Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение вариационного и асимптотического методов к решению задач о капле и жидком мосте. Учебное пособие
.pdf
 ðàçä. 4.3 использована параметрическàÿ форма представления решения è îíî
построено â âèäå ðÿäà ïî ñòåпеням малого параметра числа Бонда.
Исследование случая вертикального æèäêîãî ìîñòà àêòóально äëÿ изучения ïðî-
цессов, имеющèõ место ïðè çатравлении кристаллов, выращиваемых èç расплава [14].
4.1.2. Вариационная постановка задачи
Ðассмотрим случай æèäêîãî ìîñòà, соприкасающегосÿ ñ двумя плоскими òâåðäûìè
поверхностÿìè (äíîì è крышкîé) (ðèñ. 4.1). Жидкий ìîñò â рассматриваемом случае
представляет собой êàïëþ æèäêîñòè малого объема, íàõîдящуюсÿ между двумя парал-
лельными òâåðäûìè плоскîñòÿìè ñ заданными свойствами (ñïëþñíóòóþ êàïëþ).
Ввиду предполагаемой осевой симметрии, áóäåì решать çàäà÷ó î íàõîждении ïðî-
ôèëÿ òàêîé êàïëè â öèлиндрическîé системе êîîðдинат
Поверхностные íàòÿæåíèÿ между средами
êàïëè ñ ïëîñêостью
êостью
z =ˆh
(крышкîé) êðóã радиуñà
описывающие профили нижней
z = 0
(äíîì) êðóã радиуñà
r2. Обозна÷èì
(u1(r))
è âåðõíåé
ляющая ýòè части (¾øåéêà¿) êðóã радиуñà
α13, α14, α34, α23, α24. Область êîíòàêòà
(u2(r))
r∗(r∗≥ 0)
ческих ïðè÷èí äëÿ ïîявления заострения профиля êàïëè, òî â òî÷êå ñ абсциссой
êасательная ê профилю êàïëè должна áûòü вертикальной:
u1(r∗) = u2(r∗) .
Исключение ñîñòавляет случай соприкосновения ëåæàùåé è âèñÿùåé
(r, z)
.
r1, à область êîíòàêòà êàïëè ñ ïëîñ-
u1(r), u2(r)
èñêîìûå функции,
частей êàïëè. Область, разде-
. Ïîñêольку íåò íèêàêèõ ôèçè-
r = r
′
u
(r∗) = −∞, u
1
′
(r∗) = +∞,
2
êапель â îäíîé òî÷êå.
Òàêæå предполоæèì, ÷òî óãëû ñìà÷èâàíèÿ
сплюснутàÿ êàïëÿ (жидкий ìîñò) áóäåò иметь êатеноидальную форму
à
u1(r)èu2(r)
áóäóò îднозначными функциями.
θ1, θ2íå превосõîäÿò
90o. Òîãäà íàøà
r∗< min(r1, r2)
∗
,
Ðèñ. 4.1.
Жидкий ìîñò ìåæäó двумя параллельными òâåðäûìè
плоскîñòÿìè:1,2 òâåðäûå ñðåäû;3 æèäêàÿ среда;
4
ãазообразная среда;
θ1, θ2 óãëû ñìàчивания
51
Объем êàïëè ñ÷èòàåì ôèêсированным:
I{u1(r), u2(r)} = 2π
r
1
w
u1(r)rdr +
r
∗
r
2
w
(ˆh − u2(r))rdr+ π(r∗)
r
∗
2
ˆ
h = V .
(4.1)
Введем â рассмотрение функционал, включающий â ñåáÿ поверхностную энергию è
энергию ñèëû òÿæåñòè. Поверхностная энергèÿ, â ñâîþ очередь, состоит èç части, ñîîò-
ветствующей свобоäíîé поверхности êàïëè è части, соответствующей êîíòàêòó æèäêîñòè
ñ òâåðäûì телом. Исследуåìûé функционал ìîæíî записать â âèäå
J{u1(r), u2(r)} = 2π
r
2
+2π
w
r
∗
p
α
1 + (u
34
r
1
w
r
∗
α
34
′
)2−
2
p
1 + (u
′
)2+
1
1
gρu
2
1
gρ(ˆh − u2)2+ α23− α
2
2
+ α13− α
1
24
rdr+
14
rdr+
(4.2)
1
+π{α13− α14+ α23− α24+
gρˆh2}(r∗)2,
2
ãäåg óñêорение ñèëû òÿæåñòè;ρ плотность æèäêîñòè.
Òàêèì образом, получили изопериметрическую çàäà÷ó: найти минимум функциона-
ëà (4.2) ïðè óсловии, ÷òî функционал (4.1) принимает заданное çíàчение. Â соответствии
ñ теоремой Эйлера îá изопериметрических çàäà÷àõ ââîäèì расширенный функционал
(λ ìíîжитель Лагранжà):
r
1
J{u1(r), u2(r)} + λI{u1(r), u2(r)} = 2π
r
2
+2π
w
H2(r, u2(r), u
r
∗
′
(r))dr + π{α13− α14+ α23−
2
w
H1(r, u1(r), u
r
∗
′
(r))dr+
1
(4.3)
1
−α24+
gρˆh2+ λˆh}(r∗)2,
2
ãäå
H1(r, u1(r), u
H2(r, u2(r), u
′
(r)) =α
1
′
2
p
1 + (u
34
(r)) =α
34
′
1
p
1 + (u
)2+
1
2
′
2
2
gρu
+ α13− α14+ λu
1
1
)2−
gρ(ˆh − u2)2+
2
r ,
1
+α23− α24+ λ(ˆh − u2)r .
Выполнив варьирование расширенного функционала, получим äâà уравнения Ýé-
ëåðà è äâà óсловия трансверсальности.
Введем безразмерные переменные
параметры
µ = λV
1/3
/α34(èñêîìàÿ величина),
ξ = r/V
1/3
, wi= ui/V
h =ˆh/V
1/3
1/3
, B = gρV
, i = 1, 2
è безразмерные
2/3
/α34(заданные
величины). Безразмерная постояннаяB число Бонда.
52
 безразмерном âèäå çàäà÷à включает â ñåáÿ уравнения
d
dξ
dξ
d
p
p
ξw
1 + (w
′
ξw
1
1 + (w
′
(ξ)
2
′
(ξ))
2
(ξ)
1
′
(ξ))
= B ξw1(ξ) + µξ , ξ∗< ξ < ξ1,
2
= B ξ(h −w2(ξ)) −µξ , ξ∗< ξ < ξ2;
2
óсловия òðàíñверсальности
(4.4)
(4.5)
cos θ1≡
cos θ2≡
p
1 + (w
p
1 + (w
1
1
′
(ξ1))
1
′
(ξ2))
2
2
2
α14− α
=
α24− α
=
α
34
α
34
óсловия соприкосновения êàïëè ñ äíîì è крышкîé
w1(ξ1) = 0 ,
w2(ξ2) = h ;
óсловие íåпрерывности профиля êàïëè â øåéêå
w1(ξ∗) = w2(ξ∗) ;
óсловия вертикальности êàñательной â øåéêå
′
w
(ξ∗) = −∞, w
1
′
(ξ∗) = +∞;
2
óсловие ñîхранения объема
13
23
≡ α1,
≡ α2;
(4.6)
(4.7)
(4.8)
(4.9)
(4.10)
(4.11)
ξ
1
w
2π
w1(ξ)ξdξ + 2π
ξ
∗
ξ
2
w
(h − w2(ξ))ξdξ + π(ξ∗)2h = 1 .
ξ
∗
(4.12)
4.1.3. Алгоритм решения
Чтобы упростить зависимость îò нижнего предела â интегралах, âõîдящих â (4.12)
è аналогичных èì, введем перенормировку аргументà, èñêîìûõ функций è параметров:
новая независимая переменная
новые èñêîìûå функции
новые параметры
H = h/ξ∗, b = B(ξ∗)2(b ìîдифицированное число Бонда);
vi(η) = wi(ξ)/ξ∗, i = 1, 2 ;
новый ìíîжитель Лагранжà
η = ξ/ξ∗;
M = µξ∗.
 новых безразмерных переменных уравнения (4.4) è (4.5) примут âèä
d
dη
p
′
η v
1
1 + (v
(η)
′
1
(η))
= b v1η + M η , 1 < η < η1;
2
(4.13)
53
d
dη
p
′
η v
2
1 + (v
(η)
′
2
(η))
= b (H − v2(η)) η − M η , 1 < η < η2.
2
Интегрируÿ ýòè уравнения, получаем
′
η v
(η)
1
1 + (v
′
(η)
2
′
(η))
2
′
(η))
1
= b
2
w
= b
2
1
p
p
η v
1 + (v
Перехîäÿ â (4.15) è (4.16) ê пределу ïðè
C1= −1, C2= 1
. Ðазделив îáå части (4.15), (4.16) íàη, привоäèì ýòè уравнения ê âèäó
η
w
1
b
η
1
η
w
b
(H −v2(s))s ds −
1
p
p
1 + (v
′
v
(η)
2
1 + (v
v
′
(η)
1
′
(η))
2
′
(η))
1
=
2
1
=
2
η
η
w
v1(s)s ds +
1
η
(H −v2(s))s ds −
η → 1
M(η2− 1)
v1(s)s ds +
M(η2− 1)
+ C1;
2
M(η2− 1)
+ C2.
2
, íàõîäèì постоянные
− 1≡ −Φ1(η) ;
2
M(η2− 1)
+ 1≡ Φ2(η) .
2
C1è
(4.14)
(4.15)
(4.16)
C2:
(4.17)
(4.18)
Введенные функции
0 < Φ2≤ 1
. Ðазрешая уравнения (4.17) è (4.18) относительно произвоäíûõ, ïðèõîäèì
Φ1è
Φ2должны óдовлетворÿòü неравеíñòâàì
ê равенствам
dv
1
= −
dη
Èç соотношеíèé (4.17) è (4.18) следуåò
ò. å. выполнение óсловий (4.11). Â окрестíîñòè точки
ляютсÿ â âèäå
Φi(η) = 1 + βi(η − 1) + o(η − 1) , i = 1, 2
Φ1(η)
p
1 −(Φ1(η))
dv
1
dη
η=1
= −∞,
dv
2
,
2
dη
p
=
1 −(Φ2(η))
Φ1(1) = Φ2(1) = 1
dv
2
= +∞,
dη
η=1
η = 1
Φ2(η)
.
2
, à èç уравнений (4.19)
функции
Φ1è
, ïîýòîìó особенности â правых
÷àñòÿõ (4.19) являютсÿ интегрируемыми
v1(η) =
η
1
w
p
1 −(Φ1(s))
η
Φ1(s) ds
, v2(η) = H −
2
η
2
w
p
1 −(Φ2(s))
η
Φ2(s) ds
2
è выполняютсÿ аналоги óсловий соприкосновения êàïëè ñ äíîì è крышкîé:
v2(η2) = H
. Выполняя аналог óсловия (4.10), ïðèõîäèì ê соотношению
η
1
w
p
1 −(Φ1(s))
1
Φ1(s) ds
η
2
w
Φ2(s) ds
p
+
2
1 −(Φ2(s))
1
2
= H.
0 < Φ1≤ 1,
(4.19)
Φ2предстàâ-
(4.20)
v1(η1) = 0 ,
(4.21)
Ïîäñòавляя (4.17) è (4.18) â óсловия трансверсальности
(η))
= −Φ1(η1) = −q1 −α
2
η=η
1
p
′
v
(η)
1
1 + (v
′
1
54
2
;
1
(4.22)
(η))
= Φ2(η2) =q1 −α
2
η=η
2
2
,
2
p
′
v
(η)
2
1 + (v
′
2
ïðèõîäèì ê соотношениям
η
1
w
v1(s)s ds= 0 ;
1
η
2
w
(H −v2(s))s ds= 0 .
1
1
2
1
2
M η
2
M η
+q1 −α
1
2
+q1 −α
2
2
η1−1 +
1
2
η2−1 +
2
1
M − b
2
1
M + b
2
Ñ÷èòàÿ члены, ñîäåðæàùèå ìíîжительb, известными, решаем (4.24) è (4.25) êàê
квадратные уравнения относительно
η1, η2, è получаем, соответственно,
(4.23)
(4.24)
(4.25)
1
±
η
=
1
−q1 −α
M
2
±1 −α
1
2
+ 2M1 +
1
1
M − b
2
1
±
η
=
2
−q1 −α
M
2
±1 −α
2
2
+ 2M1 +
2
1
M + b
2
η
1
w
v1(s)s ds
1
η
2
w
(H −v2(s))s ds
1
1/2
1/2
;
(4.26)
.
(4.27)
Перепишем â новых переменных óсловие ñîõðàíåíèÿ объема (4.12):
η
1
w
3
ξ
∗
1
v1(s)s ds +
η
2
w
(H −v2(s))s ds +
1
1
H=
2
1
2π
.
(4.28)
Интегрируÿ ïî ÷àñòÿì, приведем соотношение (4.28) ê âèäó
ξ∗=π
η
1
w
p
1
Φ1(s)s2ds
1 −(Φ1(s))
η
2
w
Φ2(s)s2ds
p
+
2
1 −(Φ2(s))
1
2
−1/3
.
(4.29)
 ðåçóëüòàòå получаем нелинейную систему четырех уравнений (4.21), (4.24), (4.25),
(4.26) äëÿ íàõîждения четырех параметров
η1, η2, ξ∗, M
.
Последний параметр, êоторый следуåò найти, ìîдифицированный ìíîжитель
ЛагранжàM. Ïîäñòавляя найденные ïî формуëàì (4.26) è (4.27) âåðõíèå пределы èí-
тегрирования
η1(M)èη2(M)
â формуëó (4.21), ïðèõîäèì ê соотношению
H(M ) =
Далее ìîæíî найти
η1(M)
w
1
M
ïî заданному çíà÷åíèþH, обращая функцию (4.30).
Φ1(s) ds
p
1 −(Φ1(s))
η2(M)
w
+
2
1
Φ2(s) ds
p
1 −(Φ2(s))
.
2
Предлагàåòñÿ äëÿ ðåшения çàäà÷è использовать ìåòîä итераций â следующеé ïî-
следовательности.
1. Задаеì çíàчение параметраM, íàõîäèì êîðíè квадратных уравнений (4.24),
(4.25) â предполоæåíèè,
b = 0
, определяем
ξ∗, H
è функции
v1, v2, определяющие ïðî-
ôèëü áîêîâîé поверхности æèäêîãî ìîñòà íà первом øàãå итерационного процесса.
(4.30)
55
2. Вычисляем çíàчение
ñ учетом найденных функций
b = B(ξ∗)2è выполняеì действия, описаííûå âûøå, íî
v1, v2. Ýòî второй øàã итерационного процесса.
Затем делаем третий øàã è òàê далее, äî достижåíèÿ нужной точности вычислений.
Ïðè ýòîì ïðîõîäèì âåñü диапазон äîïóстимых çíàчений парамеòðà
M
è строим
зависимость безразмерной высоты æèäêîãî ìîñòà îò этого параметра. Äëÿ íàõîждения
формы áîêîâîé поверхности æèäêîãî ìîñòà заданной высотыhнужно ñ помощью ïî-
строенной зависимости
h(M)
найти соответствующие çíàчения параметра
M
è óæå äëÿ
íèõ выполнить âû÷èñëåíèÿ, описанные ранее.
Заметим ñðàçó, ÷òî ìàêсимальное число òàêèõ çíàчений равно четырем (четыре
различных профиля ìîñòà). Ïðè ýòîì åñëè высотà превышаåò
h
max
(
h
çíàчение
max
ìàêсимальной высоты æèäêîãî ìîñòà), òî решений íåò.
4.1.4. Первый øàã èòåðационного ïðîöåññà
Ïóñòü число Бонда равно íóëþ. Определяем äèàïàçîí äîïóстимых çíàчений ïàðà-
метраM. Â случае ïîëîжительных çíàчений параметра
M
имеем ïî äâà вещественных
êîðíÿ разных çíàêîâ ó êаждого èç уравнений (4.24), (4.25) è выбираем ïîëîжительные
+
êîðíè
+
η
, η
, òàê êàê ïðè вычислении интегралов нельзя перехîäèòü через точку íóëü
1
2
(ñì. формуëû (4.17), (4.18)).
Òеперь рассмотрим случай отрицательных çíàчений параметраM. Èç анализа
дискриминантов квадратных уравнений следуåò, ÷òî вещественные êîðíè áóäóò ñó-
ществовать â первой области
M ≤ min{−1 − α1, −1 − α2}
единицы è
ξ∗0< 0
(ñì. (4.29)). Ñëåäîвательно, ðåøåíèÿ, имеющие физический смысл,
max{−1 + α1, −1 + α2} ≤ M < 0
è âî второй области
. Âî второй êîðíè уравнений (4.24) è (4.25) áóäóò меньше
áóäóò существовать толькî â первой области. Òàê, äëÿ отрицательных çíàчений ïàðà-
метра
êаждому çíàчению ïàðàметра
(4.25), ëåæàùèå â области
M
äîñòаточно ограничитьсÿ интервалом èç первой области. Â ýòîì диапазоне
M
áóäóò соответствовать четыре êîðíÿ уравнений (4.24),
(+1, +∞)
, è четыре çíàчения параметраh.
Ðассмотрим более ïîдробно первый øàã итерационного процесса (первую итера-
öèþ).
1. Задаем çíàчение параметра èç области äîïóстимых çíàчений.
2. Íàõîäèì ïîëîжительные êîðíè уравнений (4.24), (4.25) ïðè óсловии
+
M > 0
, òî èõ äâà
+
η
, η
1
(ñì. (4.26), (4.27)), à åñëè
2
M
принадлежит интервалу èç
b = 0
. Åñëè
первой области четыре è ïîявляютсÿ, соответственно, ÷åòûðå вариантà выбора êорней
äëÿ проведения дальнейших вычислений вариант
êорень
+
η
уравнения (4.25); вариант
2
(+−)
: êîðíè
η
(++)
+
, η
1
: êорень
−
; вариант
2
+
η
уравнения (4.24) è
1
(−+)
; вариант
(−−)
.
3. Äëÿ êаждого èç возмоæíûõ вариантов выбора ïîëîжительных êорней êâàä-
ратных уравнений (4.24), (4.25) вычисляем
Φ1(η) = Φ2(η) = Φ(η) = [1 −0, 5M(η2− 1)]/η
4. ÍàõîäèìHïî формуëå (4.21) è функции
ξ∗ïî формуëå (4.29) ñ учетом òîãî, ÷òî
.
v1(η), v2(η)
ïî формуëàì (4.20).
56
Ðèñ. 4.2.
(случай
уравнений (24), (25);2 вариант
Зависимость высоты æèäêîãî ìîñòàhîò параметра
α1= 0, 5, α2= 0, 7):1
4
вариант
вариант
(+−);3
(−−)
(++)
выбора êорней
вариант
(−+)
M
;
5. Возвращаемсÿ ê èñõîäíûì безразмерным переменным è íàõîäèì
функции
w1(ξ) = v1(ξ/ξ∗)ξ∗, w2(ξ) = v2(ξ/ξ∗)ξ∗, описывающие â первом приближåíèè
ξ1, ξ2, h
, à затем
профиль æèäêîãî ìîñòà â êаждом èç вариантов.
Òеперь строим график зависимости величины безразмерной высоты æèäêîãî ìîñòà
îò параметраM.
Видим, ÷òî высотà æèäêîãî ìîñòàhубывает монотонно ïðè возрастàíèèMîò íóëÿ
äî
+∞
îò своего çíàчения ïðè
ченийM) äî íóëÿ. Например, äëÿ
M = 0
(ìàêсимальное çíàчение äëÿ неотрицательных çíà-
α1= α2= 0, 5
ýòî
h = 0, 703
. Ïðè ýòîì â первой области
êаждому çíàчению параметраMсоответствуют четыре çíàчения âûñîòûh. Зависимость
безразмерной âûñîòû æèäêîãî ìîñòà îò параметраMäëÿ случая
α1= 0, 5, α2= 0, 7
ïðè-
ведена íà ðèñ. 4.2. Видно, ÷òî â области отрицательных çíàчений параметра существуют
четыре ветви, соответствующие вариантàì выбора êорней êâàäратных уравнений (ветви
(++), (+−), (−+), (−−)
). Ïðè ýòîì äîñòаточно малым çíàчениямháóäåò соответство-
âàòü îäíî çíàчение параметраM, à çíà÷èò, толькî îäèí профиль æèäêîãî ìîñòà
Òàêèì образом, îдному ôèêсированному çíàчениюhíà первом øàãå итерационного
процесса могут соответствовать четыре ðàçëè÷íûõ профиля êàïëè (ìàêсимальное число
ветвей). Ýòà ñèòóàöèÿ ïîêазана íà ðèñ. 4.3. Четыре различных профиля æèäêîãî ìîñòà
57
Ðèñ. 4.3.
åãî высоты
Четыре различных профиля æèäêîãî ìîñòà, ñоответствующие îдному çíàчению
h = 1, 0
á(+−), M = −0, 216;â(−+), M = −0, 216;ã(−−), M = −0, 019
(случай
α1= α2= 0, 5):à
вариант
(++), M = −0, 36
;
соответствуют îдному çíàчению безразмерной высоты
симметричный случай
α1= α2= 0, 5
.
h = 1
, ïðè ýòîì рассматриваеòñÿ
4.1.5. Второй øàã èòåðационного процессà
Перейдем ê описанию второго øàãà итерационного процесса (второй итерации).
 ýòîì случае учитываетсÿ действие ñèëû òÿæåñòè íà вертикальный жидкий ìîñò.
Второй øàã итерационного процесса предполагàåò выполнение следующих действий.
1. Ïðè òîì æå заданном çíàчении параметра
уравнений (4.24), (4.25), используÿ соотношения (4.26) è (4.27), â êоторых
ìîдифицированное число Бонда. Величины
ξ∗, η1, η2, à òàêæå функции
M
íàõîäèì ïîëîжительные êîðíè
b = B(ξ∗)2
v1(η), v2(η)
èç ðåçóëüòàòîâ расчетà первого приближåíèÿ.
2. Äëÿ êаждого èç вариантов выбора êорней вычисляем íîâîå çíàчение
ìóëå (4.29) (функции
3. ÍàõîäèìHïî формуëå (4.21) è функции
Φ1(η), Φ2(η)
определяем ïî формуëàì (4.17), (4.18)).
v1(η), v2(η)
ïî формуëàì (4.20).
4. Возвращаемсÿ ê èñõîäíûì безразмерным переменным è íàõîäèì
функции
w1(ξ) = v1(ξ/ξ∗)ξ∗, w2(ξ) = v2(ξ/ξ∗)ξ∗, описывающие âî втором приближåíèè
ξ∗ïî ôîð-
ξ1,
ξ2,h, à затем
берем
58
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
Ðèñ. 4.4.
M = −0, 273, B = 0, 224, b = 0, 042
Профили æèäêîãî ìîñòà (
α1= 0, 5, α2= 0, 7,
; вариант (++)):
сплошная линия после первого øàãà итерационного
процесса; штрихîâàÿ ëèíèÿ после второго øàãà
профиль æèäêîãî ìîñòà â êаждом èç вариантов.
Следующие èòåðàöèè могут áûòü выполнены ïî òîìó æå алгоритму, ÷òî è вторая
итерация.
 êàчестве примера проведем расчеты профилей жидких мостов è сравним ðåçóëü-
òàòû после îäíîé итерации è после äâóõ итераций. Ðåçóëüòàòû расчетов â варианте
äëÿ
α1= 0, 5, α2= 0, 7, M = −0, 28
приведены íà ðèñ. 4.4. Видно, ÷òî ó÷åò второй èòå-
(++)
рации ïðè äîñòаточно малых çíàчениях параметраbнезначительно меняет решение.
Построим àñèìïòîòèêó решения, полученного â ðåçóëüòàòå îдного øàãà итераци-
онного процесса (случай
ваемости ýòà òî÷êà áóäåò левой границей области äîïóстимых çíàчений параметраM.
4.1.6. Асимптотика решения â окрестности точки M=0
b = 0
) â окрестности точки
M = 0
.  случае сильной ñìà÷è-
 êаждом èç вариантов выбора êорней квадратных уравнений (4.24), (4.25) асимптотикà
ñâîÿ.
Ðассмотрим вариант
(++)
è предполоæèì, ÷òî параметр
M → 0
. Â ýòîì случае
ìîæíî аппроксимировать вспомогательную функциюΦследующим образом:
Φ(η) = 1/η
59
.
Выполнив интегрирование â (4.29), (4.21) ñ учетом
η1∼ (1 −α
−1/2
)
, η2∼ (1 −α
1
2
2
−1/2
)
,
2
получим приближåííî
ξ∗∼
2
π
α
1
1 −α
α
2
+
2
1 −α
1
+
2
2
1/3
1
H ∼
2
(1 + α1)(1 + α2)
ln
(1 −α1)(1 −α2)
1
(1 + α1)(1 + α2)
ln
2
(1 −α1)(1 −α2)
−1/3
;
.
Кроме òîãî, èç (4.20) найдем приближенные выражåíèÿ, описывающие форму áî-
êîâîé поверхности æèäêîãî ìîñòà:
v1(η) ∼ ln(1 + α1)
1/2
(1 −α1)
−1/2
[ η + (η2− 1)
1/2]−1
;
(4.31)
(4.32)
1/2
(1 −α1)
реализуютсÿ толькî äëÿ отрицательных çíàчений ïà-
Варианты
v2(η) ∼ ln(1 + α1)
(+−), (−+), (−−)
раметраM, поэтому áóäåì рассматривать случай
−1/2
[ η + (η2− 1)
M → −0
1/2
].
. Íåîáõîäèìà более точная
аппроксимация ïîдынтегральных выражåíèé â интегралах (4.21), (4.29), à именно
Òîãäà äëÿ вариантà
ξ2∼ (2)
Φ(η)
p
1 −(Φ(η))
(+−)
получим
η1∼ (1 −α
ξ∗∼ −M(2π)
ξ1∼ −M(2π)
2/3
−1/3
(π)
h ∼ (2π)
2
)
1
−1/3
1 −0, 5M(η2− 1)
−1/3
2
2
(1 −α
p
(1 −α
2
−1/2
)
1
−1/6
)
∼
2
−1/2
; η2∼
(1 −α
(1 −α
−1/3
η2− 1
−2
(1 −α
M
; H ∼
2
)
2
2
−2/3
)
2
(1 −α
−(1 −α
1/3
.
.
2
1/2
)
;
2
;
2
−2/3
)
;
2
2
)
2
;
M
(4.33)
Äëÿ вариантà
60
(−+)(M → −0
−2
η1∼
M
ξ∗∼ −M(2π)
ξ1∼ (2)
):
(1 −α
2/3
2
1/2
)
; η2∼ (1 −α
1
−1/3
−1/3
(π)
(1 −α
(1 −α
2
1
2
1
−2/3
)
−1/6
)
2
2
−1/2
)
;
;
;
(4.34)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]