Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение вариационного и асимптотического методов к решению задач о капле и жидком мосте. Учебное пособие
.pdf
Министерство íàóêè è высшего образования Ðоссийскîé Федерации
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ
ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ÏÅÒÐÀ ВЕЛИКÎÃÎ
Физикî-ìåõанический институт
Высшая øêîëà теоретическîé ìåõаники è математическîé физики
Í. Å. Ãалактионова
ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО
È ÀСИМПТОТИЧЕСКÎÃÎ ÌÅÒÎÄÎÂ
Ê РЕШЕНИЮ ÇÀÄÀ× Î КАПЛЕ
È ÆÈÄÊÎÌ МОСТЕ
Учебное пособие
Санкт-Петербург
2024
ÁÁÊ 22.311ÿ73
Ã15
Ð å ö å í ç å í ò û:
Доктор физико-математических íàóê, ведущий íàучный сотруäíèê
Физико-техническîãî институтà èì. À. Ô. Иоффе ÐÀÍ
Кандидат физико-математических íàóê, доцент Высшей øêîëû òåîðåтическîé
ìåõаники è ìàòåматическîé физики СПбПУ
Ñ. À. Ðóêîлайне
È. Á. Ñóñëîâà
Ãалактионова Í. Å.
äîâ ê решению çàäà÷ î êàïëå è æèäêîì мосте
ÑÏá. : ПОЛИТЕХ-ПРЕСС, 2024. 80 c.
Соответствуåò ñîäåðæàíèþ федеральных дисциплин ãîñóдарственного ñòандартà ïî
направлениям ïîдготовки 01.03.03 ¾Ìåõàíèêà è математическîå ìîделирование¿, 03.03.01
¾Прикладная математикà¿ è 03.04.01 ¾Прикладная физикà¿.
Èçëîæåíû íåêоторые вопросы курса вариационного исчисления, êасающиесÿ âà-
риационной ïîñòановки çàäà÷ è âûâîäà ñоответствующих óðàâíåíèé. Обсуждаютсÿ ðàç-
личные âèäû возникающих граничных óсловий, â частности óсловий трансверсальности
è óсловий ВейерштрассаЭрдмана. Ðассмотрен ìåòîä малогî параметра. Â êàчестве ïðè-
меров применения вариационного è асимптотическîãî ìåòîäîâ построены приближенные
решения çàäà÷ î êàïëå è æèäêîì мосте. Ðàñсматриваютсÿ çàäà÷è, связанные ñ ðîñòîì
кристаллов èç расплава.
Предназна÷åíî äëÿ ñòóдентов, обучающихñÿ ïî специальностÿì 03.03.01 ¾Приклад-
íàÿ математикà¿ è 03.04.01 ¾Прикладная физикà¿, à òàêæå äëÿ òåõ, êîìó íåîáõîäèìî
решать èíæенерные çàäà÷è ñ помощью аппаратà ìатематическîé физики.
Применение вариационного è асимптотическîãî ìåòî-
: ó÷åá. пособие / Í. Å. Ãàëактионова.
Èë. 12. Библиогр.: 33 íàçâ.
Печатàåòñÿ ïî ðåøåíèþ
Советà ïî èçдательскîé деятельности Ученого советà
Санкт-Петербургскîãî политехническîãî óíèâерситетà Петра Великîãî.
ISBN 978-5-7422-8501-4
doi: 10:18720/SPBPU/2/id24-138
©
Ãалактионова Í. Å., 2024
©
Санкт-Петербургский ïолитеõíè÷åñêèé
университет Петра Великîãî, 2024
Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation
PETER THE GREAT
SAINT PETERSBURG POLYTECHNIC UNIVERSITY
Institute of Physics and Mechanics
Graduate School of Theoretical Mechanics and Mathematical Physics
N. E. Galaktionova
APPLICATION OF VARIATIONAL
AND ASYMPTOTIC METHODS
TO SOLVING THE DROP
AND LIQUID BRIDGE PROBLEMS
Training manual
Saint Petersburg
2024
R e v i e w e r s:
Doctor of Physics and Mathematics, senior researcher
at the Ioe Physical-Technical Institute of the Russian Academy of Sciences
Candidate (PhD) of Physics and Mathematics, associate professor at the Graduate School
of Theoretical Mechanics and Mathematical Physics of SPbPU
S. A. Rukolaine
I. B. Suslova
Galaktionova N. E.
the drop and liquid bridge problems
St. Petersburg: POLYTECH-PRESS, 2024. 80 p.
The training manual corresponds to the content of the federal disciplines of the state
standard in the majors 01.03.03 ¾Mechanics and Mathematical Modeling¿, 03.03.01 ¾Applied
Mathematics¿ and 03.04.01 ¾Applied Physics¿.
Some issues in the course of calculus of variations concerning the variational formulation
of problems and derivation of the respective equations are described. Various types of boundary
conditions, i.e. transversality conditions and Weierstrass-Erdmann conditions, are discussed.
The small parameter method is considered. As examples of applying the variational and
asymptotic methods, approximate solutions for the drop and liquid bridge problems are
constructed. Problems related to the growth of crystals from a melt are considered.
It is intended for students studying in the majors 01.03.03 ¾Applied Mathematics¿ and
03.04.01 ¾Applied Physics¿, as well as for those who need to solve engineering problems using
the tools of mathematical physics.
Figures 12. References: 33 titles.
Application of variational and asymptotic methods to solving
: training manual / N. E. Galaktionova.
Printed by decision
of the Council on Publishing Activities of the Academic Board
of Peter the Great St. Petersburg Polytechnic University.
ISBN 978-5-7422-8501-4
doi: 10:18720/SPBPU/2/id24-138
©
Galaktionova N. E., 2024
©
Peter the Great St. Petersburg
Polytechnic University, 2024
ÎÃЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1. Вариационный ìåòîä
1.1. Основные определения è леммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Âûâîä íåîáõîдимых óсловий относительного ýêстремума . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3. Уравнение Эйлера äëÿ простейшего функционала . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Случай зависимости îò произвоäíûõ высших ïîðÿäêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5. Случай зависимости îò íåñêольких неизвестных функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6. Изопериметрическàÿ çàäà÷à . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.7. Общая форма первой вариации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8. Óсловия трансверсальности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.9. Óсловия ВейерштрассаЭрдмана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.10. Ðазрывные çàäà÷è второго ðîäà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.11. Параметрическàÿ форма . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2. Асимптотический ìåòîä
2.1. Соотношения ïîðÿäêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.2. Ðåãóлярные è сингулярные возмущения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3. Асимптотические последовательности è ðÿäû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.4. Построение асимптотичесêèõ ðàçëîæåíèé äëÿ решений ðåãóлярно è сингулярно âîçìó-
щенных çàäà÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3. Çàäà÷è î êаплях
3.1. Построение энергетическîãî функциîíàëà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Ëåæàùàÿ êàïëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.1. Ïîñòановкà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2.2. Асимптотический ìåòîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2.3. Ìåòîä линеаризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.3. Âèñÿùàÿ êàïëÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.1. Ïîñòàíîâêà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.3.2. Асимптотический ìåòîä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.3.3. Ìåòîä линеаризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
4. Çàäà÷è î жидких ìîñòàõ
4.1. Вертикальный жидкий ìîñò между двумя параллельными плоскîñòÿìè . . . . . . . . . . 49
4.1.1. Классификàöèÿ çàäà÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.2. Вариационная ïîñòановкà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.1.3. Алгоритм решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.1.4. Первый øàã èòåрационнîãî процесса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
4.1.5. Второй øàã итерационного процессà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.6. Асимптотикà решения â окрестности точки
4.2. Вертикальный жидкий ìîñò (параметрическàÿ форма решения). . . . . . . . . . . . . . . 62
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
M = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5
4.2.1. Ïîñòановкà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4.2.2. Алгоритм решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.3. Построение íóлевого приближåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.2.4. Построение первого è послеäóþùèõ приближåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3. Жидкий ìîñò ìåæäó двумя произвольными выпуклыми òâåðäûìè поверхностÿìè . . . . 66
4.3.1. Вариационная ïîñòановкà çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3.2. Алгоритм решения çàäà÷è . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3.3. Первая итерация. Построение íóлевого приближåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.3.4. Вторая è ïîследующие итерации ãлавного итерационного процесса . . . . . . . . . . 73
4.3.5. Пример расчетà æèäêîãî ìîñòà между сферами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоÿùåå пособие âêлючает â ñåáÿ öèêë работ [18], опубликованных çà периоä
ñ 2008 ïî 2021 ãîä è посвященных исследованию формы êàïëè æèäêîñòè íà òâåðäîé
поверхности è формы æèäêîãî ìîñòà между двумя òâåðäûìè поверхностÿìè. Èäåÿ íà-
писания ýòèõ работ è ïîñòановкà основных çàäà÷ принадлежит безвременно ушедшему
îò íàñ доктору физикî-ìàòематических íàóê, профессору, заслуженному деятелю íàóêè
ÐÔ, заведующему êафедрой математическîé физики Санкт-Петербургскîãî политехни-
÷åñêîãî университетà è лабораторией прикладной математики è математическîé физики
физико-техническîãî институтà имени À. Ô. Иоффе Ý. À. Троппу (19402022 ãã.).
Ïðè решении çàäà÷ â данном пособии используютсÿ вариационный ìåòîä è ìåòîä
малого параметра. Основные сведения, êасающиесÿ ýòèõ ìåòîäîâ, ñîñòавляют предмет
первых äâóõ ãëàâ пособия, êоторые являютсÿ вспомогательными.
 первой ãëàâå пособия èçëîæåíû íåêоторые вопросы êóðñà вариационного исчисле-
íèÿ, êасающиесÿ вариационной ïîñòановки çàäà÷ è âûâîäà соответствующих уравнений.
Кроме традиционных вопросов курса ïðèâедены вариационные çàäà÷è ñ ïîдвижными
êонцами, разрывные çàäà÷è первого è второго ðîäà è параметрическàÿ форма задания
кривой, различные âèäû возникающих граничных óсловий, â частности óсловий транс-
версальности è ВейерштрассаЭрдмана.
Ïðè èçëîæåíèè материала èñïîëüзуютсÿ курсы вариационного исчисления
Í. Ì. Гюнтера [9] è Â. È. Смирнова [10].
Âî второй ãëàâå приведены основные сведения îá асимптотических ìåòîäàõ. Введе-
íû соотношения ïîðÿäêà. Ðàññмотрены ðåãóлярные è сингулярные возмущения, асимп-
тотические последовательности, асимптотические приближåíèÿ ïî параметру è асимпто-
тические ðÿäû. Построены àñимптотические разлоæåíèÿ äëÿ решений ðåãóлярно è сингу-
лярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений. Приведены примеры.
Âî второй ãëàâå использованы материалы монографии À.Á. Васильевой è
Â. Ô. Бутузова ¾Асимптотические ìåòîäû â теории сингулярных возмущений¿ [11], à
òàêæå монографии È.Å. Çèíî è Ý. À. Троппа ¾Àñимптотические ìåòîäû â çàäà÷àõ теории
теплопроводности è термоупругосòè¿ [12].
 третьеé ãëàâå построены приближенные решения çàäà÷ î êаплях. Ðåçóëüòàòû òåî-
ретическîãî исследования профиля поверхности æèäêîé êàïëè малого объема íà òâåðäîé
поверхности ïðè наличии çîíû трехфазного êîíòàêòà (æèäêàÿ ôàçà, òâåðäàÿ è ãазооб-
разная) представляют ценную èíôîðìàöèþ äëÿ решения íåêоторых технологических
7
è íàучных проблем. Â частности, èññледование òàêèõ çàäà÷ àêòóально äëÿ изучения ïðî-
цессов, имеющèõ место ïðè çатравлении кристаллов, выращиваемых èç расплава [13].
Использование вариационной ïîñòановки çàäà÷è позволяет ïолучить è äифферен-
циальные уравнения, è ãðàíè÷íûå óсловия (естественные óсловия ýêстремума ôóíêöèî-
íàëà).
Ðассмотрены осесимметричные çàäà÷è î ëåæàùåé è âèñÿùåé êаплях â цилиндриче-
ñêèõ êîîðдинатàõ ñ учетом ñèëû òÿæåñòè, äàíû èõ вариационные ïîñòановки. Построены
приближенные решения ýòèõ çàäà÷ äëÿ случая малых чисел Бонда (найдено íóлевое è
первое приближåíèÿ асимптотическîãî разлоæåíèÿ). Íóлевое приближåíèå соответству-
åò отсутствию ñèëû òÿæåñòè. Ïðè óсловии сильной ñìà÷èâаемости ìåòîäîì линеариза-
öèè получены приближенные формуëû, справедливые äëÿ любого çíàчения числа Бонда.
Построена асимптотикà решений ïðè óãëå ñìàчивания, стремящемсÿ ê íóëþ.
Ïðè изучении ôîðì æèäêèõ менискîâ, образующихñÿ â процессе ðîñòà кристаллов
ïî способу Степанова, ñòалкиваемсÿ ñ ñèòóацией, êîãäà æèäêàÿ êàïëÿ расплава íàõî-
äèòñÿ между двумя òâåðäûìè поверхностÿìè ñ разными свойствами (íàïðèìåð, между
молибденовым формообразователем è кристàëличесêîé затравкîé) [14]. Òàêàÿ æèäêàÿ
êàïëÿ â монографии ß.Å. Ãегузина [15] называетсÿ ¾расплющеííîé êаплей¿, â иностран-
íîé литературе [1624] ¾жидким мостоì¿ èëè ¾êапиллярным мостом¿ (liquid bridge,
capillarity bridge). Â настоÿùåì пособии использован термин ¾жидкий ìîñò¿.
 четвертой ãëàâå учебного ïîñîáèÿ приведены решения çàäà÷ î форме жидких ìî-
ñòàõ ìåæäó òâåðäûìè ïîâåðхностÿìè. Çàäà÷à осесимметрична è решаетсÿ â цилиндриче-
ñêèõ êîîðдинатàõ. Даетсÿ вариационная ïîñòановкà çàäà÷è.  êàчестве малого парамет-
ðà используåòñÿ число Бонда, ïðåäëàãàåòñÿ алгоритм итерационного процесса решения
çàäà÷è. Первый øàã процесса соответствуåò îòñóòствию ñèëû òÿæåñòè. Äëÿ сравнения
привоäèòñÿ построение решения â параметрическîé форме.
Пользуÿñü случаем, автор выражàåò ãлубокую признательность Å.Â. Ãалактионову
çà полезные советы è помощь ïðè ïîдготовкå учебного ïîñîáèÿ.
1. ВАРИАЦИОННЫЙ ÌÅÒÎÄ
1.1. Основные определения è ëåììû
Определение 1.
Функционал îäíîçíà÷íîå отображåíèå банахîâà пространства
(гильбертова пространства) (â данном случае ëèáî
Простейший функционал:
w
x
y′.
1
F (x, y, y′)dx,
x
0
ãäå
F (x, y, y′)
(x, y)
I{y(x)} =
дважды непрерывно дифференцируåìà â íåêоторой областиDíà плоскîñòè
ïðè любых êонечных çíàчениях
8
C[a, b]
, ëèáî
L2(a, b)
) â
R
1
.
Основная лемма.
r
x
1
è
F (x)η(x)dx = 0, ∀η(x) ∈ C1[x0, x1], η(x0) = 0, η(x1) = 0
x
0
Äîêазательство.
существуåò è промежуток
функция
F (x)
ïîëîжительна (следуåò èç непрерывности
Ïóñòü
Åñëè
F (x)
непрерывная функция íà промежуткå
Ïóñòü существуåò òî÷êà
(ξ1, ξ2) ⊂ [x0, x1],
òàêîé ÷òî
0, x ∈ [x0, ξ1),
η(x) =
(x − ξ1)2(x − ξ2)2, x ∈ [ξ1, ξ2],
0, x ∈ (ξ2, x1].
, òî
F (x) = 0, ∀x ∈ (x0, x1)
ξ ∈ (x0, x1)
, òàêàÿ ÷òî
F (ξ) > 0
x0< ξ1< x < ξ2< x1, â êотором
F (x)
).
(x0, x1)
.
, òîãäà
Òàê определенная функция
η(x0) = 0, η(x1) = 0
. Очевидно, ÷òî
η(x)
непрерывно дифференцируåìà íà
r
x
1
F (x)η(x)dx > 0
x
0
речит óсловию ëåììû, ÷òî è òðåбовалось äîêазать.
Замечание.
íûå ограничения:
η′(x0) = 0, η′(x1) = 0, ... , η
Определение 2.
ционала
I{y(x)}
1) кривая
2)
y(x0) = y0, y(x1) = y1 çíàчения функции
3)
y(x) ∈ C1[x0, x1]
Определение 3.
кривой
y = y(x)
íóлевого ïîðÿäêà). Åñëè
первого ïîðÿäêà. Íå требуåì
Определение 4.
ýêстремума íà êðèâîé
˜y(x) ∈ C1[x0, x1], ˜y(x0) = y0, ˜y(x1) = y1), åñëè
(* относительный минимум),
любой
δy(x) : ˜y + δy ∈ ε
äîïóстимых кривых
Лемма îñòàåòñÿ верной, åñëè íà функцию
r
x
1
F (x)η(x)dx = 0, ∀η(x) ∈ Cn[x0, x1], n = 2, 3, ... , η(x0) = 0, η(x1) = 0,
x
0
(n−1)
(x0) = η
(n−1)
(x1) = 0
Кривая (функция) äîïóстимая кривая (функция) äëÿ ôóíê-
, åñëè выполняютсÿ следующие óсловия:
y = y(x)
, åñëè
лежит внутри областиD;
функция
Ìíîæество кривых
y(x)
, непрерывно дифференцируåìàÿ íà промежуткå.
ω(x) = y(x)+δy(x)
δy(x) ∈ C1[x0, x1]è|δy(x)| ≤ ε
|δy(x)| ≤ ε,|δy′(x)| ≤ ε
(y + δy)|
Функционал
˜y(x)
, êоторая являетсÿ äîïóстимой (ò. å.
I{y(x)} =
= y(x0) = y0, (y + δy)|
x=x
0
äëÿ любого
r
x
1
x
0
∃ε > 0
I{˜y + δy} ≤ I{˜y(x)}
-окрестности кривой˜yè
˜y + δy
ìîæíî выделитьε-окрестность кривой
˜y + δy
место соотношåíèå * èëè **.
, à
η(x) ∈ C1[x0, x1]
η(x)
(x0, x1)
íàëîæèòü более ñèëü-
, ïðè ýòîì
. Ýòî противо-
.
y(x)
íà êонцах промежуткà заданы;
называетсÿε-окрестностью
äëÿ любого
F (x, y, y′)dx
x ∈ (x0, x1)(ε
x ∈ (x0, x1)
= y(x1) = y1.
x=x
1
-близость
, òîε-близость
достигàåò относительного
(x, ˜y(x)) ∈ D,
, òàêîå ÷òî
I{˜y + δy} ≥ I{˜y(x)}
(** относительный ìàêсимум) äëÿ
äîïóстимые кривые, ò. å. среди
˜y(x)
, â êоторой имеет
1.2. Âûâîä íåîáõîдимых óсловий
относительного ýêстремумà
Ïóñòü ôóíкционал
ïóстимой кривой
y(x),y+δy
I{y(x)}
достигàåò относительного ýêстремума íà íåêоторой äî-
äîïóстимая кривая, следовательно,
δy|
Ðассмотрим разлоæåíèå функцииFâ ðÿä Òейлора â окрестности точки
F (x, y + δy, y′+ δy′) = F (x, y, y′) +
∂F
∂y
δy +
∂F
∂y
′
x=x
δy′+
= 0, δy|
0
= 0
x=x
1
(x, y, y′)
.
:
9
+
1
∂2F
δy2+ 2
∂y
2
2
∂2F
∂y∂y
δyδy′+
′
∂2F
∂y
′2
δy
′ 2
+ ... .
Òîãäà ïðèðàщение функционалаIáóäåò иметь следующий âèä:
w
x
∆I = I {y + δy} − I{y} =
1
F (x, y + δy, y′+ δy′) −F (x, y, y′)dx =
x
0
w
=
x
w
x
1
1
+
2
∂2F
δy2+ 2
∂y
2
x
0
∆I = I {y + δy} − I{y} = δI +
ãäå первая вариациÿ функционала
δI =
à вторая вариация функционала
w
x
1
∂2F
δy2+ 2
∂y
y(x)
I(α) =
2
, (ãäåα малый числовой параметр) äîïóстимая кривая
(ò. å.
r
x
α = 0
x
0
ìóìà;
Ïóñòü
y(x) ∈ C2[x0, x1];y+αδy
y(x)
функция, íà êоторой функционалIдостигàåò относительного ýêñòðå-
èçε-окрестности кривой
y + αδy
ïðè
α → 0
îñòàåòñÿ âε-окрестности кривой
Числовая функция
относительный ýêстремум ïðè
óсловия:
ãäå
I(α) = I(0) + α
w
x
1
+
2
1
2
α
∂2F
∂y
2
x
0
x
1
∂F
∂F
δy +
∂y
0
∂y
′
δy
′
dx+
∂2F
∂y∂y
δyδy′+
′
∂2F
∂y
′ 2
δy
′2
dx + ... .
1
δ2I + ... ,
2
w
x
1
∂F
x
∂y
0
∂F
δy +
∂y
′
δy
′
dx,
∂2F
δyδy′+
′
∂y∂y
(y + αδy)|
x
1
F (x, y + αδy, y′+ αδy′) dx, I (0) = I{y}
0
x=x
0
∂2F
∂y
′ 2
δy
′2
= y0, (y + αδy)|
y(x)
.
dx.
x=x
= y1)),
1
òàêàÿ, ÷òî
должна иметь
, ñëåäîвательно, íåîáõîäèìî выполнение следующего
I(α)
w
x
= 0,
α=0
x
1
∂F
∂F
δy +
∂y
0
∂y
′
δy
dx +
′
d
dα
δy2+ 2
∂2F
∂ δy δy
∂2F
+
′
∂y
′ 2
δy
′ 2
dx + ... .
Следовательно,
dI
dα
(α)
=
α=0
w
x
1
∂F
x
0
δy +
∂y
Òàê, íåîáõîдимое óсловие относительного ýêстремума:
10
∂F
∂y
′
δy
′
dx = 0.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]