Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение вариационного и асимптотического методов к решению задач о капле и жидком мосте. Учебное пособие
.pdf
Перейдем ê ðåøåíèþ çàäà÷è первого приближåíèÿ. Получим систему äâóõ линей-
íûõ алгебраических уравнений äëÿ определения˜λ11è
˜
λ11=
1
2
ξ
10
2q1 −α
2
1
ξ11−
ξ11:
1
;
π
ξ11= −
4π(1 −α
Ðåøèâ ýòó систему, найдем˜λ11è
˜
λ11= 2α1(3 + α1)(α1− 1)[ 3˜λ10+ 2π(1 − α
ξ11= [ 3˜λ10+ 4π(1 − α1)ξ
2
]2πq1 −α
10
1
2
3/2
)
1
ξ11:
(2 + α1)
2
1
[ 3˜λ10+ 2π(1 − α
˜
[ 3˜λ
λ11+ 4α1− 4 ] .
10
2
1
)(2 + α1)ξ
2
1
à первая поправкà äëÿ профиля ëåæàùåé êàïëè áóäåò иметь âèä
w11(ξ) =
p
1 −α
α
1
2
1
ξ11+
2˜λ
−3
10
q
1 −(0, 5˜λ10ξ)2− α
3
×
q
α
1 −(0, 5˜λ10ξ)
1
+ 4 ln
4
− 3(˜λ
2
1 +q1 −(0, 5˜λ10ξ)
1 + α
˜
λ11+ 2α1)+
10
1
2
.
2
]−1;
10
)(2 + α1)ξ
×
1
2
10
−1
]
,
Òîãäà приближенная формуëà, описываþùàÿ форму поверхности ëåæàùåé êàïëè
ñ точностью äî членов второго ïîðÿäêà малосòè относèòåëüíî числа Бонда
áûòü записана â форме
w1(ξ) = w10(ξ) + w11(ξ)B1.
3.2.3. Метод ëèíåаризации
Построим решение çàäà÷è î ëåæàùåé êàïëå (3.9)(3.12) äëÿ случая сильной ñìà÷è-
ваемости ìåòîäîì линеаризации. Óсловие (3.12) перепишем â âèäå
′
w
(ξ1) = −
1
p
1 −α
α
1
2
1
≡ −γ1,
рассмотрим случай
0 ≤ γ1≪ 1 .
Òîãäà уравнение (3.9) ìîæíî çàìåíèòü íà линеаризованное óðàâíåíèå
d
dξ
′
ξw
(ξ)= B1ξw1(ξ) +˜λ1ξ .
1
B1, ìîæåò
(3.23)
41
Общее ðåøåíèå этого уравнения имеет âèä:
˜
λ
1
,
B
1
p
B1I1(pB1ξ) .
(3.24)
ãäå
C1è
C2= 0
p
w1(ξ) = C1I0(
B1ξ) + C2K0(pB1ξ) −
C2 произвольные постоÿííûå. Ñ ó÷åòîì второго èç óсловий (3.11), ïîëó÷èì
è, следоватеëüíî,
˜
λ
w1(ξ) = C1I0(pB1ξ) −
B
1
1
, w
′
(ξ) = C
1
1
Îòñþäà, ñ ó÷åòîì óсловия (3.23) è первого èç óсловий (3.11), íàõîäèì
γ
C1= −
√
1
;
(3.25)
B1I1(√B1ξ1)
˜
λ
C1I0(pB1ξ1) =
B
1
.
1
(3.26)
Èç (3.26) ñ учетом формуëû (3.25) получим выражåíèå äëÿ íàõîждения ìíîжителя
Лагранжà:
Далее íåîáõîäèìî найти
˜
λ1= −γ
p
1
ξ1. Ïîäñòàâèì â (3.10) выражåíèå äëÿ
I0(√B1ξ1)
B
1
I1(√B1ξ1)
.
w1(ξ)
(3.27)
èç (3.24) è,
выполнив èíòåгрирование, получим трансцендентное уравнение äëÿ íàõîждения âåëè-
÷èíû
ξ1:
I0(√B1ξ1)
I1(√B1ξ1)
p
B1ξ1− 2ξ1=
B
πγ
1
.
1
(3.28)
Ðåøèâ ýòî уравнение, найдем
ìóëå (3.25)
C1. Приближенную формуëó äëÿ профиля ëåæàùåé êàïëè, полученную
ξ1, далее ïî формуëå (3.27) определим˜λ1, à ïî ôîð-
â ðåçóëüòàòå первого øàãà процесса линеаризации, äàñò (3.24).
Далее ïîäñòàâèì полученное íóлевое приближåíèå äëÿ функции
w1(ξ)
â çíàìåíà-
òåëü левой части уравнения (3.9). Получим линейное обыкновенное дифференциальное
уравнение второго ïîðÿäêà äëÿ íàõîждения следующего приближåíèÿ процесса линеари-
зации è повторим âåñü процесс, описанный ранее. Òàêîâ алгоритм процесса линеаризации
äëÿ случая êàïëè, ëåæàùåé íà òâåðäîé поверхности.
Ðассмотрим случай
èç (3.25) следуåò
C1= 0
ýòîì íå выполняетсÿ è
γ1= 0
(íóлевой óãîë ñìàчивания). Â ýòîì случае äëÿ
, èç (3.5) ˜λ1= 0
w1(ξ) ≡ 0
íå являетсÿ решением èñõîäíîé çàäà÷è.
è (3.24) äàåò
w1(ξ) ≡ 0
ξ1< +∞
, íî óсловие (3.10) ïðè
Построим асимптотику решения çàäà÷è первого øàãà процесса линеаризации ïðè
γ1→ 0.
ξ1→ +∞,
Èç трансцендентного уравнеíèÿ (3.28) âèäíî, ÷òî ïðè
γ1→ +0
íåîáõîäèìî
à èç асимптотики ìîдифицированных функциé Бесселя ïðè больших çíà÷å-
íèÿõ аргументà ñëåäóåò, ÷òî
I0(√B1ξ1)
I1(√B1ξ1)
ξ1→+∞
→ +1 .
42
Ãлавным ÷ëåíîì â левой части уравнения (3.28) ïðè ýòîì áóäåò ÷ëåí√B1ξ
вательно,
асимптотикà çíàчения
величин
ξ1∼ D1/√γ1,
C1,˜λ1:
ãäå постоянная
ξ1ïðè
C1∼ −
(B1)
ïðè
γ1→ +0 .
Следовательно, асимптотикà ïðè
γ1→ +0,
√
1/8
exp((B1)
2(π)
D1= (B1)
выражåíèÿ (3.25) è (3.27) дадут асимптотику
1/4
3/4
/√πγ1)
γ1→ +0
1/4
/√π .
(γ1)
Далее, после òîãî êàê найдена
3/4
,˜λ1∼ −pB1γ1,
äëÿ профиля ëåæàùåé êàïëè после ïåð-
âîãî øàãà процесса линеаризации áóäåò иметь âèä
w1(ξ) ∼ −
(B1)
√
1/8
1/4
2(π)
(γ1)
exp((B1)
3/4
3/4
/√πγ1)
I0(pB1ξ) +
√
γ
1
.
B
1
Ìàêсимум ìîäóëÿ àсимптотическîãî представления решения â êаждой òî÷êå ëè-
нейно стремитсÿ ê íóëþ ïðè
γ1→ +0 .
3.3. Âèñÿùàÿ êàïëÿ
2
,
1
следо-
3.3.1. Ïîñòàíîâêà задачи
Перейдем ê рассмотрению âèñÿùåé êàïëè (ðèñ. 3.2) [28]. Ïóñòü êàïëÿ висит
íà òâåðäîé поверхности (плоскîñòü
z = h, h > 0
).
Ðèñ. 3.2.
2
Капля, âèñÿùàÿ íà òâåðäîé поверõíîñòè:4 òâåðäàÿ ñðåäà;
æèäêàÿ среда;3 ãазообразная среда;
θ2 óãîë ñìàчивания
43
Поверхностные íàòÿæåíèÿ между òâåðäîé è æèäêîé, òâåðäîé è ãазообразной ñðå-
äàìè íà ýòîé плоскîñòè åñòü
è плоскîñòè
z = h
(областьΩпредставляет собой êðóã радиуñà
Объем âèñÿùåé êàïëè заданная величина
ãäå
u2(r)
èñêîìàÿ функция, описывающая профиль поверхности âèñÿùåé êàïëè.
α42è
α43, соответственно. Область êîíòàêòà âèñÿùåé êàïëè
I2{u2(r)} = 2π
V2, è, следовательно,
r
2
w
(h − u2(r))rdr = V2,
0
r2 èñêîìîé величины).
(3.29)
Ïî аналогèè ñ ðàññмотренным случаем ëåæàùåé êàïëè введем â рассмотрение ôóíê-
ционал, включающий â ñåáÿ поверхностную ýíåðãèþ è энергию ñèëû òÿæåñòè. Поверõ-
ностная энергия, â ñâîþ очередь, áóäåò состоÿòü èç части, соответствующеé свобоäíîé
поверхности êàïëè è части, соответсòâóþùåé êîíòàêòó æèäêîñòè ñ òâåðäûì телом. Ýòîò
случай áóäåò îòличатьсÿ îò рассмотренного толькî òåì, ÷òî â уравнение энергетическî-
ãî баланса ýíåðãèÿ ñèëû òÿæåñòè войдет ñ противополоæíûì çíàêîì. Òàêèì образом,
функционал áóäåò иметь âèä
J2{u2(r)} = 2π
r
2
w
0
p
α
1 + (u
23
′
)2+ α42− α43−
2
1
gρ(h − u2)
2
2
rdr .
(3.30)
Íàäî найти ýêстремум функционала (3.30) ïðè óсловии, ÷òî функционал (3.29)
принимает заданное çíàчение, ò. å. ïðèõîäèì ê изопериметрическîé çàäà÷å ñî свобоäíîé
границей (èñêîìàÿ величина
íàë
r2). Äëÿ åå решения íåîáõîäèìî минимизировать функцио-
r
2
J2+ λ2I2=
w
H2(r, u2(r), u
0
′
(r))dr ,
2
(3.31)
ãäå
H2(r, u2(r), u
′
(r)) = 2πα
2
23
p
1 + (u
′
)2+ α42− α43−
2
1
−
gρ(h − u2)2+ λ2(h − u2)r .
2
Уравнение Эйлера äëÿ функционала (3.31) áóäåò èìåòü âèä
d
dr
p
1 + (u
α23ru
′
2
= gρ(h − u2)r − λ2r .
′
2
)
2
(3.32)
Кроме óсловия (3.29) должны выполнятьсÿ åùå äâà óсловия
u2(r2) = h, u
′
(0) = 0
2
è óсловие трансверсальности, êоторое â íàøåì случае áóäåò иметь âèä
H2− u
′
2
∂H
∂u
2
r=r
= 0 .
2
′
2
44
(3.33)
(3.34)
Ýòî óсловие ñ учетом первого èç óсловий (3.33) ìîæíî переписать â форме
′
2
)
r=r
2
2
α43− α
=
42
α
≡ α2.
23
cos θ2≡
p
1
1 + (u
Имеем ÷åòûðå óсловия, включая óñëîâèå постоянства объема, è четыре неизвестные
постоянные:
кроме параметра
˜
h = h/V
r2, λ2è äâå постоянные интегрирования уравнения Эйлера.  ýòîé çàäà÷å
α2ïîявилсÿ åùå îäèí параметр высотàh(â безразмерном âèäå
1/3
) .
2
Далее, аналогично случаю ëåæàùåé êàïëè, приведем çàäà÷ó ê безразмерному âèäó
è введем постоянную Бонда
B2.
 новых переменных çàäà÷à áóäåò иметь ñëåäóþùèé âèä:
1) уравнение Эйлера
(3.35)
d
dξ
p
1 + (w
ξw
′
2
(ξ)
′
(ξ))
2
= B2(˜h − w2(ξ))ξ −˜λ2ξ ;
2
2) óсловия
ξ
2
w
(˜h − w2(ξ))ξdξ =
0
w2(ξ2) =˜h, w
′
2
p
′
w
(ξ2) =
2
ãäå
ξ2 çíàчение новой независимой переменной, соответствующее çíàчению
1 −α
α
2
1
2π
(0) = 0 ;
2
2
≡ γ2,
;
3.3.2. Асимптотический метод
Построим решение çàäà÷è î âèñÿùåé êàïëå äëÿ случая малых чисел Бонда. Èòàê,
ïóñòü
B2 малый параметр çàäà÷è (3.36)(3.39). Áóäåì èñêàòü решение â âèäå ðÿäà ïî
степеням ýòîãî параметра аналогично случаю ëåæàùåé êàïëè.
(3.36)
(3.37)
(3.38)
(3.39)
r2.
 ðåçóëüòàòå получим уравнения íóлевого è первого приближåíèé:
d
dξ
[1 + (w
d
dξ
ξw
p
′
(ξ)
21
′
(ξ))2]
20
′
ξw
20
1 + (w
3/2
(ξ)
′
20
= −˜λ20ξ ;
2
(ξ))
= (˜h − w20(ξ))ξ −˜λ21ξ.
Óсловие постоянства объема êàïëè (3.37) äàñò â ýòèõ приближениях следующие
óсловия:
ξ
20
w
(˜h − w20(ξ))ξdξ =
0
1
;
2π
(3.40)
(3.41)
(3.42)
45
ξ
20
w
w21(ξ)ξdξ = [˜h − w20(ξ20)]ξ20ξ21.
0
Первое èç óсловий (3.38) äàñò â íóëåâîì è первом ïðиближениях:
(3.43)
w20(ξ20) =˜h ;
w21(ξ20) + w
′
(ξ20)ξ21= 0 .
20
(3.44)
(3.45)
Второе èç óñловий (3.38) äàñò â íóлевом è первом приближениях:
′
w
w
20
′
21
(0) = 0 ;
(0) = 0 .
(3.46)
(3.47)
Óсловие (3.39) äàñò â íóлевом è первом приближениях:
w
′
w
(ξ20) + w
21
′
(ξ20) =
20
p
′′
(ξ20)ξ21= 0 .
20
1 −α
α
2
2
2
;
(3.48)
(3.49)
Òàêèì образом, получиëè çàäà÷ó íóлевого приближåíèÿ (3.40), (3.42), (3.44), (3.46),
(3.48) è çàäà÷ó ïåðâîãî приближåíèÿ (3.41), (3.43), (3.45), (3.47), (3.49) äëÿ âèñÿùåé
êàïëè.
Ðåøèâ çàäà÷ó íóлевого приближåíèÿ, получим
˜
λ20= −2
π(1 −α2)2(2 + α2)
3
1/3
, ξ20= −2 (˜λ20)
−1
q
1 −α
2
,
2
à профиль ïîâåðхности âèñÿùåé êàïëè áóäåò описыватьсÿ формуëîé
w20(ξ) =˜h − 2 (˜λ20)
−1
α2−s1 −0, 5˜λ20ξ
Следуåò заметить, ÷òî åñëè выполнено óсловие
α2= α1, òî ïðè построении íóëå-
2
.
âûõ приближåíèé äëÿ ëåæàùåé è âèñÿùåé êапель áóäåì иметь˜λ20=˜λ10, ξ20= ξ10è
соответствующие профилè áóäóò симметричны относительно ïðÿìîé
f(ξ) =˜h/2
.
Приступим ê решению çàäà÷è первого приближåíèÿ äëÿ âèñÿùåé êàïëè.  ðåçóëü-
òàòå получим систему äâóõ линейных алгебраических уравнений äëÿ определения
˜
λ21è
ξ21:
˜
λ21=
ξ21= −
4π(1 −α
Ðåøèâ ýòó систему, найдем˜λ21è
˜
λ21= −2α2(3 + α2)(α2− 1)[ 3˜λ20+ 2π(1 − α
1
2
ξ
20
1
2
)
2
2q1 −α
3/2
(2 + α2)
ξ21:
2
ξ21+
2
[3˜λ
1
π
˜
λ21− 4α2+ 4].
20
;
2
)(2 + α2)ξ
2
2
20
]−1;
46
ξ21= −[ 3˜λ20+ 4π(1 − α2)ξ
×2πq1 −α
2
[ 3˜λ20+ 2π(1 − α
2
2
]×
20
2
)(2 + α2)ξ
2
2
20
]
à первая поправкà äëÿ профиля âèñÿùåé êàïëè áóäåò иметь âèä
w21(ξ) = −
p
1 −α
α
2
2
2
ξ21+
2˜λ
−3
20
q
1 −(0, 5˜λ20ξ)2− α
3
×
q
α
1 −(0, 5˜λ20ξ)
2
4
+ 3(˜λ
2
˜
λ21− 2α2)+
20
−1
,
×
2
Видно, ÷òî â случае
1 +q1 −(0, 5˜λ20ξ)
+4 ln
1 + α
2
α2= α1áóäåì иметь˜λ21= −˜λ11, ξ21= −ξ11è первые поправки
2
.
ê профилям ëåæàùåé è âèñÿùåé êапель áóäóò совпадать.
Приближенная формуëà, описывающая форму поверхности âèñÿùåé êàïëè ñ òî÷-
ностью äî членов второго ïîðÿäêà малости относительно числа Бонда
B2, ìîæåò áûòü
записана â форме
w2(ξ) = w20(ξ) + w21(ξ)B2.
3.3.3. Метод ëèíåаризации
Построим решение çàäà÷è î âèñÿùåé êàïëå (ñì. çàäà÷è (3.36)(3.39)) äëÿ случая
сильной ñìàчиваемости ìåòîäîì линеаризации. Заметим, ÷òî ïðè использовании òàêîãî
ïîäõîäà íåò ограничений íà величину числа Áîíäà (аналогичная ñèòóàöèÿ имеет место
è äëÿ ëåæàùåé êàïëè).
Èòàê, рассмотрим случай
0 ≤ γ2≪ 1 .
(3.50)
Òîãäà уравнение (3.36) ìîæíî çàìåíèòü íà линеаризованное óðàвнение
d
dξ
′
ξw
(ξ)= B2ξ(˜h − w2(ξ)) −˜λ2ξ .
2
Общее ðåøåíèå этого уравнения имеет âèä
˜
λ
w2(ξ) = C3J0(pB2ξ) + C4Y0(pB2ξ) +˜h −
B
ãäå
C3è
C4 произвольные постоянные. Ñ учетом второго èç óсловий (3.38) получим
C4= 0
è, следоватеëüíî,
w2(ξ) = C3J0(pB2ξ) +˜h −
B
˜
λ
2
′
, w
(ξ) = −C
2
2
p
B2J1(pB2ξ) .
3
(3.51)
2
,
2
(3.52)
47
Îòñþäà ñ учетом óсловия (3.39) è первого èç óсловий (3.38) íàõîäèì
p
B2C3J1(pB2ξ2) = −γ2;
˜
λ
B
2
.
2
Ïîäñòàâèâ â (3.37) выражåíèå äëÿ
нение, связывающåå неизвестные
C3J0(pB2ξ2) =
w2(ξ)
è выполнив интегрирование, получим óðàâ-
C3, ξ2,˜λ2:
(3.53)
(3.54)
Ñîãласно предполоæåíèþ
C3= −
Ïîäñòàâèâ ýòè выражåíèÿ äëÿ
äëÿ íàõîждения
ξ2:
Ðåøèâ ýòî уравнение, найдем
p
2C
B2ξ2J1(pB2ξ2) =˜λ2(ξ2)2−
3
J1(√B2ξ2) = 0
√
γ
B2J1(√B2ξ2)
J0(√B2ξ2)
J1(√B2ξ2)
, èç соотношений (3.53), (3.54) следуåò
2
,˜λ2= −pB2γ
C3,˜λ2â (3.55), получим трансцендентное уравнение
p
B2ξ2− 2ξ2= −
ξ2, определим˜λ2è
B
2
.
(3.55)
π
Jo(√B2ξ2)
2
J1(√B2ξ2)
B
2
.
πγ
2
.
(3.56)
(3.57)
C3, à профиль âèñÿùåé êàïëè
найдем èç (3.52). Òàêèì образом, ñделан первый øàã процесса линеаризации.
Далее ïîäñòàâèì полученное приближåíèå äëÿ функции
w2(ξ)
â знаменатель левой
части уравнения (3.36). Получим линейное обыкновенное äèôôåðåíöиальное уравнение
второго ïîðÿäêà äëÿ íàõîждения следующего приближåíèÿ è повторим âåñü процесс,
описанный âûøå. Òàêîâ алгоритм процессà линеаризации äëÿ âèñÿùåé êàïëè â предпо-
ëîæåíèè сильной ñìàчиваемости.
Ïóñòü
1)
è
w2(ξ) ≡˜h
2)
γ2= 0
C3= 0
è, òàêèì образîì, íå являетсÿ решением ïîñòавленной çàäà÷è;
√
J1(
B2ξ2) = 0 , C3= 0
(íóлевой óãîë ñìàчивания). Òîãäà èç (3.53) следуåò äâà вариантà:
, èç (3.54) ˜λ2= 0
è (3.52) äàåò
w2(ξ) ≡˜h ,
íî óсловие (3.55) íå выполняетсÿ
(â îòличие îò ñëó÷àÿ ëåæàùåé êàïëè ïîявляетсÿ àëüòåð-
натива).
Ðассмотрим вариант 2. Â ýòîì случае получим
ãäå
βk первый ïîëîжительный êорень уравнения
˜
λ2=˜λ2k= (B2)2/π(βk)2,
à èç (3.54)
C3= C3k= B2/(π(βk)2J0(βk)) , k = 1, 2, ... .
ξ2= ξ2k= βk/√B2, k = 1, 2, ... ,
J1(z) = 0.
Èç (3.55) следуåò, ÷òî
Òàêèì образом, â случае âèñÿùåé êàïëè äëÿ íóлевого óãëà ñìàчивания íà первом
øàãå процесса линеаризации, â îòличие îò случая ëåæàùåé êàïëè, ïîÿвляютсÿ решения
следующего âèäà:
w2k(ξ) =
B
π(βk)
2
2
J0(√B2ξ)
− 1+˜h , k = 1, 2, ... .
J0(βk)
Проведенные расчеòû ïîêазывают, ÷òî ïðè выборе первого ïîëîжительного íóëÿ
(
β1= 3, 8317 , J1(β1) = 0
) полученное òàêèì образом решение имеет физический смысл.
48
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
Ðèñ. 3.3.
êапель (число Бонда
линия íóлевое приближåíèå àñимптотическîãî разлоæåíèÿ äëÿ
малого числа Бонда; øòðèõîâàÿ сумма íóлевого è первого приближåíèé
этого разлоæåíèÿ; пунктирная íóлевое приближåíèå процесса
Ðåçóëüòàòû расчетà профилей ëåæàùåé è âèñÿùåé (˜h = 0, 5
B = 0, 088 ,
линеаризации äëÿ малого óãëà ñìàчивания
óãîë ñìàчивания
θ = 15◦): сплошная
)
Построим асимптотику решения первого øàãà процессà линеаризации ïðè
äëÿ âèñÿùåé êàïëè. Предполоæèì, ÷òî величина
γ2→ +0
ãäå постоянная
, êàê è соответствующая величина â случае ëåæàùåé êàïëè, ò. å.
D2= (B2)
1/4
/√π .
Ïîäñòàâèì выбранное асимптотическîå представление äëÿ
óìíîæенное íà
ìåíòà получим
γ2. Ñ учетом поведения функций Бесселя ïðè большèõ çíàчениях àðãó-
ctg
p
B2ξ2−
π
(D2)
2
4
Следовательно, существóåò числовая последовательность
íà êоторой
ctg
p
π
B2ξ2k−
4
p
B2∼ −
= −
γ2→ 0
ξ2имеет òàêóþ æå асимптотику ïðè
ξ2∼ D2/√γ2,
ξ2â уравнение (3.57),
B
π
2
+ 2D
√
γ2.
2
ξ2k→ +∞
ïðè
k → +∞
√
B
2
= −1 ,
π(D2)
2
,
49
îòñþäà
ξ2k=
(k + 1)π
√
B
2
, γ2k=
3/2
(B2)
(k + 1)2π
, k = 1, 2, ... .
3
Далее найдем
C3k,˜λ2kïî ôîðìóëàì, приведенным âûøå. Èõ асимптотикà ïðè áîëü-
øèõ çíàченияхkáóäåò иметь âèä
k+1
C
(−1)
∼
π2(k + 1)
Следовательно, асимптотикà ïðè
B
2
,˜λ
3/2
∼
π3(k + 1)
γ2→ +0(k → +∞
(B2)
2
.
2
) äëÿ профиля ïîâåðхности
âèñÿùåé êàïëè после первого øàãà процесса линеаризации áóäåò иметь âèä
w2k(ξ) ∼
(−1)
k+1π1/4
(B2)
1/4
(γ2k)
3/4
J0(pB2ξ) +˜h −
√
γ
2k
.
B
2
Видно, ÷òî ìàêсимум ìîäóëÿ асимптотическîãî представления решения â êаждой
òî÷êå стремитсÿ ê˜h
êàê
(γ2k)
3/4
ïðè
γ2→ +0(k → +∞
) .
Íà ðèñ. 3.3 приведеíû ðåçóëüòàòû расчетà профилей ëåæàùåé è âèñÿùåé êапель,
выполненных ñ помощью полученных формуë.
4. ÇÀÄÀ×È Î ЖИДКИХ ÌÎÑÒÀÕ
4.1. Вертикальный жидкий ìîñò между двумя параллåëüíûìè плоскîñòÿìè
4.1.1. Êëàññèôикация задач
 îäíîé èç первых работ, посвященных изучению жидких мостов [16], автор предла-
ãàåò рассматривать äâà òèïà îáъектов, à именно мосты ñ ôèêсированным êонтуром êîí-
òàêòà (r-bridges) è ñ ôèêсированным óãëîì ñìàчивания (θ-bridges). Äàëåå, следуÿ [21],
ìîæíî выделить äâà основных направления исследования: èçучение эволюции формы
жидких мостов è изучение èõ óстойчивости относительно различных возмущений. Â ëè-
тературе изучаютсÿ жидкие мосты между двумя параллельными òâåðäûìè плоскîñòÿ-
ìè [16], двумя сферами [19], двумя осесимметричными òâåðäûìè телами [21].
Исследование случая вертикального æèäêîãî ìîñòà àêòóально äëÿ изучения ïðî-
цессов, имеющèõ место ïðè çатравлении кристаллов, выращиваемых èç расплава [14].
Ïðè ýòîì используютсÿ êàê численные, òàê è асимптотические ìåòîäû. Â [23] ïî-
строена асимптотикà формы поверхности горизонтального æèäêîãî ìîñòà между двумя
вертикальными òâåðäûìè плоскîñòÿìè ïðè малых числах Áîíäà. Ïîдробная библиогра-
ôèÿ работ, посвященных решению çàäà÷ î форме жидких мостов è возмоæíûì прило-
æениям ýòèõ èñследований, приведена â [21,23,24].
Данный раздел посвящен íàõîждению формы поверхности вертикального æèäêîãî
θ
-ìîñòà между двумя параллельными ñìàчиваемыми òâåðäûìè ïëîñêîñòÿìè ñ учетом ñè-
ëû òÿæåñòè. Äàíà вариационная ïîñòановкà çàäà÷è. Предлоæåí àëãоритм итерационного
процесса íàõîждения приближенного ðåшения çàäà÷è äëÿ случая малых чисел Бонда.
50
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]