Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные теории удара. Удар в пружинных механизмах
.pdf
1.4. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ УДАРА 21
m
1
P
v
1
x
1
m
2
P
v
2
x
2
x
Рис. 1.2. Модель соударения тел по контактной теории Герца
Умножив первое на m1, второе — на m2, а затем, найдя их разницу, c учетом
эквивалентной массы
m =
m
1m2
m1+ m
2
получим
d
2
dt
α
2
= −
P (α)
. (1.9)
m
Проинтегрируем по α (1.8) при начальных условиях:
0
m
α
2
2
2
max
dα
dt
dα
=(
dt
C = v
max
dα
=0,
dt
α
max
− v2= v0.
= v
1
α
2
2
= −
)
2
0
m
0
.
, тогда необходимо условие
P (α)dα, (1.10)
0
kα
3
2
dα =
4
5m
kα
5
2
;
P (α)dα + C,
t =0,α=0,
dt
α
1
2
d2α · dα =
0
(dα)
2dt
Поставим задачу найти величину α
откуда
2
=
v
0
3
2
тогда при P = kα
получим
2
2
v
=
0
m
22 ГЛАВА 1
2
2
5mv
0
5
; (1.11)
)
4k
2
2
3
5mv
0
5
(
5
. (1.12)
)
4
P
max
α
max
= kα
=(
3
2
max
= k
Длительность соударения найдем из выражения
отсюда
t =
dα
dt
α
0
=v
v
α
2
−
0
2
−
0
m
m
0
P (α)dα
0
α
P (α)dα
0,5
−0,5
,
dα.
Время четверть периода соответствует максимальной величине сжатия, тогда максимальное время удара (полупериод)
α
max
=2
T
y
0
v0−
m
2
dα
α
P (α)dα
0
.
Введем безразмерную величину
α
ε =
α
max
;
учтем табличный интеграл
1
dε
0
1 − ε
=1, 4716,
5
2
тогда
2
T
=2, 9432
y
α
max
v
=2, 9432
0
5m
4k
1
−
5
5
v
. (1.13)
С достаточной степенью точности зависимость α(t) может быть пред-
ставлена в виде [10]
α = α
max
sin
1, 068v
α
t
0
, 0 t Ty.
max
1.4. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ УДАРА 23
Положения теории Герца неоднократно подвергались эксперименталь-
ной проверке, причем неизменно отмечалось близкое соответствие между
расчетными и экспериментальными значениями контактных сил и времени соударения, если только при экспериментах выполнялись предпосылки
теории (главным образом отсутствие пластических деформаций). Следует,
однако, учитывать, что пластические деформации возникают и при небольшой скорости относительного движения тел. Несмотря на это, контактная
теория имеет широкое применение в машиностроении (удар двух тел, ударные явления в зубчатых передачах и т.д.).
Волновая теория удара Сен-Венана
Признаки ударного процесса: природа удара одна; удар однократный и
многократный; воздействие удара не мгновенное, быстрое; массы распределенные; деформации линейные и нелинейные; процесс удара пространственный (сферическая волна) и плоскостной (плоская волна); частичная
взаимосвязь теорий колебаний, устойчивости и статики, т.к. сама теория
волновых процессов использует вырожденные координаты.
Волновая модель удара более полно отражает процессы в соударяе-
мых телах. При этом учитываются распределение массы по координатам,
инерционные свойства тел. Однако учет волновых явлений существенно
усложняет описание движения системы и решение соответствующих дифференциальных уравнений.
Волновая теория применима, когда время удара соизмеримо со време-
нем пробега волны деформации по наибольшей из длин соударяющихся тел
(β<1), при этом учитываются только общие деформации тел, а контактными явлениями в месте соударения пренебрегают.
Удар груза по стержню — типичная задача в машиностроении (удар
затвора о затворную раму в стрелковом оружии, забивка свай и т. д.). В одномерной постановке модель продольного удара идеально упругих стержневых систем при условии, что соударяемые поверхности идеально плоские,
была построена Сен-Венаном. На рис. 1.3 представлена схема такого удара.
Принимается гипотеза, что за время удара груз не отскакивает от стержня.
V
0
m
0
Рис. 1.3. Модель удара груза по стержню
l
x
24 ГЛАВА 1
Начало координат поместим в точку удара, что значительно упрощает
аналитические зависимости. Процесс удара в стержне описывается волновым уравнением
2
∂2u
2
a
∂x
2
= E · ρ−1, a =Eρ−1— скорость распространения волны дефор-
где a
мации; E,ρ — модуль упругости и плотность материала;
∂
u
−
2
=0, (1.14)
2
∂t
∂u
—продольная
∂x
деформация; u — смещение сечения стержня.
Решение волнового уравнения может быть осуществлено различными
методами: разложением волновой функции в ряд Фурье; методом характеристик; методом разрывных функций (метод Даламбера).
Применение метода Фурье для задач удара затруднено вследствие пло-
хой сходимости рядов.
Рассмотрим метод разрывных функций, согласно которому решение
ищем в виде суммы двух независимых функций
u = f (at − x)+ϕ(at + x). (1.15)
Подставим f(at − x) в уравнение (1.14) и убедимся, что оно его удо-
влетворяет
2f
a
(at − x)=f(at − x)a2.
Метод характеристик улавливает особенность, что для удовлетворе-
ния (1.14) вид функций f и ϕ не имеет значения, а важен вид аргумента.
На этом основан метод характеристик, т. е. анализируются характеристики,
определяемые аргументами at − x и at + x. Вернемся к методу Даламбера. Из общего вида (1.14) можно сделать вывод, что будет рассматриваться
процесс в виде двух волн (прямой и обратной). Краевые условия:
Начальные условия:
x = l, u =0 (1.16)
x =0,EF
∂u
∂x
= M
2
u
∂
. (1.17)
2
∂t
t =0,u=0 (1.18)
t =0,
∂u
∂t
. (1.19)
= V
0
1.4. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ УДАРА 25
Особенность нашей задачи: при x = l имеем u =0, получаем
ϕ(at + l)+f(at − l)=0, (1.20)
откуда ϕ(z)=−f (z − 2l),поэтому
u = f (at − x) − f(at + x − 2l). (1.21)
Переход от (1.15) к (1.21) обоснован рассуждением: в точке x = l функции
ϕ(z) и f(z − 2l) взаимно противоположны с учетом смещения аргумента
на 2l; линейность задачи позволяет перенести эту информацию на весь
стержень, поэтому появляется выражение (1.21).
Условиенавторомконцеx =0:
2
−M
∂
∂t
u
2
+ EF
∂u
=0. (1.22)
∂x
Преобразуем (1.22) с учетом выражения
где χ = ρFl · M
−1
EF
M
=
∂2u
∂t
2
ρF
a
M
− χ
2
2
ρF l
a
=
Ml
2
a
∂u
·
l
∂x
2
χ
a
=
,
l
=0. (1.23)
Мы видим, как можно не задумываясь использовать выражение
2
a
= Eρ−1,
которое в линейной механике для прямого бруса выражает сразу единство четырех физических процессов: распространение перемещения; распространение деформации (a — фазовая скорость деформации); энергии
(a — групповая скорость); ударного импульса (a — скорость волн Рэлея).
Подставляем (1.21) в граничное уравнение (1.23):
2f
{a
(at − x) −a2f(at + x − 2l)−
χ
2
[−f(at − x) −f(at + x −2l)]}
a
l
x=0
=0.
Получаем метод рекурсии, последовательного решения задачи:
f
(z)+
χ
(z)=f(z − 2l) −
f
l
χ
(z − 2l). (1.24)
f
l
26 ГЛАВА 1
В формуле (1.24) слева и справа функция f одна и та же, но аргументы
функции в ней разные. В формуле (1.24) сохраняется переменная часть
(z = at), меняется параметр — в левой части l =0, в правой части имеем
z −2l. Прием учета особенности задачи u =0при x = l позволил от двух
произвольных функций (1.15) перейти к двум одинаковым функциям (1.21),
но с различными аргументами.
Учет физической особенности задачи — z<0, f(z)=0,т.к.досо-
прикосновения груза со стержнем для всех точек стержня смещение равно
нулю. Поэтому для интервала 0 <z<2l правая часть (1.24) равна нулю:
(z)+
f
χ
(z)=0. (1.25)
f
l
(z), интегрируя,
χ
−
z
l
= f(0)
(0) = C.
χ
−
z
l
;
f
Это уравнение первого порядка для искомой функции f
находим
f
(z)=C
Величину постоянной C определяем из равенства скоростей конца
стержня и ударяющего груза в месте x =0вначальный(t =0)момент
удара:
∂u
∂t
= V0. (1.25)
t=0
x=0
Подставим в (1.25) значение u (формула (1.21)) и, учитывая отсутствие
обратной волны, получим
C = f
(0) = V0· a−1.
Получаем функцию f
(z):
(z)=V0· a−1· e
f
χ
z
−
l
, (1.26)
которая непрерывна в диапазоне 0 <z<2l. Величина u определяется
только прямой волной
u = f (at − x). (1.27)
Перемещение сечения u позволяет перейти к двум новым величинам (V, ε),
которые определяются формулами
V =
ε =
∂u
∂x
∂u
∂t
= af
= −f
(at − x)
(at − x).
(1.28)
1.4. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ УДАРА 27
С учетом (1.26), получим для диапазона x − at < 2l − x
χ
z
−
l
e
0
· a−1· e
0
,
χ
z
−
l
.
(1.29)
V = V
ε = −V
На этом этапе удара (0 <z<2l) скорость перемещения сечения и деформация в любом сечении связаны простым соотношением
V = −aε.
Если рассмотрим начальный момент удара и сечение x =0, то деформация
сжатия, возникающая в стержне, не зависит от массы ударяемого груза.
Итак, данный пример показывает, что часть информации для конкретного
сечения оказалась избыточной. На рис. 1.4 показаны эпюры скоростей и
деформаций по длине стержня для момента, когда волна деформации не
дошла еще до закрепленного стержня. Эпюры являются разрывными: на
фронте волны деформации скорость движения данного сечения, к которому
подошла волна, изменяется скачкообразно от 0 до V
до −V
· a−1.
0
, а деформация — от 0
0
V
V
0
x
x
V
0
-
a
e
Рис. 1.4. Эпюра скоростей и деформаций по длине стержня при ударе груза по
стержню
Для интервала 2l<z<4l левая часть уравнения (1.23) не меняется
формально, физически оно изменено, т.к. имеем дело с другим диапазоном,
28 ГЛАВА 1
где решение будет качественно меняться. Правая часть представляет собой
найденные ранее значения функции f
(z) → f(z − 2l)=
f
f(z − 2l)=−
(z − 2l) −
f
χ
l
χ
f
l
(z) и f(z) для диапазона 0 <z<2l:
χ
−
V
0
l
e
a
χ
(z−2l)
−
V
0
l
e
a
(z − 2l)=−
(z−2l)
= −
2 V
a
0
χ
f
l
χ
·
l
(z − 2 l),
χ
(z−2l)
−
l
e
,
Новое функциональное уравнение в диапазоне 2l<z<4l
χ
(z−2l)
−
f
(z)+
χ
f
l
(z)=−2
χ
V
0
l
e
a
l
. (1.30)
Производная постоянная при интегрировании уравнения (1.25) опреде-
ляется из физической гипотезы, что скорость груза M, а значит, и скорость
конца стержня x =0не может изменяться скачкообразно, т. е. что
∂u
∂t
= a[f(at) − f(at− 2l)] (1.31)
x=0
представляет собой непрерывную функцию. Если предположить, что скорость конца стержня представляет прерывистую функцию (это физически
более реально), то мы не имеем простого математического решения задачи.
Условие непрерывности функции (1.31) будет выполнено при повторе-
нии разрывов функции f(z) при изменении аргумента на 2 l,т.е.приz =0
функция f
будет повторяться и при z =2l; z =4l; z =6l и т.д. Функция f
(z) скачком увеличивается на величину V0·a−1,иэтотжескачок
(z) при
z =2l со значения
V
f
(2l)=
0
−2χ
e
a
скачком изменяется до
V
f
(2l)=
Условие (1.32) есть начальное условие для интегрирования уравнения (1.30).
Ввод «скачка» функции f
(z) есть прием дополнительной информации, ис-
0
−2χ
(e
a
+1). (1.32)
ходящей из особенности физики задачи. Интересна и философская подоплека решения: использование разрывных функций и необходимость непрерывности производных этих функций с включением периодичности процесса
1.4. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ УДАРА 29
разрыва. Продолжим решение далее. Несмотря на особенность правой части, целесообразнее использовать аппарат функции Коши. Итак, рассмотрим однородное уравнение
(z)+
χ
(z)=0, (1.33)
f
l
f
решение которого нам известно —
χ
z
(z)=C1· e
f
−
l
(прием — применение информации заранее известной). Нормируем решение
вточкеz =0:
f
(0) = 1 · C1;1·C1=1; C1=1.
Нормированная фундаментальная матрица решения уравнения (1.33)
χ
z
Y (z)=f
(z)=e
−
l
.
Учет особенности нашей задачи (в данном случае математическая осо-
бенность) — система с постоянными коэффициентами, поэтому функция
Коши:
K = Y (s − τ);
χ
(z−τ )
−
·
· e
l
.
(z):
χ
(z−2l
−
χ
2V
0
a
z
χ
−
e
0
χ
−
z
l
τ
l
· z.
· e
χ
−
l
·
l
(z−τ )
e
dτ =
l
dτ =
K = e
Общее решение уравнения (1.30) относительно f
z
f
(z)=C1· Y (z)+
χ
z
−
C
· e
1
−
· e
C
1
2V
l
−
χ
z
2V
l
−
K(z −τ) ·−
0
χ
0
a
0
a
2χ
·
· e
l
χ
2χ
·
· e
l
При z =2l
f
(2l)=
V
0
−2χ
(e
a
+1)=C1e
−2χ
−
2V
χ
0
·
a
· 1 ·2l,
l
30 ГЛАВА 1
=
f
(z)=e
V
0
e
a
=
−
V
=
C1= e
χ
z
l
0
e
a
V
0
a
χz
−
l
+−
χ
z
−
l
χ
−
l
e
2V
0
2χ
a
2V
2χ
· e
χ
2V
0
−
·
a
χ
2V
0
·
a
l
2V
1
0
+
a
2
z
V
0
1 −
+
a
· 2χ +
0
· 2χ +
a
−
ze
l
z +
χ
−
l
2χ
l
V
0
−2χ
(e
a
V
0
a
χ
(z−2l)
l
2V
0
(2χ +
a
(z − 2l)e
(z − 2l)e
+
=
1
2
+1).
V
0
· e
a
)e
χ
(z−2l)
−
l
χ
(z−2l)
−
l
−
−2χ
χ
l
(z−2l)
Окончательно:
f
(z)=
χ
−
z
V
0
e
a
V
0
l
+
(1 − 2χ ·
a
z − 2l
l
) · e
−
χ
(z−2l)
l
В существующей литературе [10] дается решение для диапазонов
4l<z<6l, 6l<z<8l,
−
=
=
.
. (1.34)
но отсутствует вывод, данный в этой работе для диапазона 2l<z<4l.
Энергетическая теория удара
Признаками ударного процесса по энергетической теории являются:
природа удара одна; удар однократный и многократный; воздействие удара
немгновенное, медленное; упругие деформации линейные и нелинейные;
масса ударяющего тела сосредоточенная, а упругий элемент невесомый;
перемещения тел линейные и угловые; частичная взаимосвязь теорий колебаний, устойчивости, статики (отсутствие массы упругого тела приводит к
исчезновению волн, продольной устойчивости и т.д.).
Используя теорему об изменении кинетической энергии тел и предпо-
ложение о характере их деформаций, можно получить довольно простые
приемы приближенной оценки максимальных усилий при соударении тел.
Рассмотрим удар тела массой m по стержню длиной l,одинконецко-
торого закреплен (рис. 1.3). Допустим, что к моменту остановки груза его
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]