Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Производственный менеджмент. Учебное пособие-3
.pdf
Вероятность того, что в системе не будет ни одного клиента,
1
1 ... .
−
0
.
!
P p
k
= ⋅
0
.
!
P p
n n
= ⋅
0
.
P p
= ⋅
0
.
N p
= ⋅
.
N N p
= +
2 1
p p p p
= + + + + +
P
0
1! 2! ! !( )
n n
n n n p
+
−
Вероятность того, что будет занято k каналов из n (k ≤ n),
k
p
k
Вероятность того, что будут заняты все n каналов и r клиентов будут стоять в очереди,
n r
+
n r
p
+
r
⋅
Вероятность образования очереди
1
n
l
+
p
( ) !
n p n
− ⋅
Средняя длина очереди
1
n
l
( ) !
+
n p
⋅
2
n p n
− ⋅
Среднее число заявок в системе
s l
Модель 4. Многоканальная модель с ограниченной очередью с отказами. Данная модель отличается от модели 3 тем,
что в силу ограничений системы длина очереди не превосходит
m
клиентов. Если в системе все пункты обслуживания заняты и
приходит (m + 1)-й клиент, ему отказывают в обслуживании (он
не сможет встать в очередь). Пример такой системы – телефонная служба поддержки, в которой имеется n операторов (каналов обслуживания), и (n + m) телефонных линий. Если все операторы заняты, клиент ожидает в очереди (занимая одну телефонную линию из m), но если заняты все операторы и все линии, клиент просто не сможет дозвониться.
Заметим, что на практике возможны и случаи, когда m = 0
например, нет резервных телефонных линий, все линии выхо-
(
дят на оператора).
41
Вероятность того, что в системе не будет ни одного клиен-
1
1 ... .
−
≤
0
.
!
P p
k
= ⋅
0
.
!
P p
n n
= ⋅
0
.
P p
= ⋅
1 .
serv ref
P P
.
serv
A P
λ
= ⋅
.
.
A
.
N N k
= +
та, как и в предыдущем случае, обозначается p0.
2 1
P
0
p p p p p n
= + + + + +
1! 2! ! !( )
n n m
+
(1 ( / )
−
n n n p
−
Вероятность того, что будет занято k каналов из n (k
k
p
k
Вероятность того, что будут заняты все n каналов и r кли-
ентов будут стоять в очереди,
n r
+
n r
p
+
r
⋅
Вероятность отказа в обслуживании
n m
+
ref
p
m
!
n n
⋅
Вероятность того, что заявка будет обслужена,
n),
= −
Абсолютная пропускная способность
Среднее число заявок в очереди
n
1
+
p m
⋅ − ⋅ + −
p m p
1 1
n n
=
N
l
! 1
⋅ ⋅ −
n n
Среднее число занятых каналов
kµ=
Среднее число заявок в системе
s l
42
m
⋅
2
p
n
С помощью вышеприведенных моделей решаются следую-
щие задачи.
1. Определение основных параметров очереди при извест-
ных параметрах системы (уже существующей или проектируемой). Эти параметры включают обычно коэффициент загрузки
системы, среднее число клиентов в очереди и время ожидания
клиента, вероятность образования очереди той или иной длины.
Данные параметры подлежат оценке – насколько они соответствуют ожиданиям клиентов, требованиям экономичности и
эффективности системы и т.д.
Определение необходимой интенсивности обслужива-
2.
ния и количества каналов обслуживания из условия, что средняя
длина очереди, время ожидания в ней, вероятность образования
очереди не должны превышать определенного значения. Это
значение может определяться ожиданиями целевых клиентов,
физическими ограничениями системы (например, наличием
свободного места для размещения очереди), стандартами обслуживания, принятыми в организации исходя из ее стратегии.
Определение экономически оптимальных параметров
3.
системы обслуживания из условия равенства:
–
предельных затрат на увеличение интенсивности обслу-
живания;
–
предельных убытков от ухода клиентов из очереди.
Пример 1. В супермаркет приходят в среднем два клиента в
минуту. Время обслуживания одного клиента на кассе составляет в среднем 3 мин Сколько кассовых терминалов следует поставить, чтобы в среднем в каждой очереди находилось не более
одного клиента? Кассы находятся на расстоянии друг от друга, к
каждой кассе ведет своя очередь. Рассчитать среднюю загруженность кассиров при выполнении этого условия.
Данная задача может быть решена с использованием как
модели 1, так и модели 3.
При использовании модели 1 условно можно считать, что
поток клиентов равномерно распределяется между кассами. Тогда систему можно рассматривать как несколько одноканальных
очередей, соответствующих модели 1.
43
Обозначим за n количество требуемых кассовых термина-
1 .
( ) (1/3) (1/3 2/ )
n
6 36 0.
− − =
лов. Тогда интенсивность входящего потока для одной кассы
будет составлять λ = (2/n) клиентов в минуту. Если время обслуживания клиента 3 мин, то интенсивность обслуживания составит µ = (1/3) клиентов в минуту.
Обратите внимание на необходимость во всех задачах параметры интенсивности входящего потока и обслуживания приводить к одной единице измерения!
Из условия задачи требуется, чтобы длина очереди равнялась одному клиенту, или менее, то есть
= = =
N
l
λ
⋅ − ⋅ −
µ µ λ
2 2
(2/ )
n
Преобразуя это выражение, получаем квадратное уравнение
2
n n
Решая его, получаем единственный корень n = 9,75.
Таким образом, для выполнения поставленного условия
нужно поставить 10 кассовых терминалов.
При этом интенсивность входящего потока в расчете на одного кассира составит λ = (2/10) = 0,2 (клиента в минуту).
Средняя загруженность кассира составит
p =
λ/µ = 0,2/0,333 = 0,6, или 60 %.
Решим эту же задачу с использованием модели 3 для многоканальной очереди.
При рассмотрении формул для модели 3 становится очевидно, что выразить величину n из формулы длины очереди невозможно. Однако можно подобрать такое n, для которого условие длины очереди выполняется.
Минимальная величина n, при которой очередь не будет
бесконечной, определяется соотношением p = λ/µ = 2/(1/3) = 6.
Можно рассчитать среднюю длину очереди для каждого n
от 6 и выше, пока условие (средняя длина очереди меньше 1) не
будет выполнено.
44
Пусть n = 7.
1 ... 0,0015.
0,0015 3,68.
1
P
= + + + + + =
0
2 7 8
6 6 6 6
1! 2! 7! 7!(7 6)
−
−
Средняя длина очереди
= ⋅ =
N
l
8
7 6
⋅
2
(7 6) 7!
− ⋅
Условие не выполняется.
Рассчитывая аналогично для больших n, получим:
–
при n = 8 Nl = 2,14, условие не выполняется;
–
при n = 9 Nl = 1,17, условие не выполняется;
–
при n = 10 Nl = 0,60, условие выполнено.
Таким образом, расчет по модели 3 дает тот же результат,
что и по модели 1 – необходимо установить 10 кассовых терминалов.
Пример 2. Принимается решение о приобретении принтера
для копи-центра. Потенциальный поток клиентов оценивается в
10 клиентов в час. Средняя интенсивность обслуживания зависит от оборудования, она представлена в табл. 7.
Таблица 7
Данные о производительности оборудования
Тип
принтера
А 12 30
Б 14 50
В 18 100
Интенсивность
обслуживания,
клиентов в час
Заказы клиентов не стандартизированы, время обслуживания распределено экспоненциально. Известно, что в среднем
клиенты не готовы ждать в очереди более 10 мин, при большем
времени ожидания они покидают очередь. Маржинальная прибыль в расчете на одного клиента оценивается в 100 руб. Какой
принтер следует купить из условия максимизации прибыли?
Амортизация
и другие постоянные
затраты в час, руб.
45
Данная задача соответствует условиям модели 1 – простей-
0,41.
.
T
µ
+ ⋅
8.
= =
шей очереди. Однако условие терпеливости очереди не обязательно будет выполняться, поэтому модель может оказаться некорректной.
Проверим для каждого из трех типов оборудования, будет
ли очередь клиентов терпеливой. Условие терпеливости – среднее время ожидания в очереди 10 мин.
Для принтера А
T
= = =
l
µ µ λ
0,41
ч соответствует 24,6 мин.
λ
( ) 12 (12 10)
⋅ − ⋅ −
10
Для принтера Б Tl = 10,7 мин.
Для принтера В Tl = 4,1 мин.
Для принтеров А и Б условие не выполняется, поэтому
часть потока клиентов уйдет из очереди.
Найдем теперь, какое количество клиентов останется, а какое покинет очередь. Для этого необходимо найти такое значение интенсивности входящего потока λ, для которого выполняется условие 10-минутного среднего ожидания в очереди.
Для этого преобразуем формулу для Tl, выразив из нее величину λ:
2
T
⋅
l
λ
=
1
µ
Теперь найдем λ для принтера типа А из соблюдения условия, что время ожидания в очереди Tl составляет ровно 10 мин
(10/60 ч):
(10/60) 12
λ
1 12 (10/60)
+ ⋅
2
⋅
Таким образом, если будет приобретен этот принтер, из
10 клиентов в час только 8 останутся в очереди, а 2 клиента ее
покинут.
Проведя аналогичный расчет для принтера типа Б, получим
9,8
клиентов в очереди.
Теперь определим среднюю прибыль за 1 ч работы системы. Для этого маржинальную прибыль на одного клиента
46
нужно умножить на количество обслуженных клиентов и вычесть постоянные затраты из таблицы:
–
для принтера типа А
100 руб. × 8 клиентов в час – 30 руб. = 770 руб.;
–
для принтера типа Б
100 · 9,8 – 50 = 930 руб.;
–
для принтера В
100 · 10 – 100 = 900
руб.
Таким образом, наибольший поток прибыли обеспечит
принтер типа Б. Принтер А обеспечивает меньшие постоянные
затраты на эксплуатацию, однако его малая производительность
приводит к уходу клиентов и снижению прибыли. Принтер Б
также не соответствует полностью потоку клиентов, но отток
клиентов незначителен (0,2 клиента в час в среднем, или около
2 клиентов в день), и эти потери невелики.
Приобретение же более производительного принтера В не
оправдано ввиду повышенных постоянных затрат, не компенсируемых большим потоком заказов.
47
3. ПЛАНИРОВКА ПРОИЗВОДСТВА.
МЕТОДЫ ОПТИМИЗАЦИИ
Планировка – это пространственное решение по расположению производственных единиц (рабочих мест, участков, цехов, технологических ячеек) на территории производственной
системы.
Выделяют четыре основных типа планировки (подробнее
см. гл. 1): предметная, технологическая, групповая технология и
с обслуживанием неподвижного объекта.
3.1. Планировка производства
по технологическому принципу
Планировка по технологическому принципу предполагает,
что все однородные технологические операции группируются
вместе. Одинаковое технологическое оборудование будет размещено в одних помещениях. Объект производства перемещается между различными технологическими операциями и между
различными помещениями.
Задача планировки заключается в таком расположении участков, которое минимизирует транспортные расходы по перемещению продукции в незавершенном производстве. Кроме того,
это расположение должно быть технологически совместимым и
обеспечивать удобства поступления сырья и комплектующих, а
также вывоза готовой продукции. В силу ряда причин данная задача не сводится к задаче линейного программирования.
Оптимизация происходит в следующей последовательности:
–
выделяются технологические участки;
–
строится граф материального потока, отражающий перемещения стандартных контейнеров между технологическими
участками. На графе отражаются узлы – производственные участки, соединенные дугами – транспортными маршрутами, над
которыми подписывается количество перевозимых контейнеров
за смену;
–
определяется исходный вариант размещения участков
(стартовая схема планировки);
48
–
рассчитываются затраты на перевозку стандартного контейнера между парами участков;
–
рассчитываются суммарные затраты, связанные с перемещением партий в системе (в виде матрицы затрат – в ячейках
транспортные затраты, связанные с доставкой от участка в строке до участка в столбце). Затраты в матрице рассчитывают как
произведение стоимости перемещения контейнера (определенного на предыдущем этапе) на количество контейнеров, перемещаемых за смену (согласно графу материального потока).
Рассмотрим данную технологию на примере.
Задача. В помещении регистрационной палаты – 4 комнаты
одинакового размера (5×5 м2), расположенные в ряд. В них
должны размещаться:
1)
специалисты, принимающие заявления и выдающие документы;
2)
эксперты, рассматривающие заявления от физических
лиц;
3) эксперты, рассматривающие заявления от юридических
лиц;
4) руководитель учреждения.
В день принимается в среднем 130 заявлений от физических
лиц и 40 заявлений – от юридических. Заявления после приема
поступают соответствующим экспертам. Эксперты принимают
положительные решения в среднем по 100 заявлениям от физических лиц и по 35 – от юридических. Если принято положительное решение, оно утверждается начальником, далее документы возвращаются специалистам для выдачи. Если решение
отрицательное, оно возвращается специалистам сразу. Будем
считать, что помещение еще не оборудовано и возможно организовать вход для посетителей в любом месте, значит, комната
специалистов необязательно должна быть первой от входа. Оптимизируем расположение помещений.
Выделим технологические блоки. Будем считать, что
1.
специализация рабочих мест оптимальна, и четыре типа специалистов, обозначенные выше, должны размещаться каждый в
своем помещении.
49
2. Построим граф материального потока (рис. 5). В данном
случае единицей материального потока будет являться заявление клиента (или решение по нему).
1
На графе материального потока стрелки обозначают потоки
заявлений, а цифра – их количество в сутки, исходя из условий
задачи.
Построим схему стартовой планировки, т.е. сопоставим
3.
помещения на плане с четырьмя технологическими участками.
Заметим, что на вышеприведенном графе наибольший поток наблюдается между участками 1–2, 1–4 и 2–4, исходя из чего определяем схему планировки так, чтобы эти участки оказались ближе друг к другу:
30
130
Рис. 5. Граф материального потока
2
5
40
100
3 4
35
135
1 2 4 3
4. Теперь построим матрицу транспортных затрат.
В упрощенном варианте возможно считать, что затраты
пропорциональны расстоянию перемещения.
В матрице (табл. 8) укажем общее расстояние, которое проходят документы между участками в течение рабочего дня, умножая количество перемещаемых документов (согласно графу
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]