Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные теории удара. Удар в пружинных механизмах
.pdf
1.4. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ УДАРА 31
кинетическая энергия T преобразуется в потенциальную энергию деформаций стержня V , все сечения которого находятся в одинаковом напряженном
состоянии: T = V или
mv
2
σFl
0
=
2
2E
2
l
P
max
=
2E
,
где E,F — модуль упругости и площадь поперечного сечения стержня.
Тогда
P
max 1
= v
mEF
0
. (1.35)
l
Это выражение получено, исходя из явно произвольного допущения о
равномерном распределении деформации по длине стержня в момент остановки всех его частей. Если же принять линейный характер распределения
напряжений σ, считая, что наибольшие их значения соответствуют ударному сечению (x =0), а в сечении x = l напряжения равны нулю, то
2
2
σ
Fl
max
.
6E
;
√
3P
=
, (1.36)
max 1
Тогда
P
max 2
σ = σ
= σ
max
max
l − x
σ
max
F = v
mv
0
,
l
=
2
= v
3mE
0
Fl
3mEF
0
l
т. е. в 1,73 раза больше, чем в предыдущем случае.
Интересный парадокс в теории удара груза по стержню появляется
тогда, когда сравниваем энергетическую теорию удара с принятыми гипотезами с волновой теорией, в котороймаксимальные напряжения возникают
в неподвижном сечении.
Заменим стержень пружиной и рассмотрим процесс удара груза по
пружине, описываемый уравнением линейного осциллятора
где
2
¨x + p
x =0, (1.37)
C
p =
m
32 ГЛАВА 1
— собственная циклическая частота колебаний; C — жесткость пружины;
m — масса тела.
Сучетомначальныхусловий(приt =0,x
=0, ˙x0= v0) решение
0
дифференциального уравнения (1.36) имеет вид:
v
0
x =
p
sin pt.
Энергетическая теория позволяет определять габариты механизма, учи-
тывать перераспределение энергии в механизме с учетом его конструктивных особенностей.
На рис. 1.5 изображен типичный пружинный механизм, в котором пред-
варительная деформация пружины равна λ,рабочийход—h. В конце рабочего хода груз останавливается на жестком ограничителе, далее витки
пружины движутся по инерции, причем возможно их соударение.
P
P
3
2
P
1
h
h
ë
H
H
1
0
H
3
3
H
2
Рис. 1.5. Модель удара груза по предварительно поджатой пружине при наличии
буферного устройства
Парадокс в теории удара пружин — сначала была создана теория крити-
ческих скоростей нагружений пружин по модернизированной теории удара
с инерционным соударением витков (Полищук Д. Ф. 1974), которую рассмотрим в следующей главе, а только затем простейшая энергетическая
теория удара при наличии поджатия и перераспределения энергии пружинного механизма после удара об ограничитель (Полищук Д. Ф. 1979).
Продолжим рассмотрение энергетической теории удара для пружинно-
го механизма. Определим напряжение, возникающее в упругом элементе,
без учета волновых процессов. К исходным данным для этой задачи от-
носятся: вес груза — Q, H; скорость удара груза по пружине — v
m
; ин-
0
c
декс пружины — c; энергия, гасимая пружиной на участке рабочего хода —
E
, Дж; предварительная деформация пружины -λ, мм; рабочий ход — h, мм.
p
1.4. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ УДАРА 33
Алгоритм расчета механизма по энергетической теории представлен
ниже (представляет собой первый этап расчета пружин по синтезированной
теории удара [4]).
1) Рабочая энергия пружины, Дж: E
p1
= QгрV
2
(2g)−1.
0
2) Энергия движения груза при предварительном поджатии пружины, Дж:
E
=0, 33 Eр.
пр.
3) Жесткость пружины, H/мм: (F = пр.2000 (λ
2)−1
,еслиλ [мм]).
4) Усилие при предварительной деформации пружины, H: P
5) Число рабочих витков: i
= Gd(8Fc3)−1,гдеG =8·104МПа — модуль
p
= Fλ.
1
сдвига.
6) Округляем число рабочих витков до целого (можно и до кратного 0,5),
задаемся технологией обработки опорных торцов и в соответствии с
ней выбираем число нерабочих витков (ψ), обычно число нерабочих
витков выбирают равным двум.
7) Определяем вес пружины, H:
Q
= ρ · g−1· π2D · 0, 25d2(ip+ ψ) = 189 · 10−6(ip+ ψ)d3· c,
пруж.
если D, d в мм.
8) Определяем приведенный вес груза. Снова используем прием сжатия
информации. Получение приведенной массы груза выполняем по сравнению собственной частоты колебаний балки с грузом на конце точного
решения и приближенного решения по методу Релея [25], H: Q
= Q
+0,33Q
гр.
пруж.
.
пр. гр.
9) Определяем энергию груза, но с учетом приведенного веса груза, Дж:
E = Q
пр. гр.
· V
2
· (2g)−1.
0
10) Определяем энергию, поглощаемую пружиной, после ограничения движения груза, силовой поток в конструкции раздваивается на полезную
энергию и отрицательную, последнюю необходимо или поглотить специальными демпферами, или размывать за счет создания замкнутого
силового потока в конструкции, Дж: E
= E − Eр..
в.
=
34 ГЛАВА 1
11) Скорость груза и подвижного витка, когда имеет место начало работы
ограничителя движения груза, м·с
=[(E ·2g) · Q
V
1
−1
:
−1
0,5
]
пр. гр.
.
12) Энергия витков пружины после вступления в работу ограничителя движения груза, Дж:
E
= Q
в.1
пруж.
13) Усилие пружины при сжатии до ограничителя движения груза P
= F (λ + h),еслиh = λ,тоP
2
2
· V
· (2g)−1.
1
2
=2P1,ноеслиλ = h,тонеобходимо
внести уточнение в определение энергии предварительного поджатия
груза.
14) Уточняем жесткость пружины при сжатии от P
до P3: F1= Kc· F .
2
15) Определяем величину сжатия пружины до соприкосновения витков,
когда вся энергия витков будет поглощена пружиной без контактных
деформаций и межвиткового давления:
2
h
31
+2P2· F
−1
· h31=2E
1
в.1
· F
−1
1
.
16) Усилие сжатия пружины до полного соприкосновения витков, H:
P
= P2+ F1· h31.
3
17) Максимальная величина касательных напряжений при статическом
сжатии до соприкосновения витков при коэффициенте Вааля, равном
единице (K
=1). В этом случае на всей наружной поверхности се-
w
чения витка не учитываются перерезывающиеся силы. Применяется
линейная теория статики пружин, МПа:
=
τ
=8cP31(πd2)−1.
31
18) Максимальная величина касательных напряжений с учетом коэффициента Вааля (K
) при динамическом нагружении до соприкосновения
w
витков на внутреннем волокне витка:
τ
= τ31· Kw,
31
=(4c − 1)(4c −4) + 0,615c−1.
K
w
1.5. СИНТЕЗИРОВАННЫЕ И ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ ТЕОРИИ УДАРА 35
19) Высота недеформируемой пружины при предварительной, рабочей и
максимальной деформации, мм:
H
= d(ip+ ψ)+λ + h + h31,
0
H
= H0− λ; H2= H1− h; H3= H2− h3.
1
20) Наружный диаметр пружины, мм:
=(c +1)d.
D
H
1.5. Синтезированные и линеаризированные теории удара
К этой группе теорий относятся: теория Сирса; теория поперечного
удара груза по балке (теория С. П. Тимошенко); теория Карно; теория СенВенана; линеаризированные теории контактного взаимодействия тел.
Теория Сирса
Развивая положения волновой теории удара, Сирс соединил подход
Герца, учитывающий лишь местную контактную деформацию соударяющихся тел, и подход Сен-Венана, учитывающий общую деформацию тел
при ударе.
Сирс рассматривал продольные соударения
стержней, концы которых имеют сферическую
форму. Рассмотрим соударение двух стержней,
движущихся со скоростью v
и v2,причемv1>v
1
(рис. 1.6).
Контактные сечения стержней имеют закруг-
ления и податливы. Движения сечений описываются волновыми уравнениями с соответствующими
начальными условиями. Граничные условия имеют вид:
для деформаций
∂u
(0,t)
1
=0;
∂x
2
v
1
0
l
1
Рис. 1.6. Модель соударения стержней
v
2
l
2
x
∂u
2(l1
+ l2,t)
∂x
=0;
36 ГЛАВА 1
для контактных усилий
где α = u
∂u1(l1,t)
E
1F1
∂u1(l1,t)
E
1F1
,t)−u2(l2,t) — сближение тел за счет контактных деформаций;
1(l1
∂x
=− kα
= E
∂x
3
2
,α>0,α=0,α 0,
2F2
∂u2(l2,t)
∂x
;
k — коэффициент, учитывающий геометрию контактных поверхностей
и свойства их материалов.
Смещения контактных поверхностей могут быть определены по фор-
мулам [10]
t
u
,t)=v1t −
1(l1
u
(l,t)=v2t −
2
1
ρ1α1F
1
ρ2α2F
Pkdt,
1
0
t
Pkdt,
2
0
где
P
= E1F
k
∂u1(l1,t)
1
∂x
.
Тогда
t
1
Pkdt. (1.38)
2
0
α =(v
− v2)t −
1
ρ1α1F
1
−
ρ2α2F
1
Решение этого уравнения позволяет перейти к определению контакт-
ной силы в ударном сечении.
Теория Сирcа хорошо совпадает с экспериментальными данными при
рассмотрении времени соударения.
Теория поперечного удара груза по балке
С. П. Тимошенко рассматривал поперечный удар груза по балке с уче-
том общих и местных деформаций, а также с учетом инерции кручения и
сдвига [19]. Подход к решению задачи аналогичен подходу Сирса.
1.5. СИНТЕЗИРОВАННЫЕ И ЛИНЕАРИЗИРОВАННЫЕ ТЕОРИИ УДАРА 37
Теория Карно
Данная теория представляет собой синтез стереомеханической и энер-
гетической теорий. Смысл стереомеханической теории в подходе Карноне
изменяется, но появляется возможность получения дополнительной информации о той части кинетической энергии, которая переходит при ударе в
тепловую энергию, энергию деформации и т. д.
Частный случай теоремы об изменении кинетической энергии при со-
ударении тел нашел Карно, принимая коэффициент восстановления при
ударе равным нулю, т. е. рассматривая абсолютно неупругий удар.
Рассмотрим прямой центральный удар двух поступательно движущих-
ся тел. Скорость тел после абсолютно неупругого удара обозначим через u.
Тогда кинетическая энергия системы до удара и после него имеет значения:
1
T
=
0
T =
2
v
(m
1
1
2
1
+ m2)u2. (1.38)
(m
1
2
+ m2v
2
);
2
Согласно теореме о количестве движения системы при ударе
m
+ m2v2=(m1+ m2)u. (1.39)
1v1
Решая совместно уравнения (1.38) и (1.39), получим
T
0
− T =
1
2
− u)2+
m
1(v1
T
− T = T∗. (1.40)
0
1
m
2
2(v21
− u)2,
Выражения (1.40) называют теоремой Карно [17]: кинетическая энер-
гия, потерянная системой при абсолютно неупругом ударе, равна той кинетической энергии, которую имела бы система, если бы ее тела двигались с
потерянными при ударе скоростями.
После Карно эту проблему рассматривал М.В. Остроградский. Он
впервые распространил на теорию удара методы аналитической механики. Удар рассматривался как результат наложения на систему нестационарных связей, быстро изменяющихся с течением времени. В случае упругопластического удара (0 <k<1) — изменение кинетической энергии при
наложении новой связи равно кинетической энергии потерянных скоростей,
умноженной на коэффициент
1 − k
:
1+k
38 ГЛАВА 1
T0− T =
1 − k
1+k
∗
. (1.41)
T
Выражение (1.41) называют теоремой Остроградского–Карно, где
m
(1 + k)
1m2
∗
=
T
2(m1+ m2)
2
(v
− v2)2.
1
Полученные зависимости не дают ничего нового для определения ско-
ростей после удара, но в отчетливой форме представляют энергетические
соотношения при ударе тел.
Синтезированная теория Сен-Венана для удара груза по прямому
брусу
Сен-Венаном [19] предложен синтез энергетической и волновой тео-
рий удара, с помощью которого приближенно определяются максимальные
напряжения, возникающие в стержнях при их соударении. Величина этих
напряжений складывается из максимальных напряжений, рассчитанных по
энергетической теории, и половины скачка напряжений от прохождения волны деформации по волновой теории. При этом небольшим расхождением
по времени между ними можно пренебречь.
ô
Волновая теория
Энергетическая
ô
ô'
теория
0
1
Рис. 1.7. Синтезированная теория удара груза по балке
5
3
Приложение этой теории к пружинным механизмам предложено Рам-
зауэром [19]. Широкое внедрение в практику проектирования этой теории
принадлежит В. А. Карпунину [20]. В этом случае у неподвижного конца
пружины (рис. 1.7)
c
8P
τ
= τ + τ=
max
=35, 1v0, МПа, — половина скачка напряжений по волновой тео-
где τ
max
πd
+35, 1v0,
2
рии. Данная теория дает завышенное значение максимальных напряжений
и деформаций.
1.6. ПРИКЛАДНЫЕ ТЕОРИИ УДАРА В КОМБИНИРОВАННЫХ СИСТЕМАХ 39
Линеаризированные теории контактного взаимодействия тел
Линеаризированная зависимость P (α) вконтакт-
ной теории Герца представлена в [5], результаты рас-
P
четов не очень чувствительны к особенностям формы
этой кривой. Нелинейная зависимость заменяется ломаной линией (pиc. 1.7)
P =0,α<α
при этом энергии деформации по точной и прибли-
,C(α − α0),α α0,
0
á
0
Рис. 1.8
á
max
женной теориям равны. Тогда
1
2
3
5
α
0
=0, 2α
; C =
max
3
P
max
.
k
4
Таким образом, процесс удара разделен на две
части: свободное движение твердого тела при α<
α
; колебание груза на пружине с жесткостью C при
0
α α
(рис. 1.8).
0
Дорнигом предложена линеаризация исходя из
P
ýêñ
P
max
ëèí
P
max
совпадения времени соударения по расчету и эксперименту [10]. Однако при этом методе описание силовой
характеристики на рабочем участке недостаточно точно.
1.6. Прикладные теории
удара в комбинированных системах
Рис. 1.9. Линеаризация зависимости силы от сближения при
упруго-пластическом
уда ре
á
max
Теории удара третьей группы представляют со-
бой дальнейшее развитие синтезированного подхода
к рассмотрению соударения тел.
В теории соударения упругих тел С.А. Зегжда [6] рассматривается
плоская и пространственная задача удара. На основе синтеза волновой теории удара и контактной теории Герца для двух трехмерных стальных тел,
взаимодействующих с малыми скоростями v =(5...10)m/c и средними
скоростями v =(40..)m/c, составлено и проанализировано общее уравне-
ние динамической теории удара, найден аналитический метод его решения,
установлена его связь с моделями Сирса, Герца, Тимошенко.
á
á
40 ГЛАВА 1
Теория соударения упругих систем В.Л. Бидермана [5], учитывающая
местные и общие их деформации, основана на синтезе волновой теории
удара и теории Герца. Получена зависимость контактной силы от времени,
использующая реакцию каждого из соударяющихся тел на единичный импульс. Применение линеаризированной теории удара значительно упрощает
решения.
Теорияпродольного упруго-пластического удара Г. С. Батуева,Ю. В. Го-
лубков, А.К. Ефремова, А. А. Федосова [7] предполагает наличие как упругих, так и пластических деформаций в месте контакта. В связи с этим
процесс удара разделяется на два этапа: активный этап — сближение тел за
счет упругих и пластических явлений; пассивный этап — восстановление
формы тел под действием сил упругости. Коэффициенты, характеризующие
активный этап удара, определяются из экспериментальных исследований.
Для каждого этапа найдены зависимости, позволяющие найти текущее значение контактной силы, сближения тел, их относительной скорости. Данная
теория представляет дальнейшее развитие теории Герца. Для учета волновых процессов при упруго-пластическом ударе применяется синтез волновой теории удара и линеаризированной контактной теории в предположении равенства энергий по линейной и экспериментальной зависимостям
(рис. 1.9). Получена приближенная зависимость для определения ускорения
свободного конца стержня в переднем фронте волны деформации.
Интерес в этой группе также представляет комплекс теорий контактно-
го взаимодействия тел при ударе Н. А. Кильчевского [8] и теория повторных
затухающих соударений в механических процессах Р. Ф. Нагаева [2].
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]