Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение вариационного и асимптотического методов к решению задач о капле и жидком мосте. Учебное пособие
.pdf
w
x
1
∂F
x
∂y
0
∂F
δy +
∂y
′
δy
dx = 0.
′
Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî первая вариация ôóíкционала должна áûòü равна íóëþ, òàê
êàê
w
x
1
δI = I′(0) α = α
w
δI = 0 ⇐⇒
∂F
x
∂y
0
x
1
∂F
x
0
δy +
∂y
δy +
∂F
∂y
∂F
∂y
′
Сформуëèðóåì íåîáõîдимое óсловие íà функцию
′
δy
′
δy
dx = 0;
′
dx = 0.
y(x)
ñ помощью интегрирования
ïî ÷àñòÿì è основной леммы.
Ïóñòü
y(x0) = y0, y(x1) = y1, y(x) ∈ C1[x0, x1]
y(x)
êðèâàÿ, íà êоторой достигàåòñÿ относительный ýêстремум, òîãäà
. Íåîáõîäèìî, чтобы
y(x) ∈ C2[x0, x1]
, íî ìîæíî
ослабить ýòî требование ñ помощью леммы ÄþáóàÐеймона (ñì. [10]) è получить следу-
þùåå выражåíèå:
òîãäà åñëè
y(x)
соотношение
w
x
1
=
∂F
x
∂y
0
w
x
1
∂F
∂y
w
x
x
0
δy dx +
1
∂F
∂y
x
0
=
∂F
∂y
d
−
dx
δy +
δy
′
∂F
∂y
∂F
∂y
x
1
x
0
′
функция, íà êоторой достигàåòñÿ относительный ýêстремум, имеет место
w
x
1
∂F
x
∂y
0
−
d
dx
∂F
∂y
′
δydx +
δy
′
w
−
δydx +
′
dx =
′
∂F
∂F
∂y
δy
∂y
′
δy
′
x
1
x
0
δy dx =
x
1
,
x
0
= 0 .
x
1
d
x
dx
0
∂F
∂y
Åñëè
w
x
y + δy
x
1
0
äîïóстимая кривая, òî
∂F
∂y
d
−
dx
∂F
∂y
′
δy|
x=x
= 0, δy|
0
x=x
δydx = 0 , ∀δy ∈ C1[x0, x1], δy|
= 0
, òàêèì образоì
1
= 0, δy|
x=x
0
x=x
1
= 0,
è ïî основной лемме получаем уравнение Эйлера:
∂F
= 0, ∀x ∈ (x0, x1).
′
∂y
δy|
x=x
= 0, δy|
0
x=x
1
= 0,
Åñëè çíàчения
∂F
−
∂y
y(x0)èy(x1)
d
dx
íå заданы, òî íåò óсловий
äëÿ òîãî, чтобы убрать внеинтегральный ÷ëåí, требуåòñÿ ввести естественные граничные
óсловия
∂F
∂y
= 0,
′
x=x
0
∂F
∂y
′
x=x
= 0.
1
11
è
Замечание 1.
случае свобоäíûõ êонцов (çíàчения
давать относительный ýêстремум функционалу
Åñëè
y(x)
äàåò относительный ýêстремум функционалу
y(x0)èy(x1)
íå заданы), òî
I{y(x)}
â ñëó÷àå закрепленных êонцов
y(x)
I{y(x)}
òåì более должна
y(x0) = y0, y(x1) = y1, òîãäà уравнение Эйлера выполняетсÿ. Следовательно, â случае
свобоäíûõ êонцов внеинтегральный ÷ëåí äîëæåí áûòü равен íóëþ.
Замечание 2.
(
y(xk) = yk, k = 0,1
k = 0, 1
.
Åñëè выполнено óсловие закрепления толькî íà îäíîì èç êонцов
), òî íà другом êîíöå должно выполнятьсÿ óсловие
∂F
∂y
′
x=x
= 0,
1−k
1.3. Уравнение Эйлера äëÿ простейшего функционала
 развернутом âèäå уравнение Эйлера имеет âèä
â
∂F
∂y
−
∂2F
∂y′∂x
−
∂2F
∂y′∂y
y′−
∂2F
∂y
y′′= 0.
′ 2
Ýòî обыкновенное дифференциальное уравнение второго ïîðÿäêà äëÿ íàõîæäåíèÿ ôóíê-
öèè
y(x)
ñ двумя граничными óсловиями íà êонцах промежуткà
y(x0) = y0, y(x1) = y
(èëè естественными граничными óсловиями).
Определение 5.
Кривая
y = y(x)
, êоторая являетсÿ ðåøением уравнения Эйлера,
называетсÿ ýêстремалью.
Ðассмотрим случаи ¾ëåãêîé¿ интегрируåмости уравнения Эйлера.
1. Ïóñòü
d
dx
∂F
∂y
′
âèä
2. Ïóñòü
Äîêазательство.
=
∂F
∂y
−
dy
d
∂F
∂y
F = F (x, y′)
èëè
∂F
∂y
= 0
F = F (y, y′)
∂F
′
y
+
′
∂y
íå зависит îòy, òîãäà
=
const.
′
íå зависит îòx, òîãäà
∂F
0 =
∂y
y′′=
′
d
(F ) −
dy
−
dx
d
∂y
d
dy
∂F
′
∂y
∂F
=
y
′
∂F
= 0
∂y
F − y
∂F
′
∂y
=
−
d
dy
d
dy
è уравнение Эйлера принимает
∂F
′
=
const.
′
∂y
dy
∂F
∂y
=
′
dx
F − y
∂F
′
∂y
′
⇒ F − y
∂F
′
=
′
∂y
const
.
1.4. Случай зависиìîñòè
îò произвоäíûõ высших ïîðÿäêîâ
1
Найдем íåîáõîдимое óсловие относительногî ýêстремума äëÿ функционала
w
x
Ïóñòü
ëó
J{y(x)}
.
Определение 6.
y = y(x)
J{y(x)} =
1
F (x, y, y′, y′′, ... , y
x
0
äîïóстимая кривая, äàþùàÿ относительный ýêстремум функциона-
Äîïóстимая кривая (функциÿ) â ýòîì случае åñòü кривая (ôóíê-
(n)
)dx, n = 2, 3, ... .
öèÿ), óдовлетворяющая следующим óсловиям:
12
1)
(x, y(x)) ∈ D
ïî âñåì переменным ïðè любых êонечных çíàчениях
2)
y(x) ∈ Cn[x0, x1]
3)
y(x0) = y0, y′(x0) = y
y(x1) = y1, y′(x1) = y
Ïóñòü
y(x) ∈ C2n[x0, x1]
Возьмем äîïóстимую функцию âèäà
ìåòð (ïðè
α ∈ (−κ, κ), y(x) + α δy(x)
ïðè íåêотором çíà÷åíèèκ). Ïîäñòàâèì функцию
получим
J(α)
функцию числового параметраα. Íåîáõîдимое óсловие относительного
, ïðè ýòîì â областиDïîдынтегральная функция
y′, y′′, ... , y
(n)
;
;
1
, ... , y
0
1
, ... , y
1
(n−1)
(n−1)
(x0) = y
(x1) = y
0
n−1
1
n−1
,
.
.
y(x) + α δy(x)
, ãäåα малый числовой ïàðà-
äîïóстимая функция èçε окрестности
y(x) + αδy(x)
â функционал
F ∈ C
ýêстремума ýòîé числовой функции:
dJ(α)
dα
=
α=0
w
x
1
∂F
x
∂y
0
δy +
∂F
δy′+ ... +
′
∂y
∂y
∂F
(n)
δy
(n)
dx = 0.
Òеперь интегрируåì ïî ÷àñòÿì (следуåò убрать â ïîдынтегральном выражåíèè ÷ëå-
íû пропорциональные
k = 1 :
k = 2 :
∂F
=
∂y
...............................................................................
w
k = n :
x
... + (−1)
δy′, δy′′, ... , δy
w
x
1
∂F
x
∂y
0
w
x
1
∂F
δy′′dx =
′′
x
∂y
0
x
1
′
x
1
0
n−1
′′
δy
∂F
∂y
(n)
d
dx
x
n−1
n−1
0
δy
−
(n)
′
(n)
δy′dx =
d
∂F
dx
∂y
dx =
δy
∂F
(n)
∂y
):
x
1
w
′′
δy
′
δy
δy
−
x
x
′
x
x
1
x
0
1
0
+
x
0
w
x
−
x
w
x
1
x
0
∂F
∂y
∂F
∂y
′′
∂F
∂y
(n)
δy
x
1
+ (−1)
x
0
(n−1)
−
n
x
0
1
0
1
dx
dx
w
d
d
dx
d
dx
2
x
x
∂F
∂y
′
δy dx;
d
∂F
δy′dx =
′′
∂y
∂F
∂F
n
(n)
n
′′
δy dx;
δy
∂F
(n)
∂y
(n−2)
+ ...
δy dx.
2
∂y
∂y
1
d
dx
0
 ðåçóëüòàòå получаем
=
w
x
1
∂F
x
∂y
0
w
x
1
∂F
x
∂y
0
∂F
+
∂y
∂F
+
′′
∂y
−
−
∂F
∂y
′
d
dx
d
dx
∂F
∂y
−
′
d
∂F
∂y
′′′
dx
∂F
δy +
∂y
2
d
+
2
dx
+ ... + (−1)
′′
+ ... + (−1)
δy′+ ... +
′
∂F
+ ... + (−1)
′′
∂y
n−2
n−1
d
dx
∂F
∂y
d
dx
n−2
n−2
(n)
n−1
n−1
δy
∂y
(n)
n
∂y
∂F
d
dx
∂F
(n)
dx =
n
n
(n)
∂F
∂y
δy|
δy′|
(n)
x
x
x
1
x
0
1
+ ...
0
δy dx+
+
n+1
y(x)
J{y}
è
... +
∂y
∂F
(n)
δy
(n−1)|x
x
1
0
= 0.
13
Ïóñòü íà êонцах промежуткà (
èçâîäíûõ äî ïîðÿäêà
(n − 1)
включительно. Òîãäà
x0, x1) заданы çíàчения функции
δy|
x
1
= 0, δy′|
x
0
x
1
= 0, ... , δy
x
0
y(x)
è âñåõ åå ïðî-
(n−1)|x
1
= 0
x
0
è âñå внеинтегральные члены равны íóëþ è следовательно
J
′
(0) =
α
w
x
1
∂F
x
∂y
0
−
d
dx
∂F
+ ... + (−1)
′
∂y
n
d
n
n
dx
∂y
∂F
(n)
δy dx = 0.
Применяя основную лемму äëÿ случая ïîäûíòåгральной функции, зависÿùåé
îò произвоäíûõ высших ïîðÿäêîâ, получаем уравнение Эйлера:
 частности, äëÿ
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
′
n = 2(J{y(x)} =
∂F
d
−
∂y
dx
+ ... + (−1)
r
x
1
x
0
∂F
′
∂y
F (x, y, y′, y′′)dx
2
d
+
2
dx
n
d
n
n
dx
∂y
∂F
(n)
= 0.
) уравнение Эйлера имеет âèä
∂F
= 0.
′′
∂y
Òàêèì образом, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение2n-ãî ïîðÿä-
êà è
2n
произвольных постоянных â общем решении. Äëÿ обеспечения единственности
решения íåîáõîäèìî2nграничных óсловий. Åñëè íåò2nóсловий закрепления, òî ñòàâèì
естественные граничнûå óсловия:
à) åñëè
á) åñëè
(n−1)
y
y(x0)
(x0)
íå задано, òî
íå задано, òî
∂F
∂y
d
−
′
dx
∂F
∂y
′′
δy|
+ ... + (−1)
δy
x=x
∂F
∂y
(n−1)
(n)
= 0
0
|
= 0
è ñòàâèì граничíîå óсловие
0
= 0;
x=x
x=x
0
è ñòàâèì граничíîå óсловие
x=x
n−1
d
dx
n−1
n−1
∂y
∂F
(n)
= 0;
0
â) åñëè
yk(x0)(k = 1, 2, ... , n − 2
) íå задано, òî
δyk|
x=x
0
= 0
è ñòàâèì граничное
óсловие
∂F
(k+1)
∂y
−
d
dx
∂y
∂F
(k+2)
+ ... + (−1)
n−k−1
d
dx
n−k−1
n−k−1
∂F
∂y
(n)
x=x
= 0.
0
1.5. Случай зависиìîñòè
îò íåñêолькиõ неизвестных функций
Ðассмотрим äëÿ простоты случай функционала, зависящего îò äâóõ íåèçвестных
функций:
J{y(x), z(x)} =
w
x
1
F (x, y, z, y′, z′) dx.
x
0
Получим íåîáõîдимое óсловие относительного ýêстремума äëÿ этого функционала.
Ïóñòü
y(x), z(x)
äîïóстимые функции, дающие относительный ýêстремум:
14
1)
(x, y(x), z(x)) ∈ D ⊂ R3, ãäå
2)
y(x), z(x) ∈ C1[x0, x1]
3)
y′(x0) = y0, y(x1) = y1, z(x0) = z0, z(x1) = z1.
;
F ∈ C2ïðè любых êонечных çíàчениях
y′, z′;
Берем äîïóстимые ôóíêöèè âèäà
параметры, ò. å.
α ∈ (−δ1, δ1), β ∈ (−δ2, δ2)
äîïóстимые функции èçε-окрестностей
Ïóñòü êîíöû закреплены:
δy|
x=x0,x
= 0, δz|
1
x=x0,x
1
= 0
.
y(x0) = y0, z(x0) = z0, y(x1) = y1, z(x1) = z1, òîãäà
Ïîäñòавляем äîïóстимые функции âèäà
J
. Â ðåçóëüòàòå получим ôункцию äâóõ числовых параметровαèβ:
w
x
J(α, β) =
1
F (x, y + α δ y, z + β δ z, y′+ α δ y′, z′+ β δ z′) dx,
x
0
êоторая должна иметь относительный ýêстремум â òî÷êå
ременных
âèä
J(α, β)
íåîáõîдимое óсловие относительного ýêстремума â òî÷êå
∂J
Jα(0, 0) ≡
w
x
1
=
x
0
Jβ(0, 0) ≡
w
x
1
=
x
0
∂α
α=0, β=0
∂F
d
−
∂y
∂J
∂β
dx
α=0, β=0
∂F
−
∂z
dx
y + α δ y, z + β δ z
, è функции
y(x)èz(x)
y(x)+α δ y(x), z(x)+β δ z(x)
w
x
1
=
x
0
∂F
δy dx +
′
∂y
w
x
1
=
x
0
∂F
∂z
′
δz dx +
d
, ãäå
y(x) + α δ y(x), z(x) + β δ z(x)
ïðè íåêотором çíàчении
(0, 0)
. Äëÿ функции äâóõ ïå-
∂F
δ y +
∂y
∂F
∂y
∂F
∂y
′
δ y
′
δ y
′
x
1
= 0;
x
0
∂F
∂z
δ z +
∂F
∂z
∂F
∂z
′
δ z
′
δ z
′
dx =
x
1
= 0.
x
0
α, β
малые числовые
ε > 0
â функционал
(0, 0)
dx =
.
имеет
Первая вариация функционала â ýòîì случае
w
x
1
δ J = α
∂F
x
∂y
0
∂F
δ y +
∂y
=α
+
α
w
x
1
x
0
∂F
∂y
−
d
dx
∂F
∂y
Íåîáõîäèìîå óсловие ýêстремума:
′
∂F
∂y
′
δ y
δ y + β
′
′
δ J = 0
dx + β
δy + β
∂F
∂z
.
w
x
1
∂F
∂z
x
x
δ z +
1
+
0
x
0
δ z
′
∂F
d
−
∂z
dx
∂F
∂z
′
∂F
∂z
δz
′
δ z
′
dx =
dx.
Внеинтегральный ÷ëåí равен íóëþ â ñèëó óсловия закрепления, íåîáõîдимое óñëî-
âèå относительного ýêстремума áóäåò иметь âèä
w
x
1
∂F
x
∂y
0
−
d
dx
∂F
∂y
′
δy dx = 0,
w
x
1
∂F
x
∂z
0
−
d
dx
∂F
∂z
′
δz
dx = 0.
15
δz|
Òàê êàê
x=x0,x
1
δy, δz
= 0
, òî ïî основной лемме получаем систему äâóõ обыкновенных дифференци-
произвольные функции èç
альных уравнений второго ïîðÿäêà
∂F
∂y
∂F
∂z
−
−
dx
C1[x0, x1],
d
∂F
= 0,
′
∂y
d
∂F
= 0
∂z
′
dx
òàêèå, ÷òî
δy|
x=x0,x
1
= 0,
äëÿ íàõîждения функций
y(x), z(x)
класса
C2[x0, x1]
, êоторые äàþò относительный ýêñ-
тремум функционалаJ.
Граничные óсловия äëÿ ýòèõ уравнений â ñëó÷àå закрепленных êонцов имеют âèä
y(x0) = y0, y(x1) = y1, z(x0) = z0, z(x1) = z1, à â случае свобоäíûõ êонцов (естественные
граничные óсловия)
∂F
∂y
= 0,
′
x=x
0
∂F
∂y
= 0,
′
x=x
1
∂F
∂z
′
x=x
0
= 0,
∂F
∂z
= 0.
′
x=x
0
Возмоæíî обобщение íà случайnнеизвестных функций:
w
x
J{y1, y2, ... , yn} =
1
F (x, y1, y2, ... , yn, y
x
0
′
1
, y
′
, ... , y
2
′
) dx.
n
Òîãäà получаем системуnобыкновенных дифференциальных уравнений второго
ïîðÿäêà
∂F
∂y
k
è â случае закрепленных êонцов
d
−
dx
2n
∂F
= 0, k = 1, 2, ... , n
′
∂y
k
граничных óсловий:
y1(x0) = y10, y2(x0) = y20, ... , yn(x0) = yn0, y1(x1) = y11, y2(x1) = y21, ... , yn(x1) = yn1.
1.6. Изопериметрическàÿ çàäà÷à
Çàäà÷à Дидоны исторически первая çàäà÷à вариационного исчисления, èëè ¾èçî-
периметрическàÿ¿ çàäà÷à (îò ãðå÷. isos ¾равный¿,¾îдинакîâûé¿) íàõîждения замкну-
òîé кривой, êоторая ïðè заданном периметре (äëèíå) ограничивает наибольшую ïëî-
ùàäü. Ïîñòановкà çàäà÷è принадлежит ß. Бернуëëè (1697 ã.), à систематичесêîå èçó-
чение Ë. Эйлеру (1732 ã.).
Среди кривых равной длины найти òó, êоторая ограничивает фигуру ìàêсимальной
площади:
J{y(x)} =
w
x
1
y dx, J1{y(x)} =
x
0
w
p
x
1
x
0
1 + y
′ 2
dx = l.
Приведем ïîñòановку общей изопериметрическîé çàäà÷è.
Среди кривых
r
x
1
=
G(x, y, y′) dx
x
0
äàåò относительный ýêстремум ôóíêционалу
y = y(x)
, заданных íà
(x0, x1)
принимает заданное çíàчение
J{y(x)} =
, äëÿ êоторых функционал
(J1{y(x)} = a)
r
x
, найти кривую, êоторая
x
1
F (x, y, y′) dx
0
(çàäà÷à íàõîæ-
J1{y(x)} =
дения относительного ýêстремума функционала ïðè наличии ограничений).
16
Изопериметрическàÿ çàäà÷à ìîæåò áûòü приведена ê обычнîé çàäà÷å вариационно-
ãî исчисления, íî äëÿ другого функционала.
Íåîáõîäèìîå óсловие относительного ýêстремума äëÿ изопериметрическîé çàäà÷è
äàåò теорема Эйлера.
Òеорема Эйлера.
1) кривая
âèÿõ закрепления
r
J{y(x)} =
2) кривая
y = y(x)
y(x0) = y0, y(x1) = y1äàåò относительный ýêстремум функционалу
x
1
F (x, y, y′) dx
x
0
y = y(x)
Òîãäà существóåò òàêàÿ постояннаяλ, ÷òî кривая
димому óсловию существования относительного ýêстремума расширенного ôункционала
I{y(x)} =
r
x
1
H(x, y, y′) dx
x
0
Ïóñòü выполняютсÿ äâà óñëîâèÿ:
ïðè óсловии
J1{y(x)} =
r
x
1
G(x, y, y′) dx = a
x
0
;
íå являетñÿ ýêстремалью функционала
y = y(x)
, ãäå
H = F + λ G
(ò. å.
y(x)
óдовлетворÿåò уравнению Эйлера,
è ïðè óñëî-
J1{y(x)}
.
óдовлетворÿåò íåîáõî-
построенному äëÿ расширенного функционала).
Äîêазательство теоремы Эйлера.
следующего âèäà:
y(x) + α1η1(x) + α2η2(x)
α1∈ (−δ1, δ1), δ1> 0, α2∈ (−δ2, δ2), δ2> 0
y(x) + α1η1(x) + α2η2(x)
äîïóстимые функции èçε-окрестности кривой
η1(x), η2(x) ∈ C1[x0, x1], η1(x0) = η1(x1) = 0, η2(x0) = η2(x1) = 0
Ïîäñòàâèì ýòè äîïóстимые функции â функционал
Введем â рассмотрение äîïóстимые функции
, ãäå
α1, α2 малые числовые параметры,
. Ïðè òàêèõ параметрах
α1, α2функции
y(x)
, ïðè ýòîì
.
J1{y(x)}
. Â ðåçóëüòàòå получим
функцию äâóõ числовых параметров
w
x
J1(α1, α2) =
1
G(x, y + α1η1+ α2η2, y′+ α1η
x
0
′
+ α2η
1
′
) dx.
2
Найдем åå частные произвоäíûå â òî÷êå (0, 0):
∂J
∂α
∂J
∂α
1
1
α1=0, α2=0
1
2
α1=0, α2=0
+
+
w
x
1
=
∂G
x
∂y
0
w
x
1
∂G
x
x
0
∂G
∂y
1
∂y
−
dx
∂G
∂y
−
dx
x
0
w
=
w
x
1
x
0
η1+
d
η2+
d
∂G
∂y
∂G
∂y
∂G
∂y
∂G
∂y
′
′
′
′
′
η
dx =
1
η1(x)dx;
′
η
dx =
2
η2(x)dx.
∂G
∂y
∂G
∂y
x
1
η
+
1
′
x
0
x
1
η
+
2
′
x
0
Внеинтегральные члены обращаютсÿ â íóëü â ñèëó граничныõ óсловий íà ôóíêöèè
η1, η2.
Следовательно, получаем
∂J
∂α
∂J
∂α
1
1
α1=0, α2=0
1
2
α1=0, α2=0
=
=
w
x
1
∂G
x
∂y
0
w
x
1
∂G
x
∂y
0
−
−
d
dx
d
dx
∂G
∂y
∂G
∂y
′
′
η1(x)dx;
η2(x)dx.
17
Ïî óсловию
∂G
íî,
∂y
r
x
1
∂G
(
∂y
x
0
−
−
dx
dx
d
d
∂G
(
∂y
∂G
(
∂y
y(x)
íå являеòñÿ ýêстремалью функционала
) = 0
′
)) η2(x)dx = 0
′
ïðè
x ∈ (x0, x1)
∂J
, ò. å.
∂α
1
|
2
, è ìîæíî выбрать функцию
α1=0, α2=0
= 0
Ðассмотрим теперь уравнение îòíîсительно переменных
óдовлетворÿåòñÿ ïðè
выбора функции
α1= 0, α2= 0
η2(x)
, áóäåò выполнено óсловие
, òàê êàê
J1(0, 0) = J1{y(x)} = a
∂J
∂α
применить теорему î неявной функции.
Òеорема î неявной функции.
1)
F (x, y)
∂F
2)
∂x
3)
F (x0, y0) = 0
∂F
4)
∂y
определена è непрерывна â
∂F
,
непрерывны âD;
∂y
;
|
x=x0,y=y
0
= 0.
Òîãäà â ìàëîé окрестности точки
нозна÷íóþ функциюx:
ïîx,
f(x0) = y0,
y′(x0) = −
 нашем случае
функции уравнеíèå
y = f(x)
F = J1(α1, α2) − a, F (0, 0) = J1(0, 0) −a = 0
J1(α1, α2) −a = 0
êàê îднозна÷íóþ функцию
Имеем
J1(α1, α2) = a
dα
2
dα
1
α1=0
, следоватеëüíî,
. Ïðè ýòîì функцияfимеет непрерывную произвоäíóþ
∂F
∂F
/
∂x
(x0, y0)
∂y
α1ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ
′
J
1α
= −
1
′
J
1α
2
Ïóñòü áóäóò выполнены четыре óсловия:
D = [x0− δ, x0+ δ] × [y0− δ1, y0+ δ1]
(x0, y0)
уравнение
.
определяет â íåêоторой окрестности точки
′
J
dα1+ J
1α
1
r
x
1
∂G
(0, 0)
= −
(0, 0)
(
∂y
x
0
r
x
1
∂G
(
∂y
x
0
J1{y(x)}
η2(x)
çà ñ÷åò выбора функции
α1, α2:
J1(α1, α2) = a
ïî óсловию, à çà ñ÷åò
1
|
α1=0, α2=0
2
= 0
. Òàêèì образом, ìîæíî
F (x, y) = 0
определяетyêàê îä-
è ïî теореме î неявной
α1, близких ê íóëþ.
1α
−
−
′
dα2= 0,
2
d
∂G
(
dx
∂y
d
∂G
(
dx
∂y
)) η1dx
′
)) η2dx
′
∂J
∂α
1
|
(0,0)
2
= k,
= 0, α2(0) = 0
, следователь-
òàêóþ, ÷òî
η2(x)
.
. Îíî
;
(0, 0) α
è
2
ãäå
k = k(η1)
функционал îò
η1(x)
.
Òеперь ïîäñòàâèì äîïóстимую функцию (ñ выбранной óæå
J{y(x)}
Следовательно, òàê êàê
α1= 0
:
J(α1, α2) =
w
x
1
F (x, y + α1η1+ α2η2, y′+ α1η
x
0
α2= α2(α1)
, òî
J(α1, α2) = J(α1, α2(α1)) = J(α1)
:
dJ
dα
1
α1=0
=
=
w
x
1
x
0
w
x
1
x
0
∂F
∂F
∂y
η1+
∂y
∂F
η1+
∂y
dα
dα
′
η
2
1
′
1
α1=0
η
dx + k
∂F
+
2
w
′
∂y
x
1
∂F
x
∂y
0
Провоäÿ интегрирование ïî ÷àñòÿì ñ учетом òîãî, ÷òî
η1(x1) = η2(x1) = 0
w
x
1
x
0
, получаем
∂F
d
−
∂y
dx
∂F
∂y
′
η1dx + k
w
x
1
∂F
x
∂y
0
Òàêèì образом,
dJ
dα
1
α1=0
=
w
x
1
∂F
x
∂y
0
−
d
dx
∂F
∂y
′
η
−
′
+
1
η2+
d
dx
η1dx−
η2(x)
) â функционал
′
+ α2η
1
′
) dx.
2
. Найдем
dα
dα
2
1
α1=0
′
η
2
∂F
′
η
dx.
2
′
∂y
η1(x0) = η2(x0) = 0,
∂F
η2dx.
′
∂y
dx =
dα
dJ
1
ïðè
18
Функция
−
+−
η2(x)
r
x
1
∂G
(
∂y
x
0
r
x
1
∂G
(
∂y
x
0
r
x
1
x
0
r
x
1
x
0
d
∂G
−
(
)) η1dx
′
dx
∂y
d
∂G
−
(
)) η2dx
′
dx
∂y
w
x
1
dx
dx
d
d
x
0
(
(
∂F
∂y
∂F
)) η2dx
′
∂y
∂G
)) η2dx
′
∂y
=
∂F
(
−
∂y
∂G
(
−
∂y
выбрана, следоватеëüíî,
r
x
1
−
∂F
(
∂y
x
0
r
x
1
∂G
(
∂y
x
0
−
−
dx
dx
d
(
d
(
w
−
∂F
∂y
∂G
∂y
x
1
x
0
d
dx
w
)) η2dx
′
)) η2dx
′
Èòàê, существуåò постояннаяλòàêàÿ, ÷òî
dJ
dα
1
α1=0
=
w
=
w
x
1
∂F
x
∂y
0
x
1
∂
x
0
(F + λG) −
∂y
w
=
x
∂F
∂y
+ λ
′
d
−
dx
d
∂
dx
∂y
x
1
∂H
d
−
∂y
0
dx
∂F
∂y
d
−
dx
∂F
∂y
′
η2dx =
∂F
η1dx+
′
∂y
x
1
∂G
x
∂y
0
=
const
∂G
−
∂y
(F + λG)η1(x) dx =
′
−
d
dx
d
dx
= λ.
∂G
∂y
∂G
∂y
′
′
∂H
η1(x) dx,
′
∂y
η1dx.
η1(x) dx =
ãäå
H = H (x, y, y′) = F (x, y, y′) + λ G(x, y, y′)
Òàê êàê ïî óсловию
à
J|
α1=0
= J{y(x)}
, òî должно áûòü выполнено óсловие
y = y(x)
äàåò относительный ýêстремум функционалу
Òàêèì образом, íåîáõîдимое óсловие относительного ýêстремума функционала
ïðè наличии ограничения
ãäå
η1(x)
произвольная функция èç
ïî основíîé лемме получаем
íåîáõîдимому óсловию относительного ýêстремума äëÿ расширенного функционала
I{y(x)} =
r
x
1
H(x, y, y′)dx
x
0
J1{y(x)} = a
w
x
1
∂H
∂y
∂H
∂y
−
dx
−
x
0
(уравнению Эйлера äëÿ расширенного функционала), à òàêæå
y(x0) = y0, y(x1) = y1. Äðóãèìè словами,
.
имеет âèä
d
∂H
′
∂y
C1[x0, x1]
d
∂H
(
) = 0
′
dx
∂y
y = y(x)
dJ
= 0
dα
1
α1=0
.
η1(x) dx = 0,
, ïðè ýòîì
, ò. å. функция
η1(x0) = η1(x1) = 0
y(x)
óдовлетворÿåò
кривая ïîдозрительная íà кривую,
J{y(x)}
J{y(x)}
дающую относительный ýêстремум расширенному функционалуI, ÷òî è требовалось
äîêазать.
Замечание 1.
Общее решение полученного уравнеíèÿ Эйлера, ñîäåðæèò òðè íåèç-
вестные постоянные: äâå постоянные интегрирования è постояннуюλ. Äëÿ èõ íàõîæäå-
íèÿ åñòü òðè óсловия: äâà граничных óсловия
Замечание 2 (Принцип âçàимности).
˜
H = λ1F + G
, ïðè ýòîì ýêстремали äëÿHè˜H
y(x0) = y0, y(x1) = y1è
Óìíîæèì
H = F +λG
J1{y(x)} = a
1
íà
= λ1, получим
λ
.
îäíè è òå æå, следовательно, функции
F
èGâõîäÿò â функционал ñимметрично è èõ ìîæíî менять ìåñòàìè.
,
è
19
Òàêèì образом, ïðè отыскàíèè относительного ýêстремума функционала
ограничением
íèè относительного ýêстремума функционала
J1{y(x)} =
const получаеì òå æå самые ýêстремали, êàê è ïðè íàõîæäå-
J1{y(x)}
ñ ограничением
J{y(x)} =
J{y(x)}
const
(max→min,min→max).
1.7. Общая форма первой вариаöèè
r
x
Ðассмотрим простейший функционал
J{y(x)} =
1
F (x, y, y′)dx
x
0
. Íåîáõîдимое óñëî-
âèå åãî относительного ýêстремума åñòü равенство íóëþ первой вариации функционала
δJ = 0
, ãäå
δJ =
∂F
∂y
x
1
δy
+
′
x
0
w
x
1
∂F
x
∂y
0
−
d
dx
∂F
∂y
′
δydx
являетсÿ ãлавным членом приращения функционала.
Предполагалось, ÷òî ëèáî граничные точки
y(x1) = y1)
∂F
(x1) = 0
′
∂y
стимой кривой ëåæàò íà вертикàëÿõ
, ëèáî êîíöû свобоäíû è òîãäà ñòавятсÿ естественные óсловия
. Â òîì è â другом случае абсциссû êонцов ôèêсированы, ò. å. êîíöû äîïó-
x = x0, x = x1. Ïðè определении первой вариации
(x0, y0), (x1, y1)
заданы
(y(x0) = y0,
∂F
(x0) = 0,
′
∂y
функционала предполагалось, ÷òî область интегрирования íå меняетсÿ (промежуток èí-
тегрирования ôèêсирован). Òеперь получим выражåíèå äëÿ первой вариации áåç òàêîãî
предполоæåíèÿ исследовать случай äëÿ исследования случая ïîдвижных êонцов.
Ðàíåå äîïóстимыми являлись кривые
ñ÷èòàòü, ÷òî äîïóстимые (близкие) кривые
произвольным îáðàçîì, толькî íåîáõîäèìî, чтобы
получим основную êðèâóþ
y = y(x)
, äëÿ êоторой è вычислим вариацию функционала.
y(x) + αη(x)
y(x, α)
зависÿò îò числового парамеòðà
y(x, α)|
, ïðè
η(x0) = η(x1) = 0
= y(x, 0) = y(x)
α=0
. Áóäåì
. Ïðè
α = 0
Ðассматриваем функционал îò измененной äîïóстимой функции, ïðè ýòîì ñ÷èòàåì,
÷òî è пределы интегрирования зависÿò îòα, ò. å.
w
J{y(x, α)} = J(α) =
x1(α)
x0(α)
x0(α), x1(α)
F (x, y(x, α), y
, à именно
′
(x, α)) dx;
x
ñ
α
y(x, 0) = y(x), x0(0) = x0, x1(0) = x1, x0(α) ≤ x ≤ x1(α).
 соответствии ñ общим определением первой вариации, êàê произведения произ-
âîäíîé ïîαïðè
Ñ÷èòàåì, ÷òî функция
Дифференцируåì
α = 0
δx0=
′
δy
x
J(α)
íàα, получаем
dx
0
dα
α=0
∂
∂y(x, α)
=
∂α
d
=
dx
y(x, α)
ïîα, полагàåì
α, δx1=
∂x
∂y(x, α)
∂α
dx
dα
α=0
α=0
1
α=0
α =
α, δy =
α =
∂
∂x
d
δy = (δy)′.
dx
∂y(x, α)
∂α
∂y(x, α)
∂α
α;
α=0
α =
α=0
имеет непрерывные произвоäíûå äî второго ïîðÿäêà.
α = 0
è óìíîæàåì íàα. Â ðåçóëüòàòå, c учетом
20
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]