Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Прикладные теории удара. Удар в пружинных механизмах
.pdf
1.1. КЛАССИФИКАЦИЯ ПРИЗНАКОВ УДАРНОГО ПРОЦЕССА 11
определения для них коэффициента восстановления, значительно отличающегося от ньютоновского. В данной работе рассматривается соударение тел
из обычных марок стали, но новому явлению отведено место в критериях
удара.
Четвертым признаком ударного процесса является время соударения.
Согласно стереомеханической теории удар считается мгновенным, т.е. при
соударении изменяются скорости соударяющихся тел, а перемещения отсутствуют. Поэтому стереомеханическая теория удара и контактная теория
Герца, имея различную физическую природу, применяются для одного значения коэффициента β>3..8. При не мгновенномударе расчеты проводятся
либо по волновой теории (воздействие быстрое), либо по энергетической
теории (воздействие медленное). При этом в самом процессе воздействия
удара в расчетах удара выделяются соударения тел с дискретными массами
и волновой процесс в деформируемых упругих элементах. В пружинных механизмах ударные процессы сведены существующими рекомендациями [3]
до определения критической скорости удара (м/с):
τ
− τ
3
35, 1
2
,
V =
— статические касательные напряжения при максимальной деформа-
где τ
3
ции пружины (МПа); τ
— статические касательные напряжения, соответ-
2
ствующие рабочей деформации (МПа).
Конструктивное оформление самого механизма при этом игнорирует-
ся. Поэтому оказалось актуальным создание элементарных энергетических
теорий удара пружинных механизмов [4].
Появление пятого признака ударного процесса (линейность деформа-
ций) связано с тем, что сам физический процесс может быть линейным,
а его математическое выражение — нелинейным. Например, в контактной
теории Герца зависимость между деформацией и напряжениями линейная,
а между контактной силой и сближением тел — нелинейная.
Различие по виду масс соударяющихся тел позволяет внести ясность
в вопрос выбора той или иной теории удара при расчете с учетом влияния
особенностей конкретного механизма. При ударе двух абсолютно твердых
тел используется стереомеханическая теория удара; при ударе абсолютно
твердого тела по упругому невесомому телу — энергетическая теория; при
ударе двух деформируемых тел с медленным процессом по времени — контактная теория Герца; при ударе деформируемых тел с быстрым процессом
по времени — волновая теория; при ударе деформируемого в точке контакта массивного тела с упругим телом — теория поперечного удара груза по
балке (теория C. П. Тимошенко [5]).
12 ГЛАВА 1
Геометрия ударного процесса существенно влияет на определение его
параметров. Распространение ударного процесса по сфере является признаком как контактной теории Герца, так и волновой теории (сферическая
волна). Наиболее распространен удар по «вырожденной» координате, например волновая теория Сен-Венана для стержней [5].
Так как удар может порождать рост статических напряжений, ини-
циировать волны, искажать форму тел, вызывать потери устойчивости, то
взаимосвязанность теорий колебания, устойчивости и статики при определении параметров ударного процесса определяет уровень используемой для
этого теории.
1.2. Классификация основных теорий ударного
нагружения
Несмотря на свою очевидную важность, теория удара далека от завершения. Трудности имеют как математическую, так и физическую природу.
Последние заключаются в большой неопределенности свойств материала
при ударе. Математические трудности возникают при изучении соударения
тел даже простой формы. Усложнение конфигурации приводит к тому, что
математические затруднения оказываются практически непреодолимыми;
следствием этого является возникновение упрощенных теорий. Выбор конкретной теории зависит от постановки решаемой задачи, искомых в ней
величин и зависимостей. Эти теории должны применяться с большой осторожностью после выявления границ их правомочности.
Существующие теории удара можно объединить в четыре большие
группы. В первую группу входят основные классические теории удара:
• стереомеханическая теория Ньютона;
• контактная теория Герца;
• энергетическая теория;
• волновая теория Сен-Венана.
Во вторую группу входят синтезированные и линеаризированные теории удара, представляющие из себя дальнейшее развитие теорий первой
группы. К ним относятся:
• теория Сирса (синтез волновой и контактной теорий);
• теория Карно (синтез энергетической и стереомеханической теорий);
1.2. КЛАССИФИКАЦИЯ ОСНОВНЫХ ТЕОРИЙ УДАРНОГО НАГРУЖЕНИЯ 13
• теория Сен–Венана (синтез волновой и энергетической теорий);
• теория поперечного удара по балке (теория С. П. Тимошенко — синтез
волновой и контактной теорий);
• линеаризированные теории контактного взаимодействия тел.
К третьей группе относятся прикладные теории удара в комбинированных системах:
• теория повторных затухающих соударений в механических процессах
Р. Ф. Нагаева;
• теория соударения трехмерных упругих тел С. А. Зегжда [6];
• теория соударения упругих систем, учитывающая местные и общие
деформации В.Л. Бидермана [5];
• теория продольного упруго-пластического удара Г. С. Батуева [7];
Данная классификация по третьй группе является условной, так как
представляет практически основу всех классических работ в теории удара. Классификацию третьей группы удара можно существенно расширить
за счет работ известных учёных в области удара (Кильчевский Н. А. [8],
Алабушев П. М. [9], Гольдсмит В. [10], Малышев Б.А. [11], Ишлинский А. Ю. [12]).
В ИжГТУ для более полного объяснения имеющихся эксперименталь-
ных результатов на основе синтеза теорий колебаний, устойчивости, статики и удара с применением модели винтового тонкого бруса Д. Ф. Полищуком создана обобщенная теория цилиндрических пружин [4], в которую
составной частью входят теории удара четвертой группы:
• теории удара, определяющие зоны максимальных напряжений в пружине, — синтез нелинейной статики и динамики при кинематическом
нагружении (модель эквивалентного бруса, плоского кольца);
• теории удара как синтез нелинейной статики и ударного нагружения
по модели эквивалентного бруса;
• модернизированная волновая теория удара в механизмах;
• модернизированная контактная теория инерционного соударения вит-
ков;
• синтезированная теория удара в пружинных механизмах.
14 ГЛАВА 1
Более подробно в данной книге рассмотрим первые две группы и чет-
вертую группу, как представляющую область личных интересов авторов
книги. По третьей группе будет дана только небольшая справка, позволяющая заинтересованным читателем обратиться к важным первоисточникам.
Теории удара третьей группы на данный момент исследований авторами не
использовались в методиках удара пружинных механизмов.
Синтезированная теория удара в рамках обобщенной теории пружин
стала основой создания интеграционной механики – единство математики, физики и прикладной философии. Основная область интеграционной
механики — системно-нелинейные задачи, когда основному экспериментальному эффекту соответствуют различные физические задачи. Поэтому
нельзя применять единую математику для задачи, так как физические задачи различны. Подробнее с интеграционной механикой можно ознакомиться
по книгам [13,14,15,16]. В интеграционной механике существуют специальные классификации тел, векторов, сил, перемещений, основанных на
общем подходе — рассматривать каждое явление и классификацию явлений
в единстве математики, физики и прикладной философии.
1.3. Компакт «физических тел» интеграционной механики
для задач удара
Компакт физических, математических и системных тел интеграцион-
ной механики состоит из шести классов (рис. 1.1):
• Физико-математические тела.
• Физико-системные тела.
• Математико-физические тела.
• Математико-системные тела.
• Системно-физическая группа тел.
• Системно-математическая группа тел.
Физико-математические тела делятся на две подгруппы: абсолютно
твердые и деформируемые тела. Каждая из подгрупп включает в себя интегральные тела, имеющие существенные линейные размеры, и дифференциальные тела, использующиеся для составления уравнений движения. Абсолютно твердое тело составляет основу классической теоретической механики, а деформируемое тело — классической теории упругости.
1.3. КОМПАКТ ИНТЕГРАЦИОННОЙ МЕХАНИКИ ДЛЯ ЗАДАЧ УДАРА 15
Таблица 1.1. Компакт физических, математических и системных тел в интеграционной механике
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
абсолютно твердое
тело
теоретическая
механика
ФИЗИКО-СИСТЕМНЫЕ ТЕЛА
абс. тв. тело
+ пластика
(стереомех. теория
удара)
абс. тв. тело
+упругоетело
(контактная теория
Гер ц а)
Прикладные задачи
удара (процесс не
волновой)
ТЕЛА
+
деформируемое
теория упругости
(−)
деф. тело
+ принцип
освобождения
от связей
Сопротивление
материалов
−
тело
− +
МАТЕМАТИКО-
ФИЗИЧЕСКИЕ
ТЕЛА
масса, жесткость,
высота стержня и
пружины равны
математическое
моделирование
физических задач
МАТЕМАТИКО-
СИСТЕМНЫЕ
ТЕЛА
m
с-жесткость
невесомой
пружины
тонкая
нерастяжимая нить
как абсолютно
твердое тело
Составление
уравнений
движения
СИСТЕМНО-
ФИЗИЧЕСКИЕ
ТЕЛА
контактная теория
Гер ц а ε
СИСТЕМНО-
МАТЕМАТИЧЕСКИЕ
ТЕЛА
Линеаризованная теория
уда ра
Физико-системные тела представлены двумя подгруппами. В первой
подгруппе тела прикладной неволновой механики: стереомеханическая теория удара рассматривает абсолютно твердое тело, которое в точке контакта
имеет пластические деформации; контактная теория Герца оперирует телом,
представляющим собой синтез интегрального абсолютно твердого тела (более строгий подход — тело деформированное, но в котором пренебрегают
общей деформацией) и малого упругого тела в месте контакта. Во второй
16 ГЛАВА 1
подгруппе стержневые тела из курса «Сопротивление материалов» (рассматриваются деформируемые тела и применяется принцип освобождения
от связей для абсолютно твердых тел).
Физико-математические и физико-системные тела позволяют выделить
в механике четыре раздела: классическая теоретическая механика; теория
упругости; неволновая механика; сопротивление материалов. С их помощью
можно определить основные параметры ударного взаимодействия: контактные усилия, перемещение тел, скорости тел после удара, время соударения,
напряжения в месте контакта.
Математико-физические и математико-системные тела применяются
для составления уравнений движения при моделировании процессов. С
помощью математико-физических тел осуществляется перенос известного
математического аппарата с одного физического тела на другое. Так, известный комплекс теорий колебаний, устойчивости, прочности и удара для
прямых стержней может быть перенесен на винтовой тонкий брус (цилиндрическую пружину) при равенстве высот, масс, продольной и поперечной
жесткостей. Полученная модель называется моделью эквивалентного бруса.
Математико-системные тела характерны тем, что им присущи только
те физические параметры тел, которые упрощают решение задачи. К ним,
например, относятся:
• материальная точка (игнорируется геометрия тела);
• жесткость тела (не рассматриваются геометрия, масса, волновые про-
цессы в упругом теле);
• невесомая нить (поперечные размеры нити не учитываются, поэтому
ее продольная жесткость при растяжении бесконечна, а поперечная
жесткость равна нулю).
Системно-физические тела используются для описания взаимодей-
ствия нескольких физических тел. Например, в контактной теории Герца –
взаимодействие двух шаров; в стереомеханической теории удара Ньютона —
соударение двух тел при известном коэффициенте восстановления.
Системно-математические тела используются для описания процесса
удара тел с помощью различных физических теорий, т.е. теорий первой
группы. Например, в линеаризированной теории удара реальный физический процесс рассматривается как первоначальное свободное движение эквивалентной массы и последующее ее колебание на пружине с эквивалентной жесткостью.
1.4. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ УДАРА 17
1.4. Классические теории удара
Стереомеханическая теория удара
Этой теории соответствуют следующие признаки ударного процес-
са: природа удара одна; удар может быть однократным и многократным;
рассматривается мгновенный удар при отсутствии перемещений; по геометрии — удар может быть центральным (рис. 1.1) и внецентральным,
рассматриваются удары при вращательном, плоском и пространственном
v
1
v
2
m
1
m
2
Рис. 1.1. Модель центрального удара двух тел
движении тел. В случае прямого центрального удара двух тел при отсутствии внешних ударов количество движения системы остается постоянным:
где v
1,v2
,v
m
+ m2v2= m1v
1v1
,v
— скорости тела до и после удара. В этом уравнении два
1
2
1
+ m2v
, (1.1)
2
неизвестных( скорости тел после удара), поэтому необходима дополнительная информация, которая не зависела бы от скоростей ударяющихся тел,
но позволяла бы определять скорости после удара. Если бы дополнительная информация зависела от скоростей тел, это не позволяло бы решать
уравнение (1.1). Такой дополнительной информацией является введенный
Ньютоном экспериментальный коэффициент восстановления
v
− v
1
v1− v
2
| . (1.2)
2
K =|
По Ньютону, коэффициент восстановления зависит только от матери-
ала тел, что математически позволяет находить скорости тел после удара.
В реальных экспериментах такая идеальная постановка не подтверждается.
Согласно экспериментальным данным Такэда [8]
n
−av
k = e
o
,
где a и n — постоянные, определяемые из эксперимента. При увеличении
скорости коэффициент восстановления монотонно убывает. Таким образом,
18 ГЛАВА 1
интегрально отражая внутренние процессы ударного взаимодействия тел,
коэффициент восстановления не имеет точного аналитического выражения.
Совместное решение уравнений (1.1) и (1.2) позволяет определить скорости
тел после удара:
m
v
= v1− (1 + k)
1
= v2+(1+k)
v
2
2
m1+ m
m
1
m1+ m
(v1− v2);
2
(v1+ v2). (1.3)
2
При k =1имеет место абсолютно упругий удар, при k =0—абсо-
лютно пластичный (неупругий) удар.
Ударный импульс, действующий со стороны второго тела на первое,
равен:
m
S = m
(v
− v1)=−(1 + k)
1
1
2
m1+ m
(v1− v2).
2
При наличии только внутренних ударов скорость центра масс системы v
остается постоянной и может быть определена с использованием информации как о первом, так и о втором теле:
c
m
+ m2v
m
v
1v1
=
c
m1+ m
2
2
=
v
1
1
m1+ m
+ m2v
2
2
. (1.4)
Первоначальное введение коэффициента восстановления происходит
по системной составляющей вследствие необходимости дополнительной
информации. Для определения физической составляющей коэффициента
восстановления рассмотрим два этапа удара для первого тела: на первом
этапе происходит сближение тел до наибольшей их деформации, при этом
относительная скорость тел становится равной нулю, а их общая абсолютная скорость равна скорости центра масс; на втором этапе происходит
восстановление формы тел.
Применим к каждому из этапов теорему импульсов:
S
= m1(vc− v1);
1
S
2
= m1(v
− vc).
1
С учетом (1.4) получим:
+ m2v
S
= m1(
1
m
1v1
m1+ m
2
2
− v1)=
m
1m2
m1+ m
(v2− v1);
2
1.4. КЛАССИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ УДАРА 19
S2= m1(v
m
v
1
−
1
m1+ m
1
+ m2v
2
2
)=−
m
1m2
m1+ m
− v
2
). (1.5)
1
(v
2
Найдем отношение импульсов:
S
S
2
1
= |
(v
(v2− v1)
− v
)
2
1
| = k. (1.6)
Следовательно, коэффициент k имеет три компоненты: системную
(ввод дополнительной информации); математическую (соответствие числа
неизвестных числу уравнений); физическую (отношение импульсов ударных сил, возникающих между телами на первом и втором этапах удара). Более подробно стереомеханическая теория удара рассмотрена в работах [2,10,17,18].
При решении задачи удара двух тел через ускорительный рычажно-
копирный механизм для определения скоростей Э. А. Горовым [18] предложены следующие зависимости:
v
2
−
v
1
1+
v
1
1+
m1η
m2b
b − v
m2b
m1η
b
;
2
2
,
2
v
= v1− (1 + k)
1
v
= v2+(1+k)
2
где b — передаточное отношение скоростей второго тела к первому; η —
коэффициент неидеальности связи.
Вследствие своей простоты эта теория широко используется в практике
расчета вибро-ударных систем. Однако применение этой теории допустимо, когда исследуется соударение тел на сравнительно больших интервалах
времени (β>3..8 ), по сравнению с которыми удар можно считать мгно-
венным.
При выполнении условия β>3..8 сам процесс удара нивелируется
от многократного прохождения волны деформации. Данная теория не позволяет установить быстроизменяющиеся силы, напряжения и деформации
в точке соприкосновения тел. Она ограничена нахождением начальных и
конечных скоростей состояний объекта и случаем линейного или углового
импульсов. Предположение о мгновенном ударе приводит к появлению бесконечно больших сил, что делает невозможным расчет на прочность. Вследствие этого возникает необходимость построения других моделей удара.
20 ГЛАВА 1
Контактная теория Герца
Признаки ударного процесса в теории Герца: природа удара одна; удар
однократный; воздействие удара немгновенное, медленное, что позволяет
пренебрегать волновыми процессами; массы распределенные; ударный процесс пространственный; деформации линейные.
Решив статическую задачу упругого контактного взаимодействия двух
тел, Герц перенес этот результат в теорию удара. В основе его теории лежат два допущения: зависимость контактной силы от контактной деформации такая же, как и при статическом сжатии, т. е. не учитывается инерция
элементов тел, прилежащих к площадке контакта, при их относительном
движении; общие деформации соударяющихся тел малы по сравнению с
деформациями в окрестностях площадки контакта.
Зависимоcть контактной силы P от сближения тел имеет вид:
3
P (α)=kα
2
,α>0; P (α)=0,α<0, (1.7)
где k — коэффициент пропорциональности, зависящий от кривизны тел в
точке контакта и от материала. Причем для различных тел зависимость (1.7)
не изменяется, а учет формы и материала конкретных соударяющихся тел
осуществляется вне ее. Так, при соударении двух цилиндров [3,5]
R1R
R1+ R
2
, (1.8)
2
где μ
i,Ei,Ri
k =
(1 − μ1)
3
4
2
(1 − μ2)
+
E
1
2
E
2
— коэффициент Пуассона, модуль упругости, радиус контак-
тирующих тел.
Рассмотрим соударение двух тел (рис. 1.2), где x
— координаты
1,x2
центров инерции.
Дифференциальные уравнения движения имеют вид:
Обозначив через α = x
получим
d2(α + x2)
m
1
dt
d2x
1
m
1
m
− x2сближение тел за счет местного сжатия,
1
= −P(α); m
2
2
dt
d2x
= −P(α);
2
2
2
dt
= P(α).
2
d2x
dt
2
= P(α).
2
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]