Добавил:
ivanov666
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Предмет:
Файл:Переходные процессы в электрических цепях. Учебное пособие
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
__________________________________________________________________________
В.А. АКСЮТИН
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Утверждено Редакционно-издательским советом университета
в качестве учебного пособия
НОВОСИБИРСК
2017
УДК 621.3.011.7(075.8)
А 429
Рецензенты:
д-р техн. наук, профессор А.В. Сапсалев
канд. техн. наук, доцент Ф.Э. Лаппи
Работа подготовлена на кафедре ТОЭ для студентов, обучающихся
по направлению 13.03.02 – Электротехника и энергетика
Аксютин В.А.
А 429 Переходные процессы в электрических цепях: учебное посо-
бие / В.А. Аксютин. – Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2017. – 112 с.
ISBN 978-5-7782-3379-9
Рассматривается расчет переходных процессов классическим и операторным
методами в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами.
Приводятся теоретические сведения и большое количество примеров решения
типовых задач. Предлагаются задачи для самостоятельного решения с ответами.
Структура и содержание пособия соответствуют программе курса «Теоретические основы электротехники» для электротехнических специальностей вуза.
Предназначено для самостоятельной работы
может быть полезно преподавателям при организации учебного процесса.
Аксютин Валерий Аркадьевич
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ
Учебное пособие
Редактор Л.Н. Ветчакова
Выпускающий редактор И.П. Брованова
Корректор И.Е. Семенова
Дизайн обложки А.В. Ладыжская
Компьютерная верстка С.И. Ткачева
Налоговая льгота – Общероссийский классификатор продукции
Издание соответствует коду 95 3000 ОК 005-93 (ОКП)
студентов и аспирантов, а также
Подписано в печать 30.10.2017. Формат 60 84 1/16. Бумага
Уч.-изд. л. 6,51. Печ. л. 7,0. Изд. № 78. Заказ № 1360. Цена договорная
Новосибирского государственного технического университета
Отпечатано в типографии
630073, г. Новосибирск, пр. К. Маркса, 20
офсетная. Тираж 100 экз.
УДК 621.3.011.7(075.8)
ISBN 978-5-7782-3379-9 © Аксютин В.А., 2017
© Новосибирский государственный
технический университет, 2017
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ........................................................................................................................ 4
1. Возникновение переходных процессов и их математическое описание ...... 5
1.1. Установившиеся и переходные процессы в электрических цепях ........... 5
1.2. Законы коммутации, зависимые и независимые начальные
значения ............................................................................................................ 7
1.3. Получение дифференциальных уравнений цепи ...................................... 11
2. Классический метод расчета переходных процессов .................................. 13
2.1. Основные положения классического метода ............................................ 13
2.2. Порядок расчета переходных процессов классическим методом .......... 15
2.3. Обобщенные законы коммутации ............................................................... 22
2.4. Примеры расчета
переходных процессов в цепях первого порядка ...... 25
2.5. Примеры расчета переходных процессов в цепях второго порядка ...... 48
2.6. Задачи для самостоятельного решения ...................................................... 71
Контрольные вопросы и задания ....................................................................... 73
3. Операторный метод расчета переходных процессов ................................... 75
3.1. Основные положения операторного метода .............................................. 75
3.2. Преобразования Лапласа, его основные свойства .................................... 75
3.3. Изображение простейших функций, их сумм, интегралов
и производных ............................................................................................... 77
3.4. Законы Кирхгофа и
Ома в операторной форме ......................................... 78
3.5. Эквивалентные операторные схемы ........................................................... 83
3.6. Переход от изображений к оригиналам. Теорема разложения ............... 84
3.7. Порядок расчета переходных процессов операторным методом ........... 86
3.8. Примеры расчета переходных процессов в цепях первого порядка ...... 87
3.9. Примеры расчета переходных процессов в цепях второго порядка ...... 95
Задачи для самостоятельного решения ........................................................... 109
Контрольные вопросы и задания ..................................................................... 111
Библиографический список .................................................................................... 112
ВВЕДЕНИЕ
Переходный процесс в электрической цепи возникает при ее переходе
из одного установившегося состояния в другое. Процесс связан с изменением энергетического состояния реактивных элементов цепи (индуктивностей и емкостей) и определяется изменением параметров цепи.
Теоретически переходные процессы длятся бесконечно долго, но
на практике длительность переходного процесса определяется требованиями к конкретной
В настоящем пособии рассматриваются классический и операторный методы расчета линейных электрических цепей с сосредоточенными параметрами.
В реальных условиях некоторые переходные процессы сопровождаются возникновением электрической дуги. В основном это в случаях
размыкания электрических цепей с накопленной в индуктивностях
электромагнитной энергией. Однако такие моменты
собии при изучении методов исследования переходных процессов в
линейных электрических цепях не будут рассматриваться. В связи с
этим при изучении методов расчета переходных процессов такие электрические цепи будут отсутствовать.
В первом разделе рассматриваются причины возникновения переходных процессов в цепи, дается обоснование невозможности скачкообразного изменения тока
мутациях, вводится понятие «начальные условия», рассматривается математический аппарат, используемый при расчете переходных процессов.
Во втором разделе излагаются основы классического метода расчета
переходных процессов в электрических цепях. Математической базой
этого метода служит решение системы неоднородных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами во временной
Третий раздел посвящен операторному методу расчета переходных
процессов, базирующемуся на использовании интегрального преобразования Лапласа.
Во втором и третьем разделах изложение теоретического материала
сопровождается соответствующими числовыми примерами и вопросами для самопроверки.
цепи и имеет конечное значение.
в настоящем по-
в индуктивности и напряжения на емкости при ком-
области.
4
1. ВОЗНИКНОВЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ
И ИХ МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ
1.1. Установившиеся и переходные процессы
в электрических цепях
Установившимся процессом в электрической цепи называется
процесс, создаваемый источниками ЭДС и тока постоянными или изменяющимися во времени по периодическому закону, который продолжается в течение любого заданного времени.
Переходным процессом в электрической цепи называется процесс
изменения во времени токов в ветвях и напряжений на элементах цепи,
вызванный коммутацией.
Коммутация – это
тов цепи (источников ЭДС и тока, резисторов, катушек индуктивности
и конденсаторов), изменение параметров элементов цепи и т. п. Считается, что коммутация происходит мгновенно.
В схемах замещения в качестве коммутирующего элемента используется ключ, который имеет сопротивление, равное нулю либо
бесконечности: рис. 1.1, а – до коммутации
ключ разомкнут, после коммутации замкнут;
рис. 1.1, б – до коммутации ключ замкнут, после коммутации разомкнут.
Переходный процесс может возникнуть в
цепи только при наличии в ней таких элементов, как катушки индуктивности и конденсаторы, и после коммутации определяет перераспределение энергии между
источником, катушками индуктивности и конденсаторами. Такие элементы цепи
цепь состоит только из резисторов, то после коммутации сразу возникает установившийся послекоммутационный режим. Переходный процесс начинается с момента коммутации (время t = 0) и протекает между установившимся процессом до коммутации и установившимся
называют независимыми накопителями энергии. Если
включение, отключение, переключение элемен-
Кл
а
Кл
б
. Рис 1.1
5
процессом после коммутации. Момент времени непосредственно пе-
E
E
р
ред коммутацией обозначается t = 0
, а сразу после коммутации t = 0+,
или t = 0. Теоретически длительность переходного процесса равна бесконечности, но для большинства практических задач можно принять,
что переходный процесс заканчивается, если искомая величина переходного тока или напряжения отличается от установившегося значения, например, менее чем на 5 %. Так, можно определить приближенно
время переходного процесса
t .
ПП
Рассмотрим, например, изменение напряжения на конденсаторе
)(Cut и тока в цепи i(t) при переключении ветви с последовательным
соединением резистора индуктивности и емкости с источника постоянного напряжения
E
1
на источник
1
Кл
i(t)
E
2
(рис. 1.2).
2
R
L
u
(t) uR(t)
L
С
uC(t)
Рис. 1.2
Установившийся
докоммутационный
оцесс
п
uC, i
Переходный
процесс
uC(0–) = uC(0+)
uC(t)
i
(t)
u
) = E
C(0–
i(0–) = 0
iL(0–) = iL(0+)
1
0–
0+
tПП
Рис. 1.3
6
Установившийся после-
коммутационный процесс
(принужденный режим)
5 % зона от уста-
новившегося
напряжения
i(∞) = I
ПР
t =
= 0
U
= E
CПР
2
t
На рис. 1.3 изображены графики изменения напряжения на конден-
–
саторе
)(Cut
и тока ветви i(t). Колебательный характер процесса опре-
деляется при конкретном сочетании значений сопротивления, индуктивности и емкости. На графиках показаны области: установившийся
(– , ]0t
докоммутационный процесс
процесса
0,[] tt
и послекоммутационный установившийся про-
ПП
цесс, так называемый принужденный режим
; промежуток переходного
[),tt .
ПП
1.2. Законы коммутации, зависимые и независимые
начальные значения
Для индуктивного и емкостного элементов справедливы два закона
коммутации.
1. В индуктивном элементе ток (потокосцепление) в момент ком-
мутации t = 0 сохраняет значение, которое он имел непосредственно
перед коммутацией, т. е. при 0t
этого значения:
00 или () (), () ()00
ii
––
LL L L
2. На емкостном элементе напряжение (заряд) сохраняет в момент
коммутации то значение, которое оно имело непосредственно перед
коммутацией, и в дальнейшем изменяется, начиная с этого значения:
00 или() (), () )00(
uu qq
––
CC CC
, и дальше начинает изменяться с
. (1.1)
. (1.2)
Законы коммутации называются
ниями (условиями)
и являются следствием закона сохранения энергии:
независимыми начальными значе-
– магнитного поля в индуктивном элементе
2
W
МП
i
L
; (1.3)
2
– электрического поля в емкостном элементе
2
W
ЭП
u
C . (1.4)
2
Как видно из (1.3), ток в индуктивности определяет энергию, запа-
саемую в магнитном поле катушки, а из (1.4) напряжение определяет
7
энергию, запасаемую в электрическом поле конденсатора. Все осталь-
–
R
ные токи и напряжения в цепи могут изменяться скачком – это токи в
резисторах и емкостях, напряжение на индуктивности. Такие значения
токов и напряжений называют
(условиями)
. К зависимым начальным значениям относятся также зна-
зависимыми начальными значениями
чения производных токов и напряжений в момент коммутации, которые определяют скорость нарастания исследуемого тока или напряжения в момент коммутации.
Кл
i(0
) = 0
–
R
L
uR(0–)
E
1
uL(0–) = 0
С
uC(0–) = Е
1
Рис. 1.4
Рассмотрим порядок определения независимых и зависимых на-
чальных значений.
1. Независимые начальные значения (законы коммутации)
0 и 00() () ()
iuu
LCC
–
режима цепи до коммутации
определяются из расчета установившегося
()0t
.
()0Li
–
Например, в схеме, изображенной на рис. 1.2 до коммутации, установившийся режим постоянного тока: индуктивное сопротивление
равно нулю, емкостное – бесконечности. Схема замещения, соответствующая этому режиму, представлена на рис. 1.4.
i(t)
E
2
L
(t) uR(t)
u
L
С
uC(t)
Рис. 1.5
8
Для полученной расчетной схемы замещения цепи (установивший-
–
L
E
E
ся режим постоянного тока
iu
––
L
составим уравне-
(0 0 и 0))0()
ние по второму закону Кирхгофа:
Из (1.5) следует, что
Ei Ru u
1– – –
)00 )0)(((
. (1.5)
LC
Eu
()0
1–
и независимые начальные значе-
C
ния примут вид
(0 0 0 0 и 00)()() () ()
ii i u u E
––1
С LCC
. (1.6)
2. Зависимые начальные значения определяются в следующем по-
рядке.
2.1. Для схеы замещения исследуемой цепи после коммутации со-
ставляется полная система уравнений по законам Кирхгофа для мгновенных значений.
Например, для цепи, изображенной на рис. 1.2 после коммутации
0t
, расчетная схема приведена на рис. 1.5. Составим уравнение по
второму закону Кирхгофа для мгновенных значений:
iR u u
2
C
. (1.7)
2.2. Полученную систему уравнений необходимо записать в мо-
0t
мент времени
.
В примере (см. рис. 1.2) уравнение (1.7) примет вид
(0 0)()()0
Ei Ru u
2
LC
. (1.8)
2.3. В систему уравнений по п. 2.2 подставляем законы коммута-
ции. Решая эту систему уравнений, определяем зависимые начальные
значения.
В примере с учетом законов коммутации (1.6) запишем (1.8):
21
(0 )0
Ru E
. (1.9)
L
Из полученного уравнения определим зависимое начальное значение:
)()()(0 0 0 0 и 0–( )
ii i u EE
. (1.10)
L С L
9
21
2.4. Для определения начальных значений производных токов и
L
E
L
E
напряжений необходимо продифференцировать составленную в п. 2.1
систему уравнений.
В примере уравнение (1.7) примет вид
iR u u
. (1.11)
2
C
2.5. Полученную продифференцированную систему уравнений
необходимо записать в момент коммутации
0t
.
В примере уравнение (1.11) примет вид
0(0 (0)))0(
iRu u
. (1.12)
LC
2.6. Используя полученные в п. 2.3 зависимые начальные значения
ui
0 и ) ( )0(
LC
, определим величину их производных в момент ком-
мутации:
Значения
()0
i
,
L
(0 )
u
L
L
udiLdt
L
i
L
0 и )0() (
iu
LC
u
и
L
и )0(Cu
dCiu
C
C
,
dt
i
C
(1.14) подставляются в систему уравне-
i
C
u
C
(0 )
; (1.13)
C
. (1.14)
C
ний, полученную в п. 2.5. Решением этой системы определяются величины всех остальных производных при
0t .
В примере (см. рис. 1.2) с учетом (1.10) выражения (1.14) примут
вид
u
(0 )
L
=
ii i
)()(0 0 ( )0
С
L
L
E
21
; (1.15)
L
(0 )
i
u
() 0
C
C
. (1.16)
0
C
После подстановкеи (1.5) и (1.16) в уравнение (1.12) получим
EE
21
L
0()
Ru
L
10
0
.
0
C
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]