Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Применение вариационного и асимптотического методов к решению задач о капле и жидком мосте. Учебное пособие
.pdf
Ðèñ. 4.5.
(
α1= 0, 5, α2= 0, 7)1
уравнений (24), (25);2 вариант
Зависимость величиныHîò параметра
вариант
4
вариант
(++)
(+−);3
(−−)
M
выбора êорней
вариант
(−+)
;
2
)
1
M
−1/3
;
−(2 −α
M
−1/3
.
;
2
1
M
M = 0
− α
ïðè
ξ2∼ −M(2π)
−1/3
(1 −α
2
)
1
h ∼ (2π)
Äëÿ вариантà
(−−)(M → −0
−2
η1∼
(1 −α
M
):
2
)
1
ξ∗∼ −M2π[(1 −α
ξ1∼ (2)
2/3
(1 −α
2
1/2
)
1
ξ2∼ (2)
2/3
(1 −α
2
)
2
h ∼ (2π)
1/2
−1/3
π[(1 −α
(2 −α
2
)2+ (1 − α
1
2
− α
1
Íà ðèñ. 4.5 приведена зависимость величины
α2= 0, 7
(+−),(−+),(−−)
äëÿ четырех вариантов выбора êорней квадратных уравнений (ветви
). Видно, ÷òî поведение кривых â окрестности точки
−2/3
(1 −α
−1/3
(1 −α
1/2
; η2∼
2
)2+ (1 − α
1
π[(1 −α
2
)[(1 −α
2
2
−1/2
)
; H ∼
2
2
1/3
)
.
1
−2
(1 −α
M
2
)2]
2
2
)2+ (1 − α
1
−1/3
2
)2]
2
2
)2+ (1 − α
1
H
îò парамеòðà
−(1 −α
2
1/2
)
2
−1/3
2
)2]
2
; H ∼
2
2
;
;
)2]
ñòâóåò приведенной âûøå асимптотикå решения.
Ðассмотрим теперь случай сильной ñìàчиваемости õîòÿ áû íà îäíîé èç òâåðäûõ
плоскостей (например,
α1→ 1
). Òîãäà первая область ñòягиваетсÿ â точку è левая
(4.35)
2
)
2
;
α1= 0, 5,
(++)
соответ-
,
61
граница области äîïóстимых çíàчений параметра
вариант
(++)
. Соотношения (4.31) â ýòîì случае (ïðè
2/3
ξ∗∼ (2)
h ∼ −(2π)
−1/3
(1 −α1)
ξ2∼ (2)
(π)
−1/3
(1 −α1)
1/3
ln(1 −α1); ξ1∼ (2)
2/3
−1/3
(π)
(1 −α
1/3
; H ∼ −0, 5 ln(1 −α1);
2
−1/2
)
2
M
åñòü òî÷êà
M = 0, α1→ 1
1/6
−1/3
(π)
(1 −α1)
1/3
M = 0
(1 −α1)
.
è реализуåòñÿ
) äàþò
−1/6
;
(4.36)
Видно, ÷òî
ξ∗→ 0, ξ1→ +∞, ξ2→ 0,h → 0
, ïðè
α1→ 1
.
Перейдем ê обсуждению вопроса î ìàêñèìальном çíàчении безразмерной высоты
æèäêîãî ìîñòà между двумя òâåðäûìè плоскîñòÿìè. Êàê следуåò èç приведенной âûøå
зависимости величинûhîò параметраMïðè óсловии
процесса), ìàêсимальное çíàчение высоты ìîñòà достигàåòñÿ â варианте
òîãî, èç общих соображåíèé ÿñíî, ÷òî óãëû ñìàчивания
π/2
. Анализируÿ ðåçóëüòàòû численных расчетов, проведенных äëÿ вариантà
b = 0, α1= α2= 0, M → −1
, íàõîäèì ìàêсимальное çíàчениеh, îíî равно
b = 0
(первый øàã итерационного
(−−)
θ1, θ2должны стремитьсÿ ê
h
max
. Кроме
(−−)
ïðè
≃ 2, 325.
Интегралы â формуëàõ (4.21) è (4.29) выражàþòñÿ через эллиптические интегралы
первого è второго ðîäà:
η
w
1
−
p
(1 −δ)
Φ(s) ds
1 −(Φ(s))
η
w
p
1
2
7 + δ
2
[E(
π
= F (
2
Φ(s)s2ds
1 −(Φ(s))
, k) −F (τ(η), k) +
2
1 + δ
= −
2
3(1 −δ)
π
, k) −E(τ(η), k)] + η(η2− 1)
2
F (
1 + δ
1 −δ
π
E(
, k) −E(τ(η), k);
2
π
, k) −F (τ(η), k)−
2
1/2
(1 −δ)2η
1 −
(1 + δ)
(4.37)
1/2
2
2
,
ãäå
δ = M + 1, τ(η) = arcsin
1−(1−δ)2(1+δ)−2η
k
2
; F(φ, k), E(φ, k)
эллиптические èí-
тегралы первого è второго ðîäà â форме Ëåæандра;k èõ ìîäóëü (â данном случае
k = 2√δ/(1 + δ)
[31]).
Используÿ ýòè представления, ìîæíî найти формуëó äëÿ найденной численно ìàê-
симальной высоты æèäêîãî ìîñòà, à именно
2/3
h
max
= (2)
(π)
1/3
.
Èòàê, äàíà вариационная ïîñòановкà çàäà÷è î вертикальном æèäêîì мосте между
двумя параллельными òâåðäûìè плоскîñòÿìè ñ учетом ñèëû òÿæåñòè â осесимметричном
случае (â цилиндрическîé системе êîîðдинат). Построен итерационный процесс íàõîæ-
дения åå приближенного решения â предполоæåíèè малости числа Бонда. Ïîêазано, ÷òî
ó÷åò второго øàãà итерационного процесса ïðè äîñòаточно малых çíàчениях ìîдифици-
рованного числа Бонда íå вносит ñущественных изменений â форму профиля æèäêîãî
ìîñòà.
62
Обнаружåíî отсутствие единственности решения: â случае ôèêсированной âûñî-
òû æèäêîãî ìîñòà (расстоÿíèÿ между äíîì è крышкîé) ìîæåò существовать íåñêîëüêî
решений (íåñêîëüêî различных профилей áîêîâîé ïîâåðхности êàïëè), ïðè÷åì èõ ìàê-
симальное число равно четырем. Ïðè çíàчениях высоты æèäêîãî ìîñòà, ïðåâûøающих
çíàчение
h = h
, решений íå существуåò. Ïðè çíàчениях высоты, меньших íåêоторого
max
çíàчения, имеем толькî îäèí профиль поверхности.
Äëÿ случая сильной ñìàчиваемости построена асимптотикà поведения основных
параметров æèäêîãî ìîñòà â окрестности ëåâîé границы области äîïóстимых çíàчений
параметраM. Найдена ìàêсимальная высотà æèäêîãî вертикального ìîñòà íà первом
øàãå итерационного процесса.
4.2. Вертикальный жидкий ìîñò
(параметрическàÿ форма решения)
4.2.1. Ïîñòàíîâêà задачи
Ïîдраздел посвящен исследованию формы вертикального æèäêîãî ìîñòà между
двумя òâåðäûìè плоскîñòÿìè ñ учетом ñèëû òÿæåñòè. Использована параметрическàÿ
форма представления решения, êоторая помогàåò избежàòü проблем, связанных ñ áåñêî-
нечностью первой произвоäíîé â øåéêå æèäêîãî ìîñòà, è позволяет построить основной
итерационный процесс.
Ðассмотрим òîò æå случай вертикального æèäêîãî ìîñòà, соприкасающегосÿ ñ äâó-
ìÿ плоскими òâåðäûìè поверхностÿìè (äíîì è крышкîé), ÷òî è â предыдущем разделе.
Ïîñòановкà çàäà÷è òàêàÿ æå, è расширенный функционал áóäåò иметь âèä (4.3).
Введем безразмерные переменные
параметры
µ = λV
1/3
/α34(èñêîìàÿ величина),
ξ = r/V
1/3
, wi= ui/V
h =ˆh/V
1/3
1/3
, B = gρV
, i = 1, 2
è безразмерные
2/3
/α34(заданные
величины). Безразмерная постояннаяB число Бонда.
Чтобы избежàòü проблем, связанных ñ вертикальностью êасательной ê профилю
æèäêîãî ìîñòà, перехîäèì ê параметрическîé форме записи решения
w2= w2(t)
, ãäåt параметр. Â êàчестве параметра áóäåì использовать длину äóãè
ξ = ξ(t),w1= w1(t)
плоскîé кривой, задающей форму áîêîâîé поверхности æèäêîãî ìîñòà, ïðè ýòîì áóäåì
äâèãàòüñÿ îò точки íà äíå äî точки íà крышкå. Следоватеëüíî, ïðè
w1(0) = 0
äíà äî шейки;
w(t) ≡ w1(t),t ∈ [0, t1]
, ïðè
t = tp≡ t1+ t2:
ξ(tp) = ξ2,
w2(tp) = h
, ãäå
t1 длина äóãè ýêстремали îò
t2 длина äóãè ýêстремали îò шейки äî êðûøêè. Следовательно,
уравнения нижней ветви, à
ξ = ξ(t), w(t) ≡ w2(t), t ∈ [t1, tp]
t = 0:ξ(0) = ξ1,
ξ = ξ(t)
уравнения âåðõíåé ветви кривой, описывающей форму áîêîâîé поверхности. Èñêîìûå
безразмерные величины:
ξ(t), w(t), µ, t1, tp.
Перепишем расширенный функционал â безразмерных перемеííûõ è параметри-
÷åñêîé форме. Íåîáõîдимое óсловие относительного ýêстремума функционала â случае
параметрическîé формы èñêîìûõ функций äàåò дифференциальное уравнение äëÿ íèæ-
íåé ветви:
,
,
63
(w′′(t)ξ′(t) −w′(t)ξ′′(t))ξ(t) + w′(t) + Bw(t)ξ(t) + µξ(t) = 0, t ∈ [0, t1],
è дифференциальное уравнеíèå äëÿ âåðõíåé ветви:
(4.38)
(w′′(t)ξ′(t) −w′(t)ξ′′(t))ξ(t) + w′(t) −B(h − w(t))ξ(t) + µξ(t) = 0, t ∈ [t1, tp].
(4.39)
Ýòè уравнения записаны ñ учетом òîãî ôàêòà, ÷òî â êàчестве параметра выбрана
длина äóãè ýêстремали è добавочное уравнение, связывающее èñêîìûå функции, èìååò
âèä
(ξ′(t))2+ (w′(t))2= 1, t ∈ [ 0, tp].
(4.40)
Óсловия çàäà÷è â параметрическîé форме:
óсловия òðàíñверсальности
dξ
cos θ1≡ −
(0) = α1(α1= (α14− α13)/α34) ,
(4.41)
dt
dξ
cos θ2≡
(tp) = α2(α2= (α24− α23)/α34) ;
(4.42)
dt
óсловия соприкосновения æèäêîãî ìîñòà ñ äíîì
w(0) = 0
(4.43)
è крышкîé
w(tp) = h ;
(4.44)
óсловия íåïðåрывности профиля ìîñòà â øåéêå
ξ(t1− 0) = ξ(t1+ 0) = ξ(t1) , w(t1− 0) = w(t1+ 0) = w(t1) ;
ξ′(t1− 0) = ξ′(t1+ 0) = ξ′(t1) , w′(t1− 0) = w′(t1+ 0) = w′(t1) ;
óсловие вертикальности êàñательной â øåéêå
dξ
(t1) = 0;
dt
óсловие ñîхранения объема
t
t
1
w
−
w(t)ξ(t)ξ′(t)dt +
0
p
w
(h − w(t))ξ(t)ξ′(t)dt + 0, 5ξ
t
1
2
h =
∗
1
2π
(4.45)
(4.46)
.
(4.47)
64
4.2.2. Алгоритм решения
Построим решение çàäà÷è î форме áîêîâîé поверхности êатеноидального æèäêîãî
ìîñòà äëÿ случая малых чисел Áîíäà. Òàê, ïóñòüB малый параметр рассматриваемой
çàäà÷è. Áóäåì èñêàòü решение çàäà÷è â âèäå ðÿäà ïî степеням малого параметра:
ξ(t) = ξ0(t) + ξ1(t)B + ... , w(t) = w0(t) + w1(t)B + ... ,
t1= t10+ t11B + ... , tp= tp0+ tp1B + ... ,
µ = µ0+ µ1B + ... ,
ïðè ýòîì
ξ∗= ξ(t1) = ξ0(t1) + ξ1(t1)B + ... = ξ0(t10+ t11B + ...)+
+ξ1(t10+ t11B + ...)B + ... = ξ0(t10) + [ξ1(t10) + ξ
1/3
= ξ(0) = ξ0(0) + ξ1(0)B + ... = ξ10+ ξ11B + ... ;
= ξ(tp) = ξ0(tp0) + [ξ1(tp0) + ξ
ξ2= r2/V
ξ1= r1/V
1/3
′
(t10)t11]B + ... = ξ∗0+ ξ∗1B + ... ;
0
′
(tp0)tp1]B + ... = ξ20+ ξ21B + ... .
0
Ïîäñòàâèâ ýòè разлоæåíèÿ â уравнения (4.38)(4.39) è граничные óсловия (4.41)
(4.47) è приравняв êоэффициенты ïðè îдинакîâûõ степенях малого параметраBâ левых
è правых ÷àñòÿõ, получим çàäà÷è íóлевого, первого è последующих приближåíèé.
4.2.3. Ïîñòðîåíèå нулевого ïðèáлижения
Ïóñòü
B = 0
(случай æèäêîãî ìîñòà â невесомости). Óравнения íóëåâîãî приближåíèÿ
′′
(w
0
(t)ξ
′
(t) −w
0
′
(t)ξ
0
′′
0
(t))ξ0(t) + w
′
(t) + µ0ξ0(t) = 0;
0
(4.48)
′
(ξ
(t))2+ (w
0
′
(t))2= 1, t ∈ [ 0, tp].
0
Ðешение ýòîé системы уравнений ñâîäèòñÿ ê решению нелинейного обыкновенного
дифференциального уравнения второго ïîðÿäêà, íå ñîäåðæащего независимой перемен-
íîé, относительно функции
ξ0(t)
:
à функция
w0(t)
′′
ξ0ξ
−
p
0
1 −(ξ
íàõîäèòñÿ èç второго уравнения (4.48).
p
1 −(ξ
+
′
2
)
0
′
)2+ µ0ξ0= 0 ,
0
(4.49)
Однакî åñëè ìû зададим высоту æèäêîãî ìîñòà, òî возникнет íåîáõîдимость ðå-
шения интегральногî уравнения äëÿ íàõîждения функций, определяющих форму åãî
áîêîâîé поверхности. Ключевым моментом äëÿ построения алгоритма являлсÿ перехîä
îò задания высоты æèäêîãî ìîñòàhê заданию вспомогательного параметра
M = µ0ξ∗0.
Äëÿ выбранного äîïóстимого çíàчения ýòîãî параметра âñå èñêîìûå величины, включая
функции, описывающие ïðîôèëü áîêîâîé поверхности æèäêîãî ìîñòà, ëåãêî íàõîäÿòñÿ.
65
Ïðè ýòîì величина, определяющая высоту ìîñòà â íóлевом приближåíèè
h0, òîæå íà-
õîäèòñÿ. Далее, перебирая âñå äîïóстимые çíàчения параметраM, строим çависимость
h0= F (M )
, ñ помощью êоторой íàõîäèì çíàчение параметраM, соответствующее çà-
данному çíàчениюh, è определяем решение çàäà÷è.
Приведем ôîðìóëû, описывающие форму áîêîâîé поверхности òàêàÿ вертикального
æèäêîãî ìîñòà â íóлевом приближåíèè äëÿ заданного çíàчения параметраM:
ξ0(t) =
+
+
1+M
2
0,25µ
0
4(1+M)
2
µ
0
2
ξ
∗0
2
ξ
∗0
1/2
+γ10(t)
, 0 < t ⩽ t10,
sin2(0, 5µ0(t − t10))
1/2
, t10⩽ t < tp0,
ãäå
β10+ 0,5µ0tan(0, 5µ0t)
γ10(t) =
1 −2β10tan(0, 5µ0t)/µ
ξ∗0= M/ µ0, ξ10= z10/µ0, ξ20= z20/µ0, t10=
tp0= t10+
ãäå
z10è
z20êîðíè уравнений
+M) = 0
соответственно. Безразмерный ìíîжитель Лагранжà â íóлевом приближåíèè
íàõîäèòñÿ ïî формуëå
µ0= −π
ãäå
Ψ0(z) =
1
z2− [(1 + M )2− 1].
2z
Выражåíèå äëÿ функции
w0(t) =
µ
ξ0(t)
r
ξ
10
ξ
∗0
r
ξ
10
2
arctan
0
2
z
10
z
10
w
M
√
√
+2
p
w0(t)
1−(φ0(ξ))
φ0(ξ)dξ
1−(φ0(ξ))
2
, β10=
0
µ0(ξ
2(1 + M −0, 25µ
p
Ψ0(z)z2dz
1 −(Ψ0(z))
1 −α
2
z10−M(2+M) = 0,z
1
z
20
w
+
2
M
ìîæíî записать â âèäå
φ0(ξ)dξ
, 0 < t ⩽ t10,
2
ξ0(t)
r
−
2
√
ξ
∗0
φ0(ξ)dξ
1−(φ0(ξ))
1 + M −0, 25µ
2
ξ
− ξ
10
2
arctan
µ
0
2
2
− ξ
20
Ψ0(z)z2dz
p
1/2
)
∗0
2
2
(ξ
− ξ
0
20
1 −(Ψ0(z))
, t10⩽ t < tp0,
2
2
2
(ξ
0
10
2
∗0
2β
2
1/2
))
∗0
2
+2p1 −α
20
1/3
2
µ
− ξ
0
10
,
,
2
∗0
)
;
2
2
1/2
;
z20−M(2+
ãäå
φ0(ξ) =
равна
w0(tp0)
1
[0, 5µ0(ξ2− ξ
ξ
.
2
∗0
Следуåò заметить, ÷òî функция
à функция
w0(t)
через эллиптические интегралы первого è второго ðîäà.
66
) − ξ∗0]
. Высотà æèäêîãî ìîñòà â ýòîì приближåíèè áóäåò
ξ0(t)
выражàåòñÿ через элементарные функции,
4.2.4. Ïîñтроение первого è ïîñледующих ïðèáлижений
 îòëè÷èå îò случая íóëåâîãî приближåíèÿ дифференциальные уравнения äëÿ íà-
õîждения первого è последующих приближåíèé áóäóò линейными.
Приведем уравнения первого приближåíèÿ:
′
+(ξ
′
(t)w
0
(ξ
0
′′
(t) −ξ
0
(
(t)w
′′
(t) −ξ
1
′′
(t)w
0
′′
′
(t)w
0
′
(t))ξ1(t) + w
0
(t) −w
1
′
′′
(t)ξ
(t) + w
0
1
′
(t) + µ0ξ1(t) = −f(t), i = 1, 2;
1
′′
0
(t)ξ
′
(t))ξ0(t)+
1
(w0(t) + µ1)ξ0(t), 0 ⩽ t ⩽ t10+ t11B ,
f(t) =
(w0(t) + µ1− h)ξ0(t), t10+ t11B < t ⩽ tp0+ tp1B ;
′
ξ
(t)ξ
0
′
(t) + w
1
′
(t)w
0
′
(t) = 0, t ∈ [ 0, tp0+ tp1B ].
1
Ðешение ýòîé системы ñâîäèòñÿ ê решению линейного дифференциального уравне-
íèÿ ñ разрывной правой частью относительно функции
ξ1(t)
:
(4.50)
(4.51)
à функция
îò функций
ξ0ξ
p
1 −(ξ
w1(t)
íàõîäèòñÿ èç уравнеíèÿ (4.51). Коэффицèåíòû ýòèõ óðàâíåíèé зависÿò
ξ0(t), w0(t)
′
)
0
2
′
−µ0−
′
1
è параметра
′′
ξ
0
p
1 −(ξ
ξ1= f(t), t ∈ [ 0, tp0+ tp1B ],
′
2
)
0
(4.52)
µ0, найденных â íóлевом приближåíèè. Уравнения
второго è последующих приближåíèé áóäóò îòличатьсÿ îò уравнений первого прибли-
æåíèÿ толькî правыми ÷àñòÿìè.
4.3. Жидкий ìîñò ìåæäó двумя произвольными выпуклыми òâåðäûìè
поверхностÿìè
4.3.1. Вариационная постановка задачи
 настоÿùåì раздеëå äàíà вариационная ïîñòановкà çàäà÷è î форме áîêîâîé ïî-
âåðхности вертикального трехмерногî êатеноидального æèäêîãî ìîñòà ìàëîãî объема,
íàõîдящегосÿ между двумя произвольными выпуклыми òâåðäûìè поверхностÿìè.
Ðассмотрим случай вертикального æèäêîãî ìîñòà, íàõîдящегосÿ между двумя òâåð-
äûìè выпуклыми ïîâåðхностÿìè (äíîì è крышкîé)(ðèñ. 4.6).
Ввиду предполагаемой осевой симметрии áóäåì решать çàäà÷ó î íàõîждении ïðî-
ôèëÿ áîêîâîé поверхности æèäêîãî ìîñòà â цилиндрическîé системе êîîðдинат
Поверхностные íàòÿæåíèÿ между средами:
æèäêîãî ìîñòà ñ поверõíîñòüþ
поверхностью
÷èì
u1(r), u2(r)
(u2(r))
частей áîêîâîé поверхности æèäêîãî ìîñòà. Область, разделяющая ýòè части
z =ˆf2(r) =ˆh + f2(r),(f2(0) = 0)
èñêîìûå функции, описывающие профили нижней
(¾øåéêà¿), êðóã радиуñà
z = f1(r),(f1(0) = 0)
r∗(r∗≥ 0)
. Â данном случае áóäåì рассматривать жидкий
α13,
α14,
α34,
α23,
α24. Область êîíòàêòà
(äíîì) êðóã радиуñà
(крышкîé) êðóã радиуñà
r2. Обозна-
(u1(r))
(r, z)
r1, à ñ
è âåðõíåé
.
67
Ðèñ. 4.6.
между двумя òâåðäûìè выпуклыми поверхностÿìè:
4
Вертикальный осесимметричный жидкий ìîñò
1,2
òâåðäûå ñðåäû;3 æèäêàÿ среда;
ãазообразная среда;
θ1, θ2 óãëû ñìàчивания
ìîñò, имеющий êатеноидальную форму:
r ∈ [r∗, r2]
óсловиям:
. Предполоæèì дополнительно, ÷òî óãëû
0 < θi< π/2 − arctan |f
′
(ri)|, i = 1,2
i
r∗< min{r1, r2},u
θ1,
, ò. å. имеет место ñìàчивание æèäêî-
′
(r) < 0,r ∈ [r∗, r1],u
1
θ2óдовлетворÿþò следующим
′
(r) > 0
2
ñòüþ òâåðäûõ поверхностей. Òàê êàê íåò íèêàêèõ физических причин äëÿ ïîÿâëåíèÿ
заострения профиля áîêîâîé поверхности ìîñòà, òî â òî÷êå ñ àáñöèññîé
íàÿ ê профилю должна áûòü вертикальной:
′
u
(r∗) = −∞, u
1
Заметим, ÷òî â ñèëó приведенных âûøå ограничений функции
′
(r∗) = +∞, u1(r∗) = u2(r∗)
2
u1(r)èu2(r)
r = r∗êасатель-
áóäóò îäíî-
çíàчными функциями.
Объем æèäêîãî ìîñòà ñ÷èòàåì ôèêсированным:
I{u1, u2)} = 2π
r
1
w
(u1− f1))rdr +
r
∗
r
2
w
(ˆf2− u2))rdr+ 2π
r
∗
r
∗
w
(ˆf2− f1)rdr= V.
0
(4.53)
Введем â рассмотрение функционал, включающий â ñåáÿ поверхностную энергию è
энергию ñèëû òÿæåñòè. Поверхностная энергèÿ, â ñâîþ очередь, состоит èç части, ñîîò-
ветствующей свобоäíîé поверхности сплюснутой êàïëè, è части, соответствующей êîí-
òàêòó æèäêîñòè ñ òâåðäûì телом. Исследуåìûé функционал ìîæíî записать â âèäå
r
1
J{u1(r), u2(r)} = 2π
+(α13− α14)p1 + (f
w
r
∗
α
′
2
)
1
p
1 + (u
34
rdr + 2π
′
1
r
w
r
∗
)2+
2
1
gρ(u1− f1)2+
2
p
α
1 + (u
34
′
)2−
2
,
.
68
+2π
1
−
gρ(ˆf2− u2)2+ (α23− α24)p1 + (f
2
r
∗
w
(α13− α14)p1 + (f
0
+
1
gρ(ˆf2− f1)
′
)2+ (α23− α24)p1 + (f
1
2
rdr ,
′
2
)
rdr+
2
′
)2+
2
(4.54)
2
ãäåg óñêорение ñèëû òÿæåñòè;ρ плотность æèäêîñòè.
Èòàê, ïîëучили изопериметрическую çàäà÷ó: найти минимум функционала (4.54)
ïðè óсловии, ÷òî функционал (4.53) принимает заданное çíàчениеV. Â ñоответствии ñ
теоремой Эйлера îá изопеðèìåòðè÷åñêèõ çàäà÷àõ ââîäèì расширенный функционал (λ
ìíîжитель Лагранжà):
r
1
J{u1(r), u2(r)} + λI{u1(r), u2(r)} = 2π
w
H1(r, u1(r), u
r
∗
′
(r))dr+
1
(4.55)
+2π
r
2
w
H2(r, u2(r), u
r
∗
′
(r))dr + 2π
2
r
∗
w
H3(r, u2(r), u
0
′
(r))dr ,
2
ãäå
p
H1=α
34
1 + (u
+(α13− α14)p1 + (f
p
H2=α
34
1 + (u
+(α23− α24)p1 + (f
′
2
1
′
)2+
1
1
gρ(f1− u1)2+
2
′
)2+ λ(u1− f1)r ;
1
)2−
gρ(ˆf2− u2)2+
2
′
)2+ λ(ˆf2− u2)r ;
2
H3=
gρ(ˆf2− f1)2+ (α13− α14)p1 + (f
2
+(α23− α24)p1 + (f
1
′
)2+ λ(ˆf2− f1)r .
2
′
)2+
1
Выполнив варьирование расширенного функционала, получим äâà уравнения Ýéëå-
ðà è äâà óсловия трансверсальности. Введем безразмерную переменную
размерные èñêîìûå
2/3
1/3
+ f2(r)/V
/α34.
ˆ
φ2(ξ) =ˆh/V
B = gρV
wi(ξ) = ui(r)/V
1/3
= h + φ2(ξ)
1/3
, i = 1, 2
è заданные функции
, à òàêæå безразмерные параметры
ξ = r/V
φ1(ξ) = f1(r)/V
µ = λV
1/3
1/3
, áåç-
1/3
/α34,
,
Безразмерная ïîñòîяннаяB число Бонда.
 безразмерном âèäå çàäà÷à включает â ñåáÿ:
69
уравнения Эйлера äëÿ нижней è âåðõíåé ветви
d
dξ
d
dξ
p
1 + (w
p
1 + (w
ξw
ξw
′
1
′
2
(ξ)
(ξ)
′
(ξ))
1
′
(ξ))
2
= B ξ(w1(ξ) −φ1(ξ)) + µξ , ξ∗< ξ < ξ1,
2
= B ξ(ˆφ2(ξ) −w2(ξ)) −µξ , ξ∗< ξ < ξ2;
2
óсловия òðàíñверсальности
(4.56)
(4.57)
1 + φ
p
1 + (w
1 + φ
p
1 + (w
′
1
′
2
(ξ1)w
′
1
(ξ2)w
′
2
′
(ξ1)
1
(ξ1))
′
(ξ2)
2
(ξ2))
p
= α
2
10
1 + (φ
p
= α
2
20
1 + (φ
′
(ξ1))2, α10=
1
′
(ξ2))2, α20=
2
óсловия соприкосновения ìîñòà ñ äíîì è крышкîé
w1(ξ1) = φ1(ξ1) ,
w2(ξ2) = h + φ2(ξ2) ;
óсловие íåпрерывности профиля ìîñòà â øåéêå
w1(ξ∗) = w2(ξ∗) ;
óсловия вертикальности êàñательной â øåéêå
′
w
(ξ∗) = −∞, w
1
′
(ξ∗) = +∞;
2
óсловие ñîхранения объема
α14− α
α
34
α24− α
α
34
13
23
,
;
(4.58)
(4.59)
(4.60)
(4.61)
(4.62)
(4.63)
2π
ξ
1
w
(w1(ξ) −φ1(ξ))ξdξ +
ξ
∗
ξ
2
w
(ˆφ2(ξ) −w2(ξ))ξdξ+
ξ
∗
(4.64)
ξ
∗
w
+2π
(ˆφ2(ξ) −φ1(ξ))ξdξ= 1 .
0
4.3.2. Алгоритм решения çадачи
Âíà÷àëå найдем óãëû ñìàчивания
θ1, θ2(óãëû между êасательными ê кривым,
определяющим заданные поверхности, è êасательными ê профилю áîêîâîé поверхности
æèäêîãî ìîñòà â òî÷êàõ
ξ1, ξ2соответственно). Выражåíèÿ äëÿ êосинуñîâ ýòèõ óãëîâ
имеют âèä
cos(θi) = cos(arctan(w
′
(ξi)) −arctan(φ
i
′
(ξi))) =
i
70
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]