Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Расчет и компьютерное моделирование переходных процессов в линейных цепях (от простого к сложному). Учебное пособие
.pdf
Вебер-амперная характеристка катушки индуктивности
Вебер-амперная характеристика катушки индуктивности – это
прямая, проходящая через начало координат, поэтому говорят, что она
линейная. Следовательно, во сколько раз меняется ток в катушке
индуктивности, во столько же раз меняется потокосцепление.
И, наоборот, во сколько раз меняется потокосцепление, во столько же
раз меняется ток в катушке индуктивности, а их отношение остается
L
постоянным и равным величине индуктивности
. Обратим осо-
i
бое внимание на то обстоятельство, что при анализе электрических
цепей в первую очередь представляет интерес связь между током и
напряжением на элементе. Вебер-амперная характеристика такого ответа напрямую не дает. Чтобы найти связь между током и напряжени-
d
ем в катушке индуктивности, воспользуемся выражением
u
dt
di
.
Ldt
Из него следует, что напряжение на катушке индуктивности
определяется не величиной тока в ней, а скоростью изменения тока.
Рассмотрим три случая изменения тока в катушке индуктивности.
1. Ток в катушке индуктивности длительное время постоянный:
constI , тогда очевидно, что напряжение на зажимах катушки индук-
тивности равно нулю. В расчетном смысле – это короткозамкнутый
участок при условии, что активное сопротивление катушки также принимается равным нулю.
2. Ток в катушке индуктивности длительное время меняется по
синусоидальному закону:
катушки индуктивности будет равно:
sin( 90 )
LI t
m
. Сравнивая выражения для тока и напряжения,
() sin
it I t . Напряжение на зажимах
m
ut L LI t
() соs
di
dt
m
можно сделать два важных вывода:
напряжение, как и ток, меняется по гармоническому закону, но по
начальной фазе опережает ток на 90
или на четверть периода;
амплитуды тока и напряжения связаны между собой законом
Ома:
ULI . Отсюда следует второй важный вывод: в цепи сину-
mm
11
соидального тока катушка индуктивности в расчетном смысле –
L
x
это сопротивление, величина которого определяется выражением
L .
3. Если ток длительное время меняется по пилообразному закону,
то, используя графическое трактование производной, получим, что
напряжение на зажимах катушки индуктивности в течение полупериода остается постоянным (см. табл. 5, п. 3).
4. Среди множества электротехнических устройств особое место
занимает электрический двигатель, преобразующий энергию электромагнитного поля в механическую. В основе данного преобразования
лежит явление электромагнитной индукции, открытое Фарадеем в
1831 г: «В замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного
потока, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток».
Этот ток получил название индукционного (наведенного) тока. По-
ясним сказанное рис. 2.
(Увеличивается)
Нормаль
Контур (виток)
Рис. 2. Пояснение к закону электромагнитной индукции
Магнитный поток внешнего источника
Ф
Направление наведенной ЭДС (тока)
е
нав
Наведенный магнитный поток
Ф
нав
Ф
е
нав
Ф
нав
(Уменьшается)
Нормаль
Контур (виток)
Однако ток в проводящей среде может появиться при наличии
электродвижущей силы, которая в данном случае получила название
индуктированной (наведенной) (см. рис.2). Дальнейшие исследования
показали следующее.
)e
1. ЭДС индукции (см. рис. 2,
менения магнитного потока, охватываемого контуром
пропорциональна скорости из-
нав
еdt
нав
Фd
.
2. Правило Ленца: индукционный ток всегда направлен так, чтобы
противодействовать причине, его вызывающей. В левой части рис. 2
показано, что магнитный поток Ф указанного направления увеличивается. Возьмем правый буравчик и будем вращать его таким образом,
12
чтобы остриё перемещалось по направлению потока. Тогда направле-
ние движения ручки буравчика показывает направление наведенной
ЭДС в контуре. Но так как магнитный поток увеличивается, то направление ЭДС будет противоположным. При том же направлении магнитного потока, но при его уменьшении вращение направления ручки
дает истинное направление ЭДС. В первом случае
наведенная ЭДС
вызовет ток, который согласно тому же правилу правого буравчика
будет создавать свой наведенный магнитный поток
Ф , направ-
нав
ленный навстречу основному магнитному потоку, так как тот увеличивается.
3. Если контур состоит из витков, соединенных последовательно, и
каждый виток охватывается одним и тем же магнитным потоком, то
потокосцепление (ψ) равно произведению числа витков на величину
магнитного потока. Потокосцепление, так же как и магнитный поток
(Ф), измеряется в
ления 1 Вб/1 c в контуре индуцируется ЭДС, равная одному вольту.
веберах (Вб). При скорости изменения потокосцеп-
Выражения, приведенные в табл. 2, определяют поведение линей-
ной индуктивности в любом режиме работы. Остановимся отдельно на
t
1
iudt
выражении, приведенном в п. 3:
L
. Если верхний и нижний
пределы интеграла будут равны, то ток будет равен нулю. Чтобы величина тока отличалась от нуля, необходимо, во-первых, чтобы напряжение, приложенное к индуктивности, не равнялось нулю, а вовторых, чтобы верхний предел отличался от нижнего пусть и на бесконечно малую величину. Отсюда можно
дуктивности не может меняться скачком
сделать вывод, что ток в ин-
. Другими словами, ток в
индуктивности может меняться только непрерывно. Это следует также
2
из выражения для энергии магнитного поля:
W
Li
, которую не-
М
2
возможно изменить скачком.
В табл. 5 приведены графики напряжения и тока для трех рассмотренных выше случаев изменения напряжения, приложенного к катушке индуктивности.
13
Таблица 5
I
Т
Т
t
I
№
п/п
1
2
3
i, u
Вид кривых напряжения и тока
, u
U
i, u
)(ti
)(tu
Т
4
)(ti
I
m
U
m
t
I
m
U
m
t
)( tu
Емкость и индуктивность получили название реактивных элементов электрической цепи. Это означает, что их поведение в цепи зависит от формы воздействующего сигнала (тока или напряжения).
14
2. РАСЧЕТ ДОКОМУТАЦИОННОЙ
м
И ПОСЛЕКОММУТАЦИОННОЙ СХЕМЫ
Возникновение переходного процесса в схеме может быть вызвано
многими причинами. На первом этапе в качестве причины возникновения переходного процесса будем рассматривать замыкание или размыкание ключа. Эта операция получила название коммутации. Так как
переходный процесс развивается во времени, то возникает необходимость определить начало момента отсчета времени. Принято начинать
отсчет
времени (0)t
шую до коммутации, называют
этой схемы может быть установившимся или переходным. Если ничего
не сказано о режиме в докоммутационной схеме, то по умолчанию будем считать его установившимся. Следовательно, в этом случае для
расчета токов и напряжений в докоммутационой схеме применимы все
методы анализа цепей (законы Кирхгофа, контурных токов, узловых
потенциалов и
ние схем (в случае одноразовой коммутации).
т. д). На рис. 3 изображена временна´я ось и определе-
с момента коммутации. Схему, существовав-
докоммутационной. Режим работы
,iu
установившийся режим
докоммутационная схема
переходный
процесс
послекоммутационная схема
установившийся
режим
0t
омент коммутации
Рис. 3. Схемы и режимы работы в переходном процессе
После коммутации (0)t в схеме возникает переходный процесс.
Когда пройдет достаточно много времени, в схеме снова возникнет
установившийся режим. Следовательно, и в этом случае для расчета
токов и напряжений в послекоммутационой схеме применимы все
методы анализа цепей (законы Кирхгофа, контурных токов, узловых
потенциалов и т. д). Так как конфигурация схемы стала другой, то
значения токов и напряжений в этом режиме будут отличаться от токов и напряжений в установившемся режиме в докоммутационной
15
схеме. Все вышесказанное справедливо при выполнении следующих
K
R
K
R
K
условий.
1. Схема должна содержать только элементы с линейными харак-
теристикам (резистор, индуктивность, емкость, взаимная индуктивность).
2.
Как в докоммутационной, так и в послекоммутационной схеме
имеет место установившийся режим постоянного или синусоидального, или периодического несинусоидального тока. Здесь ключевое слово
установившийся.
3.
Коммутация носит разовый характер – ключ замыкается (размы-
кается) один раз.
Необходимо каждый раз внимательно определять режим работы
для докоммутационной и послекоммутационной схемы.
Пример 1. Записать выражения для токов и напряжений в доком-
мутационной и послекоммутационной схемах, изображенных на рис. 4
(в установившемся режиме.)
u
1
constE
0
()it
u
2
L
() sin( )
et E t
m
()it
L
0
а б
Рис. 4. Исходные схемы
Докоммутационный режим (0)t
Ключи разомкнуты, поэтому нет пути для протекания тока. Следо-
вательно, в обеих схемах 0
uE t. Очевидно, в данном случае в обеих схемах су-
20
sin( )
m
i
, 0
uiR ,
R
uL
di
0
,
L
dt
uE
,
10K
ществовал установившийся режим (с нулевыми значениями токов и
напряжений).
16
Послекоммутационный режим при t
EIR
E
j
R
E
I
R
E
I
После замыкания ключей в схемах возникнет переходный процесс.
Когда пройдет достаточно много времени, в схемах будет наблюдаться
принужденный режим. В математике это называется частным решением. Вид этого решения зависит от характера действующего в схеме
источника энергии. В схеме, изображенной на рис. 4, а, действует постоянная ЭДС, поэтому в принужденном
режиме ток будет тоже постоянным. Падение напряжения на индуктивности будет равно нулю.
Индуктивность будет представлять короткозамкнутый участок. Расчетная модель изображена на рис. 5, а.
В схеме, изображенной на рис. 4, б, действует синусоидальная ЭДС,
поэтому в принужденном режиме ток и напряжения будут меняться по
синусоидальному закону. Для расчета этого режима можно
применить
символический метод. Расчетная модель изображена на рис. 5, б.
ПР
U
ПРR
0
ПР
U
ПРR
U
ПРL
а б
Рис. 5. Расчетные модели в принужденном режиме
Расчетные выражения для токов и напряжений в принужденном
режиме
Схема, рис. 5, а: Схема, рис. 5, б:
0
,
пр
() ,
itR
пр
ut
пр
L
0
() 0.
ZRjXZe
17
вхпр
IIe
пр
() 2sin( ).
it I t
пр пр
Z
L
E
пр
вхпр
вхпр
j
i
,
i
jX
L
z
,
Пример 2. Записать выражения для токов и напряжений в доком-
K
R
K
R
K
мутационной и послекоммутационной схемах, изображенных на рис. 6
(в установившемся режиме).
u
1
constE
0
()it
C
u
2
() sin( )
et E t
m
()it
C
0
а б
Рис. 6. Исходные схемы
Докоммутационный режим (0)t
Ключи разомкнуты, поэтому нет пути для протекания тока. Следо-
вательно, в обеих схемах 0i
uE t.
20
sin( )
m
uiR
,
R
0
1
,
uidt
C
C
,
0
uE
10K
Послекоммутационный режим при t .
После замыкания ключей в схемах возникнет переходный процесс.
Когда пройдет достаточно много времени, в схемах будет наблюдаться
принужденный режим. В математике это называется частным решением. Вид этого решения зависит от характера действующего в схеме
источника энергии. В схеме, изображенной на рис. 6, а, действует по
стоянная ЭДС, поэтому в принужденном режиме токи и напряжения
будут тоже постоянными. Ток в емкости определяется выражением
du
iC
C
C
0
, так как напряжение на емкости постоянно. Падение
dt
напряжения на резисторе будет равно нулю. Емкость будет представлять разомкнутый участок. Расчетная модель изображена на рис. 7, а.
В схеме, изображенной на рис. 6, б, действует синусоидальная
ЭДС, поэтому в принужденном режиме ток и напряжения будут меняться по синусоидальному закону. Для расчета этого
режима можно
,
-
18
применить символический метод. Расчетная модель изображена на
j
R
E
I
R
E
рис. 7, б.
0I
пр
0
U
UE
0
пр
R
пр 0C
пр
U
прR
U
C пр
jX
C
а б
Рис. 7. Расчетные модели в принужденном режиме
Выражения для токов и напряжений в принужденном режиме
Схема, рис. 7, а Схема, рис. 7, б
j
пр
0,I
ZRjXZe
вхпр
C
вх пр
z
,
() .
utE
пр 0
C
E
IIe
пр
Z
вхпр
() 2sin( ).
it I t
пр пр
i
пр
,
i
Внимание! В дальнейшем вам будут предложены для решения разные
задания. Все задания разбиваются на четыре класса сложности: класс 5+ – это
задания высокой степени сложности; класс 5 – задания достаточно высокой
сложности; класс 4 – задания обычной сложности; класс 3 – задания, уровень
которых обязательно должен быть освоен. Другими словами, класс 5+ – это
очень высокий уровень умения и знаний;
класс 5 – это отлично, но
недостаточно высоко, чтобы вас взяли в команду, защищающую честь
университета; класс 4 – это хорошо; класс 3 –это удовлетворительно. Ниже
нельзя.
Задание № 1 (класс сложности – 3-й). Составить расчетные модели
и записать выражения для токов и напряжений в схеме, изображенной
на рис. 8, для двух видов ЭДС (в установившемся режиме):
() ;et E
1)
0
19
2)
K
R
K
() sin( ).
et E t
m
0
L
u
()et
()it
1
()
ut
R
()
ut
L
ut
C
()
C
Рис. 8.Исходная схема к заданию № 1
Ответ см. на стр. 22.
Задание № 2 (класс сложности – 4-й). Составить расчетные модели
и записать выражения для токов и напряжении в схеме, изображенной
на рис. 9, для двух видов ЭДС (в установившемся режиме):
() ;et E
1)
2) 0() sin( ).
et E t
0
m
()et
1
u
()it
R
ut
1()R
1
()
ut
L
1
2
()it
R
2
()it
3
()
ut
C
C
L
2
Рис. 9. Исходная схема к заданию № 2
Ответ см. на стр. 22.
Задание № 3 (
класс сложности – 5-й). Составить расчетные модели
и записать выражения для токов и напряжении в схеме, изображенной
на рис. 10, для двух видов ЭДС (в установившемся режиме):
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]