Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение вариационного и асимптотического методов к решению задач о капле и жидком мосте. Учебное пособие
.pdf
′
=
p
1 + w
1 + (w
′
(ξi))
i
Следовательно, óсловия трансверсальности (4.58), (4.59) äàþò
(ξi)φ
i
p
2
′
(ξi)
i
1 + (φ
′
(ξi))
i
, i = 1, 2.
2
cos(θi) = αi0, i = 1, 2
ò. å. óсловия ДюпреЮнгà [33] (ñì. ñòð. 30, формуëà (1.4)).
Äëÿ построения ýôôективногî алгоритма решения çàäà÷è (4.56) (4.64) выполним
нормирование íà величину
новую независимую переменную
новые èñêîìûå функции
ìîдифицированные функции
ξ∗è получим:
η = ξ/ξ∗;
vi(η) = wi(ξ)/ξ∗i = 1, 2
Ψ1(η) = φ1(ξ)/ξ∗,ˆΨ2(η) = (h+φ2(ξ))/ξ∗= H+Ψ2(η)
;
Введем обозначения:
b = B(ξ∗)2 ìîдифицированное число Бонда;
M = µξ∗ ìîдифицированный ìíîжитель Лагранжà.
 новых переменных уравнения (4.56) è (4.57) примут âèä
dη
d
dη
d
p
p
η v
1 + (v
′
η v
2
1 + (v
′
(η)
1
(η)
′
1
′
2
(η))
(η))
= b (v1(η) −Ψ1(η)) η + M η 1 < η < η1;
2
= b (ˆΨ2(η) −v2(η)) η − M η , 1 < η < η2.
2
Интегрируÿ ýòè уравнения, получим:
,
.
(4.65)
(4.66)
η
= b
= b
C1è
w
(v1(s) −Ψ1(s))s ds +
1
η
w
(ˆΨ2(s) −v2(s))s ds −
1
η → 1
C2:
C1= −1, C2= 1
M(η2− 1)
2
M(η2− 1)
2
ñ учетом óсловий (4.63), найдем
. Ðазделив îáå части (4.67), (4.68)
′
η v
(η)
p
p
1
1 + (v
′
η v
2
1 + (v
′
1
(η)
′
2
(η))
(η))
2
2
Перехîäÿ â (4.67) è (4.68) ê пределу ïðè
постоянные интегрирования
íàη, приведем ýòè уравнения ê âèäó
η
′
v
(η)
1
p
p
1 + (v
′
v
2
1 + (v
′
1
(η)
(η))
′
(η))
2
=
2
=
2
Введенные вспомогательные функции
венствам
çíàêîâ функциям
0 < Φ1(η) ≤ 1 , η ∈ [1, η1] , 0 < Φ2(η) ≤ 1 , η ∈ [1, η2]
′
v
(η)èv
1
w
1
b
η
(v1(s) −Ψ1(s))s ds +
1
η
w
1
b
η
(ˆΨ2(s) −v2(s))s ds −
1
Φ1(η)èΦ2(η)
M(η2− 1)
− 1≡ −Φ1(η) ;
2
M(η2− 1)
2
должны óдовлетворÿòü íåðà-
äëÿ обеспечения нужных
′
(η)
(ñì. формуëû (4.69), (4.70)). Ðазрешая (4.69) è (4.70)
2
относительно произвоäíûõ, ïðèõîäèì ê следующим уравнениям:
+ C1;
+ C2.
+ 1≡ Φ2(η) .
(4.67)
(4.68)
(4.69)
(4.70)
dv
dη
1
= −
Φ1(η)
p
1 −(Φ1(η))
dv
2
,
2
=
dη
Φ2(η)
p
1 −(Φ2(η))
.
2
(4.71)
71
Èç уравнений (4.71) следуåò
dv
dη
1
η=1
= −∞,
dv
dη
2
η=1
= +∞,
ò. å. выполнение óсловий (4.63) вертикальности êасательной â øåéêå. Â окрестносòè òî÷-
êè
η = 1
функции
Φ1(η)èΦ2(η)
представляютсÿ â âèäå
Φi(η) = 1 + O(η − 1) , i = 1, 2
поэтому особенности â ïðàâûõ ÷àñòÿõ (4.71) являютсÿ интегрируемыми è ìîæíî ïîëó-
÷èòü выражåíèÿ äëÿ èñêîìûõ функций
w
v1(η) =
v2(η) = H + Ψ2(η2) −
v1(η)èv2(η)
η
1
Φ1(s) ds
p
1 −(Φ1(s))
η
2
η
2
w
p
η
:
+ Ψ1(η1) ;
Φ2(s) ds
1 −(Φ2(s))
(4.72)
.
2
(4.73)
Ïðè ýòîì выполнены аналогè óсловий соприкосновения ìîñòà ñ äíîì è крышкîé:
v1(η1) = Ψ1(η1), v2(η2) = H + Ψ2(η2)
. Выполняя óсловие, аналогичное óсловию (4.62),
ïðèõîäèì ê соотношению
,
H = Ψ1(η1) −Ψ2(η2) +
Òîãäà выражåíèå äëÿ функции
η
w
v2(η) = Ψ1(η1) +
1
η
1
w
p
1
v2(η)
1
Φ1(s) ds
p
1 −(Φ1(s))
Φ1(s) ds
1 −(Φ1(s))
примет âèä
2
+
w
+
2
η
w
p
1
η
2
Φ2(s) ds
p
1 −(Φ2(s))
1
Φ2(s) ds
1 −(Φ2(s))
.
2
.
2
Óсловия трансверсальности (4.58) è (4.59), используÿ соотношения (4.71), ìîæíî
переписать â âèäå
p
1 −(Φi(ηi))2+ (−1)iΨ
′
(ηi)Φi(ηi) = α
i
Ðазрешая ýòè уравнения относительно величин
p
1 −(αi0)2+ (−1)iαi0Ψ
Φi(ηi) = αi(ηi), αi(ηi) =
p
Соотношения (4.76) после ïîäñòановки â íèõ выражåíèé äëÿ
уравнения äëÿ íàõîждения величин
η1è
η2:
i0
1 + (Ψ
p
1 + (Ψ
′
(ηi))2, i = 1, 2.
i
Φ1(η1)èΦ2(η2)
′
(ηi)
i
′
2
(ηi))
i
, получаем
, i = 1, 2.
Φ1(η1)èΦ2(η2)
(4.74)
(4.75)
(4.76)
äàþò
72
1
M η
2
1
M η
2
2
+ α1(η1) η1−1 +
1
2
+ α2(η2) η2−1 +
2
1
M − b
2
1
M + b
2
η
1
w
(v1(s) −Ψ1(s))s ds= 0 ;
1
η
2
w
(ˆΨ2(s) −v2(s))s ds= 0 .
1
(4.77)
(4.78)
Перепишем â новых переменных óсловие ñîхранеíèÿ объема (4.64):
η
1
w
3
ξ
(v1(s) −Ψ1(s)s ds +
∗
1
η
2
w
(ˆΨ2(s) −v2(s))s ds +
1
1
w
(ˆΨ2(s) −Ψ1(s))sds=
0
Интегрируÿ ïî ÷àñòÿì, приведем соотношение (4.79) ê âèäó
ξ∗=π
+
η
w
1
η
1
w
Ψ
0
1
Φ1(s)s2ds
p
1 −(Φ1(s))
′
(s)s2ds −
1
η
2
w
0
+
2
′
Ψ
(s)s2ds
2
η
2
w
Φ2(s)s2ds
p
1 −(Φ2(s))
1
−1/3
+
2
.
Òàêèì образом, получим âñå соотношения, íåîáõîдимые äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è.
Ïóñòü число Áîíäà малый параметр рассматриваемой çàäà÷è. Предлагàåì следу-
þùèé алгоритм åå решения äëÿ заданных çíàчений
α10, α20,ˆh
.
Îðãанизуåì èòåðàöèонный процесс ïî малому параметруb(ãлавный итерационный
процесс).
1
2π
.
(4.79)
(4.80)
4.3.3. Ïåðâàÿ èòåðàöèÿ. Построение нулевого ïðèáëèæåíèÿ
Íà первой итерации ñ÷èòàåì
òà действия ñèëû òÿæåñòè). Задаем çíàчение параметра
çíàчений è определяем функции
çíàчениями ïàðàìåòðà
M
áóäåì ñ÷èòàòü çíàчения, ïðè êоторых êаждое èç уравнений
b = 0
(строим приближенное ðåшение çàäà÷è áåç ó÷å-
Φ1(η), Φ2(η)
M
èç диапазона äîïóстимых
ïî формуëàì (4.69), (4.70). Äîïóстимыми
(4.77), (4.78) имеет ïî крайней ìåðå îäèí ïîëîжительный êорень, больший единицы. Äëÿ
ïîëîжительных äîïóстимых çíàчений существуåò толькî îäèí òàêîé êорень ó êаждого èç
уравнений, à äëÿ отрицательных äîïóñтимых çíàчений ïî äâà òàêèõ êîðíÿ ó êаждого
èç уравнений. Â последнем случае îдному çíàчению параметра
M
áóäóò соответство-
âàòü четыре решения çàäà÷è, êоторые опредеëÿþòñÿ выбором êорней уравнений (4.77),
(4.78). Варианты выбора êорней уравнений:
симальный (4.77) è минимальный (4.78); вариант
è ìàêсимальный (4.78); вариант
(−−)
минимальные.
Далее решаем нелинейные уравнения (4.77), (4.78) относительно величин
(++)
ìàêсимальные; вариант
(−+)
наоборот, минимальный (4.77)
(+−)
ìàê-
η1, η2.
Äëÿ ýòîãî ñâîäèì ðåøåíèå нелинейных уравнений ê ðåшению последовательности êâàä-
ратных уравнений ìåòîäîì итераций (вспомогательный итерационный процесс, íåîáõî-
димый толькî ïðè построении íóлевого приближåíèÿ, чтобы çàïóстить ãлавный итера-
ционный процесс è учесть форму заданных поверхностей, между êоторыми íàõîäèòñÿ
жидкий ìîñò). Полагàåì
′
f
(r) = 0, f
1
′
(r) = 0
2
, òîãäà
αi(ηi) =p1 −(αi0)2,
i = 1, 2
(жидкий
ìîñò между плоскîñòÿìè è уравнения (4.77), (4.78) квадратные), íàõîäèì ïîëîжитель-
íûå êîðíè квадратных уравнений, большие единицы. Íàõîäèì величину
ξ∗ïî формуëå
73
(4.80). Используåì ýòè найденные çíàчения êîðíåé
Снова решаем квадратные уравнения (4.77), (4.78) è íàõîäèì
η1, η2äëÿ вычисления
ξ∗ïî формуëå (4.80). Ïðî-
αi(ηi), i = 1, 2
äîëæàåì ýòîò процесс äî òåõ ïîð, ïîêà разностü çíàчений êорней íà äâóõ последова-
тельных øàãàõ вспомогательного итерационного процесса íå ñòàíåò меньше заданного
çíàчения, определяющего точность вычислений äëÿ íóëåâîãî приближåíèÿ. Íàõîäèì âå-
личинуHïî формуëå (4.74), функции
v1(η),v2(η)
ïî формуëàì (4.72), (4.75) è, íàêîíåö,
ξ1, ξ2, h, w1(ξ), w2(ξ), θ1, θ2. Íà ýòîì процесс построения íóлевого приближåíèÿ äëÿ çà-
данных çíàчений
íîìó çíàчению параметра
αi0, i = 1, 2
M
è выбранíîãî çíàчения параметра
M
çàêанчиваетсÿ. Îä-
могут соответствовать äî ÷åтырех различных профилей.
Åñëè ìû õîòèì ограничитьсÿ íàõîждением íóлевого приближåíèÿ, òî перебираем
âñå äîïóстимые çíàчения параметраM, далее строим зависимоñòü высоты æèäêîãî ìîñòà
îò параметра
M
è íàõîäèì решение, соответствующее заданному çíà÷åíèþ высоты.
4.3.4. Âòîðàÿ è ïîñледуюùèå èòåðàöèè
главного èòåðационного процесñà
Åñëè æå ìû íå ограничиваемсÿ рассмотрением æèäêîãî ìîñòà â невесомости, òî
ïðîäîëæàåì процесс вычислений äëÿ òîãî æå выбранного çíàчения параметраM. Íà-
õîäèì çíàчение параметра
Φ1(η), Φ2(η)
ïî формуëàì (4.69), (4.70), используÿ äëÿ вычислений функции
b = B(ξ∗)2, определяем новые вспомогательные функции
v1, v2, Ψ1, Ψ
ñ первой итерации. Уравнения (4.69), (4.70) íà второй итерации представляют собой êâàä-
ратные уравнения относительно
η1è
η2ñ постоянными êоэффициентàìè, ïîñêольку ïðè
вычислении ýòèõ êоэффициентов ìû используåì величины, полученные íà предыдущей
итерации. Íàõîäèì
äèì новое çíàчение параметра
çîì, ïîêà îòличия â çíàчениях êорней
η1,
η2,
ξ∗,H,
v1(η),v2(η)èξ1,
ξ2,h,
w1(ξ),w2(ξ),θ1,
θ2. Далее íàõî-
b = B(ξ∗)2è äåëàåì третью итерацию аналогичным îáðà-
η1,
η2íà äâóõ последовательных øàãàõ ãлавного
итерационного процесса íå ñòàíóò меньше заданной величины, определяющей точность
решения çàäà÷è.
Òеперь выполняем âñå описанные вычисления äëÿ êаждого èç äîïóстимых çíà÷å-
íèé параметраM, строим çàâèñимость высоты æèäêîãî ìîñòàhîò параметра
M
äèì решение çàäà÷è, соответствующеå заданному çíàчению высоты ìîñòà. Ìàêсимальное
число òàêèõ ðåøåíèé равно четырем.
.
2
4.3.5. Пример ðасчета жидкого моста между ñôåðàìè
Применим приведенный âûøå алгоритм äëÿ расчетà частного случая вертикàëü-
íîãî êатеноидального æèäêîãî ìîñòà между сферами.
Ïóñòü äíî сфера радиуñà
радиуñà
R2= 8
:ˆφ2(ξ) = h + φ2(ξ),φ2(ξ) = R2−pR
Бонда, равного 0,25,
α10= 0, 5,α20= 0, 7
R1= 6:φ1(ξ) = −R1+
2
2
, è выполняем первую è вторую итерации.
− ξ2. Ðасчеты провоäèì äëÿ числа
p
2
R
− ξ2; крышкà сфера
1
Привоäèì ðåçóëüòàòû расчетов после первого øàãà ãлавного итерационного процесса,
òàê êàê îòличия â решениях ìàëû è графики профилей практически сливаютсÿ.
74
0,65 0,70 0,75 0,80
-0,2
0,0
0,2
0,4
0,6
Ðèñ. 4.7.
Профили æèäêîãî ìîñòà (случай
R2= 8, B = 0, 25, b = 0, 1
итерационного процесса; штрихîâàÿ линия после второго øàãà
; вариант
α1= 0, 5, α2= 0, 7, M = −0, 01, R1= 6,
(++)
): сплошная ëèíèÿ после первого øàãà
Íà ðèñ. 4.7 ïîêазана данная ñèòóàöèÿ. Âûáðàí вариант
параметраb, õарактеризующего радиуñ шейки, â ýòîì варианте ìàêсимальны.
(++)
, ïîñêольку çíàчения
Видна õорошая ñõîдимосòü ãлавного итерационного процесса. ×òî êасаетсÿ ñõîäè-
мости вспомогательного итерационного процесса, òî четыре åãî øàãà обеспечивают òî÷-
ность 0,5 процентà. Введем обозначение
h0= H ξ∗, ãäå çíàченияHè
ξ∗берутсÿ после
четырех шагов.
Íà ðèñ. 4.8 приведен график зависимости âûñîòû ìîñòà
ùåé расстоÿíèå между сферами) îò параметраM.
Äëÿ äîïóстимых ïîëîжительных çíàчений параметра
äëÿ äîïóстимых отрицательных çíàчений
ответствующие четырем вариантàì выбора êîðíåé уравнений (4.76), (4.77). Сущестâóåò
M
получаем четыре ðàçëè÷íûå кривые, ñî-
h0(величины, определяю-
M
имеем îäíó кривую, à
75
Ðèñ. 4.8.
1
Зависимость высоты æèäêîãî ìîñòà
вариант
(++)
выбора çíàчений êорней;2 вариант
3
вариант
(−+);4
вариант
h0îò параметраM:
(+−)
(−−)
;
ìàêсимальное çíàчение высоты æèäêîãî ìîñòà (äëÿ çíàчений высоты, превышающих ýòî
çíàчение, ðåøåíèé íåò). Åñòü интервалы изменения высотû, соответствующие наличию
îдного, äâóõ, òðåõ è четырех ðåшений.
Кроме òîãî, èç ðèñ.4.8 видно, ÷òî, â îòëè÷èå îò случая æèäêîãî ìîñòà между äâó-
ìÿ параллельными òâåðäûìè плоскîñòÿìè, здесь существуåò êонечное ïîëîæèòåльное
çíàчение параметраM, соответствующее òî÷êå êасания ñôåð.
Íà ðèñ. 4.9 приведены четыре различных профиля áîêîâîé поверхности æèäêîãî
ìîñòà между сферами, соответствующие четырем различным çíàчениям параметра
M
è îдному çíàчению высоты ìîñòà
h0= 0, 9
.
76
Ðèñ. 4.9.
à
вариант
Четыре различных профиля æèäêîãî ìîñòà, соответствующие îдному çíàчению åãî высоты:
(++), M = −0, 284;á(+−), M = −0, 185;â(−+), M = −0, 14;ã(−−), M = −0, 013
.
Заметим, ÷òî графикàíà ðèñ.4.9 соответствуåò варианту
(++)
è ñîãëàñóåòñÿ ñ
фотографиями, полученными â õîäå ýêспериментà è приведенными â [32], â òî время êàê
îñòальные òðè ãðàôèêà отражàþò другие теоретически âîçìîæíûå профили.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
 пособии ðàññмотрены ìåòîäû построения приближенных решений çàäà÷ î форме
êàïëè è форме æèäêîãî ìîñòà малого объема между двумя òâåðäûìè ñìàчиваемыми âû-
пуклыми поверхностÿìè. Òàêèå çàäà÷è представляют собой áàçó äëÿ исследования ïðî-
цессов ðîñòà кристаллов èç расплава. Â первых äâóõ ãлавах пособия äàíû íåîáõîдимые
сведения ïî âàðиационному è асимптотическîìó ìåòîäàì, используåìûì ïðè ðåøåíèè
ýòèõ çàäà÷. Â следующих ãлавах ïîдробно описываютсÿ алгоритмы, дающие возмоæ-
ность получения приближенных формуë, описывающих форму êапель è жидких мостов.
77
Ýòè знания важны äëÿ современных èññледователей, ïîñêольку äëÿ изучения îñî-
бенностей ðîñòà кристаллов èç расплава часто используютсÿ математические ìîäåëè.
Кроме òîãî, сведения, почерпнутые èç данного пособия, несомненно, áóäóò полез-
íû ñòóäåíòàì, обучающимсÿ ïî специальностÿì прикладная математикà è прикладная
физикà.
БИБЛИОГРÀФИЧЕСКИЙ ÑÏÈÑÎÊ
1.
Ãалактионова Í. Å.
онова, Ý. À. Тропп // Вопросы математическîé физики è прикладной математики. ÑÏá. : Физикî-
технический институт èì. À. Ô. Иоффе, 2007. Ñ. 257263.
2.
Ãалактионова Í. Å.
íîâà, Å. Â. Ãалактионов, Ý.À. Тропп // Известèÿ ÐÀÍ. Серия физическàÿ. Ì., 2009. Ò. 73, 10.
Ñ. 13931397.
3.
Ãалактионов Å. Â.
î ëåæàùåé, âèñÿùåé è сплюснутой êаплях / Å.Â. Ãалактионов, Í.Å. Ãалактионова, Ý.À. Тропп //
Вопросы математическîé физики è прикладной математики. ÑÏá. : Физико-технический èíñтитут èì.
À.Ô. Иоффе, 2016. Ñ. 434.
4.
Ãалактионов Å. Â.
êапель â случаях малых чисел Бонда è сильной ñìàчиваемости / Å.Â. Ãалактионов, Í.Å. Ãалактионова,
Ý. À. Тропп // Журнал техническîé физики. 2017. Ò. 87, âûï. 10. Ñ. 14751482.
5.
Ãалактионов Å. Â.
лельными òâåðäûìè плоскîñòÿìè ñ учетоì ñèëû òÿæåñòè ïðè малых ÷èñëàõ Бонда / Å.Â. Ãалактионов,
Í. Å. Ãалактионова, Ý. À. Тропп // Журнал техническîé физики. 2016. Ò. 86, âûï. 12. Ñ. 1724.
6.
Galaktionov E. V.
the Vertical Liquid Bridge between Planes / E./,V. Galaktionov, N. E. Galaktionova, E.A. Tropp // Journal
of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1400, 4. P. 044025044032.
7.
Galaktionov E. V.
Axisymmetric Case / E./,V. Galaktionov, N. E. Galaktionova, E. A. Tropp // Journal of Physics: Conference
Series. 2020. Vol. 1697, 1. P. 012081012088.
8.
Ãалактионов Å. Â.
поверхностÿìè ñ учетом ñèëû òÿæåñòè / Å.Â. Ãалактионов, Í. Å. Ãалактионова, Ý.À. Тропп // Журнал
техническîé физики. 2021. Ò. 91, âûï. 3. Ñ. 381387.
9.
Гюнтер Í. Ì.
10.
Смирнов Â. È.
1951. 804 ñ.
11.
Васильева À. Á.
теоретическîå пособие / À. Á. Âàñильева, Â. Ô. Бутузов. Ì. : Высшая øêîëà, 1990. 208 c. (Àê-
òóальные вопросы прикладной è вычислительной математики).
12.
Çèíî È. Å.
È. Å. Çèíî, Ý. À. Тропп. Ë. : Èçä-âî ËÃÓ, 1978. 224 c.
Асимптотические метолы â çàäà÷àõ теории теплопроводности è термоупругости /
Вариационная çàäà÷à î êàïëå íà òâåðäîé поверхности / Í.Å. Ãалакти-
Вариационные çàäà÷è î êîíòàêòå разнороäíûõ ôàç / Í. Å. Ãалактио-
Вариационная ïîñòановкà è построение приближенных решений çàäà÷
Приближенные формуëû, описывающие профили ëåæàùèõ è âèñÿùèõ
Форма поверхности вертикального æèäêîãî ìîñòà между двумя парал-
The Small Parameter Method in the Problem of the Lateral Surface Shape of
The Shape of a Vertical Liquid Bridge between Arbitrary Convex Surfaces in
Ðешение çàäà÷è î форме вертикального æèäêîãî ìîñòà между âûïуклыми
Êóðñ вариационного исчисления / Í. Ì. Гюнтер. Ë.Ì.: ÎÃÈÇ, 1941. 308 ñ.
Êóðñ высшей математики. Â 4 ò. Ò. 4 / Â. È. Смирнов. Ë.Ì.: ГИЗТТË,
Асимптотические метолы â òеории сингулярных âîçмущений: íàó÷íî-
78
13. Crystal Growth Processes Based on Capillarity: Czochralski, Floating Zone, Shaping and Crucible
Techniques / by ed. Th. Duar, J. Wiley. 2010. 533 p.
14. Получение профилированных монокристаллов è изделий способом Степанова / Ï.È. Антонов
[è äð.]; ïîä ðåä. Â. Ð. Ðегеля, Ñ.Ï. Íèêанорова. Ë. : Íàóêà, 1981. 280 ñ.
15.
Ãегузин ß. Å.
16.
Fortes M. A.
Colloid and Interface Science. 1982. Vol. 88, Issue 2. P. 338352.
17.
Vogel T. I.
Journal of Applied Mathematics. 1987. Vol. 47, No. 3. P. 516525.
18.
Zhou L.
1997. Vol. 178, No. 1. P. 185198.
19.
Vogel T. I.
Journal of Mathematics. 2006. Vol. 224, No. 2. P. 367377.
20.
Gagneux G.
from Experimental Data / G. Gagneux, O. Millet // Transport in Porous Media. 2014. Vol. 105.
P. 117139.
21.
Fel L. G.
angewandte Mathematic und Physic. 2015. Vol. 66. P. 34473471.
22.
Bostwick J. B.
IMA Journal of Applied Mathematics. 2015. Vol. 80. Issue 6. P. 17591775.
23.
Haynes M.
// Physical Fluids. 2016. Vol. 28. P. 042107042124.
24.
Teixeira P.I. C.
// Journal of Physics: Condensed Matter. 2020. Vol. 32, No. 3. P. 034002034015.
25. Образование кристаллов. Ñîвременная кристаллография. Â 4 ò. Ò. 3 / À. À. Чернов[и äð.] .
Ì. : Íàóêà, 1964. 567 ñ.
26.
Ландаó Ë. Ä.
êà. Â 10 ò. Ò. 5. 2-å èçä., перераб. Ì. : Íàóêà: Ãëàâíàÿ редакция физико-математичесêîé литературы,
1964. 567 c.
27.
Ландаó Ë. Ä.
 10 ò. Ò. 6. 3-å èçä., перераб. Ì. : Íàóêà: Ãлавная редакция физико-математическîé литературы,
1986. 733 c.
28.
Ôèíí Ð.
Ì. : Ìèð, 1989. 312 ñ.
29.
Френкåëü ß. È.
ïåëü ñ наклонной поверхности / ß. È. Френкåëü // Журнал ýêспериментальной è теоретическîé физики.
1948. Ò. 18, âûï. 7. Ñ. 659665.
30.
Канчукîåâ Â.Ç.
êîåâ // Письма â ÆÒÔ. 2004. Ò. 30, âûï. 2. Ñ. 1216.
31.
Фихтенгольц Ã.Ì.
Ã.Ì. Фихтенгольц. Издание 4-å, исправленное è дополненное. Ì. : ÃÈÔ-ÌË, 1959. 806 ñ.
32.
Nguyen H. N. G.
and Experimental Approaches / H. N. G. Nguyen, O. Millet, G. Gagneux // Continuum Mechanics and
Thermodynamics. 2019. Vol. 31. P. 225237.
33. Гидромехàíèêà невесомости / Â. Ã. Бабский [è äð.] ; ïîä ðåä. À. Ä. Мышкиса. Ì. : Íàóêà,
1976. 504 ñ.
Капля / ß. Å. Ãегузин. Ì. : Íàóêà, 1973. 160 c.
Axisymmetric Liquid Bridges between Parallel Plates / M. A. Fortes // Journal of
Stability of a Liquid Drop Trapped between two Parallel Planes / T. I. Vogel // SIAM
On Stability of a Catenoidal Liquid Bridge / L. Zhou // Pacic Journal of Mathematics.
Convex, Rotationally Symmetric Liquid Bridges between Spheres / T. I. Vogel // Pacic
Analytic Calculation of Capillary Bridge Properties Deduced as an Inverse Problem
Stability of Axisymmetric Liquid Bridges / L. G. Fel, B.Y. Rubinstein // Zeitschrift fur
Liquid-Bridge Shape Stability by Energy Bounding / J.B. Bostwick, P.H. Steen //
Asymptotics of a Horizontal Liquid Bridge / M. Haynes, S. B. G. O'Brien, E. S. Benilov
The Shape of two-dimensional Liquid Bridges / P.I.C. Teixeira, M. A. C. Teixeira
Ñòатистическàÿ физикà / Ë. Ä. Ландаó, Å.Ì. Ëифшиц // Òеоретическàÿ ôèçè-
Гидродинамикà / Ë.Ä. Ландаó, Å. Ì. Лифшиц // Òеоретическàÿ физикà.
Ðавновесные êапиллярные поверхности. Математическàÿ теория / Ð. Ôèíí.
Î поведении жидких êапель íà ïîâåðхности òâåðäîãî òåëà. Ñêатывание êà-
Определение профиля æèäêîé êàïëè íà òâåðäîé поверхности/ Â.Ç. Канчу-
Êóðñ дифференциального è интегрального исчисления. Â 3 ò. Ò. 2. /
On the Capillary Bridge between Spherical Particles of Unequal Size: Analytical
79
Ãалактионова Надежда Евгеньевна
ПРИМЕНЕНИЕ ВАРИАЦИОННОГО
È ÀСИМПТОТИЧЕСКÎÃÎ ÌÅÒÎÄÎÂ
Ê РЕШЕНИЮ ÇÀÄÀ× Î КАПЛЕ
È ÆÈÄÊÎÌ МОСТЕ
Учебное пособие
Ðедактор
Корректор
Оригинал-макåò ïîдготовлен автором
Дизайн îáëîæêè
Ñâîä. темплан 2023 ã.
Санитарно-эпидемиологическîå заключåíèå
78.01.07.953.Ï.001342.01.07 îò 24.01.2007 ã.
Налоговая льготà Общероссийский классификàòîð ïðîдукции
ÎÊ 005-93, ò. 2; 95 3005 учебная литература
Ïîдписано â печать 16.05.2024. Формат 60×84/16. Печать цифровая.
Óñë. ïå÷. ë. 5,25. Тираж 50. Çàêàç 3786.
Отпечатàíî â Издательскî-ïîëèграфическîì центре
Политехническîãî университетà.
195251, Санкт-Петербург, Политехническàÿ óë., 29.
Òåë.: (812) 552-77-17; 550-40-14.
Ò. Á. Цыганова
Í. Á. Цветкова
Å. Â. Ãладышевой
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]