Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение вариационного и асимптотического методов к решению задач о капле и жидком мосте. Учебное пособие
.pdf
y(x0, 0) = y(x0) = y0, y(x1, 0) = y(x1) = y1, y′(x0, 0) = y′(x0) = y
получаем выражåíèå äëÿ первой вариации функционала:
w
x
δJ = F (x1, y1, y
′
)δx1− F (x0, y0, y
1
′
)δx0+
0
1
[Fyδy + F
x
0
′
, y′(x1, 0) = y′(x1) = y
0
′
(δy)′] dx,
y
′
,
1
èëè
δJ = [F (x, y, y′)δx]|
w
x
+
1
[Fyδy + F
x
0
′
(δy)′] dx, δx|
y
= δx0, δx|
x
0
= δx1.
x
1
x
1
x
0
Преобразуåì второе ñëàãаемое ñ помощью интегрирования ïî ÷àñòÿì:
w
x
1
x
0
ãäå
(δy)0= δy|
y = f(x, α)
′
F
(δy)′] dx = F
y
x=x
, ò. å.
(δy)i= (
, (δy)1= δy|
0
′
(x1, y1, y
y
∂y(xi,α)
∂α
′
)(δy)1− F
1
x=x
)|
α=0
граничные çíàчения первой вариации функции
1
α, i = 0, 1
Найдем первые вариации îðдинат êонцов кривой
ðèì îðдинату
y1 îðдинату правого êîíöà. Очевидно,
′
(x0, y0, y
y
.
′
)(δy)0−
0
y1= f (x1(α), α)
w
x
1
d
′
(F
) (δy) dx,
dx
y
x
0
y = y(x, α):δy0, δy1. Ðассмот-
è ïðè изменении
параметраαáóäóò менятüñÿ îáà аргументà функцииf, à íå толькî второй, êàê ïðè
определении
òàê êàê
правом êîíöå (â òî÷êå
áóäåì иметь
êîíöå основной кривой. Îòñþäà следуåò, ÷òî
(δy)1. Следовательно,
d
δy1=
f(x1(α), α)
dα
∂ f
∂x1(α)
|
α=0
=
∂y
∂x
|
x=x
(x1, y1)
δy0= y
′
δx0+ (δy)0, ãäå
0
1
= y
′
1
α=0
= y′|
α =
′
δx1+ (δy)1,
= y
1
, ãäå
x=x1
∂f
∂x
1
′
y
1
dx
dα
1
α=0
α +
∂f
∂α
α =
α=0
óãëîâîé êоэффициент êасательной íà
). Аналогично äëÿ первой вариации îðдинаты левого êîíöà
′
y
óãловой êоэффициент êасательной íà левом
0
(δy)0= δy0− y
′
δx0, (δy)1= δy1− y
0
′
1
δx1.
Ïîäñòàâèì полученные выражåíèÿ è получим общую форму первой вариации ôóíê-
ционала:
δJ = [F (x, y, y′) δx] |
′
−F
(x0, y0, y
y
w
x
1
−F
+
′
(x0, y0, y
y
Fy−
x
0
′
) (δy0− y
0
−[F (x0, y0, y
′
−F
(x0, y0, y
y
′
) (δy)0−
0
d
∂F
dx
∂y
′
) −y
0
′
0
′
0
′
0
w
x
+
1
x
0
w
x
1
d
x
dx
0
Fyδy dx + F
′
F
δy dx = F(x, y, y′)δx|
y
x
1
x
0
δy dx + F
′
′
(x1, y1, y
y
δx0) = [F (x1, y1, y
w
x
x
0
′
)] δx0+ F
0
1
Fy−
′
F
(x0, y0, y
y
) δy0+
′
) −y
1
d
dx
′
(x1, y1, y
y
′
) (δy1− y
1
′
1
′
(x1, y1, y
y
∂F
∂y
′
F
(x1, y1, y
y
′
′
) (δy)1−
1
′
) δy1−
1
δy dx.
x
1
x
0
′
δx1)−
1
′
1
+
)] δx1−
Òàê, общая форма первой вариации простейшего ôункционала имеет âèä
δJ = (F − y′F
′
)|
y
x=x
δx1+ (F
1
′
)|
y
δy1− (F −y′F
x=x
1
′
)|
x=x
δx0−
0
y
21
w
x
′
−(F
)|
y
ãäå
δx0, δx1, δy0, δy1 первые вариации êîîðдинат êонцов кривой. Сравним ñî случаем
x=x
δy0+
0
1
Fy−
x
0
d
dx
∂F
∂y
′
δy dx,
íåïîдвижных êонцов:
δJ = (F
Обобщение.
y
′
)|
x=x
1
Ïóñòü
δy|
x=x
1
− (F
′
)|
y
x=x
J = J {y1, y2, ... , yn} =
0
δy|
x=x
w
x
1
+
0
r
x
0
x
1
F (x, y1, y
x
0
Fy−
d
∂F
dx
∂y
′
, ... , yn, y
1
′
δy dx.
′
) dx
, òîãäà îá-
n
ùàÿ форма первой вариации имеет âèä
ãäå
δx0, δx1, δy
δJ = (F −
(0)
, δy
1
−(F −
(1)
, ... , δy
1
X
+
n
i=1
X
n
X
i=1
n
i=1
(0)
n
′
y
F
i
w
, δy
′
′
y
F
)|
y
i
i
′
)|
x=x
y
i
x
1
F
x
0
(1)
n
δx1+
x=x
1
δx0−
0
d
−
y
i
dx
первые вариации êîîðдинат êонцов кривых
n
X
i=1
∂F
∂y
n
X
i=1
(F
′
i
′
(F
y
i
′
)|
x=x
y
i
δyidx,
)|
x=x
(1)
δy
(0)
i
−
i
+
1
δy
0
y1, y2, ... , yn.
1.8. Óсловия трансверсальности
Ïóñòü êîíåö исследуåìîé кривой
íà плоскîñòè
(x, y)
(ïîдвижный êîíåö).
Åñëè íà íåêоторой кривой
y = y(x)
y = y(x)
перемещаетсÿ ïî любой çаданнîé линии
относительный ýêстремум çàäà÷è ñ ïîдвижны-
ìè êонцами, òî ýêстремум достигàåòñÿ íà более óçêîì классе кривых, например кривых ñ
закрепленными êонцами. Следовательно, ýòà кривая äîëæíà áûòü решением уравнения
d
Эйлера
Fy−
dx
(F
′
) = 0
y
, ò. å. ýêстремалью. Кроме òîãî, первая вариация функционала
должна áûòü равной íóëþ, íî äëÿ общей формы первой вариации. Ðàâåнство íóëþ первой
вариации функционала â ýòîì случае, ñ учетом òîãî, ÷òî уравнение Эйлера выполняетсÿ,
äàåò íà ïîдвижном êîíöå óсловие (óсловие трансверсальности):
ãäå
δx, δy
первые вариации êîîðдинат ïîдвижного êîíöà.
Åñëèδxè
(F − y′F
δy
независимы, òî получаем óсловия
′
)δx + F
y
′
δy = 0,
y
F −y′F
′
= 0, F
y
′
= 0
y
íà ïîдвижном
êîíöå â случае простейшего функционала.
Åñëè ïîдвижный êîíåö перемещаетсÿ вдоль заданной кривой
äëÿ правого êîíöà), òî
δxèδy
проекции íà êîîðдинатные îñè áåñêонечно малого
y = Ψ(x)
(например,
перемещения ïîдвижного êîíöà вдоль заданной кривой. Следовательно, áóäåì иметь
δy
= Ψ′, ãäå
δx
Ψ′ óãловой êоэффициент êасательной ê кривой
[(F − y′F
′
)δx + F
y
′
y
δy]|
x=x
1
= 0.
y = Ψ(x)
, è
22
Ýòî выражåíèå äåëèì íà
δx
(F − y′F
′
y
+ F
y
′
Ψ′]|
x=x
1
= 0,
è получаем óсловие трансверсальности íà ïîдвижном êîíöå â форме
[F (x, y, y′) + (Ψ′− y′)F
Ýòî óсловие óñòанавливает связь между óãловым êоэффициентом
ýêстремали (ê решению уравнения Эйлера
Ψ′êасательной ê заданной кривой
Алгоритм применения.
заданной кривой
y = Ψ(x)
, à левый êîíåö закреплен
1. Выписываем уравнение Эйлера
y = Ψ(x)
Ïóñòü правый êîíåö исследуåìîé кривой äâèæåòñÿ ïî
Fy−
′
y
Fy−
(x, y, y′)]|
d
′
(F
) = 0
y
dx
= 0.
x=x
1
) è óãловым êоэффициентом
â êаждой òî÷êå ýòîé кривой.
y(x0) = y0.
d
′
(F
) = 0
dx
y
, åãî общее решение двухпара-
y′êасательной ê
метрическîå семейство ýêстремалей.
2. Óñловие íà левом êîíöå позволяет найти îäíó èç постоянных, è îñòàåòñÿ îднопа-
раметрическîå семейство ýêстремалей:
y = f(x, C1)
.
3. Ðешаем систему уравнений, ñîñòîÿùóþ èç óсловия трансверсальности è уравне-
íèÿ äâèæåíèÿ правого êîíöà
(F + (Ψ′− y′)F
′
|
y
= 0, f (x1, C1) = Ψ(x1),
x=x
1
íàõîäèì
x1è
C1.
4. Ïî çíà÷åíèþ
x1определяем
y1(
y1= Ψ(x1)
). Следовательно, åñòü êîîðдинаты
правого êîíöà è кривая, êоторая являетсÿ решением уравнения Эйлера è соединяет точки
(x0, y0)è(x1, y1)
Замечание.
Ψ(x, y) = 0
âèå òðàíñверсальности â форме
îòñþäà ñëåäóåò
.
Åñëè кривая, ïî êîòîðîé перемещаетсÿ êîíåö, задана â неявной форме
, òî имеем
∇Ψ ∥ {F −y′F
Ψxdx + Ψydy = 0 : ∇Ψ⊥{δx, δy}
(F − y′F
′
, F
y
y
′
)δx + F
y
′
}
, òàêèì образом, получаем óñловие трансверсально-
′
δy = 0
y
, à, следовательно,
äàåò
{F − y′F
δy
= −
δx
′
, F
y
y
Ψ
x
. Óñëî-
Ψ
y
′
}⊥{δx, δy}
ñòè â следующей форме:
Ψ
′
y
x
F − y′F
Ïóñòü îáà êîíöà ïîдвижны (îäèí äâèæåòñÿ ïî кривой
y = Ψ(x)
ñêîå семейство ýêстремалей
уравнения äâèæåíèÿ êîíöîâ
). Íàõîäèì îáùåå решение уравнения Эйлера è получаем двухпараметриче-
y = f (x, C1, C2)
. Åñòü äâà óсловия трансверсальности è äâà
f(x0, C1, C2) = Φ(x0), f(x1, C1, C2) = Ψ(x1)
чившуюсÿ систему четырех уравнений относительно
Íàõîäèì
y0, y1: y0= Φ(x0), y1= Ψ(x1)
.
=
′
F
y
.
Ψ
y
x0, x1, C1, C2.
y = Φ(x)
, другой ïî кривой
. Ðешаем ïîëó-
Частные случаи:
à) åñëè граничная òî÷êà
ïðÿìîé
(F − y′F
y = y1, òî
′
)|
y
x=x
1
= 0
δx|
;
x=x
1
(x1, y1)
= 0
, следовательно, óсловие трансверсальносòè ïðèìåò âèä
ìîæåò перемещàòüñÿ толькî ïî горизонтальной
,
23
á) åñëè граничная òî÷êà
ìîé
x = x1, òî
δx1= 0
è óсловие òðàíñверсальности примет âèä
(x1, y1)
ìîæåò перемещатьсÿ толькî ïî вертикальной ïðÿ-
′
F
|
= 0
y
x=x
.
1
1.9. Óсловия ВейерштрассаЭрдмана
 íåêоторых случаях îêазываетсÿ, ÷òî среди линий, обладающих непрерывно ìå-
няющейсÿ êасательной, íåò òàêîé, êоторая äàåò ýêñòðåìóì функционалу. Возникàåò âî-
ïðîñ: возмоæíî ëè найти решение среди линий более общего класса, например среди
линий, êоторые â îòдельных òî÷êàõ íå имеют êасательной, íî имеют êасательные ñïðà-
âà è слева îò êаждой èç òàêèõ точек (линий ñ óãловыми òî÷êàìè)?
Ðассмотрим çàäà÷ó î íàõîждении ýêñòðåìóìà функционала
w
x
J{y} =
1
F (x, y, y′)dx,
x
0
учитывая, ÷òî äîïóстимые кривые óдовлетворÿþò ãðàíè÷íûì óсловиям
y(x1) = B
è имеют óãловую точку
x2(x0< x2< x1)
.
Ìîæåì ñ÷èòàòü закрепленными íå толькî êонцевые точки, íî è точку
y(x0) = A,
(x2, y(x2))
êоторая ÿâëÿåòñÿ óãловой äëÿ исследуåìîé кривой. Ýòà кривая ïðè данном предполоæå-
íèè òåì более должна давать ýêстремум функционалу. Следовательно, участки кривой,
соответствующие промежуткàì
[x0, x2]è[x2, x1]
îñèx, должны являтьсÿ ýêстремалями
çàäà÷è, ò. å. должны óдовлетворÿòü соответствующеìó уравнению Эйлера. Предстàâèì
íàø функционал â âèäå суммы äâóõ функционалов:
w
x
J{y} =
2
x
0
Òàê, èñêîìóþ кривую
y−= y(x), x ∈ [x0, x2],
y+= y(x), x ∈ [x2, x1],
Перехîä îò
y−ê
y+äîëæåí совершатьсÿ непрерывно:
F (x, y, y′)dx +
y = y(x)
w
x
1
F (x, y, y′)dx = J1{y} + J2{y}.
x
2
íàäî строить èç отрезкîâ ýêстремалей:
∂F
= 0, y−= Ψ(x, C1, C2),
′
∂y
∂F
= 0, y+= Ψ(x, C3, C4).
′
∂y
∂F
∂y
∂F
∂y
d
−
dx
d
−
dx
,
Ψ(x2, C1, C2) = Ψ(x2, C3, C4).
Ïðè ýòîì функции
Ó íàñ ïÿòü неизвестных:
Ψ(x0, C1, C2), Ψ(x1, C3, C4)
C1, C2, C3, C4, x2è толькî òðè óсловия. Íå õâàòàåò äâóõ
заданы.
óсловий. Ñòàâèì óсловия ÂåйерштрассаЭрдмана.
Варьируåì функционал ñ учетом òîãî, ÷òî îðдинатà òî÷êè разрыва произвоäíîé
òîæå переменна:
w
J{y(x, α)} = J(α) = J1(α) + J2(α) =
x2(α)
F (x, y(x, α), y
x0(α)
′
(x, α))dx+
x
24
w
+
x1(α)
F (x, y(x, α), y
x2(α)
′
(x, α))dx.
x
Получаем выражåíèå äëÿ первой вариации (ñì. ðàçä. 1.7):
δJ = δJ1+ δJ2= (F −y′F
−(F − y′F
+(F − y′F
Òàê êàê функции
(
δx1= 0, δy1= 0, δx0= 0, δy0= 0
′
)|
x=x2+0δx2
y
′
)|
y
x=x2−0δx2
′
−(F
)|
y
x=x
y+, y−óдовлетворÿþò уравнениям Эйлера è êîíöû закреплены
δJ = (F − y′F
+(F
y
Ввиду произвольности
δx2è
′
− (F
δy0+
0
′
y
+ (F
w
)|
x
)|
y
x=x2+0δy2
′
)|
y
x=x2−0δy2
x
2
Fy−
0
x=x
d
dx
δx1+ (F
1
w
x
+
x
2
− (F −y′F
F
y
), получаем
′
)|
y
x=x2−0δx2
′
)|
x=x2−0δy2
− (F −y′F
′
− (F
y
)|
x=x2+0δy2
δy2, получаем следующие äâà óсловия, êоторые äîëæ-
1
′
′
y
Fy−
)|
′
)|
y
x=x
δy1−
1
d
dx
′
)|
y
δydx = 0.
x=x2+0δx2
= 0 .
F
x=x
′
y
+
δx0−
0
δydx+
íû выполнятьсÿ â óãловой òî÷êå èñêîìîé кривой, åñëè ýòà кривая äàåò относительный
ýêстремум функционалу
′
(F
)|
y
x=x2−0
− (F
J{y}
′
)|
y
:
x=x2+0
= 0, (F − y′F
′
)|
y
x=x2−0
− (F −y′F
′
)|
y
x=x2+0
= 0,
ò. å. óсловия ВейерштрассаÝðдмана.
Замечание.
Аналогично рассматриваетñÿ случай íåñêольких óãловых точек.
1.10. Ðàçрывные çàäà÷è второго ðîäà
Ðазрывными çàäà÷àìè второго ðîäà называютсÿ çàäà÷è отыскàíèÿ ýêñтремума
функционала
J{y} =
w
x
1
F (x, y, y′)dx, y(x0) = y0, y(x1) = y1,
x
0
â êотором ïîдынтегральная функциÿ разрывна.
Задана кривая
Ïóñòü â îáëàñòè 1:
Абсцисса точки
неизвестна. Òî÷êè
y = Φ(x)
F (x, y, y′) = F1(x, y, y′)
(криваяL), êоторая делит плоскîñòü íà области 1 è 2.
, â 2:
F (x, y, y′) = F2(x, y, y′)
.
x2, â êоторой предполагаемая ýêстремаль пересекàåò кривуюL,
x0, y0è
x1, y1ëåæàò â разных областÿõ. Òîãäà íàø ôункционал áóäåò
âûãлядеть следующим образом:
w
x
J{y} =
2
F1(x, y, y′)dx +
x
0
Введем обозначения äëÿ äâóõ êóñêîâ ýêстремали:
ïðè
x ∈ [x2, x1]
.
w
x
1
F2(x, y, y′)dx.
x
2
y = y−ïðè
x ∈ [x0, x2],y = y
+
25
 òî÷êå ñòûêà
y−è
y+принимают равные çíà÷åíèÿ, íî произвоäíûå ìîãóò áûòü
различны (áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
Варьируåì функционал:
y−è
y+имеют непрерывные произвоäíûå).
δJ = δJ1+ δJ2= (F2− y′F
−(F2− y′F
w
x
1
+
+(F
1 y
x
2
′
)|
(F
2 y
x=x2−0δy2
Получаем äâà уравнения Эйлера:
Ðешения ýòèõ уравнений:
÷è íàäî найти çíàчения
C1, C2, C3, C4, x2.
Граничные óсловия:
′
−
+
∂F
∂y
∂F
∂y
d
dx
w
1
2
x
−
−
2 y
′
)|
2 y
x=x2+0δx2
′
(F
)) δy dx + (F1− y′F
2 y
− (F1− y′F
x
2
(F
0
d
dx
d
dx
1 y
−
∂F
∂y
∂F
∂y
d
dx
1
′
2
′
)|
1 y
(F
= 0, x ∈ (x0, x2);
= 0, x ∈ (x2, x1).
δx1+ (F
x=x
1
− (F
′
)|
1 y
′
2 y
δx0− (F
x=x
0
′
)) δy dx = 0.
)|
x=x2+0δy2
′
)|
1 y
y−= Ψ1(x, C1, C2), y+= Ψ2(x, C3, C4)
′
)|
2 y
x=x
1
+
x=x2−0δx2
′
)|
1 y
x=x
δy1−
+
δy0+
0
. Äëÿ решения çàäà-
Ψ1(x0, C1, C2) = y0, Ψ2(x1, C3, C4) = y1;
Ψ1(x2, C1, C2) = Φ(x2), Ψ2(x2, C3, C4) = Φ(x2).
Íå õâàòàåò îдного óсловия. Ñ ó÷åòîì уравнений Эйлера è граничных óсловий имеем
′
)|
1 y
′
)|
2 y
x=x2+0δx2
x=x2+0δx2
x=x2−0δx2
+ (F
− (F
Учитывая, ÷òî
(F1− y′F
−(F2− y′F
δJ = (F1− y′F
−(F2− y′F
δy2= Φ′(x2)δx2, получаем
′
)|
1 y
x=x2−0δx2
′
)|
2 y
Принимая âî внимание произвольность
(F1+ (Φ′− y′)F
1 y
′
)|
x=x2−0
= (F2+ (Φ′− y′)F
+ (F
− (F
′
)|
1 y
x=x2−0
′
)|
2 y
δx2, напишем недостающее óсловие:
1 y
′
)|
2 y
x=x2+0
′
)|
x=x2−0δy2
x=x2+0δy2
= 0.
Φ′(x2− 0)δx2−
Φ′(x2+ 0)δx2.
′
)|
2 y
x=x2+0
−
.
26
1.11. Параметрическàÿ форма
 ðÿäå çàäà÷ более óдобно, â íåêоторых случаях íåîáõîäèìî, пользоватьсÿ парамет-
рическим заданием кривых (ïðÿìûå, параллельные îñèy, пересекàþò кривую, дающую
решение çàäà÷è более ÷åì â îäíîé òî÷êå).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî
x = x(t), y = y(t),
ãäå
t ∈ [t0, t1],
à функции
x(t)èy(t)
непре-
рывно дифференцируåìû.
Перепишем íàø функционал
w
x
I{y(x)} =
1
F (x, y, y′)dx
x
0
â âèäå
ãäå
˙y, ˙x
произвоäíûå ïît.
Ïîêàæåì, ÷òî интеграл
I =
w
t
1
F (x, y,
t
0
r
t
1
G(x, y, ˙x, ˙y)dt,
t
0
˙y
)dt =
˙x
w
t
1
G(x, y, ˙x, ˙y)dt,
t
0
ó êоторого ïîдынтегральная функция íå
ñîäåðæèò независимой переменнойtè являетсÿ ïîëîжительно îäíîðîäíîé ïåðâîé степе-
íè îò
˙x, ˙y
(ò. å.
G(x, y, k ˙x, k ˙y) = kG(x, y, ˙x, ˙y)
)íå изменит своего âèäà ïðè любой замене
параметраt.
Введем âìåñòîtдругой параметр
Òîãäà
I =
r
τ
1
τ
0
G(x, y, x
′
′
′
τ
, y
τ
t
τ
τ, τ = τ(t), τ′(t) > 0
r
τ
′
′
τ
)t
dτ =
t
τ
1
τ
0
′
′
τ
t
G(x, y, x
t
τ
.
′
τ
, y
′
)dτ =
τ
r
τ
1
G(x, y, x
τ
0
′
′
, y
)dτ.
τ
τ
 общем случае параметричесêîé формы кривойlопределим ååε-окрестность ñëå-
дующим образом:
l1принадлежитε-окрестности кривойl, åñëè между òî÷êàìèlè
l1ìîæ-
íî óñòановить òàêîå взаимно îднозна÷íîå соответствие, ïðè êотором ðàññòîÿíèå между
соответствующими òî÷êàìè íå превосõîäèòε.
Ïóñòü íà íåêоторой кривойlфункционал принимает ýêстремальное çíàчение.
Выберем параметризацию
Ðассмотрим кривую
åå â функционал
è приравняем íóëþ произвоäíûå ïîαè
Òîãäà аналогично функции
параметра системе:
l : x = x(t), y = y(t)
x(t) + αη(t), y(t) + α1η1(t)
w
t
1
G(x, y, ˙x, ˙y)dt
t
0
α1ïðè
x(t)èy(t)
∂G
d
−
∂x
∂G
dt
d
−
∂y
dt
α = α1= 0
должны óдовлетворÿòü ïðè любом выборе
∂G
= 0;
∂ ˙x
∂G
= 0.
∂ ˙y
.
èçε-окрестностиl. Ïîäñòàâèì
.
Произвоäÿ дифференцирование â ýòèõ äâóõ уравнениях, получим
Gx− ˙xG
Gy− ˙xG
x ˙x
x ˙y
− ˙yG
− ˙yG
y ˙x
y ˙y
− ¨xG
− ¨xG
˙x ˙x
˙x ˙y
− ¨yG
− ¨yG
˙x ˙y
˙y ˙y
= 0;
= 0.
27
Сведем ýòè äâà уравнения ê îäíîìó.
Ïðîдифференцируåì ïîkсоотношение îднородности:
kG(x, y, ˙x, ˙y) = G(x, y, k ˙x, k ˙y);
G(x, y, ˙x, ˙y) =
∂G
∂(k ˙x)
Затем ïîäñòàâèì
k = 1
, òîãäà
∂G
G(x, y, ˙x, ˙y) =
∂( ˙x)
Ïðîдифференцируåì îáå части полученного òîждества ïî
Gx= ˙xG
Gy= ˙xG
0 = ˙xG
0 = ˙xG
x ˙x
y ˙x
˙x ˙x
˙x ˙y
+ ˙yG
+ ˙yG
+ ˙yG
+ ˙yG
˙x +
˙x +
x ˙y
y ˙y
;
˙x ˙y
.
˙y ˙y
∂G
∂(k ˙y)
∂G
∂( ˙y)
;
;
˙y.
˙y.
x, y, ˙x, ˙y
:
Èç последних äâóõ равенств следуåò, ÷òî
G
˙y
G
˙x ˙x
=
2
−˙x ˙y
G
˙x ˙y
=
˙y ˙y
= G1(x, y, ˙x, ˙y).
2
˙x
Ñ помощью ýòèõ соотношений ìîæíî преобразовать ïàðó íåîáõîдимых óсловий
ê следующему âèäó:
˙yG1(x, y, ˙x, ˙y)( ˙x¨y − ˙y¨x) + G
x ˙y
− G
y ˙x
= 0;
Ïîñêольку
˙xG1(x, y, ˙x, ˙y)( ˙x¨y − ˙y¨x) + G
˙x, ˙y
îдновременно â íóëü íå обращаютсÿ, òî ïðèõîäèì ê îдному уравне-
x ˙y
− G
y ˙x
= 0.
íèþ:
G1(x, y, ˙x, ˙y)( ˙x¨y − ˙y¨x) + G
x ˙y
− G
y ˙x
= 0.
Ê этому уравнению äîáàâèì уравнение, õарактеризующее выбор параметраt, íà-
пример, åñëè çà параметр выбираем äëèíó äóãè èñêîìîé ýêстремали, òî добавочное óðàâ-
нение áóäåò иметь âèä
˙x2+ ˙y2= 1.
2. ÀÑИМПТОТИЧЕСКИЙ ÌÅÒÎÄ
Ðешение физическîé çàäà÷è íàчинаетсÿ ñ построения соответствующåé математи-
÷åñêîé ìîäåëè.  процессе создания òàêîé ìîäåëè исследоватеëü ñòараетсÿ учесть îäíè
явления, êоторые представляютсÿ åìó существенными, ïðåнебрегàåò вторыми è ëèøü
â определенной степени рассматривает третьи. Äëÿ реализации ýòèõ важнейших øà-
ãîâ ïðè ïîñòановкå çàäà÷è прежде âñåãî нужно определить ïîðÿäîê âåëè÷èí различных
28
элементов системы, ñравниâàÿ èõ äðóã ñ другом è заранее выбранными õарактерными
элементàìè.
Ó÷åò малых факторов привоäèò, êàê правило, ê òîìó, ÷òî â ìîäåëè после приведе-
íèÿ ê безразмерному âèäó ïîявляютсÿ члены ñ малыми параметрами â êàчестве ìíîæè-
телей. Óêазанные ìàëûå ìíîжители называют малыми параметрами. Члены уравнения,
ñîäåðæàùèå малые параметры, называют возмущениями, уравнение, íå ñîäåðæàùåå ýòèõ
членов, невозмущенным (èëè âûðîжденным), à уравнение ñ этими членами возму-
щенным уравнением èëè уравнением ñ возмущениями.
2.1. Cоотношения ïîðÿäêà
Определение 1.
ности точки
x0. Åñëè â íåêоторой окрестности точки
|f(x)| ≤ C |g(x)|, C =
Ïóñòü функции
const, òî
f(x)
è
g(x)
определены â íåêоторой окрест-
x0выполняетсÿ неравенство
f(x) = O(g(x)), x → x0.
Åñëè
g(x) = 0
предел отношения
â íåêоторой окрестности точки
f/g
, òî равенство (2.1) îçíà÷àåò, ÷òî
x0, кроме самой точки
x0, è сущесòâóåò
f(x)
lim
x→x
0
g(x)
=
const
= 0.
СимволO÷èòàåòñÿ ¾Îбольшое¿, используåòñÿ òàêæå выражåíèå ¾fïîдчиненаg¿.
Соотношение (2.1) называетсÿ соотношением ограничивающего ïîðÿäêà, à функция
g(x)
функцией ñравнения äëÿ
Например,
sin(2x) = O(x), x → 0
f(x)
.
, òàê êàê
sin(2x)
Определение 2.
точки
x0è
Åñëè
lim
x→0
g(x) = 0
â íåêоторой окрестности точки
= 2.
x
x0, кроме самой
f(x)
lim
x→x
0
= 0,
g(x)
òî
f(x) = o(g(x)), x → x0.
(2.1)
(2.2)
Символ ÷èòàåòñÿ ¾oмалое¿, используåòñÿ òàêæå выражåíèå ¾fпренебрежимо ïî
сравнению ñg¿.
Соотношение (2.2) называетсÿ соотношением меньшего ïîðÿäêà, à функция
функцией сравнения äëÿ
Например,
sin(x) −x = o(x2), x → 0
f(x)
.
, òàê êàê
sin(x) −x
lim
x→0
x
= 0.
2
g(x)
29
Èñõîäÿ èç приведенных âûøå определений, запись
f(x) = o(1)
ïðè
x → x0îçíà÷àåò,
÷òî
lim
f(x) = 0,
x→x
0
ò. å.
f(x)
áåñêонечно малая величина ïðè
Запись
f(x) = O (1)
окрестности точки
Например,
sin(x) = o(1)
ïðè
x → x0îçíà÷àåò, ÷òî
x0, кроме самой точки
ïðè
x → 0
x → x0.
x0.
, à
sin(x) = O(1)
|f(x)| ≤ M, M =
ïðè
x → ∞
.
const â íåêоторой
2.2. Ðåãóлярные è сингулярные возмущения
Возмущения â различных çàäà÷àõ ìîæíî óсловно разделить íà äâà класса: ðåãóëÿð-
íûå âозмущения è сингулярные возмущения. Приведем формальное определение. Ðàñ-
смотрим äâà уравнения:
L0u + εL1u = f0+ εf1,
ãäå
L0è
L1 заданные операторы;
f0,
раметр (â дальнейшем áóäåì ñ÷èòàòü,
L0u = f0;
f1 заданные функции;ε малый числовой ïà-
ε > 0);u(x)
èñêîìàÿ функция (xìîæåò áûòü
(2.3)
(2.4)
êàê îдномерной, òàê è многомерной ïåременной). Уравнение (2.3) ìîæíî трактовать êàê
невозмущенное уравнение (упрощенную ìîäåëü процесса), à уравнение (2.4) êàê возму-
щенное уравнение (èñõîäíóþ ìîäåëü). Члены
εL1uèεf1представляют собой возмущения.
Åñëè уравнения (2.3) è (2.4) являютсÿ дифференциальными, òî следуåò добавить íà÷àëü-
íûå èëè граничные óсловия, êоторые òàêæå могут ñîäåðæàòü малый параметр. Ïóñòü ýòè
уравнения (â совокупности ñ íàчальными èëè граничными óсловиями) рассматриваютсÿ
â íåêоторой областиD, ò. å.
u0(x)
, à çàäà÷è (2.4)
uε(x)
Основной вопрос теории возмущений: áóäåò ëè разность
íóëþ ïðè
ε → 0
? Â определенной степени вопрос зависит îò выбора нормы. Â дальней-
øåì ïîä нормой вектора
евклидову норму
лярная функция, òî
||u(x)|| =p(u
||u(x)|| = |u(x)|
u = u(x), x ∈ D
. Ðешение çàäà÷è (2.3) обозна÷èì через
.
u(x) = (u1(x), u2(x), ... , un(x))
2
(x) + u
1
2
(x) + ... + u
2
2
n
. Сформуëèðóåì определения ðåãóлярно возмущенной
uε(x) −u0(x)
стремитьсÿ ê
â êаждой òî÷êåxáóäåì понимать
(x))
, â частности, åñëè
u(x)
ñêà-
è сингулярно возмущенной çàäà÷.
Определение 3.
Çàäà÷à (2.4) называåòñÿ ðåãóлярно возмущенной, åñëè
sup
||uε(x) −u0(x)|| → 0, ε → 0.
x∈D
 противном случае çàäà÷à (2.4) называеòñÿ сингулярно возмущенной.
Èç определения следуåò, ÷òî â ñлучае ðåãóлярно возмущенной çàäà÷è решение
çàäà÷è (2.3) ïðè малыхεáóäåò близкî ê решению
(равномерно ïîx). Åñëè çàäà÷à (2.4) сингулярно возмущенная, òî
uε(x)
çàäà÷è (2.4) âî âñåé области
u0(x)
30
u0(x)
D
ïðè малыхεíå
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]