Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение вариационного и асимптотического методов к решению задач о капле и жидком мосте. Учебное пособие
.pdf
áóäåò близкî ê решению
определение íà примерах.
Пример 1.
Ðассмотрим çàäà÷ó Êîøè äëÿ ñêалярного äèфференциального óðàâ-
нения
Ðешение ýòîé çàäà÷è имеет âèä
uε(x)
â êàêîé-òî части областиD. Проиллюстрируåì введенное
du
= −u + εx, 0 ≤ x ≤ 1, u(0) = 1.
dx
uε(x) = (1 + ε) exp(−x) + ε(x − 1).
(2.5)
Соответствующая невозмущенная çàäà÷à èìååò решение:
вательно, ïðè
ε → 0
sup
x∈[0,1]
получим
∥uε(x) −u0(x)∥ = ε max
[exp(−1) + x − 1] = ε exp(−1) → 0,
x∈[0,1]
u0(x) = exp(−x)
è, ñîãласно определению, çàäà÷à (2.5) ÿâëÿåòñÿ ðåãóлярно возмущенной.
Пример 2.
Ðассмотрим çàäà÷ó Êîøè:
du
ε
= −u + x, 0 ≤ x ≤ 1, u(0) = 1.
dx
Ðешение имеет âèä
uε(x) = (1 + ε) exp(−x/ε) + x − ε.
Уравнение, получающеесÿ ïðè
раическим
−u + x = 0
, è åãî решение
ε = 0
(невозмущенное уравнеíèå), являетсÿ алгеб-
u0(x) = x
. Â ýòîì случае невозмущенное уравнение
называют âûðîжденным.
Следовательно,
. Следо-
(2.6)
sup
x∈[0,1]
Òàêèì образом,
∥uε(x) −u0(x)∥ = max
sup
∥uε(x) − u0(x)∥
x∈[0,1]
|(1 + ε) exp(−x/ε) + x − ε| = 1.
x∈[0,1]
íå стремитсÿ ê íóëþ ïðè
(2.6) сингулярно возмущенная.
2.3. Асимптотические ïîñëåäîâàтельности è ðÿäû
Определение 4.
÷åñêîé, åñëè выполíÿåòñÿ соотношение
Последовательность
δn(ε) = (δ
δ0(ε), δ1(ε), δ2(ε), ...
(ε)
n−1
Примеры простейших асимптотических последовательностей:
1, ε, ε2, ε3, ... ,
1
3
2
2
, ε, ε
1, ε
, ... .
ïðè
ε → 0
называетсÿ асимптоти-
ε → 0
.
, çàäà÷à
31
 большинстве случаев рассматриваетсÿ асимптотическàÿ последовательность
ε2, ε3, ...
D(D1⊂ D
параметруε(ñ÷èòàåì
. Â òàêîì случае рассматриваетсÿ ðÿä ïî степеням малого параметраε.
Ïóñòü
Определение 5.
uε(x)
решение возмущенной çàäà÷è â областиD, à
). Ïóñòü â
D1определена íåêоторая ôóíêöèÿ
Функция
ε > 0
) äëÿ решения
U(x, ε)
называетсÿ асимптотическим приближением ïî
uε(x)âD1, åñëè
sup
∥uε(x) −U (x, ε)∥ → 0, ε → 0.
D
1
U(x, ε)
D1 ïîдобласть области
.
1, ε,
Åñëè ïðè ýòîì
sup
ñêèì приближением äëÿ
U = u0(x)
являетсÿ асимптотическим приближением äëÿ решения
D,D = {0 ≤ x ≤ 1}
∥uε(x) − U (x, ε)∥ = O(εk)
D
1
uε(x)âD1ñ точностью ïîðÿäêà
ñ точностью ïîðÿäêàε, à â примере 2 функция
åò асимптотическîå приближåíèå äëÿ
D1= {δ ≤ x ≤ 1}
, ò. å. толькî âíå пограничного ñëîÿ.
uε(x)
ñ точностью ïîðÿäêàεëèøü íà отрезкå
, òî
U(x, ε)
являетсÿ асимптотиче-
εk. Â примере 1 функция
uε(x)
íà âñåì отрезкå
U = u0(x)
äà-
D1,
Ïîä асимптотическим ìåòîäîì понимаетсÿ òîò èëè èíîé способ построения асимп-
тотическîãî приближåíèÿ
правило, построение
U(x, ε)
U(x, ε)
äëÿ решения
uε(x)
èñõîäíîé возмущенной çàäà÷è. Êàê
ñâîäèòñÿ ê решению более простых çàäà÷. Практическàÿ öåí-
ность асимптотическîãî ìåòîäà определяетсÿ âîçìîжностью ýôôåктивного íàõîждения
U(x, ε)
ñ помощью более простых çàäà÷.
Асимптотическîå приближåíèå являетсÿ приближением ê решению èñõîäíîé çàäà÷è
ïðè äîñòаточно маломε.  практических çàäà÷àõεõîòü è ìàëî, íî ôèêсировано, поэтому
U(x, ε)
ìîæåò îêазатьсÿ довольно грубым приближением ê
uε(x)
, íå обеспечивающим
нужной точности, îäíàêî îíî äàåò êàчественное представление î решении è служит
ориентиром äëÿ более тонких численных ìåòîäîâ.
Определение 6.
òàêîé, ÷òî åãîn-ÿ частичная сумма
приближением äëÿ решения
Ðÿä
∞
X
uk(x, ε) ε
k=0
Un(x, ε) =
uε(x)
â областиDñ точностью ïîðÿäêà
P
k
n
uk(x, ε) εkявляетсÿ асимптотическим
k=0
n+1
ε
, ò. å. выполнено
(2.7)
óсловие
supD∥uε(x) −Un(x, ε)∥ = O(ε
n+1
),
(2.8)
êоторое называетсÿ асимптотическим ðÿäîì äëÿ функции
разлоæением функции
uε(x)
) ïðè
ε → 0
â областиD.
uε(x)
(èëè асимптотическим
Вместо ¾построим асимптотический ðÿä¿ èëè ¾построим асимптотическîå разлоæå-
íèå¿ часто употребляют выражåíèå ¾построим асимптотику¿ функции
uε(x)
Íà практикå íå ñòðîÿò âåñü ðÿä, à îãðàíèчиваютсÿ íåñêолькими первыми членами,
ò. å. íàõîäÿò
Un(x, ε)
ïðè íåêоторомn. Îäíàêî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ðÿä ïîñòðîåí, åñëè найден
алгоритм, позволяющий найти любой ÷ëåí ðÿäà.
32
ïðè
ε → 0
.
Асимптотический ðÿä (2.7) ìîæåò íå ñõîдитьсÿ ê функции
õîдящимсÿ. Действительно, ñõîдимость этого ðÿäà ê
uε(x)
uε(x)
îçíà÷àåò, ÷òî
è äàæå áûòü ðàñ-
∥uε(x) −U (x, ε)∥ → 0, n → ∞.
Асимптотический ðÿä (2.7) ïî определению óдовлетворÿåò óсловию (2.8), ò. å. ñó-
ществуют числа
c > 0, ε0> 0
, зависÿùèå îòn, òàêèå, ÷òî ïðè
0 < ε ≤ ε0выполняетсÿ
неравенство
supD∥uε(x) −Un(x, ε)∥ ≤ c ε
Сомножитель
åñëè
0 < ε < 1
. Òåì íå менее èç (2.10) íå следуåò (2.9), ïîñêолькуcзависит îòn, è ýòà
n+1
ε
â правой части этого неравенства стремитсÿ ê íóëþ ïðè
зависимость ìîæåò áûòü òàêîé, ÷òî
c(n)ε
n+1
íå стремитсÿ ê íóëþ ïðè
n+1
.
n → ∞
2.4. Построение àñèìïтотических разлоæåíèé
äëÿ решений ðåãóлярно è сингулярно возмущенных çàäà÷
Ðåãóлярно возмущенные çàäà÷è.
Ðассмотрим íà÷àëüíóþ çàäà÷ó äëÿ ñêалярно-
ãî дифференциального уравнения первого ïîðÿäêà:
dx
= f(x, t, ε), 0 ≤ t ≤ T; x(0, ε) = x0.
dt
.
(2.9)
(2.10)
n → ∞
(2.11)
,
Соответствующая невозмущенная çàäà÷à имеет âèä
dx
= f(x, t, 0), 0 ≤ t ≤ T; x(0) = x0.
dt
Ïóñòü çàäà÷à (2.11) имеет решение
ференцируåìà â области
∥x − ˜x(t)∥ ≤ a, 0 ≤ t ≤ T, 0 ≤ ε ≤ ε0, ãäå
x = ˜x(t)
è функция
f(x, t, ε)
áåñêонечно äèô-
a, ε0 íåêоторые
ïîëîжительные числа.
Ðешение çàäà÷è (2.11) áóäåì èñêàòü â âèäå ðÿäà ïî степеням малого параметра
˜x(t) ≡ x(t, ε) = x0(t) + x1(t) ε + ... + xk(t) εk+ ... .
Ïîäñòавляя ðÿä (2.13) â çàäà÷ó (2.11), раскладывая функцию
... + xk(t)εk+ ... , t, ε)
â ðÿä Òейлора ñ центром разлоæåíèÿ â òî÷êå
f(x0(t) + x1(t)ε + ...
(x0, t, 0)
è группируÿ
члены ïðè îдинакîâûõ степеíÿõ параметраε, ïðèõîäèì ê ñледующим равенствам:
d
(x0+ x1ε + ... + xkεk+ ...) = f (x0, t, 0)+
dt
+[fx(x0, t, 0) x1+ φ1] ε + ... + [fx(x0, t, 0) xk+ φk] εk;
x0(0) + x1(0) ε + ... + xk(0) εk+ ... = x0,
(2.12)
(2.13)
(2.14)
(2.15)
ãäå
φ1= fε(x0, t, 0)
; à
φkïðè
k > 1
выражàþòñÿ рекуррентно через
xiñ номерами
i < k
.
33
Приравнивая êоэффициенты ïðè îдинакîâûõ степеíÿõ â (2.14), (2.15), получаем
çàäà÷è äëÿ íàõîждения функций
dx
0
= f(x0, t, 0), x0(0) = x0;
dt
dx
1
= fx(x0, t, 0) x1+ φ1, x1(0) = 0;
dt
dx
k
= fx(x0, t, 0) xk+ φk, xk(0) = 0, k = 2, 3, ... .
dt
x0(t), x1(t), ... xk:
Çàäà÷à äëÿ
мущенной çàäà÷è. Уравнения äëÿ
x0(t)
совпадает ñ çàäà÷åé (2.12), è, следовательно,
xk, k = 1, 2, ...
(уравнения â вариациях) предстàâëÿ-
x0(t)
решение невоз-
þò собой линейные äифференциальные уравнения ñ íóлевыми íàчальными óсловиями è
имеют единственные решения. Òàêèì образом, ìîæíî найти члены ðÿäà (2.13) äî любого
номераn. Ãлавный ÷ëåí ðÿäà (2.13)
x0(t)
являетсÿ решением более простой çàäà÷è, ÷åì
çàäà÷à (2.11), à îñòальные члены ðÿäà решениями линейных çàäà÷.
Обозна÷èìn-þ частичную сумму ðÿäà (2.13) через
n
X
Xn(t, ε) =
k=0
Òеорема единственности.
ственное решение
решения ïðè
ε → 0
˜x(t)
íà âñåì сегменте
, ïðè ýòîì ðÿä (2.13) являеòñÿ асимптотическим ðÿäîì äëÿ этого
sup
[0,T ]
Ïðè äîñòаточно малыхεçàäà÷à (2.11) имеет åäèí-
0 ≤ t ≤ T
∥˜x(t) −Xn(t, ε)∥ = O(ε
xk(t) εk.
, ò. å.
n+1
Xn(t, ε)
).
, òîãäà
(2.16)
Следуåò учитывать äâà обстоятельства.
1. Ðешение
ностью ïîðÿäêàεíà âñåì сегменте
x0(t)
являетсÿ асимптотическим приближением äëÿ решения
0 ≤ t ≤ T
. Следовательно, çàäà÷à (2.11) ðåãóлярно
˜x(t)
ñ òî÷-
возмущенная.
2. Асимптотическîå разлоæåíèå (2.13) решения ðåãóлярно âîзмущенной çàäà÷è ïðåä-
ñòавляет собой степенной ðÿä ïîεñ êоэффициентàìè, зависящими îòtè независящими
îòε.
Сингулярно âîçìущенныå çàäà÷è.
 прилоæениях часто встречаютсÿ çàäà÷è ñ
сингулярными возмущениями. Ïðè ðåøåíèè òàêèõ çàäà÷ èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä сингуëÿð-
íûõ возмущений. Ðассматривая пример 2, ìîæíî çàметить, ÷òî ðåøåíèÿ âîçмущенной è
невозмущенной (âûðîжденной) çàäà÷ ïðè малых çíàчениях параметраεáóäóò сильно îò-
личатьсÿ толькî â малойδ-окрестности точки
малое ôèêсированное число) îíè áóäóò близки. Интервал
x = 0
, à íà сегменте
(0, δ)
[δ, 1](δ
ñêîëü óãîäíî
называют пограничным
слоем. Ýòîò пример отражàåò особенность решения сингулярно возмущенных çàäà÷.
Пример построения асимптотическîãî разлоæåíèÿ äëÿ решения сингулярно возму-
щенной çàäà÷è.
Ðассмотрим íàчальную çàäà÷ó äëÿ ñêалярного линейного дифференциального óðàâ-
нения ñ малым параметром ïðè произвоäíîé:
34
dx
ε
= −ax + f(t), 0 ≤ t ≤ T , x(0, ε) = x0,
dt
(2.17)
ãäå
a =
const
> 0;f(t)
áåñêонечно äèôôåðåíöèðóåìàÿ функция.
Ðешение çàäà÷è (2.17) обозна÷èì
íîå уравнение имеет решение
x(t) = f(t)/a
x = x(t, ε) = ˜x(t)
. Соответствующее невозмущен-
. Çаметим, ÷òî невозмущенное è возмущенное
уравнения имеют разный òèï.
Попытàåìñÿ построить асимптотичесêîå разлоæåíèå решения çàäà÷è (2.17) â âèäå
òàêîãî æå степенного ðÿäà ïîε, êàê è â предыдущем ïðèìåðå ðåãóлярно возмущенной
çàäà÷è:
x0(t) + x1(t) ε + ... + xk(t) εk+ ... .
(2.18)
Ïîäñòавляя ýòîò ðÿä â уравнение возмущенной çàäà÷è è ïðèðàâíèâàÿ êîýôфициен-
òû ïðè îдинакîâûõ ñòåïåíÿõ параметраε, получаем
x0(t) =
x1(t) = −
xk(t) = −
f(t)
a
;
= −
k−1
dt
f′(t)
2
a
= (−1)
... ;
k
(k)
f
(t)
, k = 2, 3, ... .
k+1
a
dx
1
0
a
dt
dx
1
a
Ãлавный ÷ëåí построенного ðÿäà совпадает ñ решением невозмущенного уравнения.
Ðÿä (2.18), построенный òàêèì образом, очевидно, óдовлетворÿåò уравнению возмущен-
íîé çàäà÷è, íî íå óдовлетворÿåò íàчальному óсловию. Ñëåдовательно, îí íå ìîæåò ñëó-
æèòü асимптотическим разлоæением решения возмущенной çàäà÷è ïî крайней ìåðå
â íåêоторой окрестносòè íàчальной точки
t = 0
.
Строим дополнительно ðåøåíèå â окрестности точки
менную
τ = t/ε
. Асимптотическîå разлоæåíèå решения возмущенной çàäà÷è áóäåò иметь
t = 0
. Ââîäèì новую ïåðå-
âèä
∞
X
Каждая èç функций
свойством, ÷òî
Πk(τ)
xk(0) + Πk(0) = 0
˜x =
ñîäåðæèò â êàчестве ìíîжителя
.
(xk(t) + Πk(τ)) εk,
k=0
exp(−aτ)
(2.19)
è обладает òåì
Приведем õарактерные особенности разлоæåíèÿ (2.19).
1. Ýòî разлоæåíèå состоит èç äâóõ ðÿäîâ: òîãî æå ðÿäà, êàê è â ðåãóлярном случае,
ò. å. степенного ðÿäà ïî малому параметруεñ êоэффициентàìè, зависящими îòt, è
åùå îäíîãî ðÿäà степенного ðÿäà ïîεñ êоэффициентàìè, зависящими îò ðàñòянутого
времениτ:
Π0(τ) + Π0(τ) ε + ... + Πk(τ) εk+ ... .
(2.20)
2. Члены ðÿäà (2.20) обладают двумя важными свойствами.
Во-первых,
x0(0) + Π0(0) = x0, xk(0) + Πk(0) = 0, k = 1, 2, ...
, â ðåçóëüòàòå ÷åãî ðÿä
(2.20) óдовлетворÿåò заданному íàчальному óсловию, â òî âðåìÿ êàê ðÿä (2.18) этому
óсловию íå óдовлетворÿåò.
Во-вторых, âñå функции
Πk(τ)
ýêспоненциально затухàþò ñ ростомτ, à следоватеëü-
íî, îíè существенны ëèøü â малой окрестности точки
t = 0
(â пограничном ñëîå).
35
Функции
Πk(τ)
называютсÿ ïîãðàíичными функциями, ðÿä (2.18) ðåãóлярным
ðÿäîì èëè ðåãóлярной частью àñèìïòîòèêè, ðÿä (2.20) пограничным ðÿäîì èëè погра-
ничной частью асимптотики.
3. ÇÀÄÀ×È Î КАПЛЯХ
3.1. Построение энергети÷åñêîãî функционала
Знание равновесной формы кристаллов существенно äëÿ определения формы, êî-
торую кристàëë принимает â процессе ðîñòà [25]. Ïðè ìîделировании ðîñòà èç расплава
ïî ìåòîäàì Степанова è ×îхральскîãî íåîáõîäèìî решать çàäà÷ó î форме æèäêîãî ìå-
íèñêà.
Физическàÿ литература ïî теории êапиллярности è морфологии кристаллов îáëà-
äàåò любопытной особенностью: дифференциальные уравнения, êоторым ïîдчиняеòñÿ
равновесная форма êапиллярной поверхности, âûâîäÿòñÿ èç вариационного принциïà,
à граничные óсловия èç ìåõанических соображåíèé. Òàê, â известном ¾Курсе теоре-
тическîé физики¿ Ë. Ä. Ландаó è Å. Ì. Ëèôøèöà [26] формуëà Лапласа выведена èç
óсловия минимума поверхностной энергии êàïëè, à краевой óãîë ñìàчивания èç óñëî-
âèÿ равновесия точки трехфазной линии [27]. Между òåì ñòандартная ñèòóàöèÿ ñ âàðè-
ационными ïîñòановкàìè çàäà÷ èíàÿ: èç вариационного принципа ìîæíî вывесòè è
дифференциальные уравнения, è граничные óсловия (åñтественные óсловия ýêстремума
функционала). Ýòî äàåò преимущество ïðè приближенном решении çàäà÷ ñ помощью
ïðÿìûõ ìåòîäîâ вариационного исчисления, â частности âàðèàöионно-разносòíûõ ìåòî-
äîâ, ïîñêольку естествеííûå óсловия íå требуют специального рассмотрения (íå влияют
íà выбор êîîðдинатных функций).
 [28], [29], [30] проведено исследование çàäà÷è î êàïëå, ëåæàùåé íà òâåðäîé поверõ-
ности ñ учетом действия ñèëû òÿæåñòè, кроме òîãî, â [28] рассмотрена è çàäà÷à î âèñÿùåé
êàïëå. Â [29] ñ помощью ìåòîäà линеаризации получены приближенные формуëû, îïè-
сывающие профиль ëåæàùåé êàïëè ïðè óñловии сильной ñìàчиваемости â äåêартовых
êîîðдинатàõ (äëÿ áåñêонечной балки ñ сечением â âèäå профиля êàïëè).
Функционал, варьирование êоторого äàåò уравнение äëÿ поверхности êàïëè è ãðà-
ничные óсловия, â двумерном случае (äëÿ áåñêонечной балки ñ сечением â âèäå профилÿ
êàïëè) имеет âèä
ww
J[u] =
Ω
q
2
α
1 + u
23
x
+ u
2
dxdy +
y
ww
(α12− α13) dxdy,
Ω
(3.1)
ãäå
u(x, y)
функция, определяющая форму êàïëè;
αij(i, j = 1, 2, 3)
поверхностные
íàòÿæåíèÿ между различными средами (òâåðäîé, æèäêîé, ãазообразной); областьΩ
проекция ïîâåðхности êàïëè íà плоскîñòü òâåðäîé ïîäëîæêè
u = 0
. Первое ñëàãаемое â
(3.1) представляет собой поверхностную энергию криволинейной поверхности êàïëè,
36
à второе разность поверхностных энергий областиΩ, возникающая ïðè замене íà ýòîì
участкå êîíòàêòà ñ ãàçîì íà êîíòàêò ñ æèäêостью.
Ïîдобный функционал рассматривали â [29], [30] â двумерном случае è â [25] ïðè
рассмотрении вопроса î гетерогенном образовании çàðîдышей ïðè переохлаждении.
Ðавновесная форма êàïëè определяетсÿ óсловием минимума функционала (3.1)
â случае постоянного объема:
ww
G[u] =
u dxdy = V =
Ω
const
,
(3.2)
Ïîñêольку второе ñëàãаемое â (3.1) íå зависит îò функционального аргументà
u(x, y)
âèä уравнения Ýйлера òîò æå, ÷òî è â монографии [26], à естественное граничное óсловие
представляет собой óсловие трансверсальности.
3.2. Ëåæàùàÿ êàïëÿ
3.2.1. Постановка задачи
Ðассмотрим случай êàïëè, ëåæàùåé íà òâåðäîé поверхности ïðè íàëè÷èè òðåõ ôàç
è ñ учетом ñèëû òÿæåñòè (ðèñ. 3.1).  настоÿùåì пособии рассмотрены çàäà÷è î ëå-
æàùåé è âèñÿùåé êаплях ñ постоянными поверхностными íàòÿæениями â трехмерном
осесимметричном случае.
Ввиду осевой симметрии áóäåì решать çàäà÷ó î íàõîждении ïрофиля êàïëè â öè-
линдрическîé систеìå êîîðдинат. ОбластьΩ, занимаемая êаплей íà òâåðäîé поверхности,
представляет собой êðóã радиуñà
r1(èñêîìàÿ величина).
,
Ðèñ. 3.1.
2
Капля, ëåæàùàÿ íà òâåðäîé поверхности:1 òâåðäàÿ среда;
æèäêàÿ среда;3 ãазообразная среда;
θ1 óãîë ñìàчивания
37
Объем êàïëè заданная величина
I1{u1(r)} = 2π
ãäå
u1(r)
èñêîìàÿ функция, описывающая профиль поверхности ëåæàùåé êàïëè.
Áóäåì рассматривать толькî случай îднозна÷íîé функции
V1, è, следовательно,
r
1
w
u1(r)rdr = V1,
0
u1(r)
(3.3)
.
Введем â рассмотрение функционал, включающий â ñåáÿ поверхностную энергию è
энергию ñèëû òÿæåñòè. Поверхностная энергия, â ñâîþ очередь, состоит èç части, ñîîò-
ветствующей свобоäíîé поверхности êàïëè è части, соответствующей êîíòàêòó æèäêîñòè
ñ òâåðäûì òåëîì. Òàêèì образом, функционал ìîæíî записать â âèäå
r
1
w
J1{u1(r)} = 2π
0
p
α
1 + (u
23
′
)2+ α12− α13+
1
ãäåg óñêорение ñèëû òÿæåñòè;ρ плотность æèäêîñòè;
1
2
αij поверхностные íàòÿæåíèÿ
gρu
2
1
rdr ,
(3.4)
между средами òâåðäîé 1, æèäêîé 2 è ãазообразной 3.
Следуåò найти ýêстремум функционала (3.4) ïðè óсловии, ÷òî функционал (3.3)
принимает заданное çíàчение, ò. å. ïðèõîäèì ê изопериметрическîé çàäà÷å ñî свобоäíîé
границей (
ционал
r1 èñêîìàÿ величина). Äëÿ åå решения íåîáõîäèìî минимизировать ôóíê-
r
1
J1+ λ1I1=
w
H1(r, u1(r), u
0
′
(r))dr ,
1
(3.5)
ãäå
H1(r, u1(r), u
′
(r)) = 2πα
1
23
p
1 + (u
′
)2+ α12− α13+
1
1
2
gρu
2
+ λ1u
1
r .
1
+
Уравнение Эйлера äëÿ функционала (3.5) áóäåò èìåòü âèä
dr
d
p
α23ru
1 + (u
′
1
= gρru1+ λ1r .
′
2
)
1
(3.6)
Кроме óсловия постоÿíñòâà объемà (3.3) ïðè ýòîì должны åùå выполнятьсÿ óсловия
∂u
1
′
1
′
(0) = 0
1
r=r
1
= 0,
(r1, 0)
(3.7)
ìîæåò äâèãàòüñÿ
u1(r1) = 0, u
è óсловие трансверсальности, òàê êàê òî÷êà ñ êîîðдинатàìè
ïî îñè абсцисс:
H1− u
′
1
∂H
êоторое ñ учетом первого èç óсловий (3.7) äàåò èçâåстное соотношение, связывающее óãîë
ñìàчивания è поверхностные íàòÿæåíèÿ â òî÷êå êîíòàêòà òðåõ ôàç
′
2
)
r=r
1
1
α13− α
=
12
α
≡ α1.
23
(3.8)
cos θ1≡
p
1
1 + (u
38
Ввиду предполоæåíèÿ îá îäíîçíàчности функции, описывающей профиль êàïëè,
óãîë
θ1íå äîëæåí ïðåâîñõîäèòü 90 градуñîâ, следовательно, правая часть (3.8) ïîëîæè-
тельна.
Приведем çàäà÷ó ê áезразмерному âèäó c помощью введения следующих масштàáîâ:
1/3
ξ =
r
, w1=
1/3
V
1
u
1
,˜λ1=
1/3
V
1
λ1V
α
23
1
,
ãäå
1/3
V
õарактерный размер êàïëè. Введем обозначение
1
2/3
gρV
1
α
23
Безразмерная ïîñòîянная
B1=
B1 число Бонда.
.
 новых переменных çàäà÷à áóäåò иметь ñëåäóþùèé âèä:
1) уравнение Эйлера
d
dξ
p
1 + (w
ξw
′
1
(ξ)
′
(ξ))
1
= B1ξw1(ξ) +˜λ1ξ ;
2
2) óсловия
ξ
1
w
1
w1(ξ)ξdξ =
′
(0) = 0 ;
1
ξ=ξ
1
2π
= α1,
0
w1(ξ1) = 0, w
1
p
1 + (w
′
2
)
1
(3.9)
;
(3.10)
(3.11)
(3.12)
ãäå
ξ1 çíàчение новой независимой переменной, соответствующее çíàчению
r1.
3.2.2. Асимптотический метод
Построим решение çàäà÷è î ëåæàùåé êàïëå äëÿ случая малых чисел Бонда. Ìà-
ëûå числа Бонда соответствуют жидким êаплям малого объема, например äëÿ случая
êàïëè расплава Al2O3[14] ÷èñëî Бонда меньшå 0,1, åñëè диаметр êàïëè меньше äâóõ
миллиметров.
Ïóñòü
ïî степеням малого параметра
Èñêîìûå величины
B1 малый парамеòð çàäà÷è (3.9)(3.12). Áóäåì èñêàòü решение â âèäå ðÿäà
B1:
w1(ξ) = w10(ξ) + w11(ξ)B1+ w12(ξ)B
ξ1,˜λ1òàêæå áóäåì èñêàòü â âèäå ðÿäà ïî степеням
ξ1= ξ10+ ξ11B1+ ξ12B
2
+ ... ,˜λ1=˜λ10+˜λ11B1+˜λ12B
1
2
+ ... .
1
2
+ ... .
1
B1:
39
Ïîäñòàâèâ ýòè разлоæåíèÿ â уравнение (3.9) è приравняв êоэффициенты ïðè îäè-
íàêîâûõ степенях малого параметра
B1â левых è правых ÷àñòÿõ, получим уравнения
íóлевого è первого приближåíèé:
d
dξ
d
dξ
[1 + (w
p
ξw
ξw
1 + (w
′
(ξ)
11
′
(ξ))2]
10
10
′
(ξ)
′
10
3/2
=˜λ10ξ ;
2
(ξ))
= w10(ξ)ξ +˜λ11ξ.
Óсловие постоянства объема êàïëè (3.10) äàñò â ýòèõ приближениях следующие
óсловия:
ξ
10
w
w10(ξ)ξdξ =
0
ξ
10
w
1
;
2π
w11(ξ)ξdξ + w10(ξ10)ξ10ξ11= 0 .
0
Первое èç óсловий (3.11) äàñò â íóëåâîì è первом ïриближениях:
(3.13)
(3.14)
(3.15)
(3.16)
w10(ξ10) = 0 ;
w11(ξ10) + w
′
(ξ10)ξ11= 0 .
10
Второе èç óñловий (3.11) äàñò â íóлевом è первом приближениях:
′
w
(0) = 0 ;
10
′
w
(0) = 0 .
11
Óсловие (3.12) äàñò â íóлевом è первом приближениях:
1 + (w
1
′
(ξ10))
10
′′
(ξ10)ξ11= 0 .
10
= α1;
2
p
′
w
(ξ10) + w
11
Òàêèì образом, получиëè çàäà÷ó íóлевого приближåíèÿ (3.13), (3.15), (3.17), (3.19),
(3.21) è çàäà÷ó первого приближåíèÿ (3.14), (3.16), (3.18), (3.20), (3.22).
Ðåøèâ çàäà÷ó íóлевого приближåíèÿ, получим
˜
λ10= −2
π(1 −α1)2(2 + α1)
3
1/3
, ξ10= −2(˜λ10)
−1
q
1 −α
2
,
1
(3.17)
(3.18)
(3.19)
(3.20)
(3.21)
(3.22)
à профиль ëåæàùåé êàïëè â íóлевом приближåíèè áóäåò определятьсÿ выражением
w10(ξ) = 2(˜λ10)
−1
α1−s1 −0, 5˜λ10ξ
2
.
40
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]