Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные теории удара. Удар в пружинных механизмах
.pdf
ГЛАВА 2
Динамика пружинных механизмов на
основе обобщенной теории
цилиндрических пружин
2.1. Дискуссионные проблемы при динамическом
нагружении цилиндрических пружин
Логично предположить, что дискуссионные проблемы классического
удара и удара в пружинных механизмах должны перекликаться, но этого не
произошло.
В классической теории удара груза по балке и соударении трехмерных упругих тел дискуссионные споры разгорелись между двумя школами,
представлявшими украинских ученых и московских ученых, точнее, между
двумя наиболее известными школами (КильчевскогоН. А. [8,21,22] и Малышева Б. М. [11]), занимавшимися контактными деформациями и волновыми процессами при ударе. Кильчевский Н. А., Шальда Л. М. [21] считают,
что отрицательный коэффициент восстановления больше единицы является
следствием учета локальных сил инерции, противоположных по направлению силам инерции элементов тела. Продолжительность удара по уточненной модели авторов всегда меньше, чем по теории Герца, разница на
1.25 %. По мнению Б. М. Малышева [11], ошибочность вывода Н. А. Кильчевского [8] при расчете продолжительность удара по теории Герца связана
с тем, что вместо скорости распространения волн сжатия в стали была взята
скорость распространения волн в стержне. При этом уточнение составляет
менее одного процента. В работах школы Г. С. Батуева [5] прямо отмечается, что время удара не является наиболее важным параметром. В более
поздних работах Зегжда С. А. [6] поддерживает идею КильчевскогоН. А.
Для теории удара пружин с инерционным соударением витков идея
Кильчевского Н. А. может иметь важное значение не для оценки времени
удара, а при определении силы контакта, так как компакт соударяемых витков может иметь достаточно большую длину. Обычно при соударении вит-
42 ГЛАВА 2
ков пружины располагаются на оправках, поэтому при многократном ударе
в пружине не затухают волновые процессы.
Итоги этой известной дискуссии не нашли отражение в проектировании пружин при динамическом нагружении. Автор лично был знаком с
участниками дискуссии и надеется, что идеи Кильчевского Н. А. и Малышева Б. М. привлекут внимание специалистов по упругим элементам.
Динамическое нагружение цилиндрических пружин имеет три основных направления:
• кинематическое нагружение;
• ударное нагружение при отсутствии соударения витков;
• ударное нагружение при инерционном соударении витков.
Кинематическое нагружение
Как и в теории колебаний, применение модели эквивалентного бруса позволило перенести известные решения для прямолинейной балки при
кинематическом нагружении [23,24] на определение напряженного состояния пружины при аналогичном возмущении. В этом направлении фундаментальной является работа ШтодыА. В. [25]. Переход к напряженному
состоянию пружины идет по известной схеме теории балок: нахождение перемещения в соответствии с волновым уравнением и краевыми условиями,
дифференцирование перемещения по линейной координате и затем переход
к силе, крутящему моменту и тангенциальному напряжению. Соответствие
метода Фурье (разложение решения в ряд по собственным функциям) и метода разрывных фукций в теории балок для кинематического возмущения
показано Крыловым А. Н. [24]. Практическая реализация метода разрывных
функций в её графической интерпретации (метод характеристик) к случаю,
когда задан закон движения, предложен В. Л. Бидерманом [26]. Анализ динамического деформирования во времени не всегда интересует инженера,
так как в большинстве случаев для определения прочности пружины необходимо знание максимальной деформации. Это было учтено В. А. Карпуниным [20]. Для случая задания закона скорости у подвижного витка, используя известную гипотезу о максимальном напряжении у неподвижного
витка пружины, им найдена простая формула максимальной деформации,
где суммирование скоростей происходит через интервал времени, равный
удвоенному времени пробега волны деформации по длине пружины. Аналогичная идея развита В. А. Карпуниным и для случая, когда оба конца
пружины находятся в принудительном движении [20]. При работе пружины
2.1. ДИСКУССИОННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ 43
на резонансной частоте в [28] рекомендовано определять перемещение с
учетом коэффициента демпфирования, находимого экспериментально.
Модель плоского кольца приводит к громоздким выражениям [29,30,31],
только для специально подобранных краевых условий, которые реально не
выполняются, можно получить решение в замкнутом виде. Симметрия перемещения обоих концов (реально таких условий нет) позволила получить
замкнутый вид решения и при жесткой заделке концевых витков [28].
Решение модели плоского кольца при кинематическом нагружении в
случае жесткой заделки концевых витков реализовано автором в [32]. Эта
методика учитывает и статическое искажение винтовой линии при статическом нагружении. Это позволяет находить зоны максимальных напряжений
по длине пружины.
Аналитическое решение вынужденных колебаний пружин на основе
модели винтового тонкого бруса выполнено П. Е. Товстиком [33]. В связи со
сложностью асимтотического метода, используемого автором, практические
рекомендации ограничены условиями отрыва конца пружины от груза.
Ударное нагружение при отсутствии соударения витков
Колебания пружины с грузом широко освещены в работах [24,34]. Наиболее общий случай движения пружины с грузом на конце и при наличии
распределенной переменной силы по длине пружины дан В.С. Пугачёвым
[35,36]. Время максимального сжатия пружины и момент отделения груза
от пружины находятся по сложным аналитическим зависимостям с использованием метода последовательных приближений. Аналитические зависимости В. С. Пугачёва позволили С. Г. Кислицыну [37] доказать, что время
соприкосновения пружин с грузом с точностью до 3 % можно определять
по элементарной формуле через период колебаний линейного осциллятора,
т. е. считать пружину безмассовой. Кислицын С. Г. определял деформации
операционным методом с использованием волнового уравнения. Задание
на подвижном конце пружины граничных условий отдельно для пружины
и груза затруднило аналитическое решение. Аналитические результаты записаны в виде гиперболических фукций и реализованы С. Г.Кислицыным
в табулированной методике. Применение разрывных функций использовалось И. И. Воровичем [38] для разработки расчета буферных пружин. Им
показано, что наиболее опасным является сечение у неподвижной заделки, где максимальное динамическое напряжение равняется величине статического напряжения, приходящего на единицу относительного удлинения
пружины, умноженного на максимальную динамическую величину относительной деформации. Для практической реализации функции f (z),опреде-
44 ГЛАВА 2
ляющей волну перемещений по пружине в зависимости от места и времени, И. И. Воровичем предложена модификация метода конечных разностей.
В сен-венановской постановке продольного удара по пружине важное значение имеет работа Н. Д. Сергиевского [39], в которой для иллюстрации
неравномерности распределения касательных напряжений по длине пружины, построены диаграммы для 18 значений α,гдеα — отношение массы
пружины к массе груза, диапазон α от 2 до 0,025, трудоёмкие что подсче-
ты заменены простой двойной графической интерпретацией. Им показано,
−1
при α
пряженном и наиболее напряженном сечении не превосходят 20%, а при
−1
α
5 разница между наибольшими деформациями в наименее на-
> 25 эта разница менее 10%. Сергиевским Н. Д. проанализировано яв-
ление повторного удара, когда груз, отскочив от пружины,приходит на некоторое время снова в соприкосновение с пружиной, для чего используется
предположение о справедливости сен-венановских формул и для промежутка времени, когда груз с пружиной не соприкасается. В. А. Карпунин [20]
предложил инженерный метод определения максимальных касательных напряжений при ударном сжатии, по точности не уступающий сложным и
громоздким аналитическим и графическим способам. В основе этой методики принято, что динамическое напряжение периодически изменяется
относительно статического, поэтому максимальное касательное напряжение равняется сумме максимального статического, определяемого без учета
массы пружины, и половины максимального динамического напряжения
(у неподвижного витка). При этом небольшим несовпадением по времени
максимальной статической деформации и динамическим скачком деформации можно пренебречь. Для спиральных пружин это решение анализировалось ещё Рамзауэром [19]. Методика Карпунина В. А. использовалась
в [40,41]. Принципиальная разница между теорией Карпунина В. А. и Рамзауэра в том,что предложение Рамзауэра — это просто перенос идеи СенВенана из теории прямых стержней на цилиндрические пружины, а у Карпунина В. А. — это часть единой теории удара груза по пружине с учетом
инерционного соударения витков. Карпуниным В. А. впервые предложена
модификация теории удара Динника А. Н. [42]. Очень важно, что работа
Карпунина В. А. была выполнена в Академии оборонной промышленности,
где испытания пружин проводились на реальном изделии, а обобщенная
теория цилиндрических пружин создавалась под непосредственным патронажем Карпунина В. А. Первые помощники автора данной главы были Матвеев А. С., Сазонов В. В., которые являлись аспирантами Карпунина В. А.
Модель эквивалентного бруса применяется при анализе ударных напряжений в цилиндрических [26, 43, 44, 45, 46] и многожильных пружинах [47].
2.1. ДИСКУССИОННЫЕ ПРОБЛЕМЫ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИИ 45
Применение модели плоского кольца к теории удара груза по пружине
связано с большими аналитическими трудностями, поэтому численная реализация в [29] отсутствует. Если бы были преодолены трудности численного расчета, то на какой результат можно было бы рассчитывать. Тем не
менее этому направлению уделялась большое внимание, тем более, что сама
идея принадлежала Бидерману В. Л., о чем есть ссылки в работе Коновалова А. А. [31]. Очевидным опровержением этой идеи является то, что масса
груза в краевых условиях «уничтожит» все особенности модели плоского
кольца по сравнению с эквивалентным брусом. По Бидерману В. Л., для
сходимости решения для крутящего момента необходимо до 40–50 членов
ряда, а в работе Коновалова А. А., где учтены крайне малые члены, в 5–8 раз
меньше. Нет необходимости приводить доказательство автора о том, что выбранным краевым условиям математическое решение по модели плоского
кольца для данной задачи удара груза по пружине просто не соответствует.
Укажем более простое опровержение данной теории. Модель плоского кольца относится к задачам с несамосопряженным оператором, так как с ростом
номера гармоники собственные частоты возрастают, затем уменьшаются и
снова возрастают. Следовательно, запрещено использовать принцип ортогональности собственных функций, который применялся в этих работах.
Объяснение зон поломок при ударе грузом по пружине с заданной скоростью удара реализовано по методике Сен-Венана с учетом искажения
винтовой линии при статическом сжатии, что является одним из результатов обобщенной теории цилиндрических пружин. Эта методика является
обратной решению Карпунина В. А. и её рассмотрим в дальнейшем.
Ударное нагружение при инерционном соударении витков
Наибольшая путаница в теории пружин приходится на область ударного нагружения с инерционным соударением витков.
В предшествующем анализе отмечено наличие трех основных теорий
удара груза по пружине при отсутствии инерционного соударения витков:
1) удар груза по пружине с использованием определения перемещений по
методу стоячих волн;
2) удар груза по пружине с использованием определения перемещений по
методу бегущих волн;
3) удар груза по пружине по методике Сен-Венана для прямых стержней.
При этом необходимо сразу отметить, что метод стоячих волн при-
меняется для «медленного» удара, а метод бегущих волн для «быстрого»
46 ГЛАВА 2
удара. По теории удара Карпунина–Рамзауэра понятие медленного удара и
быстрого удара не столь актуально.
Кризис в теории удара пружинных механизмов возник в 50-х годах 20
века, когда в ответственном изделии оборонной промышленности появились непонятные явления, связанные с отказом работы пружинного механизма, работающего при инерционным соударении витков. В узком кругу
специалистов она получила название задачи Устинова [16].
На первом этапе « победила » простая идея — « не пущать » соударение
витков, для чего предлагалось повышать напряжение в пружине, что, по
мнению авторов основных рекомендаций по проектированию пружин [3],
вело к увеличению долговечности пружин. Эта идея не может даже быть
дискуссионной, так как логически противоречит здравому инженерному
понятию, что с ростом напряжений долговечность должна уменьшаться.
Многие годы при проектировании пружин избегали соударения витков, что
приводило к увеличению габаритов изделия.
При ударном нагружении возникают «вибрационные» напряжения, ко-
торые остаются после удара и к началу следующего удара достигают достаточно существенной величины. В книге автора [14] это явление названо
системным резонансом, что необычайно неприятно для механизмов автоматических систем.
Серьезное осложнение в теории удара пружин с инерционным соуда-
рением вызвала гипотеза Бидермана В. Л. [48], что при инерционном соударении возрастает модуль упругости, пружина приобретает нелинейную
характеристику. Эта гипотеза связана с переносом известного положения
в теории прямых балок на теорию пружин. БидерманВ. Л. [48] предложил использовать метод характеристик с переменной скоростью. Парадокс
заключается в том, что это положение не «стыкуется» с известным экспериментальным эффектом размыва фронта волны деформации. Именно размыв
фронта волны дефорации и заставил специалистов по пружинам обратить
внимание на модель плоского кольца.
На момент создания обобщенной теории удара цилиндрических пру-
жин для объяснения инерционного соударения витков была предложена
только гипотеза Бидермана В. Л. [48] и контактная теория Герца в интерпретации Карпунина В. А. [20]. Но при этом был накоплен большой экспериментальный опыт.
1) При соударении витков ограничивается величина касательных напряжений, но величина их выше, чем при статическом сжатии [27].
2) Осадка пружин увеличивается, когда длинная сторона сечения витка
перпендикулярна геометрической оси пружины.
2.2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ 47
3) Наблюдается выскальзывание витков.
4) С ростом максимальных касательных напряжений уменьшается осадка
витков пружины.
Проведенная скоростная киносъемка пружины при ударном нагруже-
нии в реальном изделии, где впервые соударение витков привело к серьезным нежелательным последствиям для проектировщиков и приемщиков изделия, показала эффект осадки пружины. Автору этот результат был сообщен только после того, как им была разработана модернизированная теория
удара с инерционным соударением витков пружины.
В дальнейшем рассмотрим более подробно контактную теорию Герца
в интерпретации Динника А. Н. [42], разработанную Карпуниным В. А. для
цилиндрических пружин [20]. Логически с увеличением площадки контакта снижаются контактные напряжения при тех же условиях нагружения, но
такие пружины имеют сильную осадку. Следовательно, причиной осадки
не являются контактные напряжения. По крайней мере, не являются одной из главных причин осадки пружин при инерционном соударении. Это
логическое противоречие контактной теории для пружин автор обсуждал
с БидерманомВ. Л., который назвал этот парадокс «ударить молотком по
голове». Применение контактной теории Герца требует выполнения двух
основных условий: время соударения больше удвоенного времени пробега волны деформации; общая деформация упругого тела меньше местной,
связанной с упругими контактными деформациями. Оба эти основные положения применимости контактной теории не были проверены в [20]. Отмеченный выше экспериментальный эффект осадки пружин специального
сечения в момент создания контактной теории Карпуниным В. А. ему был
неизвестен (этот эффект обнаружил Бидерман В. Л.).
2.2. Основные положения обобщенной теории
цилиндрических пружин
Обобщенная теория цилиндрических пружин объединяет [4]:
• единую теорию пространственных колебаний, включающей продольные, крутильные, поперечные колебания в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях, высокие серии поперечных колебаний;
• единую теорию упругой потери устойчивости;
• нелинейную статику;
48 ГЛАВА 2
• синтез пространственных колебаний и устойчивости;
• синтез пространственных колебаний и нелинейной статики;
• синтез пространственных колебаний и удара;
• синтез устойчивости и нелинейной статики;
• синтез устойчивости и удара;
• синтез нелинейной статики и удара;
• синтез единой теории пространственных колебаний, единой теории
упругой потери устойчивости, нелинейной статики для задач удара.
Из десяти основных положений обобщенной теории пружин в «фор-
мульном оформлении» рассмотрим только те моменты, которые непосредственно будут связаны с задачами удара. Подробно аналитические зависимости винтового тонкого бруса рассмотрены в работах автора [1,4,15,16],
поэтому сосредоточим основное внимание на физических аспектах обобщенной теории цилиндрических пружин.
Единая теория пространственных колебаний
Теория пространственных нелинейных колебаний объединяет извест-
ные три положения механики:
• в теоретической механике твердое тело имеет только два движения
(вращение и перемещение);
• в теории упругости со времен Пуассона известно наличие двух волн
деформации (расширения и сдвига)
• в теории поперечных колебаний в «балке Тимошенко» предельные поперечные волны совпадают с волнами Релея [19].
На входе создания нелинейной теории пространственных колебаний винтового бруса имеем две волны (продольные колебания пространственного
бруса и крутильные колебания пространственного бруса), на выходе этой
теории — две волны Релея, что соответствует теории поперечных колебаний
для «балки Тимошенко».
На рис. 2.1 представлена зависимость безразмерной частоты пружи-
ны (wp
подъема винтовой линии пружины равен 6
−1
) от номера гармоники n (число рабочих витков равно 5,угол
0
0
).
2.2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ТЕОРИИ 49
w
p
0
4,0
a=6°
3,0
2,0
1,0
1
I
35
II
Рис. 2.1
III
7
9
11
IV
n
Это решение соответствует специально подобранным краевым усло-
виям [16], обеспечивающим синусоидальную форму колебаний, которые
позволяют пружине вращаться как целому твердому телу. Решение при реальных краевых условиях (жесткая заделка) требует существенно более
сложных аналитических выражений [16]. Для теории удара важной информацией является размыв фронта волны деформаций, так как фазовые и
групповые скорости для различных волн различны. Для прямого стержня
по инженерной методике расчета фазовые, групповые скорости для различной длины волны равны. Работы Похгаммера–Кри, уточняющие инженерное решение распространения волн деформации по прямому стержню
анализируется в [16], в соответствии с их работами и в прямых стержнях
отмечается факт изменения фазовой и групповой скорости при различных
длинах волн.
Сама теория пространственных колебаний могла быть развита еще в
начале двадцатого века, когда Ляв А. [49] получил уравнение движения
винтового бруса при синусоидальной форме колебаний; хотя графического и
численного анализа он не привел, но указал на эффект вращения винтового
бруса как твердого тела и наличия только двух волн деформации. Формула
Лява А. приведена в известном учебнике[50].
В точках локального экстремума групповая скорость равна нулю, при
наличии поджатия можно получить местные виды потери усточивости [16].
50 ГЛАВА 2
Единая теория упругой потери устойчивости винтового тонкого бруса
Единая теория упругой потери винтового тонкого бруса, состоящая из
13 видов потери устойчивости [1,4], представлена на рис. 2.2. Она включает четыре группы: классические виды потери устойчивости; неклассические виды потери устойчивости; синтезированные виды; эксплуатационно–
технологические виды потери устойчивости.
ÂÈÄÛ
ОБЩЕЙ ПОТЕРИ
УСТОЙЧИВОСТИ
12
I
8
11
13
ÂÈÄÛ
МЕСТНОЙ ПОТЕРИ
УСТОЙЧИВОСТИ
3
4
III
IV
9
10
12
Рис. 2.2
ИСКАЖЕНИЕ
ФОРМЫ
5
6
II
7
Первая группа — общепринятое понятие упругой потери устойчивости,
где определяются точки бифуркации уравнения упругой потери устойчивости:
• 1 — эйлеровская потеря продольной устойчивости тонкого винтового
бруса;
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]