризация ДУ про-
исходит аналогично, отличие состоит только в том, что необходимо
F∂∂
F∂∂
искать частные производные по производным (
,
F∂∂
,
и т.
д.).
Пример.
Пусть объект описывается дифференциальным уравнением второго
порядка:
dx
2
xxy +=+− 5y5,143
dy
Данное ДУ является нелинейным из-за наличия произведений пере-
менных х и у. Линеаризируем его в окрестности точки с координатами x0 =
’
1, x
ставим данные значения в ДУ:
60
= 0, y
0
’
= 0. Для определения недостающего начального условия у0 под-
0
0043 yxy
0
dy
y
.
dt
, откуда y0 = 2.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]