Расчет и компьютерное моделирование переходных процессов в линейных цепях (от простого к сложному). Учебное пособие

1)

L

() ;et E

0

2) 0() sin( ).

et E t

m

R

1

()it

1

()et

()

ut

C

1

2

()it

R

2

C

3

()it

L

()

ut

L

2

Рис. 10. Исходная схема к заданию № 3

Ответ см. на стр. 23.

Задание № 4 (класс сложности 5+). Составить расчетные модели и

записать выражения для токов и напряжении в схеме, изображенной на рис. 11 (в установившемся режиме).

Источники энергии постоянные.

()

ut

C

Кл

2

1

R

()

it

L

R

()

ut

E

()

ut

C

R

I

К

L

Рис. 11. Исходная схема к заданию № 4

Ответ см. на стр. 25.

21

Ответы к заданию № 1

р



L

Z



E



L



E

L

j

I

j

R

I

j

R

j



I

R

1. В докоммутационной схеме ток и напряжения на элементах равны нулю, кроме напряжения на ключе, которое равно действующей в схеме ЭДС.

2. Принужденный режим

Постоянная ЭДС Синусоидальная ЭДС

R

X

L

Расчетные модели

E

u

0

прC

E

I

X

C

Величины:

входное

соп

отивление

ток

напряжение на R напряжение на L напряжение на C

,R



вх

0,I

пр

U

L

UE

пр0,R

пр

пр 0С

0,

RjX jX

вх

UIjX



IZ

пр

вх

UIR

R

L

пр

Cпр

пр

();

пр

().



пр

;

C

;

C

Ответы к заданию № 2

1. В докоммутационной схеме ток и напряжения на элементах равны нулю, кроме напряжения на ключе, которое равно действующей в схеме ЭДС.

2. Принужденный режим

Постоянная ЭДС Синусоидальная ЭДС

R

1

2I3

2

X

C

X

2

Расчетные

модели

1

R

2

E

0

U

ПРC

I

1

2

1

22

R



()()

L



Z



L

R



L



C



р







E

R

I

R

I



R2R

RjX jX

Величины:

входное

сопротивление

ток

напряжение

на

1

напряжение

на L

напряжение

на

RR

вх пр 12

II



1пр 2пр

UIR

пр 1пр 1

R

1

U

UIR

пр 2пр 2

C



E

0

R

вхпр

0,

пр

L

Z

,

12

IZ

1пр

,

I

2пр

,

2



()

RjX jX



2

вхпр 12

E

,

вх пр

U

12пр

jX

2

UIR

R

пр

1

UIjX

L

пр

UIjX

Cпр

Ответы к заданию № 3

1. Расчет токов и напряжений в докоммутационной схеме

Расчетные

модели

Величины:

входное

соп

отивление

ток

Постоянная

ЭДС

U

КД

1

2

0

2Д

1Д

1д 2 д

вх д

U

2

,R



Синусоидальная ЭДС

1

E

ДC

ZRRjXZe

I

1Д

 

вх д

12 вх д

0,II

UUIRjX

12дкд

jX

C

II



1д 2д



2д



C

,

LC

RZ

1

;

,

2пр

3пр

1

I

2

Z

();

;



3пр



U

2

СД

КД

1

,

;

C

112

U

12пр



j

Z

вх д

C

12пр

IjX

1пр

();

().

2Д

U

E

вх д

,UIZ

;

C

;

23

напряжение



C

Е



Е





Z



R

L

R



L



R

E

j

I

j

R2R

I

на L

напряжение

на

U

Cд 0

напряжение

на С в функ-

Cд 0

ции времени

2. Принужденный режим

Постоянная ЭДС Синусоидальная ЭДС

Расчетные модели

0,

д

L

,U

() 2 sin( ),

ut IX t

д 2д

CCC

 

CZ

I

3ПР

I

2ПР

U

ПРC

I

1ПР

,U

1

2

E

0

U

UIjX

д

C

0 вхд

1ПР

д0;L

();



2д

C



90 .

1

2 ПР

X

C

3ПР

X

L

Величины:

входное

сопротивление

токи

напряжение на

напряжение на L

напряжение на C

вхпр 1

II



1пр 2пр

2пр

UIR

1

пр 1пр 1

R

1

U

пр

L

U

пр

C

2

0,I

R

0,

,RR

E

0

вхпр

,

()()

Z

,

RjX jX



12

()

RjX jX

вх пр

IZ

1пр

12пр

I

2пр

IjX

3пр

UIR

R

1

UIjX

L

пр

UIjX

Cпр

2

С L



2

CL

RZ



112

E

вх пр

112

U

12

jX

2

U

12

1пр

пр

();

3пр

().



2пр



,

,UIZ

C

;

1

,

;

,

;

C

24

Ответы к заданию № 4



R1R2E

J

R

I

К

J

1. Расчет токов и напряжений в докоммутационной схеме:

Постоянная ЭДС

u

ДC

Кл

ДL

Расчетная модель

Токи и напряжения:

2. Принужденный режим

Постоянная ЭДС и источник тока

Расчетная модель

Токи и напряжения:

U

К

I

C Д

0

I

C

I

C

;

R

пр

U  ;

E

I

C ПР

0

;

д

0

д

C

u

ПРC

UЕ ;

IJ

прC

0,5

дК

L

2

1

R

I

0

пр

L

ДL

;

U

R

U

0

.

д

L

I

ПРL

;

U

0

.

пр

L



25

3. ЗАКОНЫ КОММУТАЦИИ





м



Рассмотрим еще раз формы кривых тока и напряжений, приведенных для емкости (табл. 4) и для индуктивности (табл. 5). Форма этих кривых справедлива только в том случае, если воздействующий сигнал (ток или напряжение) действует «долго». Другими словами, имеется в виду частное решение дифференциального уравнения, носящее в электротехнике название принужденного режима. Переходный процесс описывается в общем случае системой дифференциальных уравнений, записанных на основании законов Кирхгофа. Дифференциальные уравнения имеют много различных решений. Чтобы получить единственное и истинное решение, необходимо в каждом случае задавать так называемые начальные условия. В электротехнике под начальными условиями понимают значения токов и напряжений в схеме в момент ключа). Эти значения записывают следующим образом: (0), (0)iu.

Другими словами, это значения токов в послекоммутационной схеме в момент коммутации. Естественно, можно предположить, что начальные значения как-то связаны со значениями токов и напряжений в докоммутационной схеме. Значения токов и напряжений в докоммутационной

схеме непосредственно перед коммутацией (замыкание или

размыкание ключа) обозначают следующим образом: (0), (0)iu рис. 12 показано графическое трактование (0), (0)ii

докоммутационная схема

коммутации (в момент замыкания или размыкания

 . На

.

переходный

(0)i

процесс

(0)i

принужденный

режим

t

послекоммутационная схема

омент коммутации

Рис. 12. Начальные условия

0t

Различают два вида начальных условий.

1. Независимые начальные условия: к ним относятся токи в индук-

(0)

i

тивностях

и напряжения на емкостях

L

26

(0)

u

.

C

2. Зависимые начальные условия: к ним относятся все токи и

L





м



L

напряжения, значения их производных, кроме токов в индуктивностях и напряжений на емкостях.

Независимые начальные условия подчиняются двум законам коммутации.

Первый закон коммутации. Ток в индуктивности не может меняться скачком

.

На практике этот закон используют для момента коммутации. Математическая запись имеет вид

ii



(0) (0).

L

На рис. 13 показано графическое трактование первого закона коммутации.

докоммутационная схема

(0)

i

L

омент коммутации

Рис. 13. Первый закон коммутации

переходный

процесс

(0)Li

послекоммутационная схема

0t

принужденный

режим

Второй закон коммутации. Напряжение на емкости не может меняться скачком

.

На практике этот закон используют для момента коммутации. Математическая запись имеет вид

(0) (0)

uu



CC

.

Графическое трактование аналогично трактованию первого закона

i

u

коммутации при замене

на

(см. рис. 13).

C

t

Пример 3. Записать выражения для независимых начальных усло-

вий в схемах, изображенных на рис. 14.

27



K

R

L

K

R

L

()

K

it

u

1

L

u

2

()

it

L

constE 

0

() sin( )

et E t

m

0

а б

Рис. 14. Схемы для определения независимых начальных условий

1. В схемах один источник энергии.

2. Так как ключ стоит в цепи источника, то ток от источника в до-

коммутационной схеме равен нулю. Следовательно, ток в индуктивности

ii

LL

д

LL

(0) 0 (0)

. В обеих схемах ток начнет меняться, начиная с ну-

() 0 ( 0)

it i . Согласно первому закону коммутации

левого значения.

Пример 4. Записать выражения для независимых начальных усло-

вий в схемах, изображенных на рис. 15.

u

1K

constE 

0

()it

R

C

u

2

() sin( )

et E t

m



()it

R

C

0

а б

Рис. 15. Исходные схемы

1. В схемах один источник энергии.

2. Так как ключ стоит в цепи источника, то ток от источника в до-

коммутационной схеме равен нулю.

0

Следовательно, напряжение на емкости

гласно второму закону коммутации (0) 0 (0)

uu . В обеих схе-

CC

ut idt

C

д

1

() 0

C

. Со-



мах напряжение на емкости начнет меняться с нулевого значения.

28

Пример 5. Записать выражения для независимых начальных усло-

R





L

R

R4R

E

R

I2R3R4R

I



вий в схеме, изображенной на рис. 16.

1

3

E

0

()it

1

3

ut

()it

1

()it

2

()

C

()

it

L

2

Рис. 16. Схема к примеру 5

Расчетная модель докоммутационной схемы изображена на рис. 17.

1

0

1Д

3Д

Рис. 17. Расчетная модель докоммутационной схемы

В расчетной модели одна ветвь. Сопротивления

ны последовательно.

коммутации:

коммутации

UIR RU

CC

д 3д 33

(0) (0)

UU

CC

вен нулю. Следовательно, ( 0) (0) 0

. Напряжение на емкости до

II

1д 3д



RR

13



. Ток в индуктивности до коммутации ра-

II

LL

1

U

2

Е

0

R

13

E

0



.

ДC

i

Д0L

L

и

1

3

(0)

. По второму закону

соедине-

29

Пример 6. Записать выражения для независимых начальных усло-

E

R





I

I2ДI

j



L

R

вий в схеме, изображенной на рис. 18.

() sin( )

et E t

m

0

1

()it

3

1

R

()it

3

ut

1

()it

2

()

C

()

it

L

R

4

2

Рис. 18. Схема к примеру 6

Расчетная модель докоммутационной схемы изображена на рис. 19.

R

1

E

R

1

I

Д0L

R

3

2

L

1Д

3Д

X

C

2

ДC

R

4

U

Рис. 19. Расчетная модель докоммутационной схемы

В расчетной модели два узла. Принимаем потенциал второго узла равным нулю. Составляем одно уравнение по методу узловых потенциалов:

111



 



1д



RjX R R

12 3 1



C

.

Ток в емкости:



1д



IIe

2д



RjX

2

C

j

2 д

2

30