Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение логистико-математических моделей в лесной отрасли. Монография
.pdf
При этом ограничения (2.35) преобразуются к виду
x
j
(
)
j
j
j
j
j
j
j
j
j
Z
j
=
j
j
m
∑
i
=
1
b
≥
ij j
ˆ
, 1, 2, ...,
n=. (2.36)
Получаемая транспортная задача (2.31), (2.32), (2.34), (2.36)
решается известными методами.
Существенный недостаток описанной методики состоит в неучете компонентов суммарных затрат, связанных с реализацией планов
xX =
задачи, определяемых набором значений
ij
b
, 1, 2, ...,
j
n= .
Этот набор влияет не только на величину и суммарную стоимость
перевозок, но и на уровень затрат на хранение нереализованного продукта, и, кроме того, на величину «штрафа» при возникновении
дефицита. Это обстоятельство определяет необходимость постановки
транспортной задачи с учетом возникающих особенностей.
Рассмотрим задачу организации перевозки какого-либо товара
от
производителей в магазины для его реализации. Введем:
– случайная величина спроса;
θ
θ
ϕ
j
на товар в
z
α
β
– плотность распределения случайной величины спроса
()
-м
магазине;
-го
– объем заказа товара для
– плата за хранение единицы товара в
– стоимость единицы товара в
магазина;
-м
-м
магазине при его реали-
магазине;
зации;
c
– закупочная стоимость единицы товара;
zz z= – распределение объемов заказа товара для
()
12
совокупности магазинов,
...
n
.
1, 2, ...,
n
При этом если случайная величина спроса θ оказывается мень-
z
ше заказанного объема товара
ния непроданного товара. Если же спрос
, то возникает необходимость хране-
j
превышает заказ, то появ-
θ
ляются потери, связанные с дефицитом на этот товар. Тогда, очевидно
z
j
Rz z d=α −θϕ θ θ
() ( ) ()
jjj j
1
∫
0
проданной части товара в
()( )( ) ()
Rz c z d
2
=β− θ− ϕ θ θ
jjj jj
дефицитом товара в
∞
∫
z
j
-м
магазине.
-м
магазине,
– средние затраты на хранение не-
– средние потери в связи с
71
Здесь
(
L
≤
j
=
x
=
j
=
=
j
=
⎧
⎪
⎨
⎪
j
(
)
(
)
(
ϕθ=
()
j
z
∫
ϕθ
()
j
j
()
j
d
ϕθθ
0
– приведенные
,
ϕθ=
()
j
ϕθ
∞
j
∫
z
j
)
j
d
θθ
()
плотности распределения спроса при возникновении излишка и недостатка товара.
С учетом этого, исходная задача преобразуется к виду: найти
*
()
план перевозок
⎛⎞
nmn
(()) () () ()
XZ R z d R z d cx Z
⎜⎟
=ϕθθ+ϕθθ+
∑∑∑
jij
12
⎜⎟
111
===
⎝⎠
j j j j ij ij
, минимизирующий функцию:
XX =
ij
z
j
() ()
∫∫
0
∞
z
j
,(2.37)
и удовлетворяющий ограничениям:
n
()
xZ a
∑
ij i
j
1
=
m
ij j
1
=
0≥
, m,...,,i 21
()
x
∑
i
ij
, 1, 2, ...,
Zz
nm
∑∑
ji
11
==
, 1, 2, ...,
zaA
ji
=
, 1, 2, ...,
m
, (2.38)
n=, (2.39)
, (2.40)
n
. (2.41)
В тех случаях, когда в силу специфики товара, его приобретение
малыми объемами более вероятно, нежели большими объемами, плотность распределения спроса имеет отрицательную асимметрию, характерную, например, для релеевского распределения, имеющего вид
2
θθ
ϕθ= −
()
j
exp
22
σσ
jj
⎩⎭
⎫
⎪
, 1, 2, ..., .
⎬
2
⎪
n=
Для преобразованной целевой функции (3.7), с учетом релеевской плотности распределения случайной величины спроса, предварительно вычисляется
Rz z d
() ( )
1
jjj
и
jzR1
z
j
=α −θ θ=
∫
0
. При этом
jzR2
ϕθ
z
j
ϕθθ
j
∫
0
72
)
j
d
()
z
⎥
⎥
(
)
∞
α
=−θ−θ=
z
∫
0
α
=−θ−θ−θ=
z
j
∫
0
=−−+θ−=
α
=−−+θ−−−θ=
z
j
ϕθθ
()
j
∫
0
α
=−−+−−−θ=
z
j
ϕθθ
()
j
∫
0
j
ϕθθ
z
j
∫
0
d
()
j
α
j
()
j
d
ϕθθ
⎡
j
jjj
⎢
zd
j
⎢
⎣
d
⎡⎤
⎛⎞
⎢⎥
⎜⎟
zz d
1 exp exp exp
jj
⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠
⎣⎦
d
j
j
ϕθθ
()
j
zz
jj
⎡
⎢
zd d
⎢
⎣
exp exp exp
θθ θθ
j
∫∫
σσ σσ
00
zz
⎡⎤
⎢⎥
zd d
j
⎢⎥
⎣⎦
⎧⎫ ⎧⎫ ⎧⎫
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎨⎬ ⎨⎬ ⎨⎬
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎩⎭ ⎩⎭ ⎩⎭
α
=−−θ
z
j
ϕθθ
j
∫
0
j
θθ
zd
()
j
∫
0
22
σσ
jj
d
⎧⎫ ⎧⎫
⎪⎪ ⎪⎪
exp exp
22 22
jj jj
jj
∫∫
00
22 2
⎧⎫ ⎧⎫ ⎧⎫
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎨⎬ ⎨⎬
⎪⎪ ⎪⎪
⎩⎭ ⎩⎭
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
exp exp
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
22 2
θθ θ
22 2
σσ σ
jj j
22
zz
⎨⎬ ⎨⎬ ⎨⎬
222
σσσ
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎩⎭ ⎩⎭ ⎩⎭
j
d
()
22
22
⎧⎫ ⎧⎫
⎪⎪ ⎪⎪
⎨⎬ ⎨⎬
⎪⎪ ⎪⎪
⎩⎭ ⎩⎭
zz
jj
00
222
jjj
⎛⎞
⎜⎟
zd
⎜⎟
⎝⎠
22
θθ
22
22
σσ
jj
z
j
exp
j
∫
0
⎧⎫
⎪⎪
exp
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
⎧⎫
⎪⎪
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
2
2
⎤
⎥
⎥
⎦
z
j
⎤
∫
0
z
j
2
θ
⎦
∫
0
2
θ
2
2
σ
j
.
ϕθ
Rz c z d
2
=θ−−θ=
∞
∫
z
=β− θ− θ=
()( )( )
jjj j
c
β−
jj
()
j
d
ϕθθ
j
∫
z
j
∞
()exp
∫
z
j
θθ
zd
j
22
σσ
jj
73
j
∞
()
j
d
2
ϕθθ
∫
z
j
⎧⎫
⎪⎪
⎨⎬
2
⎪⎪
⎩⎭
c
⎡
⎢
⎢
⎣
j
⎧
⎪
⎨
⎪
(
)
(
)
j
β
β−
=θ−θ−−θ=
jj
∞
ϕθθ
()
j
∫
z
j
β−
=−θ−+−=
jj
∞
ϕθθ
()
j
∫
z
j
⎡⎤
β−
c
=−θ−+−θ+−=
jj
∞
ϕθθ
()
j
∫
z
j
⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥
d
⎣⎦
∞∞
θθ θθ
∫∫
22 22
σσ σσ⎥
zz
d
⎡⎤
c
⎢⎥
⎢σ σ⎥
⎣⎦
d
exp exp exp
jj jj
jj
∞∞
∫∫
zz
jj
⎧⎫ ⎧⎫ ⎧⎫
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎨⎬ ⎨⎬ ⎨⎬
22 2
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎩⎭ ⎩⎭ ⎩⎭
⎧⎫ ⎧⎫
⎪⎪ ⎪⎪
exp exp
⎨⎬ ⎨⎬
⎪⎪ ⎪⎪
⎩⎭ ⎩⎭
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
dzd
exp exp
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
22 2
θθ θ
22 2
σσ σ
jj j
22
dz d
j
22
⎧⎫ ⎧⎫
⎪⎪ ⎪⎪
⎨⎬ ⎨⎬
⎪⎪ ⎪⎪
⎩⎭ ⎩⎭
∞∞
zz
jj
22
θθ
22
22
jj
∞
∫
z
j
j
dz
j
⎤
⎥
⎦
=−+−θ−−=
=−θ=πσ−θ=
∞∞
∫∫
zz
jj
=−−θ=−
jj j j
∞
ϕθθ
()
j
∫
z
j
cc
β− β−
jj jj
ϕθθ ϕθθ
()2 ()2
β− πσ β− πσ
dd
() ()
jj
cc
jj jjj
∞∞
ϕθθ ϕθθ
() ()
jj
∫∫
zz
j j
⎢⎥
zdz
⎢σ σ σ⎥
⎣⎦
d
∞∞
exp 2 exp
∫∫
zz
jj
dd
⎡⎤
cz z
β−
⎧⎫ ⎧⎫ ⎧⎫
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
exp exp exp
⎨⎬ ⎨⎬ ⎨⎬
jj
⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪
⎩⎭ ⎩⎭ ⎩⎭
⎧⎫ ⎧⎫
θθ
⎪⎪ ⎪⎪
⎨⎬ ⎨⎬
22
σσ
⎪⎪ ⎪⎪
⎩⎭ ⎩⎭
⎛⎞
11 1
⎜⎟
⎜⎟
22
⎝⎠
−−θ
22
22 2
22
dd
22
jj
πσ
2
β−
jj
∞
ϕθθ
()
j
∫
z
j
При подстановке полученных выражений для
∞
22 2
∫
jj j
z
j
2
θ
1
j
2
πσ
j
z
j
⎧⎫
⎪⎪
exp
∫
j
0
c
d
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
z
j
exp .
∫
0
2
θ
d
2
σ
2
j
2
⎫
θ
⎪
d
⎬
2
2
σ
⎪
⎩⎭
j
jzR1
и
jzR2
в (2.37), целевая функция принимает вид
z
n
⎡
⎢
LXZ z d c
()
()
=α−α − θ+
∑
j
=
⎢
1
⎣
jj jj j
j
⎧⎫
⎪⎪
exp 2
∫
0
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
74
2
θ
2
2
σ
j
1
−πσ−
()
2
z
j
(
j
β
Z
Z
Z
+
j
⎧⎫
⎪⎪
−β − − θ + =
() ()
n
⎡θ
⎛⎞
=α+β− πσ−α+β− − θ+
∑
=
1
j
zc c d
jj jj j j jj
⎜⎟
⎢
⎝⎠
⎣
cdcxz
j j ij ij j
1
() ()
2
exp
∫
0
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
2exp
+
∑∑
При упрощении полученного нелинейного по
θ
2
σ
mn
ij
==
11
2
2
j
cx z
()
ij ij j
mn
⎤
⎥
∑∑
⎥
==
ij
11
⎦
z
j
⎧⎫
⎪⎪
∫
0
(2.42)
.
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
2
2
2
σ
j
z
выражения
j
⎤
⎥
⎥
⎦
целевая функция принимает вид
2
z
j
⎧⎫
⎪⎪
exp 1 1 0,803 ,
∫
0
⎨⎬
⎪⎪
⎩⎭
2
θ
−θ≈+≈+=
2
de e z
2
σ
j
⎛⎞
zz
jj
⎜⎟
⎜⎟
22
⎜⎟
⎝⎠
z
j
−
2
σ
2
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
1
−
2
⎝⎠
то
n
⎡
LXZ z c c z
()
mn n
+=α−β−+β−πσ+
∑∑ ∑
11 1
ij j
== =
+= ++=+
=α+ β− πσ−α+β− +
()
cx c z c
ij ij j j j j j j j
mn mn mn mn
∑∑ ∑∑ ∑∑ ∑∑
ij ij ij ij
11 11 11 11
== == == ==
( 2 ) 0,803
∑
j
=
cx dx cx d cx d
ij ij j ij ij ij i ij ij
jj jj j j jj j
⎣
1
⎡⎤
0,197 0,803 0,5 2
()
⎣⎦
2
1
() ()
πσ
j
()
()
ˆ
⎤
⎥
⎥
⎦
,
(2.43)
0
где
0,197 0,803 2 ,
dc=α−
n
dccdcjnim
0
π
=β−σ=+= =
()
∑
2
j
jjjij jij
1
=
jjjj
ˆ
, , 1, 2, ..., , 1, 2, ..., .
−πσ
)
Для решения полученной задачи в работе Д. Б. Юдина [66]
предложено использовать двухэтапную итерационную процедуру. На
первом этапе каждой итерации решается координирующая задача определения набора векторов
,
, …,
2
1
, каждый из которых зада-
1n
ет свое распределение товара между пунктами потребления. На втором этапе итерации решается набор обычных транспортных задач, в
75
которых векторы значений параметров потребления
K
Z
Z
L
(
Z
=
Z
+
1, 2, ..., 1kn=+, задаются решением координирующей задачи.
Для построения общей процедуры решения задачи предложено
,
использовать метод Нелдера–Мида отыскания наилучшего вектора
(())
с алгоритмически заданной целевой функцией
XZ
[60]. Вычис-
лительная процедура организуется следующим образом.
Предварительно для каждого из потребителей рассчитываются
оценки минимального
b
и максимального
minj
b
значения спроса
maxj
путем решения уравнений:
b
min
j
θθ θθ
∫∫
22 22
σσ σσ
jj jj
0
⎧⎫ ⎧⎫
⎪⎪ ⎪⎪
exp , exp , 1, 2, ..., ,
⎨⎬ ⎨⎬
⎪⎪ ⎪⎪
⎩⎭ ⎩⎭
22
−θ=α −θ=α=
ddjn
22
где α – некоторая достаточно малая вероятность (например
∞
(2.44)
b
max
j
0,05α=
В результате решения этих уравнений получим:
1
bjn=σ − −α =
min
jj
bjn=σ − α =
max
jj
2ln 1 , 1, 2,..., ,
()
()
2ln , 1, 2, ..., ,
()
Таким образом, компоненты вектора
2
1
2
zz z
12
...
долж-
)
n
).
ны удовлетворять ограничениям:
bzb j n≤≤ =
min max
jj
,1,2,...,,
(2.45)
Теперь, на первой итерации в работе Д. Б. Юдина [66] задается
исходная совокупность векторов
плекс с
(1)n +
-й вершинами в n-мерном пространстве
(1) (1) (1)
ZZ
, ,...,
12 1
, формирующая сим-
n
с координатами вершин, определяемыми матрицей:
(0) (0) (0) (0)
⎛⎞
bbdbd bd
1111 2 1 2
⎜⎟
(0) (0) (0) (0)
bbdbd bd
⎜⎟
22 221 2 2
⎜⎟
D
(0) (0) (0) (0)
=
bbdbd bd
33 23 2 3 2
⎜⎟
⎜⎟
... ... ... ... ...
⎜⎟
(0) (0) (0) (0)
⎜⎟
bbdbd bd
nn n n
⎝⎠
(0)
bbbj n=+ =
jjj
++ +
++ +
++ +
++ +
22 1
...
...
...
...
1
(),1,2,...,
min max
2
(, ,..., )
zz z
12
n
, (2.46)
, (2.47)
76
−
=−
Z
Z
+
Z
L
(
Z
(
(
(
dbb
1maxmin
min
{}
jj
n
j
, (2.48)
1
n
1
dbb
=− −
2maxmin
В матрице (2.46) k-й столбец задает координаты вектора
n
min
{}
jj
j
. (2.49)
(1)
k
При этом, соотношения (2.27), (2.38), (2.39) обеспечивают выполне-
(1) (1) (1) (1)
ние ограничений для компонентов всех векторов
, , ,...,
ZZ Z
123 1
n
Теперь, последовательно задавая компоненты векторов
(1) (1) (1)
, ,...,
ZZ
12 1
(1)n +
транспортных задач с целевой функцией:
в качестве правых частей ограничений (3.9), получим
n
+
mn
XZ cx z
(()) ().
=
∑∑
ij
==
ˆ
11
ij ij
(2.50)
Совокупность решений этих задач определяют набор значений це-
левой функции на этих векторах:
(1)
(( )),LxZ
1
(( )),LxZ
(1)
2
...,
LxZ
(1)
(( ))
1
n
+
после чего дальнейшая вычислительная процедура организуется в со-
.
.
,
ответствии со стандартной технологией метода Нелдера–Мида.
В соответствии с изложенным блок-схема вычислительной про-
Получаемый при этом план перевозок минимизирует суммарную стоимость доставки товара с учетом затрат на хранение непроданной части
товара и потерь от его дефицита.
)
1
()
1
Z
1+n
Транспортная
()
Z
задача
)
k
nZ1+
1+n
()
ZL
1+n
Транспортная
задача
Z
1
()
k
Z
1
Формирование исходного набора векторов
()
1
Z
1
)
1
Z
2
Транспортная
задача
Z
2
()
()
ZL
1
k
Z
2
)
ZL
2
Z
Формирование нового набора
векторов (шаг метода Нелдера-Мида)
Рис. 2.1. Блок- схема решения стохастической задачи
77
Принципиальные недостатки описанной методики состоят в сле-
Z
+
)
)
Z
}
{
j
L
ˆ
=
j
=
}
}
дующем. Во-первых, как известно [60], метод Нелдера–Мида обеспечивает решение оптимизационных многомерных задач, если число
переменных невелико (порядка 15–20). В рассматриваемой задаче это
число имеет порядок
необходимо решать
23
10 10− . Во-вторых, на каждом шаге метода
()
1n +
()
– многомерную транспортную задачу с
числом переменных
mn×
. Кроме того, следует иметь в виду, что на
каждой итерации метода происходит изменение только одного из
(1) (1) (1)
, ,...,
()
1+n
-векторов
ZZ
12 1
. С учетом этих обстоятельств понят-
n
но, что предложенная в работе Д. Б. Юдина [141] процедура будет
сходиться к исходному оптимальному набору переменных
, ,...,
zz z крайне медленно.
(
12
k
В связи с этим рассмотрим другой подход к решению задачи
управления транспортировками в условиях, когда спрос на товар –
набор случайных величин с известными плотностями распределения.
Вернемся к исходной задаче. Она сведена к отысканию набора
(
ровок
, ,...,
zz z=
12
XZ
()
и индуцированного этим набором плана транспорти-
n
, минимизирующего линейную формулу (2.50) и удовле-
творяющего ограничениям (2.38)–(2.39).
Как и во всякой задаче линейного программирования, задаче (2.50), соответствует сопряженная ей двойственная задача [7], формулируемая следующим образом: найти наборы
{
U
,
i
V
,
}
i
1, 2, ...,im= , 1, 2, ...,
n= , максимизирующие функцию:
mn
,
UV au zv
()
=+
∑∑
ii j j
ij
11
==
, (2.51)
и удовлетворяющие ограничениям:
c
vu ≤+
,
ijji
mi ,...,2,1
,
n
,...,2,1
. (2.52)
Если прямая задача (2.50) имеет решение, то решение имеет и
двойственная задача (2.51)–(2.52). Причем, если
Wuu uvv v= – оптимальные планы соответственно за-
, ,..., , , ,...,
{
12 12
mn
Xx=
{
ij
и
дач (2.50), (2.51)–(2.52), то
min
ˆ
j
m
ijij
i
78
n
+=
ii
vzuaxc
∑∑∑∑
====
j
1111
. (2.53)
jj
Кроме того, показано, что для оптимальных планов сформули-
=
j
=
=
{
}
{
}
{
}
{
}
∈
j
∈
{
{
j
{
}
p
=
I
(
j
рованных двойственных задач имеют место соотношения
ˆ
c
vu ≤+
, 1, 2, ...,im
ijji
ˆ
c
vu
+
, если
ijji
, 1, 2, ...,
x
ij
n
, (2.54)
0>
(2.55)
Отсюда следует, что из решения двойственной задачи (2.51)–
(2.52) может быть получено решение прямой задачи (2.50), (2.38)–
(2.41). Действительно, пусть
*
u
i
*
,
– решение двойственной задачи.
v
j
Подставим это решение в (2.54) и найдем наборы индексов
*
iI =
,
венства, то есть
Тогда, в соответствии с (2.55), наборы
дают набор
*
jJ =
, для которых неравенства (2.54) выполняются, как ра-
**
uv c+=
****
ijij
Xx=
, компоненты которого положительны и опре-
**
ij
ˆ
,
iI
**
,
J
*
i ,
}
*
однозначно за-
}
деляют решение прямой задачи, получаемое как решение системы
линейных алгебраических уравнений:
∑∑
**
∈∈
iI jJ
xP
ij ij
, (2.56)
где
, ,..., , , ,...,
{}
12 12
**
i ∈
,
mn
T
**
Jj ∈
.
i
*
-м
набор из
и на
p = –
{}
ij
nm +
компонентов, в котором единицы находятся на
*
– м местах,
jm +
Paa azz z= ,
0 0 ... 0 1 0 ... 0 1 0 ...
С учетом сказанного, предлагается следующая методика решения исходной задачи.
Заметим, что двойственная задача (2.51)–(2.52) радикально отличается от прямой задачи (2.50), (2.38)–(2.41) тем, что в ней, в отличие от прямой, неопределенность, связанная со случайным характером спроса, из ограничений (3.9) перешла в целевую функцию (2.51).
Решение задачи содержит три этапа.
Первый этап. Пусть
ной величины спроса в
zϕ
– плотность распределения случай-
)
j
j
-м пункте потребления и
79
– среднее зна-
z
j
чение этого спроса (1,2,...,
j
}
}
j
L
)
}
(
)
)
}
(
)
)()
{
}
{
}
j
)
j
(
⎧
⎪
⎨
⎪
⎧
⎪
⎨
⎪
j
Z
{
}
W
H
∞
u ,
{
i
, максимизирующих:
v
{
n= ). Решим задачу отыскания наборов
творяющих условию (2.52).
Пусть
{
0
(
u
i
0
v
,
{}
– решение этой задачи. Используем эти на-
j
mn
UV au zv
()
=+
,
∑∑
ii j j
==
ij
11
и удовле-
0
боры
{
(
u
i
прямой задачи. Пусть
Второй этап. Понятно, что для любого конкретного набора
v
– значение функции (2.51) есть случайная величина, плотность
{
0
v
,
{}
для отыскания в соответствии с (2.26) решения
j
00
(
Xx=
– полученное модальное решение.
i
u
}
i
распределения которой может быть получена с учетом известных
zϕ
плотностей
сти, если
ϕ= −
(
z
()
случайных компонентов функции (2.51). В частно-
2
−
1
j
2
πσ
exp
j
zz
jj
σ
2
⎩⎭
⎫
)
⎪
, то плотность распределе-
⎬
2
j
⎪
ния будет иметь вид
2
⎫
⎪
, (2.57)
⎬
2
∑
⎪
wLUV
ϕ=ϕ = −
() ( )
mn
wau zv
где
=+
∑∑
ij
==
00
() ()
ii jj
11
()
,exp
2
πσ
n
222
σ= σ
,
∑
∑
j
z
j
=
1
∑
.
⎩⎭
1
ww
−
()
2
σ
Сформулируем теперь критерий, в соответствии с которым бу-
,
zz z=
дем решать задачу отыскания оптимальных наборов
()
ZX
и
. Этот критерий – составной и содержит два слагаемых. Первое
, ,...,
()
12
n
из них характеризует меру «компактности» плотности распределения
(2.57) случайной величины (2.51). Второе слагаемое определяет
величину отклонения выбранного набора
()
бора
0
X .
Xx=
от модального на-
ij
В качестве меры компактности плотности распределения случайной величины
ной величины. Как известно,
можно использовать энтропию H этой случай-
log
=− ϕ ϕ
−∞
80
wwdw
() ()
∫
.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]